Cálculo de Esforços em Vigas Hiperestáticas: Exercícios Resolvidos, Notas de estudo de Engenharia Geotécnica

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Edilberto Vitorino de Borja

ESTRUTURA EM CONCRETO ARMADO

TECNOLOGIA EM CONSTRUÇÃO DE EDIFÍCIOS

1. DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS PARA VIGAS HIPERESTÁTICAS (VIGAS CONTÍNUAS)

Vigas Contínuas: são vigas hiperestáticas com dois ou mais vãos.

Na determinação dos esforços seccionais de vigas isostáticas utilizam-se as três equações de

equilíbrio da estática, necessárias e suficientes para garantir sua estabilidade.

Para as vigas hiperestáticas, as incógnitas (reações) são em número superior as três equações de

equilíbrio da estática, sendo necessários então novos métodos para determinação dos seus esforços. Foram

criados então vários métodos para o cálculo das reações de apoio e dos momentos fletores nos vãos. Uma

vez conseguidos estes valores, pode-se calcular os momentos fletores e forças cortantes nos demais pontos

da viga e consequentemente desenhar os diagramas.

Métodos de Cálculo:

Método dos Deslocamentos

Método dos Esforços

Método de Cross

Método da Equação dos Três Momentos

1.1 MÉTODO DA EQUAÇÃO DOS 3 MOMENTOS

O método apresentado a seguir trata-se de uma simplificação de modelos matemáticos avançados e

é válido apenas para:

• vigas que tenham inércia e módulo de elasticidade constantes , ao longo do comprimento de

toda a viga (mesma seção transversal para todos os vãos);

• carregamentos atuantes só de forças verticais e que sejam capazes de produzir binários cujo plano

de rotação seja o mesmo dessas forças;

• estruturas indeformáveis quanto ao esforço axial, ou seja, sem atuação de forças horizontais.

Desse modo, não se leva em consideração as reações horizontais que os apoios possam

apresentar.

Nesse modelo as incógnitas hiperestáticas a serem determinadas serão os momentos atuantes nas

seções transversais situadas sobre os apoios internos, uma vez que os apoios externos serão nulos ou

facilmente identificáveis caso exista algum balanço nas extremidades. Em princípio, todas as incógnitas de

momentos fletores existentes nos apoios internos são, supostamente, positivos, com tração nas fibras

inferiores e compressão nas fibras superiores.

• X

n- 1

, X

n

e X n+

: momentos nos apoios;

n

2

 e

n 1

1

 : Fatores de carga (função do tipo de carga atuante no vão).

Os fatores de carga (

n

2

 e

n 1

1

 ), que aparecem na Equação 1, representam a contribuição do

carregamento externo e dos momentos fletores nas extremidades de cada viga (vão), através de constantes

provenientes das rotações no apoio comum de dois vãos adjacentes, como ilustrado na Figura 4.

Figura 4. Carga e deformações em dois vãos adjacentes e seus efeitos na viga hiperestática submetida a um carregamento qualquer.

Essas constantes (fatores de carga) podem ser obtidas através de alguns métodos (Integração Direta

e Teorema de Castigliano). No entanto, para simplificação do assunto, apresenta-se na Tabela 1 os valores

dos fatores de carga (

n

2

 e

n 1

1

 ) para alguns casos de carregamento.

É oportuno ressaltar que é válido o princípio da superposição dos efeitos dessas ações para o

cálculo dos fatores de carga, ou seja, quando houver mais de uma carga atuando em um mesmo vão, os

fatores de carga finais são dados pela soma dos fatores de carga de cada uma das cargas.

