Baixe Equações diferenciais e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Elétrica, somente na Docsity!
Solução de Equações Diferenciais
1. Introdução
Os modelos matemáticos de sistemas físicos são representados por uma ou mais equações diferenciais ordinárias. A determinação do comportamento de sistemas exige, desta forma, a solução de uma ou mais equações diferenciais. Nesta apostila são revisados de forma sucinta os principais tipos de equações diferenciais que são utilizadas no estudo de sistemas mecânicos sujeitos a vibrações. Maiores detalhes poderão ser encontrados na literatura citada em anexo, ou em qualquer uma das inúmeras obras disponíveis sobre o tema. Especial atenção será dada às equações lineares com coeficientes constantes do tipo homogênea e não-homogênea, para as quais sempre é possível encontrar uma solução analítica. Deve-se salientar que o^ estudo^ do^ comportamento^ dinâmico^ de^ qualquer^ sistema^ físico^ é absolutamente impossível sem o conhecimento básico de equações diferenciais. Sendo que o estudo e projeto de sistemas mecânicos fazem parte das tarefas fundamentais de um engenheiro, torna-se claro que o engenheiro deve obrigatoriamente possuir conhecimentos sólidos sobre equações diferenciais e sua solução. A seguir é dada uma definição do que seja uma equação diferencial.
Definição 1: Uma equação envolvendo uma função dependente de uma única variável e as suas derivadas é denominada de equação diferencial ordinária (EDO). A maior derivada da função que aparece na equação define a ordem da equação diferencial.
Por exemplo, uma equação diferencial ordinária de primeira ordem é dada na sua forma geral como:
a 1 ⋅ x&^ + a 0 ⋅ x =f ( t) onde x& dx dt
Na equação acima utilizou-se a conhecida notação x& dx dt
=. f(t) é uma uma função do tempo
t determinada (conhecida). Caso os coeficientes a 0 e a 1 que aparecem na equação (1) são
constantes, ou funções do tempo, a equação acima é denominada linear, caso contrário ela será denominada não-linear. Caso ambos os coeficientes (^) a 0 e (^) a 1 sejam constantes, a
equação será chamada de equação diferencial de primeira ordem linear com coeficientes constantes.
Da mesma forma, a equação que segue será chamada de equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes, caso os coeficientes a 0 , a 1 e a 3 sejam todos
constantes.
a 2 ⋅ x&&^ + a 1 ⋅ x&^ + a 0 ⋅ x =f t( ) &&x d x dt
2 2 (2)
A seguir são dados mais alguns exemplos de equações diferenciais ordinárias dos tipos discutidos até aqui.
a) Equação diferencial de primeira ordem, linear, com coeficientes constantes:
2 ⋅ &x + x = 0 (3)
b) Equação diferencial de segunda ordem, linear, com coeficientes constantes:
&&x (^) + 3 ⋅ x& (^) + 9 ⋅ x = 2 ⋅sen( t) (4)
c) Equação diferencial de segunda ordem linear:
&&x (^) + (^) ( 2 ⋅ t − (^1) ) ⋅ x& + 2 ⋅ x= 0 (5)
d) Equação diferencial de primeira ordem linear:
x^ &^ + sen( t ) ⋅ x = sen( 3 ⋅t) (6)
e) Equação diferencial de primeira ordem não-linear:
2 ⋅ &x + x 2 =t (7)
f) Equação diferencial de segunda ordem não-linear:
&&x (^) + (^) ( x + (^1) ) ⋅ x& + 9 ⋅ x= 0 (8)
2. Formas Padronizadas de Equações de Primeira e Segunda Ordem
A seguir são apresentadas as formas segundo as quais as equações diferenciais lineares de primeira e segunda ordem são encontradas em casos de interesse para o estudo de sistemas físicos. A forma padronizada permite uma interpretação mais clara das várias grandezas físicas envolvidas, tais como constantes de tempo e freqüências naturais.
