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Este documento aborda conceitos básicos de teoria de grafos, tais como vértices, arestas, loops, grau de um vértice, grafos isomorfos, passeios, trajetos e caminhos, além de operações como intersecção, união, contração e fusão de vértices. Também é apresentado um algoritmo para encontrar o caminho mínimo em um grafo.
O que você vai aprender
Tipologia: Notas de aula
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Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas Departamento de Matemática Aplicada
Socorro Rangel, Valeriano A. de Oliveira, Silvio A. Araujo 24 de setembro de 2018
Preparado a partir do texto: Rangel, Socorro. Teoria do Grafos, Notas de aula, IBILCE, Unesp, 2002-
iv SUMÁRIO
2 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
v (^1) v 2
v 3 v 4
v 5
1
2
3
4
5
a
b c
Figura 1.1: Representação Grá ca dos grafos do Exemplo 1.
A de pares ordenados de elementos de V , chamados de arestas (ou arcos). Os digrafos podem ser desenhados através de um diagrama onde os vér- tices são representados por pontos e cada aresta (vi, vj ) é representada por uma linha ligando vi a vj com uma seta apontando para vj.
Exemplo 1.2. V = {v 1 , v 2 , v 3 , v 4 , v 5 } e A = {(v 1 , v 2 ), (v 1 , v 3 ), (v 2 , v 4 ), (v 3 , v 4 ), (v 4 , v 5 ), (v 1 , v 2 )}.
v 1 v 2
v 3 v 4
v 5
Figura 1.2: Representação Grá ca do digrafo do Exemplo 1.
Um mesmo grafo, ou um mesmo digrafo, pode ter diferentes representa- ções grá cas. Ver Figura 1.2. O que é que caracteriza um grafo? O conjunto de vértices e a família de arestas, ou seja, um conjunto de objetos (vértices) e a relação entre estes objetos (arestas). Durante o curso, a distinção entre grafos e digrafos será feita de acordo com o tópico estudado.
Assim, podemos dizer que a Teoria de Grafos é um ramo da matemática que estuda as relações entre os elementos de um de- terminado conjunto.
Objetivos do texto:
1.3. APLICAÇÕES 3
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
Figura 1.3: Um mesmo grafo com diferentes representações grá cas.
1.3.1 O problema das pontes de Königsberg
Na cidade de Konigsberg (Hoje Kaliningrado - Rússia) sete pontes cruzam o rio Pregel estabelecendo ligações entre uma ilha e o continente conforme a gura abaixo:
Será que é possível fazer um passeio pela cidade, começando e terminando no mesmo lugar e passando por cada uma das pontes apenas uma vez?
Problema do Carteiro Chinês : Determinar a rota de menor custo que
1.3. APLICAÇÕES 5
(a) 2 casas e 3 serviços; (b) 4 casas e 4 serviços (água, eletricidade, gás e telefone).
6 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
8 CAPÍTULO 2. CONCEITOS INICIAIS
De nição 2.2. Um grafo é simples se não possui loops e/ou arestas paralelas.
De nição 2.3. Duas arestas são ditas adjacentes se elas incidem no mesmo vértice.
De nição 2.4. O grau de um vértice v, d(v), em um grafo G sem loops é determinado pelo número de arestas incidentes em v. Caso haja loops, estas arestas contribuem com grau 2. Representamos por δ(G) o valor do grau do vértice de menor grau do grafo G, e por ∆(G) o maior grau.
Exemplo 2.5. Determine os graus dos vértices do grafo dado na Figura 2.1 acima.
De nição 2.6. A sequência de graus de um grafo G é a sequência não-decrescente formada pelos graus dos vértices de G.
Exemplo 2.7. A sequência de graus do grafo dado na Figura 2.1 acima é (1, 2 , 3 , 3 , 5).
