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CAPITULO 1 Introdução Muitas leis da Natureza são expressas matematicamente por meio de identi- dades que relacionam uma função com as suas derivadas, Tais identidades são chamadas eguações diferenciais c este livro é dedicado ao seu estudo, Por exemplo, a massa x(t) de uma amostra de material radiativo (urânio, di- gamos) a cada instante t segue uma lei da forma (11) a'(t) = —ca(t), onde x'(t) é a derivada da função x no tempo t, e c é uma constante positiva que só depende do material cm causa. Esta identidade significa que à velocidade de decaimento radiativo a cada instante é proporcional à massa existente nesse instante, c representando a constante de proporcionalidade. De modo semelhante, a posição z(t) de um pêndulo sujeito a um campo gravi- tacional constante satisfaz uma relação da forma (1.2) (= 4 sen z(t), onde «”(t) é a segunda derivada de z no momento t, e as constantes | e q são parâmetros físicos do pêndulo e do campo gravitacional, respectivamente. O estudo das equações diferenciais é uma área clássica da Matemática, com grande riqueza de resultados teóricos, e aplicações que permeiam toda à ciência e tecnolo; Ao longo do livro buscaremos colocar cm relevo tanto os aspectos conceituais da teoria quanto o seu potencial de aplicação prática, com um mínimo de pré-requisitos. Tratarcmos quase exclusivamente do caso em que a variável independente t é escalar, ou seja, os seus valores são números reais, Nesse contexto fala-se, por veze: em equações diferenciais ordinárias. O caso em que t é vetorial, t = (ty,...,tm), É o objeto da teoria das equações diferenciais parciais, a que faremos apenas breves alusó Por outro lado, a função x pode scr vetorial: consideraremos x(t) com valores cm um espaço euclidiano Rº qualquer c, nos capítulos finais, até mesmo em variedades diferenciáveis. Nosso ponto de partida neste capítulo será definir de modo amplo c preciso o que entendemos por equação diferencial, Em seguida, discutiremos os objc desta teoria c introduziremos preliminarmente algumas de suas ideias fundamentais. Para isso nos valeremos de diversos exemplos simples mas significativos, incluindo (1.1) e (1.2). 1.1. Equações diferenciais e suas soluçõ Chamamos equação diferencial (ordinária) qualquer expre: (1.3) 28 = (tea, 280), 1 2 1. INTRODUÇÃO onde F:U — Rº é uma função contínua definida num abertoU C RI a variável t toma valores em R e as variáveis 2,2D,...,28-D « 208) tomam valores em Rº. Os inteiros k > 1 cd > 1 são chamados, respectivamente, ordem c dimensão da equação diferencial. Frequentemente, escreveremos x” e 2” no lugar de 2D e q, respectivamente. Por definição, uma solução da equa classe C* tal que o (1.3) é uma aplicação 7: 1 > Rº de (1) 1 é um intervalo aberto; dy (2) O vetor v(o) = ((0, TO): dy (3) “ao (O) = F(u(t)) para todo te T. Em linguagem simples, poderíamos dizer que a meta da teoria das equações diferenciais é. dada uma equação, encontrar as suas soluções. Na verdade, veremos daqui a pouco que esta formulação é demasiado ingênua e precisa ser ajustada, Antes disso, precisamos motivar o estudo destes objetos: vamos explicar, por meio de exemplos, que equações diferenciais estão naturalmente associadas à modela- gem matemática de muitos fenômenos, naturais ou art) is, de tal modo que a compreensão do modo como tais fenômenos evoluem passa por compreendermos as soluções da equação. dr-1 qa (9) está cm U paratodot ET; ExtMpLO 1.1 (Decaimento radiativo). Isótopos radiativos, tais como o Césio 137 - utilizado em radioterapia - « o Urânio 235 - usado em explosivos nucleares - apresentam núcleos atômicos ins s, que se transmutam cru núcleos mais está emitindo radiação no processo. Este fenômeno é regido pela seguinte lei física: e taxa de decuimento radiativo (ow « quantidade do isótopo radiativo que sofre transmutação por