Tabela 1. Fatores de Carga (SILVA, 2004)

Tipo de Carregamento  1

2

q.l

q.l

2

3 s

q.s

2

l − ( )

2

3 s

q.s

2

l −

( 2 a)

q.s

2

l + ( 2 a)

q.s

2

l +

2

2

2 s

q.s

( l− )

l

2 2

2

2 s

q.s

l −

l

2

2

a

q.s

( l+ )

l

2 2

2

2 s

q.s

l −

l

• 1 )

3b

M

2

2

l

l

)

2

2

3a

M

l

l

1.2 APLICAÇÕES

Para se calcular os momentos fletores em todos os apoios de uma viga contínua, deve-se aplicar a

equação dos três momentos em vãos subsequentes dois a dois. O resultado é que o número total de

aplicações é igual ao número de vãos menos um. Desse modo, para uma viga com quatro vãos, por exemplo,

aplica-se três vezes a equação dos três momentos. Nas Figuras 5 (a), 5 (b) e 5 (c) evidencia-se os números de

aplicações do método para vigas com 2, 3 e 4 vãos, respectivamente.

(a)

(b)

(c)

Figura 5. Viga contínua com a) dois vãos, b) três vãos e c) com quatro vãos.

Com três aplicações (Figura 5 (c)), fica-se com três equações dos três momentos, uma para cada

aplicação e três incógnitas (X 1

, X

2

e X 3

), já que os momentos X 0

e X 4

são previamente conhecidos.

q

l 1

l l l 2 3 4

1 ª aplicação

2 ª aplicação

3 ª aplicação

X 0 X 1 X 2 X 3 X 4

X 0 X 1 X 2

X 1 X 2 X 3

X 2 X 3 X 4

conhecido

conhecido

1.3 EXERCÍCIOS

1.3.1 Exercício 1 : Calcular e desenhar diagrama dos esforços seccionais de viga contínua ilustrada na

Figura 6.

Figura 6. Viga hiperestática com dois vãos.

Equação 1:

. X 2( ).X .X -6( )

n 1

1

n

n- 1 n n 1 2

n n n 1 n 1

l l l l

Análise:

Dois vão → Uma aplicação. Para nomear vãos e apoios, sempre iniciar com n=1.

(vãos ❶ e ❷): n = 1

Vãos Apoios

n = 1

n +1 = 2

n - 1 = 0

n = 1

n +1 = 2

. X 2( ).X .X -6( )

2

1

1

1 0 1 2 1 2 2 2

l + l +l +l =  + 

Observação:

Nos apoios de extremidade o valor do momento será igual a 0 (zero) - se não houver balanço ou carga

momento aplicada.

Apoio 0 → X 0 = 0

Apoio 2 → X 2 = 0

Figura 6.3. Separação dos vãos (vigas) para determinação das reações de apoio.

Para vão 1:



0

M

R 9,11kN

3,5 4 2 8,44-R 4 0

1

1



  V= 0

R 4,89kN

R 9,11-3,5 4 0

0

0

Para vão 2:

M

1

10. 2,00 - 8,44 – R 2. 5,00 = 0

R 2 = 2,31 kN



  V= 0

R

1

R 1 = 7,69 kN

R

0

= 4 , 89 kN

R

1

= 9 , 11 + 7 , 69 = 16 , 80 kN

R

2

= 2 , 31 kN

OBSERVAÇÕES PERTINENTES:

• A reação no apoio 1 é igual a soma das reações do apoio 1 para os vãos 1 e 2 (Figura 6.4);

Figura 6.4. Reações de apoios.

• As reações de apoio são cargas concentradas;
• Após o cálculo das reações e para cálculo dos Esforços Solicitantes Internos , utilizar a viga

com carregamentos e reações, não sendo necessário a representação dos momentos nos

apoios, uma vez que estes serão determinados normalmente nesses cálculos (Figura 10 );

• Os esforços solicitantes internos (ESI) devem ser determinados nas seções-chaves (apoios,

início e fim de carga distribuída, cargas concentradas);

• É indiferente olhar as cargas à esquerda ou à direita de uma determinada seção, o resultado

é sempre o mesmo!!!!!!

RELEMBRANDO → CONVENÇÃO DE SINAIS - MOMENTOS

Olhando as cargas à esquerda da seção considerada:

considera como positivo o momento com tendência de giro no

sentido horário

Olhando as cargas à direita da seção considerada: considera

como positivo o momento com tendência de giro no sentido

anti-horário

→ DIAGRAMA DOS ESFORÇOS (Figura 6.6)

Figura 6.6. Diagrama dos Esforços Seccionais (DEC e DMF).

