Baixe Equação geral do plano que contém o ponto A = (3, 0, 1) e é pa e outras Manuais, Projetos, Pesquisas em PDF para Construção, somente na Docsity!
Equação geral do plano que contém o ponto A = (3, 0, 1) e é pa- ralelo aos vetores u = (1, 2, 0) e v = (0, 3, 1).
Resp.: 2x - y + 3z - 9 = 0
Achar a equação do plano que passa pelos pontos P = (1, 2, 3) e Q = (1, 2, 0) e tem a direção do vetor v = 2i + 3k.
Resp.: y - 2 = 0
Obter a equação do plano que contém os pontos A = (3, 0, 1), B = (2, 1, 1) e C = (3, 2, 2).
Resp.: x + y - 2z - 1 = 0
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Exemplo:
Determinar os pontos de interseção do plano : 4x + 3y - z - 12 = 0 com os eixos coordenados.
a) Interseção com o eixo x.
Fazendo nulos y e z na equação de : 4x - 12 = 0 x = 3 A = (3, 0, 0)
b) Interseção com o eixo y.
Fazendo x = z = 0: 3y - 12 = 0 y = 4 B = (0, 4, 0)
c) Interseção com o eixo z.
Fazendo x = y = 0:
- z - 12 = 0 z = - 12 C = (0, 0, -12)
α
α ⇒ ⇒
6. CASOS PARTICULARES DA EQUAÇÃO GERAL DO PLANO
A nulidade de um ou mais coeficientes na equação geral do plano, fará com que este ocupe um posicionamento particular em relação aos eixos coordenados. Na equação ax + by + cz + d = 0, se:
ax + by + cz = 0 (com a. b. c 0)
Justificativa: O ponto O = (0, 0, 0) verifica a equação ax + by + cz = 0.
a) by + cz + d = 0 (com b. c. d 0)
Justificativa: O vetor normal ao plano by + cz + d = 0 é n que é perpendicular ao eixo x. Logo, o plano é paralelo ao eixo x.
Analogamente, se:
a) ax + cz + d = 0 (com a. c. d 0)
c) ax + by + d = 0 (com a. b. d 0)
1.º caso:
d = 0 O plano contém a origem.
Se o termo independente for nulo, o plano conterá a origem.
2.º Caso:
a = 0 O plano é paralelo ao eixo x.
b = 0 O plano é paralelo ao eixo y.
c = 0 O plano é paralelo ao eixo z.
= (0, b, c)
02. Determine um vetor unitário perpendicular ao plano
Resp.:
Jacir. J. Venturi
ouoseu oposto.
z
x
y
by + cz + d = 0
2 x +y-z+ 5 = 0.
→
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EM RESUMO: O plano é sempre paralelo ao eixo da coordena- da ausente.
3.º Caso:
a = d = 0 O plano conterá o eixo x.
b = d = 0 O plano conterá o eixo y.
c = d = 0 O plano conterá o eixo z.
4.º Caso:
a = b = 0 O plano é paralelo ao plano xy.
a) by + cz = 0 (com b. c 0)
Justificativa: O plano by + cz = 0 além de conter a origem (pois d = 0) é paralelo ao eixo x, pois tem como vetor normal o n = (0, b, c).
Analogamente, se:
b) ax + cz = 0 (com a. c 0)
c) ax + by = 0 (com a. b 0)
a) cz + d = 0 (com c. d 0)
Justificativa: O plano cz + d = 0 tem como vetor normal o n que é paralelo ao eixo z. lsto posto, o plano intercepta o eixo z e é paralelo ao plano xy.
= (0, 0, c)
x
O
z
y
by + cz = 0
x
y
z
cz + d = 0
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EM RESUMO: Se dois dos coeficientes das variáveis forem nulos, a equação representa um plano paralelo ao plano das variáveis que não figuram na equação.
N.B.:
Exemplo: Indicar o posicionamento de cada plano em relação ao sistema cartesiano: a) 3x + y - 4z = 0 plano que passa pela origem. b) 2x + 3z - 3 = 0 plano paralelo ao eixo y. c) 4x + 3y = 0 plano que contém o eixo z. d) x - 4z = 0 plano que contém o eixo y. e) x - 3 = 0 plano paralelo ao plano yz.
No E a equação 2x + 3y - 6 = 0 representa uma reta. Entretanto, no E tal equação representa um plano paralelo ao eixo z.