unidade de tempo) é proporcional à quantidade do isótopo stente à cada momento, a(t) = massa do isótopo radiativo existente no momento t. Então, a taxa de decaimemo radialivo corresponde à derivada de x relalivamente ao tempo t. Portanto, a lei física que acabamos de enunciar pode ser modelada matematicamente da seguinte forma: (1.4) q = onde c é uma constante positiva que depende do isótopo cm questão. O sinal negativo traduz O fato de que, enquanto que a massa x é positiva, a sua derivada é negativa: a massa do isótopo radiativo diminui ao longo do tempo, devido à transmntação em outros isótopos. Observe que (1.4) é uma equação diferencial de ordem k = 1 e dimensão d = 1. Observe também que neste caso a [unção F(t,2) = -cz não depende da variável t. Em geral, sempre que o valor de F(t, x, 2(D,...,zt-D) não depende da variável t, dizemos que a equação diferencial (1.3) é cutônoma. E muito fácil verificar que toda função 7: R > R da forma “(t) = ae”, com a€eER, é solução da equação (1.1). O que não é tão fácil mostrar, mas é ainda verdadeiro, como veremos, é que toda solução de (1.1) é desta forma. Esta família Agora observe que, pela 2º lei de Newton, a força f é igual ao produto da massa m pela aceleração da partícula pontual, ou seja: f=ma”, onde x” representa a segunda derivada da deforriação 7. Juntando as duas igual- dades anteriores obtemos J c (1.5) q =-—a, m unia equação diferencial de ordem 2 « dimensão 1 que chamaremos oscilador harmô- nico. É fácil exibir algumas soluções desta equação, por exemplo: on (E) e lt)=cos (V=º) ,tER. Agora, não é difícil verificar que a equação (1.5) tem as seguintes propriedades: m(t)=s e a soma de duas quaisquer soluções também é uma solução; e o produto de qualquer solução por um número real também é uma solução. Em outras palavras, o conjunto das soluções é um espaço vetorial, Quando isto acontece, dizemos que a equação diferencial é finear. Então, dados quaisquer 1mú- meros a,b ER, a função c c (1.6) Y:RS5R, t)=asen ( m ) boos ( =) é solução de (1.5). Na verdade, segue da teoria que desenvolveremos posteriormente neste livro que toda solução é desta forma, Uma consequência interessante é que o movimento da mola é sempre periódico, com período T = 27/m/c. 1.2. Teoria qualitativa das equações diferenciais O nosso próximo exemplo também vem da Mecânica Clássica, mas a equação diferencial correspondente apresenta características bem diferentes: ela não é linear e, por isso, 0 problema de encontrar as suas soluções é bem mais delicado. ExEMPLO 1.3 (Pêndulo harmônico). Consideremos um sistema mecânico tal como deserito na Figura 1.2: uma partícula pontual de massa m está suspensa por uma haste que tem a sua outra extremidade fixada; a haste não tem massa, O seu comprimento | é constante e ela pode apenas rodar em torno de seu ponto de apoio; o sistema está sujcito a um campo gravilacional constante. A lei de movimento deste sistema pode ser deduzida da 2º lei de Newton, da seguinte forma. Primeiramente, considere: «(t) = ângulo da haste relativamente à vertical no momento t. Observe que o deslocamento linear da partícula pontual relativamente à posição (vertical) de equilíbrio é dado por lx. Portanto, a lei de Newton afirma que f=m(lz)” = mia”, onde f é a força que age sobre a massa pontual. Que força é esta? De fato, temos duas forças neste problema. À primeira delas é o peso P, resultante da ação da gravidade, o qual é proporcional à massa m: P=mgy, S DIFERENCIAIS 1.2, LEORIA QUALITATIVA DAS EQUAÇ / Figura 1.2. Num pêndulo harmônico atuam duas forças: O peso catração da haste; esta última anula a componente radial do peso. onde g é uma constante física que mede a intensidade do campo gravitacional. 