El Modelo de Cass-Koopmans-Ramsey, Resumos de Macroeconomia

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Crecimiento óptimo:

El Modelo de Cass-Koopmans-Ramsey

1. El modelo de crecimiento óptimo

• En el modelo de Solow-Swan se suponía unatasa de ahorro

constante

• Ahora permitimos a los agentes determinar de forma óptima la

trayectoria de su consumo,

• La estructura del modelose debe a Ramsey (1928) y

posteriormente Cass (1965) y Koopmans (1965)

• Ahora la tasa de ahorro óptima durante la transición puede ser

creciente, decreciente o constante dependiendo de ciertas

combinaciones de valores parámetricos estructurales

• Nota sobre la función de producción

Utilizamos la función de producción neoclásica que verifica las llamadas condiciones de Inada, y que presenta rendimientos constantes a escala en los factores trabajo y capital, lo que permite su representación en forma intensiva según la cual la producción per cápita puede expresarse como función únicamente del capital per cápita

No consideramos progreso tecnológico porque queremos estudiar las fluctuaciones de corto plazo, por lo que simplifica el análisis obtener series que no muestran crecimiento de largo plazo (el crecimiento de la renta per cápita en el estado estacionario es nulo si no hay progreso técnico)

• Nota sobre la función de utilidad:

Se denomina función de utilidad con aversión relativa al riesgo constante, tiene la ventaja de que dicha aversión al riesgo se resume en el valor del parámetro . Cuanto mayor es el parámetro , mayor es la aversión al riesgo, lo que implica mayor concavidad de la función de utilidad y mayor suavidad en el perfil de consumo (menor volatilidad del consumo a lo largo del ciclo económico) se denomina elasticidad de sustitución intertemporal del consumo Casos particulares: implica función de utilidad lineal implica función de utilidad logarítmica La baja volatilidad observada en las series de consumo de economías reales implica que deberíamos usar en el modelo

• Teoremas del Bienestar:

En ausencia de externalidades, la solución del planificador coincide con la que resultaría de una economía competitiva descentralizada sin gobierno en la que interactúan familias y empresas.

• Notas sobre la decisión óptima consumo-ahorro:
  • La tasa de crecimiento del consumo será positiva (negativa, nula) cuando el tipo de interés de equilibrio rt sea mayor (menor, igual) a la tasa de descuento, , esto es, la elección consumo-ahorro óptima viene determinada por la condición

Dado un exceso del rendimiento sobre la tasa de descuento, cuanto menor sea la aversión al riesgo del agente (menor sigma), mayor será la variación experimentada por el consumo (más volátil)

• La condición de transversalidad garantiza que la senda de las variables no sea explosiva, evitando que se realice una acumulación de capital excesiva o por el contrario deficiente (en el primer caso acabaríamos sin consumo y en el segundo sin capital)

θ

t [ t ]

t

c r c

σ = − θ



• Estado estacionario óptimo(maximiza el bienestar agregado):

Como en Solow-Swan, el estado estacionario se caracteriza por

esto es, niveles constantes para las variables per capita ( kSS , cSS ).

Las variables agregadas crecerán a la tasa n (crecimiento

poblacional).

La evolución dinámica de la economía viene definida por:

(a) La ley de evolución del capital (como en Solow):

(b) La regla Keynes-Ramsey:

c  t = k  t = 0

k  t = kt^ α^ − ( n + δ) k (^) t − ct

t^1 1 ( ) t t

c k n c

α^ α δ θ σ

= ⎡^ − − + + ⎤

k  = 0 : k^ α − ( n + δ) k

k GR

1 1 c 0 : kSS n

α^ α δ θ

⎡ ⎤^ − = = (^) ⎢ ⎥ ⎣ +^ + ⎦



k SS

c SS

k t

c t

11 1 k (^) Max n α δ = ⎡^ ⎤^ − ⎢⎣ (^) + ⎥⎦

Es directo demostrar que : la regla de oro implica una sobre-acumulación de capital, permite un mayor nivel de consumo cuando se alcanza el estado estacionario, pero es necesario sacrificar demasiado consumo previamente. Imponer una tasa de ahorro constante (Solow-Swan) es subóptimo (en Cass- Koopmans la tasa de ahorro se determina óptimamente periodo a periodo)

k SS < kGR

k (^) SS kt

c t

k t

c  t = (^0) c t

c  t < 0 c  t > 0

k  t < 0

k  t^ > 0 k  t = 0

• Dirección de los cambios en consumo:
• Dirección de los cambios en capital:

