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Livro: Equações Diferenciais com Aplicações em Modelagem
Autor: Dennis G. Zill
Exercicio 31 – p. 95
Uma força eletromotriz de 100 V é aplicada a um circuito em serie RC no qual a resistência é de 200 Ω e a capacitância é 10 −6^ Farads. Ache a carga 𝑞(𝑡) no capacitor se 𝑞(0) = 0. Ache a corrente 𝑖(𝑡).
Solução:
Da segunda lei de Kirchhoff temos que a voltagem aplicada E(t) em uma malha fechada deve ser igual à soma das quedas de voltagem na malha 𝐸(𝑡) = 𝑅. 𝑖 + (^1) 𝐶 𝑞.
𝐸(𝑡) = 𝑅. 𝑖 +
𝑖=𝑑𝑞𝑑𝑡
Modelo para um circuito em série RC: 𝐸(𝑡) = 𝑅 𝑑𝑞𝑑𝑡 + (^1) 𝐶 𝑞
Dados: {
1º Passo) Equação na forma padrão:
100 = 200 𝑑𝑞 𝑑𝑡 +^
1 10 −6^ 𝑞 ⟹ 200
𝑑𝑞 𝑑𝑡 + 10
(^6) 𝑞 = 100 ⇒𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑛𝑑𝑜 𝑜𝑠 𝑑𝑜𝑖𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 (^) 𝑑𝑎 𝑒𝑞. 𝑝𝑜𝑟 200 𝑑𝑞 𝑑𝑡 + 5000𝑞 = 0,5 ⟹ 𝑞′ + 5000𝑞 = 0,
2º Passo) Fator Integrante:
𝐼(𝑡) = 𝑒∫^ 5000𝑑𝑡^ = 𝑒5000𝑡
3º Passo) Multiplique ambos os membros da igualdade pelo fator integrante:
𝑒5000𝑡(𝑞′ + 5000𝑞) = 𝑒5000.𝑡. 0,5 ⟹ 𝑒5000.𝑡𝑞′^ + 5000𝑒5000.𝑡𝑞 = 0,5 𝑒5000.𝑡^ ⟹ (𝑒5000.𝑡. 𝑞)′ = 0,5 𝑒5000.𝑡
4º Passo) Integre ambos os lados da igualdade:
∫(𝑒5000.𝑡. 𝑞)′ 𝑑𝑡 = 0,5 ∫ 𝑒5000.𝑡^ 𝑑𝑡 ⟹ 𝑒5000.𝑡. 𝑞 =
10000 𝑒5000.𝑡^
𝑒5000.𝑡^
5º Passo) Determine C utilizando a condição inicial 𝑞(0) = 0::
10000 −^
−5000.𝑡
6º Passo) O exercício pede 𝑖(𝑡):
𝑖(𝑡) =
− 10000
. 𝑒−5000.𝑡^ =
𝑒−5000.𝑡^ ⟹ 𝑖(𝑡) =
Exercício 14 _ p.
Um termômetro é levado para fora de um quarto, onde a temperatura ambiente é 5oF. Após 1 minuto, o termômetro marca 55oF, e após 5 minutos, 30oF. Qual era a temperatura inicial interna do quarto?