→ DETERMINAÇÃO DO MOMENTO FLETOR MÁXIMO POSITIVO

ONDE O ESFORÇO CORTANTE É ZERO!!!

• Por semelhança de triângulo:

19 , 56 − 4 ,89x = 9 ,11x

19 , 56 = 9 ,11x + 4 ,89x

x = 1 , 40 m

M

max

• = 4 , 89 ∗ 1 , 4 − 3 , 5 ∗ 1 , 4 ∗ 0 , 7 = 3 , 42 kN. m

1.3.2 Exercício 2 : Calcular e desenhar diagrama dos esforços seccionais de viga contínua ilustrada na

Figura 7.

Figura 7. Viga hiperestática com dois vãos.

Equação 1:

. X 2( ).X .X -6( )

n 1

1

n

n- 1 n n 1 2

n n n 1 n 1

l l l l

Analise:

Dois vão → Uma aplicação. Para nomear vãos e apoios, sempre iniciar com n=1.

(vãos ❶ e ❷): n = 1

Vãos Apoios

n = 1

n +1 = 2

n - 1 = 0

n = 1

n +1 = 2

. X 2( ).X .X -6( )

2

1

1

1 0 1 2 1 2 2 2

l + l +l +l =  + 

Observação:

Nos apoios de extremidade o valor do momento será igual a 0 (zero) - se não houver balanço

Apoio 0 → X 0

Apoio 2 → X 2 = 0

DETERMINAÇÃO DOS FATORES DE CARGA - Consultar Tabela 1. Cargas distribuídas.

Fator de carga vão 1 Fator de carga vão 2

2 2

2

2 s

q.s

l −

l

=

4 × 2 , 5

2

24 × 4 , 5

( 2 × 4 , 5

2

− 2 , 5

2

) = 7 , 93

3b

M

2

2

l

l

8 × 4

3 × 2

2

2

Para vão 1:

0

+ 4 × 2 , 5 × (

) + 10 × 2 ×

+ 7 , 10 = 4 , 5 × 𝑅

1

𝟏

0

1

= 4 × 2 , 5 + 10 × 2

𝟎

Para vão 2:

1

− 7 , 10 + 8 = 4 × 𝑅

2

𝟐

1

2

𝟏

𝟐

R

0

= 10 , 09 kN

R

1

= 19 , 91 − 0 , 23 = 19 , 68 kN

R

2

= 0 , 23 kN

→ DIAGRAMA DOS ESFORÇOS: Após cálculo das reações, calcula-se então os esforços seccionais

(Esforço Cortante e Momento Fletor).

Figura 7.1. Diagrama dos Esforços Seccionais (DEC e DMF).

𝑚𝑎𝑥

= 10 , 09 × 2 , 43 − 4 × 2 , 43 × 1 , 215 = 12 , 71 𝑘𝑁. 𝑚

CÁLCULO DO MOMENTO NO APOIO INTERNO (X1).

X -35,81kN.m

2 (3,0 4,0) X - 6 (16,875 66,67)

2( ).X -6( )

1

1

2

1

1

1 2 1 2

=

 +  =  +

l + l =  +

→ CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO

Para vão 1:



 = 0

0

M

R 34,44kN

15 3 1,5 35,81-R 3 0

1

1



  V= 0

R 10,56kN

R 34,44- 15 3 0

0

0

Para vão 2:



 = 0

1

M

R 41,05kN

25 4 2 - 35,81-R 4 0

2

2



  V= 0

R 58,95kN

R 41,05- 25 4 0

1

1

R

0

= 10 , 56 kN

R

1

= 34 , 44 + 58 , 95 = 93 , 93 kN

R

2

= 41 , 05 kN

DIAGRAMA DOS ESFORÇOS: Após cálculo das reações, calcula-se então os esforços seccionais (Esforço

Cortante e Momento Fletor).