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Índice
- Índice...............................................................................................................................................
- Introdução
- Objetivos:
- Metodologia
- Significado da palavra Elasticidade
- Lei de Hooke
- Aplicação
- Inelasticidade
- Módulo de cisalhamento
- Módulo volumétrico
- Movimento Oscilatório
- Funções horárias do Movimento Harmônico Simples
- Força no Movimento Harmônico Simples
- Ponto de equilíbrio do MHS
- Período do MHS
- Oscilador massa-mola
- Oscilador massa-mola horizontal
- Energia do Oscilador
- Oscilador massa-mola vertical
- Pêndulo Simples
- Conclusão......................................................................................................................................
- Bibliografia
Introdução
Este presente trabalho tem como tema, Elasticidade e Movimento Oscilatório_._ Na qual pretende
duma forma detalhada debruçar-se dos conteúdos deste tema no Processo de Ensino e
Aprendizagem.
Objetivos:
- Objetivo geral:
- Conhecer os conteúdos da elasticidade e movimento oscilatório. - Objetivos específicos:
- Estudar o comportamento de corpos materiais que se deformam ao serem submetidos a ações
externas.
- Descrever o estudo do movimento oscilatório.
Metodologia
Para a realização deste trabalho, o método usado foi a consulta bibliográfica, onde fez-se a consulta
bibliográfica em referências teóricas de vários autores e recorreu-se em diversas obras que de
formas citadas encontram-se neste trabalho.
Lei de Hooke
O físico inglês Roberth Hooke (1635-1703) estudou cuidadosamente várias situações em que uma mola sofria deformações e fez importantes observações que o permitiram determinar uma equação matemática capaz de calculara a ntensidade desta força elástica, equação que ficou conhecida como lei de Hooke. Ele percebeu que quanto maior fosse a força aplicada sobre a mola, maior a deformação sofrida por esta e maior a força restauradora e que para diferentes molas, a mesma força causava diferentes deformações.
Com base nestas observações, para pequenas deformações podemos escrever: F_el=K∙X, onde k é a constante da mola cujo valor depende da mola usada e x a deformação da mola.
Aplicação
O projeto de estruturas na construção civil usa as equações derivadas da teoria da elasticidade para dimensionar as colunas, vigas e lajes. De acordo com o peso que esses elementos vão suportar, além de seu peso próprio, e dos materiais utilizados (concreto ou aço), as máximas tensões calculadas não podem exceder o seu limite de escoamento. Como ilustração, o módulo de elasticidade do aço comum, usado nos perfis estruturais é de 21000 kg/mm2 e o limite de escoamento é de cerca de 21 kg/mm2.
Um fio de aço de 2 milímetros de diâmetro e 1 metro de comprimento, com uma pessoa pendurada a ele pesando 60 kg, fica aproximadamente 1 milímetro maior devido a esse peso, e não se rompe. Volta a ficar com 1m após ser liberado da carga.
Na construção mecânica, principalmente na aviação, onde não se pode abusar do recurso de superdimensionar os elementos estruturais para aumentar sua resistência, (o avião ficaria desnecessariamente pesado e portanto anti-econômico), o cálculo preciso é fundamental. Como as formas muitas vezes são complexas e difíceis de equacionar matematicamente, a solução é o uso da aproximação pelo método dos elementos finitos. Com o crescente poder de computação, esse método passou a ser largamente utilizado pela indústria a partir do final do século XX.
Inelasticidade
Acima de uma determinada tensão, conhecida como limite elástico ou limite de escoamento, a relação entre tensões e deformações se quebra. Além deste limite, o sólido pode deformar-se irreversivelmente, exibindo um comportamento plástico. O início da deformação plástica significa normalmente o colapso de uma estrutura. Alem disso, não só os sólidos exibem elasticidade. Alguns fluidos não-Newtonianos, como os fluidos viscoelásticos também vão exibir elasticidade em certas condições.