Solução:
Dados: {
Modelo de Temperatura: 𝑑𝑇𝑑𝑡 = 𝑘(𝑇 − 𝑇𝑎)
1º Passo) Equação na forma padrão:
𝑑𝑇 𝑑𝑡 = 𝑘(𝑇 − 5) ⟹ 𝑇´ = 𝑘𝑇 − 5𝑘 ⟹ 𝑇´ − 𝑘𝑇 = −5𝑘
2º Passo) Fator Integrante: 𝐼(𝑡) = 𝑒∫ −𝑘 𝑑𝑡^ = 𝑒−𝑘𝑡
3º Passo) Multiplique ambos os membros da igualdade pelo fator integrante:
𝑒−𝑘𝑡^ (𝑇´ − 𝑘𝑇) = −5𝑘𝑒−𝑘𝑡^ ⟹ 𝑒−𝑘𝑡. 𝑇´ − 𝑒−𝑘𝑡𝑘𝑇 = −5𝑘𝑒−𝑘𝑡^ ⟹ (𝑇. 𝑒−𝑘𝑡) ′ = −5𝑘𝑒−𝑘𝑡
4º Passo) Integre ambos os lados da igualdade:
∫(𝑇. 𝑒−𝑘𝑡)′𝑑𝑡 = ∫ −5𝑘𝑒−𝑘𝑡𝑑𝑡 ⟹ 𝑇. 𝑒−𝑘𝑡^ = −5𝑘 ∫ 𝑒−𝑘𝑡^ 𝑑𝑡 ⟹ 𝑇. 𝑒−𝑘𝑡^ = −5𝑘
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎çã𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖çã𝑜: 𝑢 = −𝑘𝑡 ⟹ 𝑑𝑢𝑑𝑡 = −𝑘 ⟹ 𝑑𝑢−𝑘 = 𝑑𝑡
⟹ ∫ 𝑒−𝑘𝑡^ 𝑑𝑡 = ∫ 𝑒𝑢^ 𝑑𝑢−𝑘 = (^) −𝑘^1 ∫ 𝑒𝑢^ 𝑑𝑢 = (^) −𝑘^1 𝑒𝑢^ = (^) −𝑘^1 𝑒−𝑘𝑡
⟹ 𝑇. 𝑒−𝑘𝑡^ = −5𝑘
𝑒−𝑘𝑡^ + 𝐶 ⟹ 𝑇. 𝑒−𝑘𝑡^ = 5𝑒−𝑘𝑡^ + 𝐶 ⟹ 𝑇 = 5
𝑒−𝑘𝑡^
𝑒−𝑘𝑡^
(Eq. 1)
3º Passo) Multiplique os dois lados da equação diferencial pelo fator integrante:
𝑒−𝑘𝑡^ (𝑇´ − 𝑘𝑇) = −70𝑘𝑒−𝑘𝑡^ ⟹ 𝑒−𝑘𝑡. 𝑇´ − 𝑒−𝑘𝑡𝑘𝑇 = −70𝑘𝑒−𝑘𝑡^ ⟹ (𝑇. 𝑒−𝑘𝑡) ′ = −70𝑘𝑒−𝑘𝑡
4º Passo) Integre ambos os membros da igualdade:
′ 𝑑𝑡 = ∫ −70𝑘𝑒−𝑘𝑡𝑑𝑡 ⟹ 𝑇. 𝑒−𝑘𝑡^ = −70𝑘 ∫ 𝑒−𝑘𝑡^ 𝑑𝑡 ⟹ 𝑇. 𝑒−𝑘𝑡^ = −70𝑘
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎çã𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖çã𝑜: 𝑢 = −𝑘𝑡 ⟹ 𝑑𝑢𝑑𝑡 = −𝑘 ⟹ 𝑑𝑢−𝑘 = 𝑑𝑡
⟹ ∫ 𝑒−𝑘𝑡^ 𝑑𝑡 = ∫ 𝑒𝑢^ 𝑑𝑢−𝑘 = (^) −𝑘^1 ∫ 𝑒𝑢^ 𝑑𝑢 = (^) −𝑘^1 𝑒𝑢^ = (^) −𝑘^1 𝑒−𝑘𝑡^ + 𝐶
⟹ 𝑇. 𝑒−𝑘𝑡^ = −70𝑘
−𝑘𝑡 𝑒−𝑘𝑡^ +^
5º Passo) Determine C utilizando a condição inicial 𝑇(0) = 98,6 então:
𝑇(0) = 98,6 ⟹ 70 + 𝐶𝑒𝑘.0^ = 98,6 ⟹ 𝐶 = 28,6 ⟹ 𝑇(𝑡) = 70 + 28,6 𝑒𝑘𝑡
6º Passo) Determine k aplicando os dados 𝑇(𝑡𝑖) = 85℉ e 𝑇(𝑡𝑖 + 1) = 80℉ na expressão de T(t) acima:
