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Cálculo Diferencial e Integral O Cálculo Diferencial e Integral está fundamentado em um conjunto de operações envolvendo quatro operadores: limite, diferencial, derivada e integral. A análise teórica desses tópicos nos livros texto de Cálculo Diferencial e Integral, encontra-se bem desenvolvida, principalmente do ponto de vista do rigor matemático. Talvez devido a esse rigor matemático associado à abstração conceptual que o assunto exige, e a falta de preparo dos alunos em absorver conceitos e idéias abstratas, parece que esses itens são apresen- tados de forma isolada, como se a ligação entre eles fosse puramente matemática. Na realidade existe, além da relação matemática, uma ligação física muito forte entre esses operadores que pode ajudar o aluno de graduação a compreender melhor o significado e a aplicação dessa impor- tante ferramenta matemática. Através do limite se chega na diferencial e na derivada. A integral é uma operação sobre a diferencial; o resultado mais simples de uma integral é uma diferença, cuja aplicação é fundamental nas Ciências Exatas. A sequência de tópicos que constitui o Cálculo Diferencial e Integral, e a ligação entre esses operadores pode ser esquematizada da seguinte maneira: Neste primeiro artigo vamos apresentar particularidades dos limites, revendo antes algumas proprieda- des das funções, que são importantes para uma compreensão correta desses operadores. Funções Função [1a - 4a] é uma regra ou uma lei de correspondência que associa um único valor a uma variável y, para cada valor atribuído à variável x. O valor de y é representado por f(x), de modo que se pode escrever: y = f(x) = y(x) (1) De acordo com essa definição, a curva: na qual para um dado valor de x, x 1 , são possíveis dois valores para y, y 1 e y 2 , não pode representar uma função.
A generalização dessa definição para mais variáveis, é que é uma regra ou lei de correspondência que associa um único valor para a variável z, para cada conjunto de valores atribuídos às variáveis x, y, t, ...; em símbolos, z = f(x, y, t, ...) = z(x, y, t, ...) (2) Essa forma de representar uma função chama-se forma explícita; ela dá um significado físico à forma como está escrita e, ao mesmo tempo, identifica os tipos de variáveis que participam da sua estrutura; assim, na Eq. (2) está indicado que se deseja estudar o comportamento da variável z em função das variações de x, y, t, etc. É por esse motivo que z é denominada variável dependente, enquanto que as outras são chamadas de variáveis independentes, esquematicamente, Existe uma outra forma de representar uma função, chamada forma implícita, na qual são identificadas somente as grandezas que participam de um determinado fenômeno; em símbolos, tem-se: É fácil notar que nessa representação não é possível identificar a forma de estudo que está sendo realizada. Um aspecto importante que deve ser salientado é que na forma da Eq. (2), a variável dependente só pode assumir um único valor para cada conjunto de valores das variáveis independentes. Existem várias formas de estudar e de classificar as funções; neste resumo, são analisadas somente as funções denominadas de ponto e de linha. Funções de Ponto Uma grandeza física (propriedade) é uma função de ponto quando em um estado definido do sistema assume sempre o mesmo valor, independentemente do processo utilizado para atingir esse estado. São as propriedades que definem a situação de um sistema (estado), em um determinado instante. São chamadas propriedades de ponto, propriedades de estado, propriedades do sistema, ou ainda de propriedades termodinâmicas. Sua representação em um diagrama qualquer é de um ponto; assim, considerando as variáveis P, V e T, que definem os estados de um sistema fechado (massa constante), para uma dada temperatura constante, cada ponto da curva corresponde a um estado do sistema. No diagrama P x V, temos:
Existe outra aplicação muito importante do limite matemático, que é a seguinte: introduz uma nova operação matemática chamada derivada de uma função que, devido suas proprie- dades e aplicações, mereceu uma nova representação simbólica, Nas Ciências Exatas esse limite é utilizado com dupla finalidade: como instrumento de cálculo através da derivada, e para introduzir definições rigorosas para novas grandezas físicas ou para grandezas físicas já utilizadas; assim, a velocidade e a aceleração de um móvel são definidas rigorosamente por:
Limite Experimental O limite experimental não surge da matemática (a matemática não depende da experimentação); ele é fruto do pesquisador das Ciências Exatas que trabalha com a Física, a Química, a Biologia, etc. O limite experimental é um número, com ou sem unidade, para o qual tende o valor de uma propriedade física que está sendo objeto de estudo, em condições tais que é impossível realizar a experiência (pressão P ® 0, temperatura T ® 0, T ® ¥, volume V ® 0, concentração C ® 0, etc). Assim, por exemplo, em pressões constantes e baixas, a temperatura de um gás tende a - 273,16 ºC, quando V ® 0, conforme se pode observar no gráfico adiante. A observação experimental sugere que todos os gases têm um comportamento semelhante, tendendo para o mesmo ponto A. Como é impossível realizar um experimento no ponto A (é impossível um vo- lume igual a zero), a forma de expressar esse resultado é através do limite: É sugestivo notar que não há vínculo, na forma de escrever o limite, entre q e V. Existem vários resul- tados de fenômenos ou propriedades das Ciências Exatas que dependem desse tipo de limite. Limite Funcional O limite funcional também tem sua origem na experimentação; na tentativa de obter leis para explicar o comportamento de certos fenômenos, foram empregados quase sempre situações que mais tarde verificou-se tratar de simplificações drásticas realizadas sobre o fenômeno estudado. Essas leis obtidas através da experiência são denominadas leis empíricas. Através do limite funcional, o que se deseja é dar rigor a uma expressão obtida empiricamente, cuja validade é obedecida somente em condições de impossibilidade experimental. Exemplificando, a lei de Boyle [5a, 6a] para os gases ideais escrita na forma: não está correta, uma vez que para um certo tipo de gás na pressão de 50 atmosferas ela não é obe- decida. Na forma como está escrita ela seria correta somente para os gases perfeitos, isto é, varrendo todo o intervalo de pressão. Sabe-se, no entanto, que essa lei se aproxima cada vez mais do valor
e queremos mostrar que ela se identifica com as leis limites de Wien (l ® 0) e de Rayleigh - Jeans (l ® ¥).