De nição 2.8. Dizemos que:
a) Um vértice v é isolado se d(v) = 0.
b) Um vértice v é pendente se d(v) = 1.
c) Um grafo G(V, A) é dito nulo se o conjunto de arestas A é vazio. É representado por Nn, onde n é o número de vértices do grafo.
d) Um grafo G(V, A) é dito regular se todos os seus vértices tem o mesmo grau.
e) Um grafo G(V, A) é dito completo se existe uma aresta entre cada par vértices. É representado por Kn, onde n é o número de vértices do grafo.
f ) Um grafo G(V, A) em que V = {v 1 , v 2 ,... , vn} e A = {(v 1 , v 2 ), (v 2 , v 3 ),.. ., (vn− 1 , vn)} é dito ser um caminho. É representado por Pn.
g) Um grafo G(V, A) em que V = {v 1 , v 2 ,... , vn} e A = {(v 1 , v 2 ), (v 2 , v 3 ),.. ., (vn− 1 , vn), (vn, v 1 )} é dito ser um ciclo. É represen- tado por Cn.
9
h) Um grafo G(V, A) é dito valorado (ou rede) se são atribuídos valores para os vértices e/ou arestas.
i) Um grafo G(V, A) em que V = V 1 ∪ V 2 , V 1 ∩ V 2 = ∅, e para toda aresta (v, w) ∈ A tem-se v ∈ V 1 e w ∈ V 2 é dito ser um grafo bipartido.
j) Um grafo bipartido G(V 1 ∪ V 2 , A) é dito ser bipartido completo se (v, w) ∈ A para todos v ∈ V 1 e w ∈ V 2. É representado por Kp,q, onde p é o número de vértices de V 1 e q é o número de vértices de V 2.
k) Dado um grafo G, o seu complemento, representado por G¯, é o grafo tal que V ( G¯) = V (G) e A( G¯) = A(Kn) \ A(G), onde n é o número de vértices de G.
Figura 2.2: Grafos regular e nulo.
Figura 2.3: Grafos completos K 4 e K 5.
11
Figura 2.6: Um grafo G e seu complemento G¯.
pares. Para que a igualdade seja válida, a segunda parcela em (2.2) também deve ser par:
∑
grau ímpar
d(vi) é par. (2.3)
Como cada parcela d(vi) em (2.3) é ímpar temos que ter um número par de elementos para que a soma seja um número par (lembre-se que um número ímpar é da forma ( 2 k + 1).
Exercícios:
Alguns exercícios e as respectivas guras foram selecionados do livro Graphs - An Introductory Approach - R.J. Wilson e J.J Watkins (vide ref. [26]).
(a) V = {, ©, ♦, M}, A = {(, ©), (©, ♦), (©, M), (♦, M)}. (b) V = {A, B, C, D}, A = { }. (c) V = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 }, A = {(1, 2), (2, 2), (2, 3), (3, 4), (3, 4), (3, 5), (6, 7), (6, 8), (7, 8)}.
12 CAPÍTULO 2. CONCEITOS INICIAIS
(a) G 1 é um grafo simples;
(b) G 2 é um grafo não-simples sem laços;
(c) G 3 é um grafo não-simples sem arestas múltiplas;
(d) G 4 é um grafo não-simples contendo tanto laços quanto ares- tas simples.
(b) Existe algum grafo simples com 4 vértices e com sequência de graus (1, 2 , 3 , 4)?
14 CAPÍTULO 2. CONCEITOS INICIAIS
Nós já vimos que é possível representar um mesmo grafo de várias maneiras. Como determinar se dois grafos são equivalentes, ou seja, se possuem as mesmas propriedades? Isto é, como determinar se dois grafos são isomorfos? A palavra isomor smo vem do grego iso (mesmo) e morfo (mesma forma).
De nição 3.1. Dizemos que dois grafos G e H são isomorfos se existir uma correspondência biunívoca entre os vértices de G e os vér- tices de H que preserve a relação de adjacência entre vértices e arestas. Em outras palavras, é possível obter o grafo H a partir de uma nova rotulação dos vértices de G.
Exemplo 3.2. Considere os grafos da Figura 3.1. Construir a corres- pondência biunívoca.
a
b
c d e
1 2
3 4
5
Figura 3.1: Grafos isomorfos
Aplicações: O estudo de isomor smo pode ser aplicado na descoberta de novos compostos orgânicos. Os químicos mantém uma tabela de
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