2 3
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ y 2
3 x
r: 2x + 3y – 6 = 0 (^) α : 2x + 3y – 6 = 0
x
3
2 y
z
Exercícios
"Importa muito hoje que o candidato a uma vaga no mercado de trabalho seja comunicativo, saiba trabalhar em grupo, tenha conhecimento de uma especialidade e seja capaz de tomar decisões." Nilson José Machado (n. 1947), professor da USP, numa palestra em Curitiba.
Dado o plano : 2x + 3y + z - 3 = 0, pergunta-se se os pontos A = (1, 1, - 2) e B = (2, 0, 1) pertencem a.
Resp.: A e.
α α
∈ α Β ∉ α
Jacir. J. Venturi
02.
Obter a equação do plano que passa por P = (1, 2, 1) e Q = (3, 1, -1) e seja paralelo ao eixo y.
Resp.: x + z - 2 = 0
Calcular a equação do plano passante por P = (1, 3, 3) e paralelo ao plano xy.
Resp.: z - 3 = 0
Plano que contém o eixo x e o ponto A = (1, 3, 3).
Resp.: y - z = 0
Equação cartesiana do plano que passa pelos pontos A = (0, 1, 2) e B = (1, 3, 0) e seja paralelo ao eixo x.
Resp.: y + z - 3 = 0
Achar m para que o ponto A = (m, 1, 2) pertença ao plano x + 2y - z + 5 = 0.
Resp.: m = - 5
Nas figuras abaixo, determine as equações dos planos, sa- bendo-se que:
Resp.: a) α 1 : x - 2 = 0; b) α 2 : 2x - y = 0; c) α 3 : x + 2z - 4 = 0
x
2
z
y α 1 x
4
2
z
y α 3 x
z
y α 2
P = (2, 4, 2)
c) éparaleloaoeixo y.
b) passaporPecontémoeixoz;
a) éparaleloaoplanoyz;
3
2
1
α
α
α
SUGESTÃO:
Calcular a e b para que os planos 2x + 3y + 3 = 0 e (a - 2)x + 6y + (b - 1)z + 5 = 0 sejam paralelos.
Resp.: a = 6 e b = 1
Determinar k para que os planos 2x + 3z - 1 = 0 e 3x + y + kz + 2 = 0 sejam ortogonais.
Resp. : k = - 2
Equação do plano que contenha P = (0, 1, 2) e seja paralelo a : 2x + 3y - z + 5 = 0.
Resp.: 2x + 3y - z - 1 = 0
- é paralelo a :
2) P :
2(0) + 3(1) - (2) + d = 0 d = -
Equação do plano que passa pelo ponto A = (3, 5, 0) e é: a) paralelo ao plano : 2x + y - 3z + 1 = 0; b) ortogonal aos planos : x + y + 2z - 2 = 0; e : x - y + z - 3 = 0
Resp.:
α
α
α α α
1
2
: 2x + 3y - z + d = 0
1
α α
α
1
1
α 1 =?
P
a) 2x + y - 3z - 11 = 0 b) 3x + y - 2z - 14 = 0
Jacir. J. Venturi
α 2 α 1
→ n 2
→ n 1
P α =?
Obter o plano que contém P = (0, 1, 2) e é ortogonal aos planos : x + y - z + 5 = 0 e : 2x + 2y + z + 1 = 0.
Resp.: x - y + 1 = 0
Observe na figura que, que- remos um plano que passe pelo ponto P = (0, 1, 2) e tenha a di- reção dos vetores n = (1, 1, - 1) e n = (2, 2, 1). Então:
α 1 α 2
1 2
Obter a equação do plano que passa pelos pontos P = (1, 3, 0) e P = (2, 0, 1) e é ortogonal ao plano : x + y - z + 3 = 0.
Resp.: x + y + 2z - 4 = 0
Depreende-se da figura que queremos um plano que passa pelo ponto P , e tem a direção dos vetores (P - P ) e n
Equação geral do plano que passa pelos pontos A = (2, 0, 5) e B = (0, 1, 0) e é perpendicular ao plano : x + 3y - z - 7 = 0.
Resp.: 2x - y - z + 1 = 0
1 2
1
α
β
α
2 1 → n
α
P 1
P 2
β =?