𝑇(𝑡𝑖) = 85 ⟹ 70 + 28,6 𝑒𝑘.𝑡𝑖^ = 85 ⟹ 28,6 𝑒𝑘.𝑡𝑖^ = 15 (Eq. 1) 𝑇(𝑡𝑖 + 1) = 80 ⟹ 70 + 28,6 𝑒𝑘.(𝑡𝑖+1)^ = 80 ⟹ 28,6 𝑒𝑘.(𝑡𝑖+1)^ = 10 ⟹ 28,6 𝑒𝑘.𝑡𝑖+𝑘^ = 10 ⟹
⟹ 28,6 𝑒𝑘.𝑡𝑖^ 𝑒𝑘^ = 10 𝑑𝑎 (𝐄𝐪.𝟏) 28,6 𝑒𝑘.𝑡𝑖= ⇒ 15 𝑒𝑘^ = 10 ⟹ 𝑒𝑘^ = 1015 = 23 ⟹ 𝑘 = ln (^23 ) ⟹ 𝑘 ≅ −0,
Substituindo 𝑘 ≅ −0,405 na (Eq. 1) , temos:
28,6 𝑒−0,405.𝑡𝑖^ = 15 ⟹ 𝑒−0,405.𝑡𝑖^ =
𝑙𝑛 ( 28,6^15 )
Resposta: Antes da descoberta do corpo se passaram 1,6 horas.
Exercício 15 _ p.
Uma pequena barra de metal, cuja temperatura inicial é de 20oC, é colocada em um grande recipiente com água fervendo quanto tempo levará para a barra atingir 90oC se sabemos que sua temperatura aumenta 2o^ em 1 segundo? Quanto tempo levará para a barra atingir 98oC?
Solução:
Dados: {
Modelo de Temperatura: 𝑑𝑇𝑑𝑡 = 𝑘(𝑇 − 𝑇𝑎), variável tempo t em segundos
1º Passo) Equação diferencial na forma padrão:
𝑑𝑇 𝑑𝑡 = 𝑘(𝑇 − 100) ⟹ 𝑇´ = 𝑘𝑇 − 100𝑘 ⟹ 𝑇´ − 𝑘𝑇 = −100𝑘
2º Passo) Fator Integrante: 𝐼(𝑡) = 𝑒∫ −𝑘 𝑑𝑡^ = 𝑒−𝑘𝑡
3º Passo) Multiplique os dois membros da equação diferencial pelo fator integrante:
𝑒−𝑘𝑡^ (𝑇´ − 𝑘𝑇) = −100𝑘𝑒−𝑘𝑡^ ⟹ 𝑒−𝑘𝑡. 𝑇´ − 𝑒−𝑘𝑡𝑘𝑇 = −100𝑘𝑒−𝑘𝑡^ ⟹ (𝑇. 𝑒−𝑘𝑡^ )′^ = −100𝑘𝑒−𝑘𝑡
4º Passo) Integre ambos os membros da igualdade:
∫(𝑇. 𝑒−𝑘𝑡) ′ 𝑑𝑡 = ∫ −100𝑘𝑒−𝑘𝑡𝑑𝑡 ⟹ 𝑇. 𝑒−𝑘𝑡^ = −100𝑘 ∫ 𝑒−𝑘𝑡^ 𝑑𝑡 ⟹ 𝑇. 𝑒−𝑘𝑡^ = −100𝑘 (^) −𝑘^1 𝑒−𝑘𝑡^ + 𝐶 ⟹
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎çã𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖çã𝑜: 𝑢 = −𝑘𝑡 ⟹ 𝑑𝑢𝑑𝑡 = −𝑘 ⟹ 𝑑𝑢−𝑘 = 𝑑𝑡
⟹ ∫ 𝑒−𝑘𝑡^ 𝑑𝑡 = ∫ 𝑒𝑢^ 𝑑𝑢−𝑘 = (^) −𝑘^1 ∫ 𝑒𝑢^ 𝑑𝑢 = (^) −𝑘^1 𝑒𝑢^ = (^) −𝑘^1 𝑒−𝑘𝑡