Definição 2: Uma equação diferencial de primeira ordem linear com coeficientes constantes é expressa na forma padrão como:
x f(t )
x ⋅ = τ
& (^) + τ > 0 (9)
A constante τ é chamada de constante de tempo, ela fornece uma medida da rapidez com que o sistema reage a uma determinada entrada (por exemplo, um distúrbio representado por um impulso). A forma padrão (9) é comum a uma série de fenômenos físicos, os quais podem ser de natureza bastante distinta: elétrica, química, mecânica, etc....
Exemplo:
Dividindo-se toda a equação anterior por m, obtém-se a forma padronizada:
&&x b & ( ) m
x k m
x f t m
Comparando-se a equação (14) com (12), obtém-se as seguintes relações para os parâmetros ξ e ω (^) n :
ωn k m
(^2) = ⇒ (^) ω n
k m
2 ⋅ ξ ω⋅ (^) n=^ b m
⇒ ξ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
b m
m k
b m k
(16)
3. Equações Diferenciais Ordinárias, Lineares com Coeficientes Constantes
Uma das principais propriedades das equações diferenciais ordinárias (EDO), lineares e com coeficientes constantes é que elas sempre possuem uma solução analítica que pode ser encontrada de forma sistemática. No entanto, nem todas as equações diferenciais possuem esta propriedades, existindo equações que não possuem solução na forma analítica, sendo que a sua solução deve ser encontrada de forma numérica. Esta propriedade é portanto válida apenas para as EDO lineares e com coeficientes constantes, não sendo válida para sistemas lineares com coeficientes variáveis no tempo.( Uma exceção constitui-se o caso de equações de primeira ordem com coeficientes, para as quais sempre existe uma solução analítica).
EDO lineares com coeficientes constantes representam sistemas com parâmetros fixos, ou seja sistemas em que os parâmetros não variam ao longo do tempo.
3.1 Equações Homogêneas
Uma EDO linear, com coeficientes constantes de ordem n e homogênea pode ser expressa na seguinte forma geral:
k
m
x(t) b
f(t)
Posição de equilíbrio
figura 2 - Exemplo de Sistema Mecânico de Segunda Ordem
x (^ n)^ a x (^ )^ a x (^ ) a x a x a x a x n
n n
- ⋅ + ⋅ n + + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = −
− −
− 1
1 2
2 L 3 &&&^2 &&^1 &^0 0 (17)
Na equação anterior a 0 , a 1 , a 2 , a 3 , K a (^) n− 1 são constantes e x (^ ) d x dt
n n = (^) n.
Deve-se atentar que neste caso o lado direito é zero, ou seja não existe função de entrada no sistema. Neste caso a resposta do sistema é baseada apenas nas condições iniciais, as quais fisicamente estão associadas à energia armazenada no sistema no instante inicial.
A fim de se determinar a solução, assume-se inicialmente que a solução da equação (17) é da forma:
x t ( ) = e λ^ ⋅t (18)
onde λ é uma constante a ser determinada. Substituindo expressão (18) em (17), obtém-se:
( λn + a (^) n − 1 ⋅ λ n^ −^1 + a (^) n − 2 ⋅ λ n^ −^2 + L + a 3 ⋅ λ 3 + a 2 ⋅ λ^2 + a 1 ⋅ λ + a 0 )⋅ eλ⋅t= 0 (19)
Uma vez que e λ⋅t^ é sempre diferente de zero, a equação acima será verdadeira quando a expressão entre parênteses for igual a zero, resultando:
λ n^ + a (^) n − 1 ⋅ λ n^ −^1 + a (^) n − 2 ⋅ λ n−^2 + L + a 3 ⋅λ 3 + a 2 ⋅ λ 2 + a 1 ⋅ λ+ a 0 = 0 (20)
A equação (20) é chamada de equação característica ou equação auxiliar e pode ser escrita diretamente a partir da equação (17). Trata-se de um polinômio de grau n, o qual possui n raízes. Por este motivo a equação (20) também é chamada de polinômio característico, denominação que será usada doravante. Denominando-se as raízes de (2) por λ 1 , λ 2 , λ 3 , K λn obtém-se uma solução para (17) correspondente a cada uma das raízes de
(20). As soluções possíveis, também chamadas de soluções fundamentais, serão dadas por:
x 1 ( t) = e λ^1 ⋅t, (^) x 2 ( )t = e λ^2 ⋅t, x 3 ( t) = e λ^3 ⋅t, ....... x (^) n ( t) = eλ^ n⋅t (21)
Caso todas as soluções acima sejam linearmente independentes, a solução geral da equação diferencial homogênea (17) é dada pela seguinte expressão, a qual é uma combinação linear das soluções fundamentais:
x (^) h ( t) = K 1 ⋅ e λ^1 ⋅^ t^ + K 2 ⋅ e λ^2 ⋅t^ + K 3 ⋅ e λ^3 ⋅t^ + K + K (^) n ⋅eλn⋅t (22)
Pode-se facilmente verificar que (22) é realmente a solução de (17) substituindo-a em (22).