4 outra força, que chamamos tração, resulta da coesão entre as partículas que formam a haste c tem como efeito que o comprimento | da mesma permancça constante. Sejam P, e P;, respectivamente, as componentes radial e tangencial do peso, tais como estão descritas na Figura 1.2. Um argumento simples, usando semelhança de triângulos, dá que: P.=Pcosz e P=-Pseng. O sinal — na segunda igualdade traduz o fato de que a força P, aponta cm sentido contrário ao deslocamento com relação à vertical. À tração anula a componente radial do peso, que provocaria varia: primento da haste. Portanto, a força total atuando sobre a partícula tangencial P,. Juntando estas observações, vemos que: ões no com- componente —-mgsenz = —Psenz = P=mla”. Portanto, o movimento do pêndulo harmônico é descrito pela seguimte equação diferencial de ordem 2 c dimensão 1: (1.7) q" — 4 sent. Não é difícil encontrar algumas soluções espe: ais desta equação. Por exemplo: mn: R>R, Yh(t)=n7 paratodot ER é solução de (1.7) para qualquer n € Z. Note que todas estas funções são cons- tantes. Dizemos que os respectivos valores nt são pontos estacionários da equi diferencial. É bem mais difícil exibir soluções não estacionárias, até porque a maioria não pode ser escrita usando as funções que encontramos normalmente nos cursos de Cáleulo ou Análise: cm geral, as soluções de (1.7) não são funções clementares, isto é, não podem ser definidas a partir de funções polinormiais, exponencial, trigono- métric; s, € suas inversas, usando um múmero finito de operações aritméticas (+, —, x, +) e de comp s de funções. 1.2 LEORIA QUALITATIVA DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 7 Naturalmente, é pela parte qualitativa que deve iniciar-se 0 es- tudo de tada função e é por isso que o problema que se coloca em primeiro lagar é o seguinte: di Construir as curvos definidas pelus equag enciais. lisse estudo qualitativo, quando estiver completo, será da maior utilidade para o cálculo numérico da função, tanto mais que já conhe- cemos séries convergentes que represcntam à função numa dada região do plano, e que a principal dificuldade que se coloca é encontrar um guia confiável para passar de uma região onde a função é representada por uma série, a outra região do plano onde ela se exprime por meio de uma série diferente. Mais ainda, esse estudo qualitativo terá, por si só, um interesse de primeira ordem. De fato, diversas questões muito importantes da Análise ou da Mecânica podem ser remetidas a cle. Consideremos, por exemplo, o problema dos três corpos. Não é natural perguntar se um dos corpos permanecerá para sempre numa certa região do céu ou se, pelo contrário, cle se afastará indefinidamente? Se a distância. entre dois dos corpos aumentará ou diminuirá infinitamente ou, pelo contrário, permancecrá entre certos limites? Não podemos formular inúmeras questões deste tipo, que estarão todas resolvidas quando soubermos construir qnantitativamente as trajetórias dos Lrês cor- pos? E, considerando um número maior de corpos, o que é a questão da invariabilidade dos clementos dos planetas senão uma verdadeira questão de Geometria, qualitativa, já que mostrar que o cixo maior não tem variações seculares é provar que cle oscila permanentemente entre certos limites? Este éo vi sto campo de descobertas que se abre perante os gcô- metras. O exemplo elementar a seguir ilustra o fato de que, mesmo nos poucos casos em que é possível encontrar expressões explícitas para as soluções, estas podem ser tão complicadas que acabem não sendo muito úteis para compreender como as soluções realmente se comportam. ExumpLo L4. Considere a equação diferencial autônoma de ordem 1 e dimen- são 1 dada po) (1.8) a! = F(t,2) onde F(t,2) = 2-1). Este é um caso em que a expressão das soluções pode ser obtida explicitamente, usando o chamado método du separação das variáveis (veja o Tixercício 1.1). Teste método pode ser apresentado da seguinte forma sugestiva, ainda que não muito rigorosa. Usando a notação 7º = dz/dt, à equação (1.8) torna-se dz ET