⟹ 𝑇. 𝑒−𝑘𝑡^ = −100𝑘
−𝑘𝑡 𝑒−𝑘𝑡^ +^
5º Passo) Determine C utilizando 𝑇(0) = 20:
𝑇(0) = 20 ⟹ 100 + 𝐶𝑒𝑘.0^ = 20 ⟹ 𝐶 = −80 ⟹ 𝑇(𝑡) = 100 − 80 𝑒𝑘𝑡^ (Eq. 1)
6º Passo) Determine k aplicando o dado 𝑇(1) = 22 na expressão de T(t) acima:
𝑇(1) = 22 ⟹ 100 − 80 𝑒𝑘.1^ = 22 ⟹ −80 𝑒𝑘^ = −78 ⟹ 𝑒𝑘^ =
⟹ 𝑘 = ln(0,975) ⟹ 𝑘 ≅ −0,025 ⇒Substituindo 𝑘≅−0,025 na (𝐄𝐪.𝟏) 𝑇(𝑡) = 100 − 80 𝑒−0,025 𝑡
7º Passo) Quanto tempo levará para a barra atingir 90oC?
𝑇(𝑡) = 90 ⟹ 100 − 80 𝑒−0,025 𝑡^ = 90 ⟹ −80𝑒−0,025 𝑡^ = −10 ⟹ 𝑒−0,025 𝑡^ =
4º Passo) Integre ambos os membros da igualdade:
∫(𝐴. 𝑒−𝑘𝑡)′𝑑𝑡 = ∫ 0 𝑑𝑡 ⟹ 𝐴. 𝑒−𝑘𝑡^ = 𝐶 ⟹ 𝐴 =
𝑒−𝑘𝑡^
5º Passo) Determine C utilizando 𝐴(0) = 𝐴 0 :
𝐴(0) = 𝐴 0 ⟹ 𝐶. 𝑒𝑘.0^ = 𝐴 0 ⟹ 𝐶 = 𝐴 0 Substituindo na expressao
de A(t)acima
6º Passo) Determine k utilizando o dado: a meia-vida do carbono radioativo C-14 é de aproximadamente 5.730 anos, ou seja, 𝐴(5730) = 𝐴 20.
𝐴 0 2 = 𝐴^0 𝑒
𝑘.5730 ⟹^1
𝑘.5730 (^) ⟹ 𝑘. 5730 = ln (^1 2 ) ⟹ 𝑘 =
ln (^12 ) 5730 ⟹^ 𝑘 ≅ −0,00012^ ⟹
7º Passo) Cálculo de quanto tempo levará para que 85,5% do C-14 decaia:
Dizer que 85,5% do C-14 decai significa que resta apenas 14,5% da massa inicial, ou seja, resta 0,145. 𝐴 0.
0,145𝐴 0 = 𝐴 0 𝑒−0,00012 𝑡^ ⟹ −0,00012 𝑡 = ln(0,145) ⟹ 𝑡 = ln(0,145) −0,
Resposta: 85,5% do C-14 decai em aproximadamente 16.091 anos, portanto, a idade do pedaço de madeira queimado encontrado tem aproximadamente 16.091 anos.
(A resposta do livro é igual a 15.600 anos, pois foi adotado 5600 anos para a meia-vida do carbono radioativo C-14 na resolução do exercício)
Exercício 12 _ p.