Módulo de cisalhamento
Em ciência dos materiais, o módulo de cisalhamento de um material, também conhecido por módulo de rigidez ou módulo de torção, é definido como a razão entre a tensão de cisalhamento aplicada ao corpo e sua deformação específica:
Onde:
G = é o módulo de cisalhamento em P 𝜶 (pascal),
𝑭 𝑨 é a tensão de cisalhamento^ (P 𝜶 ) e^
𝜟𝒙 𝒉 é a deformação especifica (dimensional).
Módulo volumétrico
Módulo volumétrico (K), é um parâmetro que descreve a elasticidade volumétrica, ou deformar
em todas as direções quando uniformemente carregado em todas as direções (hidrostaticamente).
Esse módulo é definido como razão volumétrica, e é o inverso da compressibilidade.
K = - v
𝝏𝑷 𝝏𝑽
Onde:
K - é o modulo volumétrico,
P - é a pressão ,
V- é o volume e
𝝏𝑷
𝝏𝑽
que é a derivada parcial da pressão em relação ao volume.
Funções horárias do Movimento Harmônico Simples
Chamamos um movimento de harmônico quando este pode ser descrito por funções horárias harmônicas (seno ou cosseno), que são assim chamadas devido à sua representação gráfica:
Quando isto acontece, o movimento é chamado Movimento Harmônico Simples (MHS).
Para que o estudo desse movimento seja simplificado, é possível analisá-lo como uma projeção de um movimento circular uniforme sobre um eixo. Assim:
Colocando o eixo x no centro do círculo que descreve o Movimento Curvilíneo Uniforme e comparando o deslocamento no Movimento Harmônico Simples:
Usando o que já conhecemos sobre MCU e projetando o deslocamento angular no eixo x podemos deduzir a função horária do deslocamento no Movimento Harmônico Simples:
Usando a relação trigonométrica do cosseno do ângulo para obter o valor de x:
cos 𝜑 =
𝑋 = 𝐴. cos 𝜑
Esta é a posição exata em que se encontra a partícula na figura mostrada, se considerarmos que, no MCU, este ângulo vária com o tempo, podemos escrever φ em função do tempo, usando a função horária do deslocamento angular:
𝜑 = 𝜑 0 + 𝜑 ∙ 𝑡
Então, podemos substituir esta função na equação do MCU projetado no eixo x e teremos a função horária da elongação, que calcula a posição da partícula que descreve um MHS em um determinado instante t
𝑥 = 𝐴 ∙ cos(𝜑 + 𝜑 ∙ 𝑡)
𝑥 = 𝐴 ∙ cos (𝜑 ∙ 𝑡 + 𝜑 0 )
Período do MHS
Grande parte das utilidades práticas do MHS está relacionado ao conhecimento de seu período (T),
já que experimentalmente é fácil de medi-lo e partindo dele é possível determinar outras grandezas.
Como definimos anteriormente:
K = m.ω²
A partir daí podemos obter uma equação para a pulsação do MHS:
Mas, sabemos que:
Então, podemos chegar a expressão:
Como sabemos, a frequência é igual ao inverso do período, logo:
Oscilador massa-mola
Um oscilador massa-mola ideal é um modelo físico composto por uma mola sem massa que possa ser deformada sem perder suas propriedades elásticas, chamada mola de Hooke, e um corpo de massa m que não se deforme sob ação de qualquer força.
Este sistema é fisicamente impossível já que uma mola, por mais leve que seja, jamais será considerada um corpo sem massa e após determinada deformação perderá sua elasticidade. Enquanto um corpo de qualquer substância conhecida, quando sofre a aplicação de uma força, é deformado, mesmo que seja de medidas desprezíveis.
Mesmo assim, para as condições que desejamos calcular, este é um sistema muito eficiente. E sob determinadas condições, é possível obtermos, com muita proximidade, um oscilador massa-mola.