a(a — 1) ou, “equivalentemente”, Togo, “integrando” os dois lados da última igualdade: a. 5 fa & 1. INTRODUÇÃO Temos que fdt = + constante. Por outro lado, dz 1 1 [5 = / (— — 5) dr = log|z — 1| — log || + constante z>1 = log | + constante. Portanto, (1.9) significa que z log =t+couseja z onde c é uma constante real arbitrária. Resolvendo esta igualdade cm ordem a x encontramos as funções: 1/(1-e+) parat E (-00,-c), a(t)=4 1/(1-e+) parat e (—c,+o0), 1/(1+e*) parateR. Substituindo estas expressões em (1.8) podemos conferir que estas funções são, de fato soluções da equação diferencial. A Figura 1.3 apresenta os gráficos destas funções para diferentes valores de c. Mas existem outras soluções (a saber, as funções constantes iguais à O c a 1), que este método não permite identificar. HD=1/0 Se!) ! lj PAD =1/(-2e 1 1 3 1 1 ' Figura 1.3. Soluções de (1.8) para diferentes valores do parâmetro c. Por outro lado, podemos obter uma boa descrição qualitativa do comporta- mento das soluções de (1,8) de modo bem mais rápido, sem ter que passar por estes sulos. Comece por observar que: F(t,0)=0paratodoteR e F(t,1)=0 para todo te R. Isto significa que as funções constantes iguais a 0 c a 1 são soluções da equação (1.8). Em seguida, note que se x € (0,1) então F(t,x) < O paratodot ER, e F(t,x)>0paratodoteRsez>1Iouz 1 em equações de ordem 1, à custa de aumentar a sua dimensão. Agora observe que divF = 0,y— S 9,senz é identicamente nulo. Portanto, o Teorema de Recorrência pode ser aplicado neste caso. Na verdade, todos temos experiência empírica de dois tipos de movimento do pêndulo que correspondem aos dois tipos de solução previstos pelo teorema: (1) pequenas oscilações em todo do ponto de equilíbrio estável (ou seja, da al com a haste apontando para baixo) repetem-se periodica- é este fato que está na origem da construção de praticamente todos os relógios analógicos; cm particular, estes movimentos são recorrentes; (ii) sc o pêndulo estiver se deslocando com velocidade suficientemente grande, cle subirá até alcançar 0 ponto de equilíbrio instável (ou seja, da po: vertical com a haste apontando para cima) ainda com velocidade não nula, de tal forma que continuará rodando no mesmo sentido; neste tipo de movimento o pêndulo roda indefinidamente, sempre no mesmo sentido, de tal modo que o ângulo z(t) vai para innito quando t > oo. 1.3. ANALISE NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ER Ficura 1.5. Representação gráfica do campo de vetores P(x,y) = (y,— sen). 1.3. Análise numérica de equações diferenciais Como vimos anteriormente, para Poincaré a análise qualitativa de uia cqua- cão diferencial além de ser muito importante em si incsna, já que muitas das questões que nos interessam são de natureza qualitativa, também serve como pre- Tádio e guia para uma análise quantitativa que, na grande maioria dos casos, scr necessariamente numérica. Na verdade, o posterior advento e descnvoly nto dos computadores, aumentou o poder da análise numérica como instrumento para a compreensão de equações diferenciais muito além do que o próprio Poincaré pode- ria ter previsto. À seguir apresentamos dois exemplos simples mas que ilustram bem a utilidade dos métodos numéricos. Txumrro 1.6, À Figura 1.5 9/1=1, ou seja: corresponde à eguas » (1.12), no caso em que (1.13) (x,y)! = F(x,y) com F(x,y) = (y, — sena). O que a figura apresenta é a direção co sentido deste campo de vetores F(x,y) para diversos pontos (x,y) € [-2m, 27) x [-2, 2]. Como as soluções y(t) = (x(t), y(t)) da equação diferencial (1.13) são curvas tangentes ao campo de vetores em todo ponto (é isso que a equação significa!), esta representação permite obter uma boa ideia do comportamento qualitativo das soluções. A Pigura 1.5 sugere, por exemplo, que: com valores próximos da origem são curvas perió- dicas, ou seja, curvas tais que existe T > 0 satisfazendo y(t + T) = «(t) para todo t E R; em particular, tais soluções seriam recorrentes; (ii) as soluções da equação com valores de y grandes, positivos ou negativos, são curvas abertas; a coordenada y(t) permanece limitada mas a(t) vai para innito quando t > 00. Como veremos, é possível comprovar por meio de argumentos rigorosos que estas s estão corretas, ou seja, que as soluções da equação diferencial real- mente se comportam deste modo, Isso também é coerente com a nossa experiência empírica quanto ao comportamento do pêndulo que mencionamos há pouco. 