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Matemática Aplicada

Matemática Aplicada

Vila Velha (ES)

Apresentação

Caro estudante,

Disciplina de Matemática Aplicada. Vamos percorrer um longo caminho, que inicia nos conceitos mais elementares da matemática, chegando até suas aplicações no curso de Administração. Alguns assuntos talvez você já tenha estudado, no entanto, aqui eles terão uma nova abordagem para contribuir de forma significativa na sua vida profissional.

Na elaboração deste material didático foram utilizados os seguintes autores como referência básica: Guidorizzi (2010), Murolo (2012), Silva e Abrão (2008), por isso as maiores contribuições deste material são encontradas nessas três obras. Como referências complementares contaremos com os autores: Demana et al. (2009), Goldstein, Schneider e Lay (2012), Medeiros (2005), Silva, Silva e Silva (2011) e Jacques (2010), que no geral trabalham com conceitos mais aprofundados sobre a disciplina de Matemática.

Estudar matemática requer dedicação, concentração e exata compreensão dos conceitos. Como trataremos dessas questões com foco nas aplicações em sua área de interesse, pretendemos que este estudo seja bastante prazeroso e interessante.

Convidamos você a iniciar esta disciplina com muita motivação para que, ao final deste estudo, você possa ter um novo olhar sobre os problemas de administração.

Bom estudo!

Objetivo

O nosso objetivo é desenvolver oportunidades de compreender aplicações da matemática, estabelecendo relações entre conhecimentos específicos do curso de administração. Para isso, é necessário identificar situações-problema, propor soluções frente a diferentes níveis de dificuldade e desenvolver o raciocínio lógico e crítico.

Habilidades e competências

• Reconhecer a importância do conhecimento matemático em diferentes situações- problema do curso de Administração.
• Reconhecer os conceitos de funções, limites e derivadas e suas aplicações no curso de Administração.
• Estabelecer conexões entre temas matemáticos de diferentes campos e entre esses temas e conhecimentos de outras áreas curriculares.
• Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações – naturais, inteiros, racionais ou reais.
• Comparar e saber utilizar conhecimentos sobre funções, limites e derivadas no curso de Administração, analisando as informações para a construção de argumentos.

Ementa

Números reais (operações, representações e intervalos). Álgebra (uso de equações e inequações na resolução de problemas). Funções (linear, quadrática, inversa, composta, exponencial, logarítmica) e suas aplicações (problemas de demanda e oferta de mercado, receita, custo e lucro). Cálculo diferencial no dia a dia de um gestor (limites e derivadas) e suas aplicações.

• 1. Conjuntos numéricos e números reais .............................................................................
• 2. Uso de calculadora na resolução de operações matemáticas .........................................
• 3. Equações do primeiro grau............................................................................................
• 4. Equações do segundo grau............................................................................................
• 5. Inequações do primeiro grau ........................................................................................
• 6. Inequações do segundo grau ........................................................................................
• 7. Introdução ao conceito de funções ................................................................................
• 8. Função linear – parte I ..................................................................................................
• 9. Função linear – parte II .................................................................................................
• 10. Aplicações de função linear ...........................................................................................
• 11. Equação da reta ............................................................................................................
• 12. Exercícios sobre função linear........................................................................................
• 13. Função quadrática ........................................................................................................
• 14. Função quadrática – parte I ..........................................................................................
• 15. Função quadrática – parte II .........................................................................................
• 16. Aplicações de função quadrática .................................................................................
• 17. Exercícios sobre função quadrática ..............................................................................
• 18. Função inversa ............................................................................................................
• 19. Função composta ........................................................................................................
• 20. Função exponencial – parte I ......................................................................................
• 21. Função exponencial – parte II .....................................................................................
• 22. Aplicações de função exponencial ...............................................................................
• 23. Função logarítmica – parte I .......................................................................................
• 24. Função logarítmica – parte II ......................................................................................
• 25. Aplicações de funções logarítmicas .............................................................................
• 26. Exercícios sobre função inversa, composta, exponencial e logarítmicas......................
• 27. O limite de uma função ...............................................................................................
• 28. Cálculo de limites usando suas leis – parte I ...............................................................
• 29. Cálculo de limites usando suas leis – parte II ..............................................................
• 30. Cálculo de limites usando suas leis – parte III .............................................................
• 31. Continuidade e descontinuidade de funções ...............................................................
• 32. Limites no infinito .......................................................................................................
• 33. Assíntotas horizontais .................................................................................................
• 34. Derivadas ....................................................................................................................
• 35. Derivadas: Taxa de Variação.........................................................................................
• 36. Derivadas de Funções Polinominais e Exponenciais ....................................................
• 37. Derivadas: regra do produto........................................................................................
• 38. Derivadas: regra do quociente.....................................................................................
• 39. Exercícios sobre derivadas ...........................................................................................
• 40. Derivadas: regra da cadeia – parte I............................................................................
• 41. Regra da cadeia – parte II ...........................................................................................
• 42. Derivada de ordem superior ........................................................................................
• 43. Exercícios sobre derivadas ...........................................................................................
• 44. Aplicações de derivadas no estudo das funções...........................................................
• 45. Aplicações de derivadas no estudo das funções – parte I ............................................
• 46. Aplicações de derivadas no estudo das funções – parte II ...........................................
• 47. Aplicações das derivadas nas áreas econômica e administrativa .................................
• 48. Exercícios de revisão....................................................................................................
• Glossário ............................................................................................................................
• Referências ........................................................................................................................

