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CAPÍTULO III
CINEMÁTICA
1.- Una persona parada en el techo de un edificio
tira una bola verticalmente hacia arriba con una
velocidad de 49 pies por segundo la bola llega al
suelo en 4.25 segundos más tarde. ¿qué altura
tiene el edificio? ¿Con qué velocidad llegará la
bola al suelo?
Datos:
v
0
= 49 ft / s
t =4.25 s
g = 32 ft / s
2
Conversión a metros:
v
0
= 49 × 0.3048 ≈ 15.0 m / s
g = 32 × 0.3048 ≈ 9.81 m / s
2
Altura del Edificio:
y
0
g t
2
− v
0
t
Sustituyendo los valores:
y
0
× 9.81 × ( 4.25 )
2
−15.0 × 4.
y
0
× 9.81 × 18.0625−15.0 × 4.
y
0
y
0
≈ 25.2 m
Velocidad al Llegar al Suelo:
v
f
= v
0
Sustituyendo los valores:
v
f
=15.0−9.81 × 4.
v
f
v
f
≈ −26.75 m / s
2.-Un objeto que cae recorre 224 pies en el último
segundo de su movimiento. Sabiendo que el
cuerpo partió del reposo Determine la altura desde
la cual cayó el objeto y qué tiempo le tomó en
llegar al suelo.
Datos:
g =9.81 m / s
2
Δ h =68.2752 m
v
0
h =
g t
2
v
t − 1
= g ( t − 1 )
v
t
Desplazamiento en el último segundo:
68.2752= g ( t − 1 ) +
g
Resolviendo para t :
68.2752=9.81( t − 1 ) +
× 9.
68.2752=9.81 t −9.81+ 4.
73.1802=9.81 t
t =
t ≈ 7.46 s
Altura Total:
h =
g t
2
h =
× 9.81 × ( 7.46)
2
h ≈ 273.44 m
3.-Una pelota se deja caer y simultáneamente una
segunda pelota, se tira hacia abajo con una
velocidad inicial de 100 cm por segundo ¿Cuál
será el tiempo cuando la distancia entre ellos es de
18 m?
Datos:
g =9.81 m / s
2
v
0,
= 0 m / s
v
0,
= 1 m / s
Distancia entre pelotas: 18 m
Ecuaciones del Movimiento:
y
1
g t
2
y
2
= v
0,
t +
g t
2
Condición de Distancia:
y
2
− y
1
= 18 m
Resolviendo:
v
0,
t = 18
1 ⋅t = 18
t = 18 s
4.-Se lanzan dos cuerpos verticalmente hacia
arriba, con la misma velocidad de salida de
100m/segundo pero separados 4 segundos ¿qué
tiempo pasará desde que se lanzó el primero para
ver que se vuelvan a encontrar?
Datos:
v
0
= 100 m / s
g =9.81 m / s
2
Δt = 4 s
E cuaciones del Movimiento:
y
1
= v
0
t −
g t
2
y
2
= v
0
( t − Δt )−
g ( t − Δt )
2
Condición de Encuentro:
y
1
= y
2
100 t −
× 9.81 t
2
= 100 ( t − 4 )−
× 9.81 ( t − 4 )
2
Resolviendo para t :
100 t −4.905 t
2
= 100 t − 400 −4.
t
2
− 8 t + 16
0 =39.24 t −478.
t =
t ≈ 12.2 s
5.-Un disco cuyo diámetro es de 3 M está girando
120 revoluciones por segundo calcule: a) su
frecuencia B) el periodo c) la velocidad angular y
d) la velocidad lineal de un punto sobre el borde.
Datos:
D = 3 m
N = 120 rev / s
A) Frecuencia (f):
f = N = 120 Hz
B) Periodo (T):
a total
= 16 √ 2 ft / s
2
t = 2 s
Aceleración Tangencial ( a_t ):
v ( t )=
ds
dt
= 3 t
2
a
t
dv
dt
= 6 t + 4
a t
2
Aceleración Normal (a_n):
v ( 2 )= 3 ( 2 )
2
a n
v
2
r
{Aceleración Total (a_{total}):\
a
total
√
a
t
2
n
2
16 √ 2 =
2
r
2
r
2
r =
r = 25 ft
8.-Un disco parte del reposo y acelera de tal
manera que su velocidad angular aumenta
uniformemente a 200 rpm en 6 segundos después
de haber estado girando por algún tiempo a esta
velocidad se aplican los frenos y el disco toma 5
min en detenerse. Si el número total de
revoluciones del disco es de 3100. Calcule el
tiempo total de rotación.