O Sudário de Turim mostra a imagem em negativo, do corpo de um homem que aparentemente foi crucificado, e que muitos acreditam ser de Jesus de Nazaré. Em 1988, o Vaticano deu a permissão para datar por Carbono o Sudário. Três laboratórios científicos e independentes analisaram o tecido e concluíram que o Sudário tinha aproximadamente 660 anos idade consistente com seu aparecimento histórico. Usando essa idade, determine a porcentagem da quantidade original de C-14 remanescente no tecido em 1988.
Solução:
𝐴(𝑡): Quantidade remanescente do C-14 no instante t (em anos)
Dados: Considere 𝐴(0) = 𝐴 0. Pelo Método de datação por carbono radioativo desenvolvido por Willard Libby, a meia- vida do carbono radioativo C-14 é de aproximadamente 5.600 anos, mas hoje em dia, o valor aceito é de aproximadamente 5730 anos, ou seja, 𝐴(5730) = 𝐴 20.
Modelo: 𝑑𝐴𝑑𝑡 = 𝑘𝐴 𝑜𝑢 𝐴′^ = 𝑘. 𝐴 (𝑘 < 0)
1º Passo) Equação diferencial na forma padrão:
𝐴′ = 𝑘𝐴 ⟹ 𝐴′ − 𝑘𝐴 = 0
2º Passo) Fator Integrante: 𝐼(𝑡) = 𝑒∫ −𝑘 𝑑𝑡^ = 𝑒−𝑘𝑡
3º Passo) Multiplique os dois lados da equação diferencial pelo fator integrante:
𝑒−𝑘𝑡^ (𝐴´ − 𝑘𝐴) = 0. 𝑒−𝑘𝑡^ ⟹ 𝑒−𝑘𝑡. 𝐴´ − 𝑒−𝑘𝑡𝑘𝐴 = 0 ⟹ (𝐴. 𝑒−𝑘𝑡)′^ = 0
4º Passo) Integre ambos os membros da igualdade:
∫(𝐴. 𝑒−𝑘𝑡) ′ 𝑑𝑡 = ∫ 0 𝑑𝑡 ⟹ 𝐴. 𝑒−𝑘𝑡^ = 𝐶 ⟹ 𝐴 =
𝑒−𝑘𝑡^ ⟹^ 𝐴(𝑡) = 𝐶. 𝑒
𝑘𝑡
5º Passo) Considerando 𝐴(0) = 𝐴 0
𝐴(0) = 𝐴 0 ⟹ 𝐶. 𝑒𝑘.0^ = 𝐴 0 ⟹ 𝐶 = 𝐴 0 Substituindo na expressao
de A(t)
6º Passo) Determine k utilizando o dado: a meia-vida do carbono radioativo C-14 é de aproximadamente 5.730 anos, ou seja, 𝐴(5730) = 𝐴 20.
= 𝐴 0 𝑒𝑘.5730^ ⟹
= 𝑒𝑘.5730^ ⟹ 𝑘. 5730 = ln (
ln (^12 ) 5730
8º Passo) Cálculo da porcentagem da quantidade original de C-14 remanescente no tecido em 1988, sabendo que três laboratórios científicos e independentes analisaram o tecido e concluíram que o Sudário tinha aproximadamente 660 anos de idade, consistente com seu aparecimento histórico.
5º Passo) Determine a constante 𝑐 2 utilizando os dados: 𝑣(0) = 𝑣 0 = 300 𝑝é𝑠/𝑠 e 𝑔 = 32 𝑝é𝑠/𝑠^2
𝑣(0) = 300 ⟹ −𝑔. 0 + 𝑐 2 = 300 ⟹ 𝑐 2 = 300 𝑣(𝑡) = − 32. 𝑡 + 300
Resposta: A velocidade da bala é dada por 𝑣(𝑡) = −32. 𝑡 + 300.