Na expressão (22) foi assumido que todas as raízes do polinômio característico são distintas. Caso o polinômio possua raízes iguais, como por exemplo λ 1 = λ 2 , deve-se então
assumir como soluções fundamentais x (^1) ( t (^) )= e λ^1 ⋅te x (^2) ( t) = t ⋅ e λ^2 ⋅t. Neste caso a solução
será dada por:
x (^) h ( t) = K 1 ⋅ e λ^1 ⋅^ t^ + K 2 ⋅ t ⋅ e λ^2 ⋅^ t^ + K 3 ⋅ e λ^3 ⋅t^ + K + K (^) n ⋅eλn⋅t (23)
x (^) h ( t) = K 1 ⋅ e −t^ + K 2 ⋅e− ⋅^2 t (27)
As constantes K 1 K 2 e serão determinadas utilizando-se as condições iniciais.
Exemplo 2: Encontre a solução da equação diferencial homogênea dada por &&&x + 4 ⋅ &&x (^) + 5 ⋅ x& + 2 ⋅ x= 0. solução: O polinômio característico é dado por λ^3 +^4 ⋅^ λ^2 +^5 ⋅^ λ+^2 =^0 , cujas raízes são λ 1 = − 2 , λ 2 = λ 3 = − 1. Neste caso existe uma raiz repetida (m=2) e a solução será, de acordo com a equação (24):
x (^) h ( t) = K 1 ⋅ e − ⋅^2 t^ + K 2 ⋅ e −t^ + K 3 ⋅ t ⋅e−t (28)
As constantes K 1 , K 2 e K 3 serão determinadas utilizando-se as condições iniciais.
Exemplo 3: Encontre a solução da equação diferencial homogênea dada por &&&x + 5 ⋅ &&x (^) + 8 ⋅ x& + 6 ⋅ x= 0. solução: O polinômio característico é dado por λ 3 + 5 ⋅ λ^2 + 8 ⋅ λ+ 6 = 0 , cujas raízes são λ 1 = − 3 , λ 2 = − 1 + j e λ 3 = − 1 + j. Neste caso, além de uma raiz real, existem duas raízes complexas conjugadas. De acord o coma equação (22), a solução será dada por:
x (^) h ( t) = K 1 ⋅ e − ⋅^3 t^ + K 2 ⋅ e (^ − +^1 j t)⋅^ + K 3 ⋅e(^ − −^1 j t^ )⋅^ (29)
Reformulando de acordo com a equação (25) pode-se também expressar a equação (29) como:
x (^) h ( t) = K 1 ⋅ e − ⋅^3 t^ + e −t[ A ⋅ cos( )t + B ⋅sin( )t] (30)
Alternativamente, de acordo com a equação (26), pode-se também expressar a equação (29) como:
x (^) h ( t) = K 1 ⋅ e − ⋅^3 t^ + K ⋅ e −tcos(t +φ) (31)
As constante que aparecem na solução serão determinadas a partir das condições iniciais.
