Engenharia Mecânica - Hidrostática, Notas de aula de Hidrostática

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Mecânica dos Fluidos I

Fernando Almeida Rocha

História

• O conhecimento prático de mecânica dos fluidos está presente desde os tempos pré-históricos, quando os povos mesopotâmicos construíam barcos a vela para navegar no rio Nilo.
• Gregos produziram as primeiras informações quantitativas. - Arquimedes formulou as leis para a flutuação dos corpos – Diz a lenda que Arquimedes disse Eureka ao entrar na banheira e perceber que o nível da água sobe, utilizando esse principio para verificar se a coroa de Hierão, rei da Siracusa, era realmente feita de ouro – Balança de Arquimedes.
• Romanos desenvolveram sistemas de transporte de água através de aquedutos. https://www.if.ufrgs.br/novocref/?contact-pergunta=arquimedes-e-a-coroa https://www.ybw.com/features/10-top-innovations-in-the-history-of-sailing- 17358

História

• Bernoulli, Euler, d’Alembert, Lagrange e Laplace desenvolveram soluções para escoamento sem atrito. - Bernoulli desenvolveu equações diferenciais de movimento e a sua forma integral, equação de Bernoulli. - D’Alembert utilizou a equação de Bernoulli para mostrar o paradoxo do corpo imerso em fluido que não apresenta atrito.
• Engenheiros desenvolveram a hidráulica baseada integralmente em experimentos (Pitot, Weber, Francis, Poiseuille, Darcy) - No século XIX a hidráulica e a hidrodinâmica teórica se unificaram, com trabalhos de Froude, Rayleigh e Reynolds. - Navier e Stokes desenvolveram modelos para resolver escoamentos viscoso. Prandtl resolveu as equações de Navier-Stokes, desenvolvendo a teoria da camada limite.

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Conceitos

• Em mecânica dos fluidos, toda matéria se encontra em dois estados: sólidos e fluidos. - Sólido podem resistir a deformações causadas por tensão de cisalhamento; um fluido não pode.
• Fluido em repouso deve estar em um estado de tensão de cisalhamento igual a zero.
• Fluidos podem ser classificados entre líquidos e gases. - Líquidos são compostos por moléculas relativamente agrupadas com forças coesivas fortes. - Gases apresentam forças coesivas desprezíveis.
• Fluido como meio contínuo
  • Embora o menor volume possível (volume limite) para líquidos e gases seja de 10 −^9 𝑚𝑚³, a maioria dos problemas de engenharia trabalha com dimensões muito maiores.
  • Variações suaves permitindo o cálculo diferencial.

Propriedades termodinâmicas de um fluido Pressão Junto com a velocidade, é a variável mais importante em mecânica dos fluidos. Diferenças ou gradiente de pressão causam movimento e forças.

• Escoamentos em baixa velocidade, a intensidade de pressão é importante quando muito baixa, gerando formação de bolhas de vapor;
• Escoamentos em alta velocidade são sensíveis a variação de temperatura.

Propriedades termodinâmicas de um fluido Temperatura A temperatura é uma medida do nível de energia interna de um fluido, sendo bastante influenciada em escoamentos de alta velocidade. Quando há grandes diferenças de temperatura, a transferência de calor pode ser importante. Escalas como Celsius e Fahrenheit são utilizadas por conveniência, mas muitas aplicações exigem escalas de temperatura absoluta (Kelvin ou Rankine) 𝑜 𝑅 = 𝑜 𝐹 + 459 , 69 𝐾 = 𝑜 𝐶 + 273 , 16

Classificação do escoamento Classificação da mecânica dos fluidos Classificar o estudo de mecânica dos fluidos permite que encontremos soluções para diversos problemas, mesmo não considerando todas as variáveis presentes no caso real.

Propriedades termodinâmicas de um fluido Viscosidade Viscosidade é uma medida quantitativa de resistência de um fluido ao escoamento. É a taxa de deformação do fluido para uma dada tensão de cisalhamento. A viscosidade pode ser mensurada de duas maneiras: Viscosidade cinemática 𝜐[𝑚 2 /𝑠] é a viscosidade dinâmica 𝜇 [𝑘𝑔/𝑚𝑠] dividida pela massa específica. 𝜐 =

Fluido Newtoniano Fluido não Newtoniano 𝜏 = 𝜇 𝑑𝑢 𝑑𝑦

𝑑𝑢 𝑑𝑦 𝑛

Propriedades de um fluido Número de Reynolds É uma relação adimensional que correlaciona o comportamento inercial com o comportamento viscoso de um fluido. Baixo número de Reynolds indica um movimento viscoso lento, com efeitos de inércia desprezíveis. Número de Reynolds moderado indica escoamento laminar. Número de Reynolds alto indica escoamento turbulento, com forte variação aleatória de alta frequência. 𝑅𝑒 =

O valor que indica se um escoamento é laminar ou turbulento depende dos formatos envolvidos.