Solução item b)
Altura máxima
Quando a bala atinge a altura máxima no instante 𝑡𝑚𝑎𝑥 , a velocidade é nula, ou seja, 𝑣(𝑡𝑚𝑎𝑥) = 0:
A expressão da altura pode ser obtida fazendo 𝑑𝑆𝑑𝑡 = 𝑣(𝑡) ou 𝑆′(𝑡) = 𝑣(𝑡):
𝑡^2
⟹ 𝑆(𝑡) = −16𝑡^2 + 300𝑡 + 𝐶
Temos que 𝑆(0) = 0 ⟹ 𝐶 = 0, substituindo em 𝑆(𝑡) temos 𝑆(𝑡) = −16𝑡^2 + 300𝑡.
A altura máxima é dada por 𝑆(𝑡𝑚𝑎𝑥):
𝑆(𝑡𝑚𝑎𝑥) = −16 𝑡𝑚𝑎𝑥^2 + 300 𝑡𝑚𝑎𝑥 = −16. 9,375^2 + 300. 9,375 = 1406,
Resposta: A altura máxima atingida é igual a 1406,25 pés.
Exercício 37 – p.95 - Quão alto? Resistência do Ar Linear
Repita o problema 36, mas agora suponha que a resistência do ar seja proporcional à velocidade instantânea. É claro que a altura máxima atingida pela bala deve ser menor que a obtida no item (b) do problema 36. Mostre isso supondo que a constante de proporcionalidade seja k=0,0025 (Sugestão: você terá de modificar ligeiramente a equação diferencial do problema 35)
Solução:
Dados: {
𝑣(0) = 300 𝑝é𝑠/𝑠 𝑔 = 32 𝑝é𝑠/𝑠 k = 0,
Força resultante na bala de canhão: 𝐹𝑟 = −𝑃 − 𝐹𝑎𝑡 Segunda Lei de Newton: 𝐹𝑟 = 𝑚. 𝑎 Temos que −𝑃 − 𝐹𝑎𝑡 = 𝑚. 𝑎 Substituindo 𝑎 = 𝑑𝑣 𝑑𝑡 , 𝑃 = 𝑚. 𝑔, 𝐹𝑎𝑡 = 𝑘. 𝑣 na equação acima temos:
−𝑚. 𝑔 − 𝑘. 𝑣 = 𝑚.
1º Passo) Equação diferencial na forma padrão:
𝑚 𝑚
𝑣 ′^ +
⟹ 𝑣 ′^ +
2º Passo) Fator Integrante: 𝐼(𝑡) = 𝑒∫^
𝑘 𝑚 𝑑𝑡^ = 𝑒
𝑘 𝑚 𝑡
3º Passo) Multiplique os dois lados da equação diferencial pelo fator integrante:
𝑒
𝑘 𝑚 𝑡^ (𝑣 ´ + 𝑘 𝑚
𝑘 𝑚 𝑡^ ⟹ 𝑒 𝑘 𝑚 𝑡. 𝑣 ´ + 𝑣. 𝑒 𝑘 𝑚 𝑡^ 𝑘 𝑚
𝑘 𝑚 𝑡^ ⟹ (𝑣. 𝑒 𝑘 𝑚 𝑡)
′ = −𝑔. 𝑒
𝑘 𝑚 𝑡
4º Passo) Integre os dois lados da igualdade:
𝑘 𝑚 𝑡)
′ 𝑑𝑡 = ∫ −𝑔. 𝑒
𝑘 𝑚 𝑡^ 𝑑𝑡 ⟹ 𝑣. 𝑒
𝑘 𝑚 𝑡^ = −𝑔 ∫ 𝑒
𝑘 𝑚 𝑡^ 𝑑𝑡 ⟹ 𝑣. 𝑒
𝑘 𝑚 𝑡^ = −𝑔
𝑘 𝑚 𝑡 𝑘 𝑚
𝑘 𝑚 𝑡^ = −𝑔 𝑚 𝑘 𝑒^
𝑘 𝑚 𝑡^ + 𝐶 ⟹ 𝑣 = −𝑔 𝑚 𝑘
𝑘 𝑚 𝑡 𝑒