Datos:
ω
f
= 200 rpm
t
1
= 6 s
t
3
= 5 min= 300 s
N
total
= 3100 revoluciones
Conversión de Unidades:
ω
f
= 200 rpm ×
2 π rad
1 rev
×
1 min
60 s
≈ 20.9439 rad / s
Fase de Aceleración:
α =
Δω
Δ t
ω
f
t
1
≈ 3.49065 rad / s
2
N
1
α t
1
2
÷ 2 π ≈ 9.55 revoluciones
Fase de Velocidad Constante:
N
3
ω
f
t
3
÷ 2 π ≈ 500 revoluciones
N
const
= N
total
− N
1
− N
3
≈ 2590.45 revoluciones
t
const
N
const
f
× 60 ≈ 777.14 s
Tiempo Total de Rotación:
t
total
= t
1
const
3
= 6 +777.14 + 300 ≈ 1083.14 s
9.-Determine DR/Dθ En la ecuación R = vo2/g x
sen2θ , (θo = θ) demuestre haciendo DR/Dθ=0 se
obtiene teta es igual a 45º para el alcance máximo.
Ecuación del Alcance:
R =
v
0
2
g
sin 2
Derivada de R respecto a θ :
dR
d θ
v
0
2
g
d
d θ
( sin 2 θ )
dR
d θ
v
0
2
g
⋅ 2 cos 2
dR
d θ
2 v
0
2
g
cos 2
Igualando la derivada a cero:
2 v
0
2
g
cos 2 θ = 0
cos 2 θ = 0
Ángulo que maximiza R :
2 θ = 90
∘
θ = 45
∘
10.-Un cuerpo se lanza horizontalmente desde lo
alto de una cuesta que forma un ángulo θ con la
horizontal si la velocidad inicial del cuerpo es V
¿A qué distancia caerá sobre la cuesta Rpta: 2v²
tanθ /(gcosθ ).
Datos:
V =velocidad inicial
θ =ángulo de la cuesta con la horizontal
g =aceleración debida a la gravedad
Movimiento Horizontal:
x ( t )= V ⋅t
Movimiento Vertical:
h =
g t
2
h = x ⋅ tan❑
Tiempo en términos de x :
x ⋅ tan θ =
g t
2
t
2
2 x ⋅ tan θ
g
t =
√
2 x ⋅ tan θ
g
Distancia Horizontal:
x = V ⋅t
x = V ⋅
√
2 x ⋅ tan θ
g
Resolviendo:
x
2
= V
2
2 x ⋅ tan θ
g
x =
2 V
2
⋅ tan θ
g ⋅ cos θ
11.-Una partícula tiene aceleración constante a es
igual a 6i+ 4j m/s2. En el instante t = 0, la es cero
y el vector posición es ro= 10i m. Encuentre:
a). Los vectores posición y velocidad en un
instante cualquiera t.
b). La ecuación de la trayectoria en el plano XY y
hacer un esquema de la misma.
Datos:
a = 6 i + 4 j m / s
2
v ( 0 )= 0
r ( 0 ) = 10 i m
- Vector Velocidad en función de t :
v ( t )=
∫
b a dt
Para t =
T
r
(
T
)
= 4 cos
(
π
)
i − 4 sin
(
4 π
)
j
r
(
T
)
= 2 i + 2 √
3 j
Para t =
T
r
(
T
)
= 4 cos
(
π
)
i − 4 sin ( 2 π ) j
r
(
T
)
= 0 i + 0 j
Para t = 2 T :
r ( 2 T )= 4 cos ( 2 π ) i − 4 sin ( 8 π ) j
r ( 2 T )= 4 i
14.-Un meteorito sigue una órbita circular a 220
km por hora sobre la superficie terrestre y hace
una revolución alrededor de la tierra cada 89
minutos a)¿Cuál es la velocidad del meteorito?
b)?¿Cuál es su aceleración?
Datos:
v = 220 km / h
T = 89 min
a) Velocidad del Meteorito:
v = 220 km / h ×
1000 m
1 km
×
1 h
3600 s
≈ 61.11 m / s
b) Aceleración Centrípeta:
Periodo en segundos:
T = 89 min × 60 s / min= 5340 s
Perímetro de la órbita:
C = v ×T =61.11m / s × 5340 s ≈ 326,615.4 m
Radio de la órbita:
r =
C
2 π
2 π
≈ 51,900 m
Aceleración centrípeta:
a
c
v
2
r
2
≈ 0.072 m / s
2
15.-Un auto frena cuando gira una pronunciada
curva horizontal reduciendo de 90 a 50 km por
hora en los 15 segundos que tarda en recorrerla el
radio de la curva es 150 m calcule la aceleración
en el momento en que la rapidez del auto alcanza
50 km por hora suponga que el auto frena a una
proporción uniforme durante el intervalo de 15
segundos.