3.2 Equações Não-Homogêneas
Uma equação de ordem n do tipo linear não homogênea e com coeficientes constantes é geralmente expressa da seguinte forma:
x (^ n^ )^ a x (^ )^ a x (^ ) a x a x a x a x f t n
n n
- ⋅ + ⋅ n + + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = −
− −
− 1
1 2
2 L 3 &&&^2 &&^1 &^0 ( ) (32)
Os coeficientes a 0 , a 1 , a 2 , a 3 , K a (^) n− 1 são constantes e a função f(t) é uma função dada e
conhecida (prescrita, dada, determinada), denominada também de função de entrada (na literatura em inglês também conhecida com forcing function). A solução geral da equação (32) é obtida a partir da superposição de duas soluções: a solução homogênea e a solução particular. A solução homogênea é a solução que corresponde ao caso em que f(t) é identicamente zero, a qual já foi determinada anteriormente e denominada de x (^) h ( t). Por
sua vez, a solução particular é denominada de x^ p (t^ )^ e será determinada aqui. A solução
geral da equação diferencial não-homogênea é portanto x ( t ) = x (^) h (t ) + x (^) p( t).
Para a determinação da solução particular existe uma série de métodos, sendo o mais conhecido e utilizado o Método dos Coeficientes Indeterminados. Segundo este método a natureza da solução particular é determinada baseando-se na forma da função de entrada f(t) e na forma da solução homogênea. Este método só é aplicável quando f(t) possui um número finito de derivadas linearmente independentes. Na prática, a aplicabilidade do método se resume a funções de entrada do tipo polinomial, seno, cosseno, exponencial e soma e produto destas funções. Estas funções são as mais usuais em engenharia, o que explica a preferência pelo método. A determinação da solução particular é feita de acordo com os passos que seguem:
Passo 1 Para cada termo de f(t), escolha um termo para a solução particular de acordo com a tabela 1. A solução particular será uma combinação linear destes termos. Considere ainda os seguintes casos: caso 1 : se nenhum dos termos escolhidos da tabela 1 coincide com a solução homogênea, a solução particular não deve ser modificada. caso 2: se algum dos termos escolhidos na tabela 1 coincide com um termo da solução homogênea, o termo da solução particular dever ser modificado para t ⋅ x (^) p(t ) (^). Caso o termo coincidente for uma raiz repetida com multiplicidade m, a solução particular correspondente a este termo deve ser modificada para t m^ ⋅ x (^) p( ) .t
λ + 2 = 0 ⇒ λ = − 2
Desta forma, a solução homogênea será x (^) h ( )t = K ⋅ e− ⋅^2 t. Como a função do lado
direito é um polinômio de primeiro grau, a solução particular será da forma x (^) p (t ) = A t⋅ + B, de acordo com a primeira linha da tabela 1. Verifica-se também
que a solução particular não contém nenhum termo que coincide com algum termo da solução homogênea, não sendo portanto necessário modificá-la. As constantes A e B serão determinadas inserindo-se a solução particular na equação (33), resultando então:
2 ⋅ A ⋅ t + ( 2 ⋅ A + B ) =t ⇒^
A
A B
A
B
Assim, a solução particular será x (^) p ( )t = 1 ⋅ t− 2
e a solução geral será dada por:
x t ( ) = x (^) h ( )t + x (^) p ( )t = ⋅ t − + K ⋅ e− ⋅t
(^2) (34)
A constante K será determinada a partir da aplicação da condição inicial à equação (34):
x ( 0 )^1 K e K 2
= ⋅ − + ⋅ −2 0^ ⋅^ = − + = 1 ⇒ K = 5
A solução para equação diferencial dada e sujeita à condição inicial x(0)=1 será, finalmente a seguinte:
x t ( ) = ⋅ t − + ⋅ e − ⋅t
(^2) (35)
Pode-se facilmente verificar que para um tempo bastante grande a solução da
equação será dada apenas por x (^) p ( )t = 1 ⋅ t− 2
. A solução homogênea possui uma
amplitude que decai com o tempo.