1.4. EXPERIMENTO: DINÂMICA DE FOFULAÇÕES 13 valores “aproximados” zm cor os valores “exatos” z(tn ) obtidos substituindo o valor de tn na expressão analítica da solução. Observe que o desvio entre x, e z(tn) tende a aumentar à medida que vamos iterando o método, devido à acumulação dos erros de cálculo. No entanto, cle ainda se mantém bastante razoável após 90 iterações. Veja também o Exercício 1.22. 1.4. Experimento; dinâmica de populações Consideremos uma espécie animal ou vegetal vivendo c se reproduzindo num dado ambiente ecológico. Em primeira aproximação, podemos considerar que a população da espécie cresce a uma taxa que é proporcional ao próprio tamanho da população, Em outras palavras, o número x de indivíduos da espécie? estaria sujeito a uma equação da forma x” = cz, onde c é uma constante positiva. Na prática, os recursos disponíveis (água, nutrientes, oxigênio, luz solar etc) são limitados, pelo que há um múmero máximo X de indivíduos que podem ser sustentados pelo ambiente. Então, é mais realista considerar uma equação diferencial tal como (1.16) E Esta é chamada eguação logística e, apesar de ser um modelo bastante rudimentar, tem diversas aplicações em Ecologia e outras áreas da ciência Agora suponhamos que o ambiente ecológico alberga. duas espécies, que intera- gem entre si, competindo pelos recursos disponíveis, Sejam 7 € 22 08 resp: (0 múmeros de indivíduos. É razoável supor que a interação é proporcional ao pro- duto ziz2, O qual é um bom parâmetro da probabilidade de que um indivíduo de uma espécie “encontre” um indivíduo da outra. Desta forma, chegamos à chamada equação de Lotha-Volterra - mt, =ct (1 anti — ata) (am 7 To = coxa (1 — ant — azoto) onde ay = 1/X, e ao» = 1/X estão relacionados com os números máximos, X, e Xo, de indivíduos de cada uma das espécies que podem ser sustentados pelo ambi- ente na ausência da outra espécie, e 12 e a, regulam a intensidade do efeito sobre cada uma das espécies da interação entre elas, Esta equação pode ser generalizada facilmente para sistemas com qualquer número d > 1 de esp: ! d 2 =c (1 — Xj=1 mujt;) (1.18) 2), = cata (1 — Dj aajti) onde (c;); é o vetor de fatores c (aij)i,j é a matriz de interações. Aqui ficaremos ritos ao caso d = 2. Numa situação competitiva, como vimos considerando, todos os coeficientes de (1.17) são positivos. No entanto, variando os cocfic inclusive os seus sinai podemos obter modelos para muitos outros problemas, inclusive fora da Ecologia. Por exemplo, num sistema predador presa, em que uma das espécies (a segunda, diganos) se alimenta da outra, o fator c deve ser tomado negativo: na ausênc de presas a população do predador diminui no lugar de aumentar. Se, além disso, AClaro que q número z de indivíduos é uma variável disercta, que só toma valores inteiros. Mas, para efeitos do tratamento analítico do problema, procedemos como se cla fosse contínua. 