Propriedades de um fluido Dimensões Com base nestas 4 dimensões primárias, podemos escrever todas as outras variáveis em mecânica dos fluidos. Dimensão SI BG Conversão Massa {M} kg slug 1 slug = 14,5939 kg Comprimento {L} m pé (ft) 1 ft = 0,3048 m Tempo {T} s s Temperatura {ϴ} K °R 1 K = 1,8 °R Dimensão SI BG Conversão Área {L²} m² ft² 1 m² = 10,764 ft² Volume {L³} m³ ft³ 1 m³ = 35,315 ft³ Velocidade {L/T} m/s ft/s 1 ft/s = 0,3048 m/s Aceleração {L/T²} m/s² ft/s² 1 ft/s = 0,3048 m/s² Pressão {M/LT²} Pa = N/m² lbf/ft² 1 lbf/ft² = 47,88 Pa Energia {ML²/T²} J = Nm ft.lbf 1 ft.lbf = 1,3558 J Potência {ML²/T³} W = J/s ft/.lbf/s 1 ft.lbf/s = 1,3558 W Massa Específica {M/L³} kg/m³ slugs/ft³ 1 slug/ft³ = 515,4 kg/m³ Viscosidade {M/LT} kg/(m.s) slugs/(ft.s) 1 slug/(ft.s) = 47, kg/(m.s)

Propriedades de um fluido Incerteza nos dados experimentais Todo equipamento de medição apresenta incertezas nos dados apresentados. Em variáveis que dependem de diversos múltiplos, é necessário aplicar a seguinte equação. Se 𝑃 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒. 𝑥 1 𝑛 1 𝑥 2 𝑛 2 𝑥 3 3 … 𝛿𝑃 𝑃 = 𝑛 1 𝛿𝑥 1 𝑥 1 2

• 𝑛 2 𝛿𝑥 2 𝑥 2 2
• 𝑛 3 𝛿𝑥 3 𝑥 3 2
• ⋯ 1 / 2 Exemplo O chamado fator de atrito adimensional de Moody f é calculado em experimentos por meio da seguinte fórmula, envolvendo o diâmetro D do tubo, a queda de pressão Δp, a massa específica ρ, a vazão em volume Q e o comprimento do tubo L: 𝑓 = 𝜋 2 8 𝐷 5 Δ𝑝 𝜌𝑄^2 𝐿 Para um certo experimento, são dadas as incertezas das medidas: D = 0 , 5 %, Δp = 2 , 0 %, ρ = 1 , 0 %, Q = 3 , 5 % e L = 0 , 4 %. Calcule a incerteza global do fator de atrito f.

Propriedades de um fluido Exercícios White, F – Mecânica dos Fluidos – 6 ª edição Capítulo 1 5 , 7 , 9 , 10 , 12 , 13 , 15 , 16 , 21 , 86 , 90 FE 1 , 4 , 6 , 10 Fox, R – Introdução à Mecânica dos Fluidos – 8 ª edição Capítulo 1 29 , 30 , 33 , 34 , 35 , 38 , 49 , 58

Distribuição de pressão hidrostática Distribuição de pressão hidrostática O estudo da hidrostática tem como premissa a condição de fluido em repouso (ou a velocidade constante), 𝒂 = 0 e 𝒇𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑎 = 0. ∇p = 𝜌𝒈 Como 𝒈 = −𝑔𝒌 𝜕𝑝 𝜕𝑥 = 0 𝜕𝑝 𝜕𝑦 = 0 𝜕𝑝 𝜕𝑧 = −𝜌𝑔 = 𝛾 Integrando em dz, temos 𝑝 2 − 𝑝 1 = − න 1 2 𝜌𝑔𝑑𝑧 = − න 1 2 𝛾𝑑𝑧 𝑝 2 − 𝑝 1 = −𝛾(𝑧 2 − 𝑧 1 ) 𝑔 = 𝑔 0 𝑟 0 𝑟 2 Variações na gravidade devido a altitude (e profundidade) podem ser desconsideradas, visto que os valores máximos pouco influenciam. Raio da Terra: 6400 km Altitude máxima média: 20 km Profundidade máxima média: 11 km

Distribuição de pressão hidrostática Distribuição de pressão hidrostática O estudo da hidrostática tem como premissa a condição de fluido em repouso (ou a velocidade constante), 𝒂 = 0 e 𝒇𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑎 = 0. ∇p = 𝜌𝒈 Como 𝒈 = −𝑔𝒌 𝜕𝑝 𝜕𝑥 = 0 𝜕𝑝 𝜕𝑦 = 0 𝜕𝑝 𝜕𝑧 = −𝜌𝑔 = 𝛾 Integrando em dz, temos 𝑝 2 − 𝑝 1 = − න 1 2 𝜌𝑔𝑑𝑧 = − න 1 2 𝛾𝑑𝑧 𝑝 2 − 𝑝 1 = −𝛾(𝑧 2 − 𝑧 1 ) Variações na densidade de líquidos também são desprezadas, visto que no local mais profundo do oceano a densidade é apenas 4 , 6 % maior que a densidade ao nível do mar (influenciando apenas em 2 , 3 % na pressão). Para saber os dados da posição 2 é necessário saber dados de uma referência em 1.