Exemplo 2:
Resolva a seguinte equação diferencial
&&x (^) + 3 ⋅ &x + 2 ⋅ x = 2 ⋅ e −^4 ⋅t (36)
sujeita às condições iniciais x( ) 0 = 1 e (^) x&( 0 )= − 1.
solução:
O polinômio característico e as raízes associadas são:
λ 2 + 3 ⋅ λ+ 2 = 0 ⇒ λ 1 = − 1 e λ 2 = − 2
De acordo com a expressão (22), a solução homogênea será então:
x (^) h ( )t = K 1 ⋅ e −^ t^ + K 2 ⋅e− ⋅^2 t (37)
A função de entrada é do tipo mostrado na segunda linha da tabela 1, ela terá portanto a forma x (^) p ( )t = K ⋅ e− ⋅^4 t. Uma vez que esta função exponencial não
coincide com nenhum termo da solução homogênea, não se torna necessário modificá-la. Substituindo-se x (^) p (t ) na equação diferencial (36) pode-se determinar
a constante K, conforme segue:
16 ⋅ K ⋅ e − ⋅^4 t^ − 12 ⋅ K ⋅ e −^4 ⋅t^ + 2 ⋅ K ⋅ e − ⋅^4 t^ = 2 ⋅e− ⋅^4 t^ ⇒ 6 ⋅ K ⋅ e− 4 ⋅^ t^ = 2 ⋅e−^4 ⋅t
Da última equação resulta (^) K = 1 3
sendo solução particular então expressa por
x (^) p ( )t = 1 ⋅ e− ⋅t 3
(^4) e a solução geral expressa por:
x t ( ) = x (^) h ( )t + x (^) p ( )t = K 1 ⋅ e −t^ + K 2 ⋅ e − ⋅^2 t^ + ⋅e−^4 ⋅t
(38)
Aplicando-se as duas condições iniciais à solução geral pode-se determinar as constantes K 1 e K 2. Aplicando-se a condição x( 0 )= 1 resulta:
x ( 0 ) K e K e 1 e K K 3
= 1 ⋅ −^0 + 2 ⋅ − ⋅2 0^ + ⋅ −^ 4 0⋅^ = 1 + 2 + = 1 (39)
Para a aplicação da segunda condição &x (^) ( 0 ) = − 1 deve-se primeiro derivar a solução
geral :
x t^ &( ) = −K 1 ⋅ e −^ t^ − 2 ⋅ K 2 ⋅ e − ⋅^2 t^ − 4 ⋅e−^4 ⋅t 3
x^ &( 0 ) K e 2 K e 4 e K K 3
= − 1 ⋅ −^0 − ⋅ 2 ⋅ − ⋅2 0^ − ⋅ −4 0^ ⋅^ = − 1 − ⋅ 2 − = − 1 (40)
Resolvendo-se o sistema de equações formado por (39) e (40) resulta K (^1)
= e
K 2 = − 1. Desta forma para a solução geral obtém-se:
x t ( ) = ⋅ e −^ t^ − e − ⋅^ t^ + ⋅e−^ ⋅t
(^2 4) (41)
Exemplo 3:
Resolva a equação diferencial
Conforme pode-se facilmente verificar, o sistema se encontra em ressonância e a amplitude da resposta tende ao infinito conforme o tempo aumenta. Trata-se de um sistema de segunda ordem não-amortecido, onde a freqüência da função de entrada coincide com a freqüência natural do sistema.
Exemplo 4:
Encontre a solução geral da equação
x&&^ + 4 ⋅ x& + 5 ⋅ x = e −t⋅sen t ( ) (45)
sujeita às condições inicias x( 0 ) = 0. 2 e x&^ ( 0 )= 0.