Conjuntos numéricos e números

reais

Objetivo Representar e fazer operações com números reais, além de trabalhar com notação de intervalo e potenciação com expoentes inteiros.

Você já observou que uma das atividades mais presentes do nosso dia a dia é a contagem? Contamos o dinheiro, a quilometragem até chegar ao trabalho, os habitantes de certa cidade, as páginas de um livro etc.

Houve um tempo em que o homem não sabia contar, pois não era preciso. Com o passar do tempo, as pessoas passaram a se questionar: Qual a quantidade de animais nesse rebanho? Quantas batatas foram obtidas nesta colheita? Quantas pessoas vivem nesta comunidade? A partir de então começaram a criar diferentes representações para essas quantidades até chegarem à representação dos números utilizada atualmente.

Esta primeira unidade trata dos conjuntos de números criados para representar estas quantidades e sua formalização matemática. Veremos conceitos que dão base a esta disciplina, do ponto de vista da matemática e também vamos (re)conhecer tipos de conjuntos e fazer operações com seus elementos de forma correta, o que nos dará mais facilidade no momento em que formos resolver problemas.

1.1 Representação dos números reais

De acordo com Demana et al. (2009, p. 3), “[...] um número real é qualquer número que pode ser escrito na forma decimal.” Esses números são representados por símbolos já conhecidos por você, como:

0, 5, 1, 44, 105, 3, , , 3, 3 5, 7 , 1,3636 ... e 0,3. 3

• • • π e

O conjunto dos números racionais Q é composto por todos os números

que podem ser escritos na forma de fração ,

a b em que^ a^ e^ b^ são números

inteiros e b ≠ 0. Observe os seguintes exemplos:

7 1, 75 4 4 0,363636... 0, 11 10 2 5 9 3 3

Note que o conjunto dos números inteiros está contido no conjunto dos números racionais.

Os números irracionais são todos os números que não pertencem ao conjunto dos racionais, por exemplo: π, e , 2, 3 9, 1,948563840... Note que nenhum destes pertence ao conjunto dos números racionais, pois eles não podem ser escritos como a razão entre dois números inteiros.

Ao unirmos todos os conjuntos mencionados, teremos o conjunto dos números reais. A Figura 3 mostra como um conjunto está contido no outro até formar o conjunto dos números reais, que iremos trabalhar ao longo desta disciplina.

Números Racionais Números Irracionais

Números Reais

Números Inteiros Números Naturais

Figura 3 – Conjuntos numéricos. Fonte: <www.infoescola.com>.

1.2 Ordem e notação de intervalo

No conjunto dos números reais, é possível dizer que um número é “maior que” ou “menor que” outro, pois ele é considerado um conjunto ordenado. Essa característica pode ser identificada na reta de números reais (Figura 1), e são usados símbolos de desigualdade para fazer as representações. Os símbolos são: <, >, ≤, ≥.

Vejamos, por meio de alguns exemplos, a utilização desses símbolos.

Símbolo Leitura Significado Representação gráfica

x < 3

x menor que 3

Representa todos os números reais estritamente menores que 3. 3

x > 3

x maior que 3

Representa todos os números reais estritamente maiores que 3. 3

x ≤ 3

x menor ou igual a 3

Representa todos os números reais menores ou iguais a 3. 3

x ≥ 3

x maior ou igual a 3

Representa todos os números reais maiores ou iguais a 3. 3

− 2 ≤ x ≤ 4 x^ –2 e 4entre Representa todos os números reaisentre –2 e 4. –2 4

Quadro 1 – Ordem dos números reais. Fonte: Elaborado pelos autores (2013).

Agora conheceremos os quatro intervalos não limitados, mas para isso é preciso lembrar que o símbolo –∞ é utilizado para representar o infinito negativo e o símbolo +∞ para representar o infinito positivo.

Notação de intervalo Tipos de intervalo^

Notação de desigualdade Representação gráfica

[3, +∞[ Fechado^ x ≥ (^33)

]3, +∞[ Aberto^ x > (^33)

Fechado x ≤ (^33)

Aberto x < (^33)

Quadro 3 – Intervalos não limitados de números reais. Fonte: Elaborado pelos autores (2013).

Observe que o intervalo aberto ]–∞, +∞ [ pode ser utilizado para representar o conjunto dos números reais.