α: = 0
x - 0 1 2
y - 1 1 2
z - 2
β: = 0
x - 1 1 1
y - 3
z - 0 1
SUGESTÃO:
→ →
Pede-se a equação do plano que passa pela origem e que contém a reta
Resp.: 5x + y + z = 0
Calcular a equação do plano que contém a reta
e é perpendicular ao plano : x + 2z - 3 = 0.
Resp.: 2x - y - z + 6 = 0
Determinar a equação do plano que passa pela reta de in- terseção dos planos x - 3y - z + 3 = 0 e 3x + y - 2z + 2 = 0 e é perpendicular ao plano yz.
Resp.: 10y + z - 7 = 0
Equação do plano determinado pelo ponto A = (0, 1, 1) e pela reta
Resp.: 3x + y + 4z - 5 = 0
π
x + y + z = 0 y + z - 2 = 0
x + y - 3 = 0 x + 2z - 1 = 0
x + y - z - 8 = 0 r : 2x + z + 4 = 0
r :
r :
α 1 α 2
α 3 P 6x - 5y + 2z - 8 = 0 x - 2y - 2z + 1 = 0 6x + 2y - 5z - 1 =
SUGESTÃO:
estrela de planos
OBSERVAÇÃO:
Os planos : 6x - 5y + 2z - 8 = 0, : x - 2y - 2z + 1 = 0 e : 6x + 2y - 5z - 1 = 0 se interceptam em um único ponto P. Determine-o.
Resp.: P = (1, 0, 1)
Resolva o sistema:
Três (ou mais) planos que se interceptam segundo um ponto P formam uma. O ponto P é o centro da estrela.
α α α
1 2 3
04. Calcular o ângulo entre o plano coordenado yz e o plano x + y + z - 3 = 0.
Resp.:
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θ=arccos
lsolando-se o parâmetro t em cada uma das equações paramétri- cas e igualando as expressões, obtém-se:
que são denominadas da reta r.
CONVENÇÃO: A nulidade de um denominador implica na nulida- de do correspondente numerador.
l) Um dos denominadores é nulo. Se, por exemplo, n = 0 z - z = 0 z = z.
Neste caso a reta é paralela ao plano cartesiano xy, pois o seu vetor diretor r é parale- lo a tal plano. Por conseguinte:
ou
⇒ O ⇒ O
b) Equações simétricas da reta
equações simétricas
Casos particulares das equações simétricas:
= ( , m, 0)l
z
zO
O
α
r
y
x
n
z-z
m
x - xO y-yO O
l
z-z
m
x - xO y-yO O
l
(= t)
r :
r: (onde l. m ≠0)
m
x-x y-y
z z
O O
O
l
Achar as equações reduzidas da reta
(com variável independente x).
RESOLUÇÃO:
b) lsolando-se y em (1) e z em(2):
A reta r representada por suas equações reduzidas é fruto da
interseção dos planos
Observe que os planos e são paralelos aos eixos z e y respectivamente.
A reta r "fura" o plano yz no ponto P = (0, 3, 2) e tem como
vetor diretor o
α α
1 2
O
z- 2
y- 3 2
x r : = =
x
z- 2
x
y- 3
r:
z- 2
y- 3
x
a)
(Resposta)
z -x 2
y
r:
3 e :z -x 2.
α 1 : y= + α 2 = +
v 1,-
2
α 2
y
PO
x
O
2
z (^) α 1
3
r
→
Achar as equações simétricas da reta que passa pelo ponto A = (1, 3, 0) e é paralela ao vetor v
Resp.:
Obter as equações simétricas da reta individualizada pelos pontos A = (1, 3, 2) e B = (5, 2, 2).
Resp.:
A reta r passa pelo ponto P = (1, 2, 0) e tem a direção do vetor v Determinar as equações reduzidas de r (com variável indepen- dente x).
Resp.:
Estabelecer as equações reduzidas da reta que passa pelos pontos P = (0, - 4, - 5) e Q = (1, - 2, - 2).
Resp.: y = 2x - 4; z = 3x - 5
São dadas as equações paramétricas de
Obter as equações simétricas de r.
Resp.:
= 3i + j - k.
z
y- 3
x - 1
z- 2
y- 3
x - 1
;z
x 5
y
z - 5 t
y - 2 3 t
x 1 2 t
r:
z
y 2
x - 1
→