14 1. INTRODUÇÃO considerarmos que os recursos disponíveis são infinitos (Xy = Xo = 00) então a equação (1.17) reduz-se a (1.19) ( tz = cum (1 — ayoxo) zo =cm(1-anmi) comc) <00, que é outra forma popular da equação de Lotka- Volterra. Podemos usar o método numérico de Euler introduzido anteriormente no texto pata investigar O comportamento das soluções da equação de Lotka-Volt - Neste caso, como estamos lidando com uma equação de dimensão 2, no lugar de (1.15 temos (1.20) n=tnath e ( Zin=Tna +hFi(Zin-Z2n-1) 22,n = 22,01 +hPo(Zi,n-1, 22,01); onde (Fi, Fo) (21,22) = (ciri(l anti — ay2x2), Cota(1 — apt — ao272)) eh = At. Objetivos: (1) Escreva o método de Kuler para a equação de Lotka-Volterra em código computacional. Fixe d=2, : (2) Considere =1,2=-1,0n=0,0»=Lan=1cas=0cinegre numericamente as soluções da equação de TLotka-Volterra para diferentes escolhas do ponto inicial (71,0,22,0) e da largura de integração h. (3) Repita o passo 2 com cy =1,c) =-1, an = 1/2, a» Lan=le ay =-1/2. (4) Repitao passo 2 con =1,o0=-1,an=2%az=l,an=le ag) =—1/2. Compare as conclusões dos passos 2, 3 e 4: o comportamento qualitativo das soluções muda significativamente com a mudança dos cocficientes? (6) Interprete esses resultados em termos da cvolução do sistema ecológico deserito pela equação diferencial em cada um dos casos tratados. E + z Figura 1.6. Integração numérica da equação de Lotka-Volterra usando o método de Euler, parac;=1,02=-1,0n=0,02=1, ag =leag2=0. 16 1. INTRODUÇÃO Exercicio 1.4 (Equações homogêncas). Suponha que U C R? não intersecta, o eixo ((0,7) : « € RJ c é invariante por homotetias. Dizemos que a equação diferencial (1.21) é homogênea se F(t,x) = —b(t,x)/a(t, x) satisfaz F(ct,cx) = F(t,x) para todo (t,x) EU etodo cf 0. (1) Argumente que existe unia função contínua 6 tal que F(t,x) = d(x/t) para todo (t,x) EU. (2) Mostre que a mudança de variáveis (t,2) 5 (tu = 2/t) transforma (1.21) na equação (1.23) tu'+(u- d(u)) =0. (3) Usc o fato de que (1.23) é separável para encontrar as suas soluções. Exercício 1.5. Encontre as soluções das seguintes equações diferenciais: OM (tra +(t-2)=0cmuU=((ta):t>0ct+z>0) (2) xtr' + (abt? -atr —btr)=0cmU=((tz):t>0cx>0). ExgRrcícIO 1.6 (Fquações diferenciais exatas). Dizemos que a equação (1.21) ata sc Oa(t, 7) = Osb(t, x) pata todo (t, x) EU. Considere a função ó(tm) = f a(to,y) dy+ [ b(s, x) ds, definida na vizinhança de cada ponto (to, zo) EU. Mostre que existe uma função «(t) de classe C! numa vizinhança de to tal que ó(t, z(t)) = 0 para todo te z(to) = zo. Verifique que cssa função é solução de (1,21), [Obser 2 + : Também podemos tomar ó(t, 7) -[ a(t,y) dy +[ b(s, xo) ds.] zo to Exercicio 1.7. encontre todas as soluções da equação (t+ 1)x' + (E +2) =0 no domínioU = ((t,z):t+1>0). Exercício 1.8 (Método do fator integrante). Suponha que as funções a(t, x) e b(t,x) são tais que existem funções contínuas f(x) e g(t) satistazendo da(t, 7) — Oeblt, x) = f(x)b(t, x) — g(t)a(t, x) para todo (t, x). Encontre uma função u(t, x) de classe C! tal que eb?) é um fator integrante para a equação diferencial, ou seja, tal que etDa(t, aja! + ebDb(t,x) =0 é cquação diferencial exata. Exercício 1.9. Considere a equação diferencial lincar 2! + a(t)z = b(t), onde a(t) e bt) são funções contínuas. Encontre uma função q) de classe C? tal que a equação diferencial Wa! + (Dale) = b(eb(t) seja exi Em seguida, encontre a expressão geral das soluções da equação dife- rencial dada. Exercicio 1.10. Mostre que as soluções da equação diferencial tincar homo- gênea de ordem 1 (1.24) z+a(fz=0 1,5. EXERCICIOS 17 são as funções da forma z(t) = ce ! “O dt onde f a(t) dt representa uma primitiva da função a(t) « c é um número real. Exercício 1.11. Mostre que, dada qualquer função contínua b(t), as soluções da eguação diferencial lincar não homogênea de ordem 1 (1.25) a! + alt) = b(t) são funções da forma z(t) = c(t)e- ! dt o determine as condições que c(t) deve satisfazer para que uma função desta forma seja realmente solução de (1.25). [Obs exerc renciais.] vação: Tsto é chamado método da variação do parâmetro (compare com o anterior) e pode ser usado para resolver outras classes de equações dife- Exercício 1.12. Responda justificando: (1) A função d(t) = 2 definida para t E R pode scr solução de uma equação linear homogênca de ordem 