Oscilador massa-mola horizontal
É composto por uma mola com constante elástica K de massa desprezível e um bloco de massa m, postos sobre uma superfície sem atrito, conforme mostra a figura abaixo:
Como a mola não está deformada, diz-se que o bloco encontra-se em posição de equilíbrio.
Ao modificar-se a posição do bloco para um ponto em x, este sofrerá a ação de uma força restauradora, regida pela lei de Hooke, ou seja:
𝐹 = −𝐾 ∙ 𝑋
Como a superfície não tem atrito, esta é a única força que atua sobre o bloco, logo é a força
resultante, caracterizando um MHS. Sendo assim, o período de oscilação do sistema é dado por:
Como não há dissipação de energia neste modelo, toda a energia mecânica é conservada durante o
movimento de um oscilador massa-mola horizontal.
Oscilador massa-mola vertical
Imaginemos o sistema anterior, de uma mola de constante K e um bloco de massa m , que se
aproximam das condições de um oscilador massa-mola ideal, com a mola presa verticalmente há
um suporte e ao bloco, em um ambiente que não cause resistência ao movimento do sistema:
Pode-se observar que o ponto onde o corpo fica em equilíbrio é:
Ou seja, é o ponto onde a força elástica e a força peso se anulam. Apesar da energia potencial
elástica não ser nula neste ponto, considera-se este o ponto inicial do movimento.
Partindo do ponto de equilíbrio, ao ser "puxado" o bloco, a força elástica será aumentada, e como
esta é uma força restauradora e não estamos considerando as dissipações de energia, o oscilador
deve se manter em MHS, oscilando entre os pontos A e - A, já que a força resultante no bloco será:
Mas, como o peso não varia conforme o movimento, este pode ser considerado como uma
constante. Assim, a força vária proporcionalmente à elongação do movimento, portanto é um
MHS.
Tendo seu período expresso por:
Pêndulo Simples
Um pêndulo é um sistema composto por uma massa acoplada a um pivô que permite sua
movimentação livremente. A massa fica sujeita à força restauradora causada pela gravidade.
Existem inúmeros pêndulos estudados por físicos, já que estes descrevem-no como um objeto de
fácil previsão de movimentos e que possibilitou inúmeros avanços tecnológicos, alguns deles são
os pêndulos físicos, de torção, cônicos, de Foucalt, duplos, espirais, de Karter e invertidos. Mas o
modelo mais simples, e que tem maior utilização é o Pêndulo Simples.
Este pêndulo consiste em uma massa presa a um fio flexível e inextensível por uma de suas
extremidades e livre por outra, representado da seguinte forma:
Quando afastamos a massa da posição de repouso e a soltamos, o pêndulo realiza oscilações. Ao
desconsiderarmos a resistência do ar, as únicas forças que atuam sobre o pêndulo são a tensão com
o fio e o peso da massa m. Desta forma:
Como P=mg, e m, g e ℓ são constantes neste sistema, podemos considerar que:
Então, reescrevemos a força restauradora do sistema como:
Sendo assim, a análise de um pêndulo simples nos mostra que, para pequenas oscilações, um
pêndulo simples descreve um MHS.
Como para qualquer MHS, o período é dado por:
E como
Então o período de um pêndulo simples pode ser expresso por:
Conclusão
No decorrer desta pesquisa, dá para ver, com estes temas do trabalho procuramos ter a verdade sobre os conteúdos dos mesmos.
Portanto, dizendo que estes itens são vistos pelo mundo de aprendizagem como sendo fundamentais na compreensão e desenvolvimento da capacidade, no processo educativo.
Sabendo que, na física, o termo elasticidade significa a propriedade mecânica de certas matérias mecânica para sofrer deformação reversível quando são submetidos a ação de forcas externas e restaurar a forma original, quando essas forcas externas são removidas.
Um movimento oscilatório acontece quando o sentido do movimento se alterna periodicamente, porém a trajetória é a mesma para ambos os sentidos.