1 1

1

t t SS t t

SS t

c k n k k n c c k

k k n c k

α α

α

− −

−

= ⎡⎣^ − + + ⎤⎦→ = = + + =

t t t t SS SS SS SS SS SS

k k n k c c c k n k c k

c c k n k c k

α α α

δ δ δ

k SS

c SS

k t

c t

Trayectoria estable

Diagrama de fases

• Trayectoria estable: Para cada nivel del stock de capital, hay un

solo valor que puede tomar el consumo para que la economía

converja al estado estacionario óptimo. Esta trayectoria es un

conjunto de valores ( c , k ) que constituyen la solución del

planificador, y se caracteriza por verificar la condición de

transversalidad

Se denomina condición de estabilidad a la función que establece el

valor que debe tomar la variable de control, el consumo, como

función de la variable de estado, el capital, para que la economía se

sitúe en la trayectoria estable. Es del tipo:

Necesitaremos tantas condiciones de estabilidad como variables de

control haya en el modelo.

lim t SS SS 0 t

e −^ θ^ λ k →∞

=

c 0 (^) = f k ( (^) 0,parámetros estructurales)

• La forma de la trayectoria estable depende de los valores

paramétricos: por ejemplo, si la aversión al riesgo es alta la

trayectoria es muy lineal y tiene poca pendiente, para garantizar que

la senda de consumo sea suave

k t

c t

Aversión riesgo baja Aversión riesgo alta

En general no es posible determinar la expresión analítica de la trayectoria estable o de la condición de estabilidad, pero podemos obtener soluciones numéricas aproximadas (log-linealizamos el sistema de condiciones de

primer orden en torno al estado estacionario).

k SS

c SS

k t

c t Trayectoria estable

Trayectoria estable aproximada (condición de estabilidad)

3. Mercados:

• Familias y empresas interactúan en los mercadosde factores

y productos, fijándose los precios que equilibran demandas y

ofertas ( wt , rt , pY )

• Mercado de trabajo: se determina el salario ( wt ) que equilibra

la oferta de trabajo de los hogares ( LS ) con la demanda de las

empresas ( LD ).

• Mercado de capital: se determina la tasa de alquiler ( rt ) que

equilibra la oferta de capital de las empresas ( KS ) con la

demanda de los hogares ( KD^ , demanda de inversión, como

función de su rentabilidad)

• Mercado de producto: se determina el precio del bien pY que

equilibra la oferta de producto de las empresas con la

demanda de los hogares

• Familias:

Condiciones de primer orden:

• Empresa:

Por la condición de no arbitraje, el rendimiento de los activos financieros ( rt ) se iguala en el equilibrio al rendimiento del capital físico ( Rt - ):

CPO:

{ }

1 0

0

,

1 1 sujeto a: dado

t (^) t

t t t t t

c v t t Max e c dt

c v w r n v v

θ σ σ

∞ (^) − − − −

• = + −

∫ 

(^1 ) ( , , , , ) 1

t (^) t t t t t t t t t t t H c v w r μ e θ^ c^ σ μ w r n v c σ

− − − = + ⎡⎣ + − − ⎤⎦ −

[ ]

0 : , (^1) (3) : lim 0

t c t t (^) t t v t t t t t t t t^ t

H e c (^) c r n H r n c e v

θ σ

θ

μ θ μ μ μ σ μ

− −

− →∞

= = ⎫⎪ ⎬ →^ =^ ⎡⎣^ −^ + ⎤⎦ = − − = − (^) ⎪⎭ =

  

{ } (^ )

1 MLt , axKt K L w L t t rt Kt ⎡ α^ −α− − + δ ⎤ ⎣ ⎦

δ Rt^ =^ rt +^ δ

(^1 1 1) ( ) (4)

(1 ) (1 ) (5)

t t t t t t t t t t t t t

K L r k r k r k L K w k w

α α α α α α α

α δ α δ α δ α α

− − − −

= + → = + → = + − = → − =