𝑘 𝑚 𝑡
𝑘 𝑚 𝑡
⟹ 𝑣(𝑡) = −𝑔 𝑚𝑘 + 𝐶. 𝑒−^
𝑘 𝑚 𝑡
5º Passo) Substituindo os dados do problema:
𝑣(𝑡) = −
0, 16 𝑡^ ⟹ 𝑣(𝑡) = −204800 + 𝐶. 𝑒− 0,000156 𝑡
Dado: {Meia − vida do isótopo radioativo de chumbo Pb − 209 é 3,3 horas𝐴(0) = 1 𝑔
1º Passo) Equação diferencial na forma padrão:
𝐴′ = 𝑘𝐴 ⟹ 𝐴′ − 𝑘𝐴 = 0
2º Passo) Fator Integrante: 𝐼(𝑡) = 𝑒∫ −𝑘 𝑑𝑡^ = 𝑒−𝑘𝑡
3º Passo) Multiplique os dois membros da equação diferencial pelo fator integrante:
𝑒−𝑘𝑡^ (𝐴´ − 𝑘𝐴) = 0. 𝑒−𝑘𝑡^ ⟹ 𝑒−𝑘𝑡. 𝐴´ − 𝑒−𝑘𝑡𝑘𝐴 = 0 ⟹ (𝐴. 𝑒−𝑘𝑡)′^ = 0
4º Passo) Integre ambos os membros da igualdade:
∫(𝐴. 𝑒−𝑘𝑡)′𝑑𝑡 = ∫ 0 𝑑𝑡 ⟹ 𝐴. 𝑒−𝑘𝑡^ = 𝐶 ⟹ 𝐴 =
𝑒−𝑘𝑡^
5º Passo) Determine C utilizando a condição inicial 𝐴(0) = 1:
𝐴(0) = 1 ⟹ 1 = 𝐶. 𝑒𝑘.0^ ⟹ 𝐶 = 1
6º Passo) Determine k utilizando 𝐴(0) = 1 e a meia-vida do isótopo radioativo de chumbo Pb-209 que é igual a 3,3 horas:
Dizer que a meia-vida do isótopo radioativo de chumbo Pb-209 é igual a 3,3 horas, significa que leva 3, horas para que metade dos átomos de uma quantidade inicial de chumbo Pb-209 (𝐴(0) 2 ) se desintegre
ou se transforme em átomos de um outro elemento. Substituindo 𝐴(3,3) = 𝐴(0) 2 na equação acima temos:
𝐴(0) 2 = 𝑒
𝑘.3,3 ⟹^1
𝑘.3,3 (^) ⟹ 𝑘. 3,3 = ln (^1 2 ) ⟹ 𝑘 =
ln (^12 ) 3,3 ⟹^ 𝑘 ≅ −0,
7º Passo) Montagem da equação 𝐴(𝑡) substituindo 𝐶 = 1 e 𝑘 = −0,21:
𝐴(𝑡) = 𝐶. 𝑒𝑘𝑡^ ⟹ 𝐴(𝑡) = 1. 𝑒−0,21 𝑡^ ⟹ 𝐴(𝑡) = 𝑒−0,21 𝑡
8º Passo) Cálculo de quanto tempo levará para que 90% do chumbo decaia:
Dizer que 90% do chumbo decai significa que resta apenas 10% da massa inicial, ou seja, 10% de 1 grama que é igual a 0,1 grama.
0,1 = 𝑒−0,21 𝑡^ ⟹ −0,21 𝑡 = ln(0,1) ⟹ 𝑡 = ln(0,1) −0,21 ⟹ 𝑡 ≅ 11
Resposta: 90% do chumbo decai em aproximadamente 11 horas.