1? E não homogênca? (2) As funções d(t) = et c w(t) = e! definidas para t E R podem ser soluções de uma mesma equação lincar homogênea de ordem 1? E não homogéênca? Nos casos afirmativos apresente exemplos explícitos. Exercício 1.13. Sejam a,b: R > R duas funções contínuas Lais que a(t) > c>0 paratodote Re dim, b(t)=0. Mostre que todas as soluções da equação diferencial 2º + a(t)z = b(t) convergem para scro quando t — 00. Exercício 1.14. Resolva as seguintes equações diferenciais: (au -(P+ta)=0emu=R? (27 -vVi+2=0emuU=R?, (3) x — sen(z/t)=0emU=((t,z):t>0). (D) (rr +(x+t)=0emU=((ta):z>t). Exercicio 1.15. Ache a curva diferenciável a em R2 que passa pelo ponto (1,1) e satisfaz que dado um ponto qualquer (x,y) € a, se denotamos por P(x,y) o ponto de interseção entre a reta tangente c o eixo horizontal c por Q(z,y) o ponto de interseção entre a reta normal € o eixo vertical, a distância de P(z,y) à origem coincide com a distância de Q(z,y) à origem. Represente cssa curva graficamente. Exercício 1.16. Sejam p,q,r: R > R funções contínuas, com p > 0. Mostre que existem funções contínuas a,b: R> R tais que a é de classe C! e as equações diferenciais p(b)z” + a(tz'(t) + r(t)z = 0 e (a(t)z) + b(t)z = O têm exatamente as mesmas soluções. Exercício 1.17 (Fxpansão em série de potências). Considere a equação dife- rvencial lincar de ordem 2 oo oo (1.26) aq" +a(t)a' + b(t)z = 0, com a(t) = »” ant" eb(t)=> bt”. n=0 n=0 (1) Determine que condições deve satisfazer uma sequência (Cn)n para que a respectiva sério de potências 312.9 Cnt” satisfaça (1.26). 1.6. NOVAS 19 o: Voltaxemos ao tema no Exercício 5.6 para concluir que as soluções da equação (1.19) são curvas fechadas] Exercicio 1.26. Use a aplicação computacional do método de Euler para cal- cular numericamente as soluções das seguintes equações diferenciais no intervalo Ito, to + 1]: (1) 2º — tz =0 com condição inicial (to, xo) = (1,1). (2) 2 +e” =0 com condição inicial (to, xo) = (1,0). (3) ta! — = = 0 com condição inicial (to, zo) = (1,1). 1) q! = 0 com condição inicial (to, xo) = (0,0). a! — com as conclusões do Exercício 1.2. 1.6. Notas A teoria das Equações Diferenciais remonta à Leibniz c Newton, os deseobrido- res do Cálculo Infinitesimal. O problema geral de resolver tais equações foi formu- lado pela primeira vez cm carta de Newton a Leibniz datada de 26 de outubro de 1676, embora alguns casos particulares do problema inverso das tangentes — dada, a expressão cartesiana da tangente a uma curva, encontrar a própria curva — já am sido tratados antes. O primeiro registro conhecido da expressão aeguatio ntiutis (equação diferencial) é de 1692, por Jacob Bernoulli [36]. Em Methodus fluxionum ct Serierum infiniterum (Método das flu sérics infinitas) [301], Newton classificou três tipos de equações diferenciais: Ou Ou =i(t0) ct *Ugy o Ha), (note que a terceira é uma equação diferencial parcial). À sua abordagem principal era o método da expansão em série de potências (Exercício 1.17): a incógnita z(t) é escrita na forma Do Ant” € à equação é utilizada para determinar os coeficientes an. À questão da convergência da série não cra colocada. Newton observou que ao fica indeterminado, c portanto existe uma família infinita de soluções. No entanto, o significado dessa constante de integração só seria compreendido na segunda metade do século 18. Isaac Newton nasceu? a 4 de janciro de 1643, na localidade de Woolsthorp no condado inglês de Lincolnshire, c faleceu cm Londres a 31 de março de 1727. E certamente o cientista mais influente de todos os tempos. Sua obra prima, Philo- sophine Naturalis Principia Mathematica (Princípios matemáticos da filosofia na- tural) [299], publicada em 1687, criou os fundamentos da Mecânica Clássica e da Teoria da Gravitação. Newton partilha com Leibniz o crédito pela descoberta do Cálculo Infinitesimal. Em 1669 tornou-se professor Lucasiano