Teorema de Transporte de Reynolds e Leis Integrais - Equação da Quantidade de Movimento, Slides de Mecânica dos fluidos

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Teorema de Transporte de Reynolds e Leis Integrais

EQUAÇÃO DA QUANTIDADE DE

MOVIMENTO

PME3230 – 10ª aula

Marcos Tadeu Pereira

Equação da Quantidade de Movimento na forma integral

2 a^ Lei de Newton:

𝑠𝑖𝑠𝑡

𝑠𝑖𝑠𝑡

∴ 2 a^ lei de Newton: “a “soma das forças externas que atuam no sistema = taxa de variação temporal da quantidade de movimento 𝝌 no sistema” :

𝐹𝑒𝑥𝑡 𝑠𝑖𝑠𝑡

=

𝑑𝝌 𝑑𝑡 (^) 𝑠𝑖𝑠𝑡

Para usar o TTR, o volume de controle deve ser coincidente com o sistema em um dado instante, então as forças que atuam no sistema e as forças que atuam no volume de controle são iguais, neste instante:

𝐹𝑒𝑥𝑡 𝑠𝑖𝑠𝑡

𝑽𝐶

O que gera a Equação Geral da Quantidade de Movimento:

𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎

Σ 𝑑𝑎𝑠 𝑓𝑜𝑟ç𝑎𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑠 à 𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑔,𝛽,𝐸 𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑡𝑜 (𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 𝑒 𝑎𝑡𝑟𝑖𝑡𝑜) 𝑎𝑡𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑜 𝑉𝐶

𝑽𝐶 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑄𝐷𝑀 𝑛𝑜 𝑉𝐶

𝑆𝐶 𝑓𝑙𝑢𝑥𝑜 𝑑𝑎 𝑄𝐷𝑀 𝑎𝑡𝑟𝑎𝑣é𝑠 𝑑𝑎 𝑆𝐶

Equação geral , restrita a um VC inercial, qdo VC≡Sistema

Observações importantes:

1. A velocidade 𝑣 é referida a um sistema de coord. inercial
2. O fluxo da QDM através de elemento de área 𝑑𝑠 é um vetor 𝑣 𝜌𝑣. 𝑛𝑑𝑠 , onde:

2.1) 𝜌𝑣. 𝑛𝑑𝑠 tem o sinal de 𝑣. 𝑛 :

0 nas saídas <0 nas entradas ≡ 0 quando 𝑣 = 0 𝑜𝑢 𝑣 𝑛

2.2) a direção da QDM é dada por 𝑣 , que depende só do sistema de coordenadas escolhido Ex

x

y

z

3. Como a QDM é vetorial, pode ser escrita na forma de equações escalares das componentes x, y e z

𝑽𝐶

𝑆𝐶

𝑽𝐶

𝑆𝐶

𝑽𝐶

𝑆𝐶

Casos particulares

Hipótese 1. As forças de campo se restringem à força peso:

𝑚

𝑽

e as forças de contato são as viscosas e as de pressão

𝑆𝐶

𝑆

o sinal é negativo por causa da convenção de 𝑛 apontar sempre para fora da SC

𝑆𝐶 = 𝑆𝑒 + 𝑆𝑠 + Σ ,onde Σ é a soma das superfícies laterais do corpo

Observe que, normalmente, o projetista está interessado em descobrir o valor da força do fluido sobre a tubulação,

ou seja, em −𝑅:

𝑅: 𝑓𝑜𝑟ç𝑎 𝑑𝑜 𝑑𝑢𝑡𝑜 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑜 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜

−𝑅: 𝑓𝑜𝑟ç𝑎 𝑑𝑜 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑜 𝑑𝑢𝑡𝑜

−𝑅

𝑅

Hipótese 2: trajetórias retilíneas e paralelas em todas 𝑆𝑒𝑒 𝑆𝑠

Trajetórias retilíneas e paralelas nas entradas e saídas as tensões nas superfícies 𝑆𝑒 𝑒 𝑆𝑠 se reduzem apenas às tensões normais devidas às forças de pressão. Isto ocorre quando se considera a distribuição de velocidades uniforme, o que ocorre aproximadamente nos escoamentos turbulentos:

𝜕𝑣𝑥 𝜕𝑦 ≅ 0 →^ 𝑆𝑒 𝜏𝑑𝑆 =^ 𝑆𝑠 𝜏𝑑𝑆 = 0^ (𝟒)

Substituindo as equações (1) a (5) na Equação Geral da QDM, resulta

𝑽𝐶

Ou

𝑮 + 𝑹 = (𝒑𝒆𝑺𝒆 + 𝜷𝒆𝑽𝒆𝒎𝒆)𝒏𝒆 + (𝒑𝒔𝑺𝒔 + 𝜷𝒔𝑽𝒔𝒎𝒔)𝒏𝒔 +

𝝏 𝝏𝒕 𝝆𝒗𝒅𝑽 𝑽𝑪

Alguns definem ainda a Função Impulso: ∅ = 𝑝𝑆 + 𝛽𝑚𝑣 , com dimensão de força.