solução:
O polinômio característico e as raízes correspondentes são dados por:
λ 2 + 4 ⋅ λ+ 5 = 0 ⇒ (^) λ 1 = − 2 + j e (^) λ 2 = − 2 − j
De acordo com a equação (26), a solução homogênea para o caso de raízes complexas conjugadas pode ser dada como:
x (^) h ( )t = e − ⋅^2 t⋅ (^) [ K 1 ⋅ cos ( t) + K 2 ⋅sen t( )]
A função de entrada corresponde à forma mostrada na quinta coluna da tabela 1. A solução particular será portanto do tipo
x (^) p ( )t = e −t^ ⋅ (^) [ A ⋅ cos ( t (^) ) + B sen t⋅ ( )] (46)
Uma vez que nenhum dos termos da solução particular corresponde a termos da solução homogênea, não será necessário modificá-la. Inserindo-se x (^) p ( t) na equação
diferencial original, obtém-se:
( A^ +^2 ⋅^ B)^ ⋅^ e^ −t^ ⋅^ cos(^ t)^ +^ ( B^ −^2 ⋅^ A^ ) ⋅^ e^ −^ t^ ⋅^ sen t(^ )^ =^ e^ −t⋅sen t(^ ) ⇒^
A B
B A
Desta forma resulta A = −
e B =
. Com estes valores a equação particular
torna-se x (^) p ( )t = ⋅ e −t⋅ (^) [ − ⋅ cos( t) +sen t( )]
2 e solução geral será:
[ (^ )^ ( )] [ ( )^ (^ )]
x t x t x t
x t e K t K sen t e t sen t
h p t t
( ) cos cos
= +
= −^2 ⋅^ ⋅ 1 ⋅ + 2 ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ +
(47)
Aplicando-se as condições iniciais da mesma forma que no exemplo anterior resultará K 1 = 0. 6 e K 2 = 1. Desta forma a solução geral será dada por:
x t ( ) = e − ⋅^2 t^ ⋅ (^) [ 0 6. ⋅ cos ( t) + sen t( ) (^) ] + 1 ⋅ e −t⋅ −[ ⋅ cos( )t +sen t( )] 5
Finalmente, deve-se se notar que quando a resposta do sistema tende a crescer em amplitude conforme o tempo aumenta, o sistema é dito instável. Pelo que foi visto, isto acontecerá sempre que alguma raiz do polinômio característico possuir uma parte real positiva, levando x (^) h (t ) a aumentar indefinidamente para tempos crescentes. Por outro lado,
sistemas em que todas as raízes possuem parte real negativa são estáveis, uma vez que x (^) h ( t) (^) tende a zero para tempos crescentes. Raízes com partes reais igual a zero levam a
respostas com amplitudes constantes (oscilações com amplitudes constantes), caracterizando em geral sistemas estáveis. Este é o caso, por exemplo, de um sistema mola- massa sem amortecimento. Raízes com parte real igual a zero e repetidas fazem com que termos do tipo (^) t n^ ⋅ cos( ω ⋅ t+φ) apareçam na resposta e caracterizam sistemas instáveis.
Sistemas estáveis exigem, portanto, que as raízes do polinômio característico possuam todas parte real negativa e que as raízes puramente imaginárias sejam simples. Salienta-se que o estudo da estabilidade de sistemas é um tema complexo, especialmente quando se trata de sistemas variáveis no tempo e do tipo não-linear; a discussão aqui apresentada se destina meramente a introduzir o tema no contexto de equações diferenciais.
4. Problemas Propostos
- Responda se as seguintes equações são lineares ou não-lineares:
a) x&^ +^ x^ =^ e^ −t b) x& + x = e −x c) x&&^ + x&^ + x 3 =sen t( )
- O movimento de rotação de um sistema mecânico sujeito a um torque senoidal é descrito pela equação 0. 25 ⋅ x&^ + x = sen( 2 ⋅t). Expresse a equação diferencial na forma padronizada e
determine a constante de tempo.
- O modelo matemático de um sistema mecânico é descrito pela equação diferencial 2 ⋅ &&x^ + 6 ⋅ x&^ + 8 ⋅ x =f( t) , onde f(t) é uma função conhecida do tempo. Expresse a equação na
forma padronizada e determine a freqüência natural não-amortecida e a constante de amortecimento.
- Determine a solução das equações diferenciais homogêneas que seguem. Utilize as condições iniciais para a determinação das constantes.
a) x&&^ + 2 ⋅ x& + 5 ⋅ x= (^0) x( 0 ) = 0 e (^) x&( 0 )= 2
b) x&&^ + 3 ⋅ x&= (^0) x( 0 ) = 0 e (^) x&( 0 ) = − 3
c) &&&x^ +^4 ⋅^ x&=^0 x( 0 ) = 1 , x&( 0 )= 2 e x&&( 0 )= 0
- Determine a solução geral das equações diferenciais que seguem utilizando o Método dos