Exemplo 2 : Converta a notação de intervalo para desigualdade ou vice- versa. Encontre os extremos e verifique se o intervalo é limitado, seu tipo e a representação gráfica.

a. ]‒3, 2]

Solução: A notação de desigualdade para esse intervalo corresponde a –3 < x ≤ 2; o intervalo é limitado, do tipo fechado à direita e aberto à esquerda, e seus extremos são ‒3 e 2.

b. 1 ≤ x ≤ 5

Solução: A notação de intervalo é [1, 5]; o intervalo é limitado e fechado, com extremos 1 e 5.

c. ]–∞, 2[

Solução : A notação de desigualdade é x < 2; o intervalo não é limitado, é aberto e possui apenas o extremo 2.

1.3 Propriedades básicas da álgebra

Existem algumas operações possíveis de serem feitas com o conjunto dos números reais. Elas são conhecidas como adição, subtração, divisão e multiplicação. No entanto, existem propriedades da álgebra (regras) que devemos conhecer para realizar as operações corretamente.

Propriedades

1. Comutativa
   • Adição: 3 + 4 = 4 + 3
   • Multiplicação: 3 4⋅ = 4 3⋅
2. Associativa
   • Adição: (3 + 4) + 5 = 3 + (4 +5)
   • Multiplicação: (3 4) 5⋅ ⋅ = 3 (4 5)⋅ ⋅
3. Elemento neutro
   • Adição: 3 + 0 = 3
   • Multiplicação: 3 1⋅ = 3
4. Oposto
   • 3 + −( 3) = 0
   • Dizemos que −3 é o oposto de 3 e vice-versa.
5. Inverso
   • ⋅^ = 3 1 1 3
   • Dizemos que

1 3 é o inverso de 3, pois seu produto é igual a 1.

6. Distributiva
   • a ⋅ ( b + c )= ab + ac
   • ( a + b )⋅ c = ac + bc

Quadro 4 – Propriedades da álgebra. Fonte: Elaborado pelos autores (2013).

Exemplo 3 : Usando as propriedades de potenciação, simplifique as expressões a seguir supondo que os denominadores sejam diferentes de zero.

a.

4 3 2 5

x y x y

Solução : Pela propriedade 2, temos:

4 3 4 2 3 5 2 2 2 5.

x y x y x y x y

= -^ -^ = -

b.

2 2 4 2

x y y

Solução : Pelas propriedades 2 e 6, temos:

2 2 4 2 4 4 4 2 2 2

x y x y x y y y

c.

3 2 xy

     

Solução : Pelas propriedades 4, 5 e 7, temos:

(^3 3 3 ) 2 . 2 8

xy x y xy

  (^)     =^   =   ^ 

Saiba mais

Note que em um dos exemplos anteriores, a resposta nos fornece uma dízima periódica, ou seja, uma repetição periódica e infinita de um ou mais algarismos. Nesse caso, o período é 36 e representamos a repetição com um traço sobre a sequência que se repete. Para saber mais sobre o assunto acesse a esta página ou assista ao vídeo disponível aqui.

Uso de calculadora na resolução de

operações matemáticas

Objetivo Usar a calculadora na resolução de operações matemáticas.

A calculadora é um importante instrumento para realização de operações matemáticas. Existem diferentes tipos de calculadoras, que variam de acordo com o modelo e a capacidade de realizar operações. As calculadoras mais simples são aquelas que realizam apenas as operações básicas (adição, subtração, divisão, multiplicação e porcentagem). As que oferecem funções como a logarítmica, a exponencial e as trigonométricas usualmente são chamadas de calculadoras científicas. Além disso, temos calculadoras específicas para a área financeira ou para a engenharia, com funções mais avançadas e construção de gráficos.

Para o nosso curso, a calculadora científica é suficiente. A Figura 4 mostra um exemplo desse modelo de calculadora.

Figura 5 – Funções para resolver a expressão. Fonte: <www.casio-intl.com>.

Inicialmente seleciona-se a função , que representa uma fração:

A função replay possui quatro flechas, e assim é possível posicionar a digitação no numerador ou denominador da fração. Primeiramente digitamos o numerador, por exemplo 7 × (1,35 + 2,43), nesse mesmo formato, utilizando os parênteses. Em seguida é preciso posicionar a digitação para que se possa inserir o denominador e finalmente apertar o sinal de igualdade para obter a resposta.

× +

Se necessário, é possível transformar os números decimais em fracionários, e vice-versa, com a função:.

Nesse caso, basta pressionar a tecla e teremos

Dica

Na página, disponivel aqui, você encontra uma calculadora científica on-line. Não deixe de conhecer e praticar!

Outras funções importantes são raiz e potência. Vejamos como utilizar a calculadora para encontrar o valor da expressão 2 4 - 144 +^5 32. Iremos utilizar as funções destacadas na Figura 6.

Figura 6 – Funções para resolver a expressão. Fonte: <www.casio-intl.com>.

Para digitarmos a potência 2^4 utiliza-se a função destacada posicionada à direita, em que aparece:

Com a função replay , posiciona-se para digitar a base 2 e o expoente 5 em seus respectivos lugares.