Datos:
v
i
= 90 km / h → 25 m / s
v
f
= 50 km / h → 13.89 m / s
t = 15 s
r = 150 m
- Acelerac ión Tangencial:
a
t
v
f
− v
i
t
13.89 m / s− 25 m / s
15 s
≈ −0.74 m / s
2
- Aceleración Centrípeta:
a
c
v
f
2
r
2
≈ 1.29 m / s
2
- Aceleración Total:
a =
√
a
t
2
c
2
√
2
2
≈ 1.49 m / s
2
1 6.-Durante 3 horas y 24 minutos un globo va a la
deriva a 8.7 km /Newton 9.7 km E y 2.9 km en en
elevación desde el punto de salida sobre el suelo
calcule:
a) La magnitud de su velocidad promedio
B) El ángulo que su velocidad promedio forma
con la horizontal.
Datos:
t = 3 horas 24 minutos=3.4 horas
Δ x =9.7 km
Δ z =2.9 km
a) Magnitud de la Velocidad Promedio:
Δ d = √
( Δ x )
2
2
√
2
2
≈ 10.12 km
v
prom
Δd
t
10.12 km
3.4 horas
≈ 2.98 km / h
b) Ángulo con la Horizontal:
tan ( θ )=
Δ z
Δ x
θ =arctan ( 0.299) ≈ 16.
∘
17.- Una esfera Rueda del borde de una mesa
horizontal de 4.23 ft de altura cae al suelo en un
punto 5,11 ft horizontalmente lejos del borde de la
mesa
A) ¿Durante qué tiempo estuvo la esfera en el
aire?
B) ¿Cuál era su velocidad en el instante en que
dejó la mesa?
Datos:
h =4.23 ft × 0.3048 m / ft=1.29 m
d =5.11ft × 0.3048 m / ft=1.56 m
g =32.2ft / s
2
× 0.3048 m / ft=9.81 m / s
2
a) Tiempo en el Aire:
t =
√
2 h
g
√
2 × 1.
≈ 0.513 s
b) Velocidad Horizontal en el Instante
en que Dejó la Mesa:
v
x
d
t
≈ 3.04 m / s
Datos:
v
0
=velocidad inicial
θ =ángulo de disparo
α =ángulo de inclinación de la colina
g =aceleración debida a la gravedad
Ecuaciones del Movimiento:
x ( t )= v
0
cos ( θ ) ⋅t
y ( t ) = v
0
sin ( θ ) ⋅t −
g t
2
Ecuación de la Pendiente:
y = x tan ( α )
Despejar t :
t =
2 v
0
sin ( θ )−cos ( θ ) tan ( α )
g
Alcance Horizontal R :
R =
2 v
0
2
cos ( θ ) ( sin ( θ )−cos ( θ ) tan ( α ) )
g
Ángulo Óptimo para Alcance Máximo:
θ = 45
∘
α
- Un proyectil se lanza a una distancia
horizontal R del borde de un acantilado de altura h
de manera tal que cae a una distancia horizontal x
del fondo del acantilado. Queremos que x sea tan
pequeña, ¿ como ajustaremos θ y Vo suponiendo
que Vo pueda ser variada desde cero hasta un
valor máximo finito Vmax y que θ pueda ser
variado continuamente? Solo se permite una
colisión con el suelo. Ver la figura.
Datos:
h =altura del acantilado
R =distancia horizontal desde el borde del acantilado
x =distancia horizontal desde el fondo del acantilado
v
0
=velocidad inicial
θ =ángulo de disparo
g =aceleración debida a la gravedad
Ecuaciones del Movimiento:
x ( t )= v
0
cos ( θ ) ⋅t
y ( t ) = v
0
sin ( θ ) ⋅t −
g t
2
Ecuación de la Pendiente:
y = x tan ( α )
Tiempo de Vuelo:
t =
v
0
sin ( θ ) +
√
(
v
0
sin ( θ ) )
2
g
Alcance Horizontal x :
x =
v
0
2
cos ( θ ) sin ( θ ) + v
0
cos ( θ )
√
( v
0
sin ( θ ) )
2
g
Minimizar x :
∂ x
∂ θ
∂ x
∂ v
0
22.- Se hace girar una piedra en un círculo
horizontal situado a 1,9 m sobre el suelo por
medio de una cuerda de 1,4 metros de longitud la
cuerda se rompe y la piedra sale disparada
horizontalmente golpeando al suelo a 11 m de
distancia Cuál fue la aceleración normal de la
piedra mientras estaba en movimiento circular.
Datos:
h =1.9 m
r =1.4 m
d = 11 m
g =9.81 m / s
2
Tiempo de Vuelo:
t =
√
2 h
g
√
2 × 1.
≈ 0.622 s
Velocidad Horizontal:
v =
d
t
≈ 17.7 m / s
Aceleración Normal:
a
n
v
2
r
2
≈ 223.7 m / s
2