na universidade de Cambridge, e quatro anos depois foi eleito presidente da Royal Society, a prestigiosa academia de ciências do Reino Unido, permanecendo nas duas funções até O final de sua vida. Methodus fluxionum. foi escrito por volta de 1671, mas só seria publicado em 1736, após a morte do autor. No meio tempo, Leibniz fez diversas importantes ÍPelo calendário gregoriano, adotado pela igreja católica em 1583. mas à época ainda não vigente na Inglaterra. Pelo velho calendário juliano, ele nasceu a 25 de dezembro de 1642 o faleceu a 20 de março de 1726, Ulilizaremos o calendário gregoriano para todas as datas. 20 1. INTRODUÇÃO contribuições à teoria, motivado sobretudo pelo problema inverso das tangentes, Em 1675 escreveu a relação (veja Tnee [182, p. 529]) Lo fra-se, que contém não só à solução da equação diferencial 2” = t como o primeiro registro escrito do sinal de integral, além da notação diferencial dt, também devida a Leibniz. Em carta escrita ao cientista necrlandês Christiaan Huygens cm 5 de outubro de 1691, Leibniz [240] utilizou implicitamente o método da sep: ariáveis para resolver uma equação diferencial. Esse método seria depois formalizado por Johann Bernoulli [37]. Gottfried Wilhehn Leibniz nasceu à 1 de julho de 1646 em Teipzig, eleitorado da Saxônia e faleceu a 14 de novembro de 1716 em Hanôver, eleitorado de Brunsvwick- Liúncburg (os dois eleitorados cram parte do Sacro Império Romano-Germânico, na área atualmente ocupada pela Alemanha). Foi um dos grandes pensadores do Thuminismo c ocupa posição de destaque na história da Matemática. Em 1684 publicou Nova methodus pro maximis et minimis (Método novo dos máximos e mí- nimos) [239], o trabalho fundador do Cáleulo Diferencial, seguido dois anos depois por De Geometria recondita et Analysi Indivisibilium atque infinitorum (A geome- tria oculta c à análise de um múmero infinito de indivisíveis) [237], que contém os rudimentos do Cáleulo Integral. Também foi um inventor produtivo, especialmente interessado na constm máquinas mecânicas de calcular. Em 1693 desenhou uma máquina (integrafo) capaz, em teoria, de integrar equações diferenciais. O estudo das equações diferenciais atraiu o interesse dos irmãos Jacob c Johan Bernoulh, que iniciaram intensa correspondência com Leibniz sobre o tema, Os Bernoulh são a família mais extraordinária da história da ciência, incluindo nada, menos do que oito matemáticos de renome, Jacob Bernoulli, o primeiro c talvez o maior deles, nasceu a 27 de dezembro de 1654 na cidade da Basileia, na Suíça, cm cuja universidade se tornou professor de matemática, c onde faleecu a 16 de agosto de 1705. Em 1690, publicou uma solução do problema da isócrona [33]: encontrar uma curva ao longo da qual um corpo com peso cai com velocidade uniforme na vertical. Huygens [181] afirmara em 1673 que a solução é uma cieloide, ou seja, à curva descrita por um ponto de uma circunferência que rola sobre uma reta sem deslizar. A solução de Bernoulh foi a primeira bascada no Cáleulo: cle expressou a condição de isocronia como uma igualdade entre duas diferenciais, deva — a? = div e?, concluindo que as respectivas integrais também devem ser iguais (Ergo É horum Integralia aequantur...), o que dá a expressão da solução. Este trabalho marca o primeiro uso da palavra integral no sentido moderno, e deu origem a uma nova abordagem para estudar outras curvas definidas por propriedades mecânicas, como a espirallogarítmica on a lemniscata: escrever as equações diferenciais que traduzem tais propriedades c resolvê-las. SiIomônimos são distinguidos por meio de numerais: Jacob I (1654 1705): Johann I (1667 + irmão de Jacob T; Nicolaus 1 (1687 1759), sobrinho de Jacob 1 e Joharm T; Nicolaus II (1695-1726), Daniel (1700-1782) c Johann II (1710-1790), filhos de Johann 1; c Johann II (1744 1807) o Jacob II (1754-1789), filhos de Johann IT. 
