Econometria: Regressão por Variáveis Instrumentais (VI), Exercícios de Econometria

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Econometria:

Regressão por Variáveis

Instrumentais (VI)

Slides do curso de econometria de Marco Cavalcanti da Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro PUC-Rio

Sumário

Motivação para o uso de VI

Principais causas do viés do estimador de MQO
Erros de mensuração
Simultaneidade

Estimação por VI
Estimação por VI

Mínimos Quadrados em 2 Estágios

Principais causas do viés do

estimador de MQO

As razões mais comuns para a existência de correlação entre o distúrbio (u) e alguma variável explicativa (x) são:

(1) Omissão de variáveis relevantes

(2) Erros de mensuração

(3) Simultaneidade

O caso (1) já foi discutido anteriormente

A seguir, veremos brevemente os casos (2) e (3)

Erros de mensuração

Considere o modelo de regressão simples:

onde cov(x,u) = E(xu) = 0.

Nesse modelo, a estimação por MQO deveria gerar estimadores consistentes dos parâmetros. Supõe-se, porém, que a variável x seja*

y = β 0 + β 1 x * + u

Supõe-se, porém, que a variável x seja observada com erro*

Isto é, o que observamos na prática é

onde E(e) = 0 cov(x,e) = E(xe) = 0 cov(e,u) = E(eu) = 0

x = x * + e

Erros de mensuração

Reescrevendo o modelo em função da variável observada x:

Agora, a estimação por MQO não gera

x

x u e

x e u

y x u

0 1

0 1 1

0 1

0 1 *

Agora, a estimação por MQO não gera estimadores consistentes dos parâmetros, pois:

[ ]

[( )( )]

cov( , ) ( )

1 2

• 1 * 1 2

• 1 * 1 2

• 1

e

E x u E eu E x e E e

E x u eu x e e

E x e u e

x E x

β σ

β β

β β

β

ε ε

Erros de mensuração

Lembre que

=

=

n

n

i

i

n

i

i i

x x

x x

x x y

1

2

1 1

E note que

=

=

= + n

i

i

i

i

x x

x x

1

2

1 1

(^2) * 2

var( ) var( *^ ) var( )

x e

x x e

Simultaneidade

Considere a equação:

onde y é a incidência da AIDS por país (em%), x é a porcentagem de jovens que usam camisinha nas relações sexuais de “alto risco”, e v é um vetor que inclui outras variáveis relevantes para explicar y, tal que

y = β 0 + β 1 x + γ' v + u

variáveis relevantes para explicar y, tal que cov( v ,u) = 0.

Não seria razoável esperar que o “ modelo estrutural ” que relaciona as variáveis acima contivesse uma segunda equação, , ou seja, que x também dependesse de y?

x = α 0 + α 1 y + δ' w + e

Simultaneidade

Suponha que estejamos interessados em estimar a primeira equação (que é a mais interessante do ponto de vista da formulação de políticas sócio-econômicas)

Será que a estimação por MQO é uma boa alternativa?

A resposta é, em geral, não!

De fato, mostraremos a seguir que, na primeira equação, em geral a condição cov(x,u) = 0 é violada – e, portanto, o estimador de MQO é inconsistente.

Simultaneidade

No nosso exemplo: digamos que certo país tenha um u “alto” em decorrência de algum fator puramente aleatório (por exemplo, maior promiscuidade), o que implica maior incidência de AIDS, ceteris paribus.

Mas isso significa, por sua vez, que mais jovens usarão camisinha para se proteger jovens usarão camisinha para se proteger (pois a maior incidência de AIDS torna o sexo sem proteção mais arriscado).

Logo, há correlação entre os fatores em u e a porcentagem de jovens que usam camisinha.

Simultaneidade

Em termos mais formais, temos um sistema de duas equações e duas incógnitas (y e x)

• o “ modelo estrutural ”:

Resolvendo o sistema para y e x em função

x y e

y x u

δ' w

γ' v

0 1

0 1 α α

β β

das variáveis exógenas ( v e w ) e dos distúrbios, obtemos a “ forma reduzida ”:

]

[

]

[

1

0 1 0 1 1 1

1

0 1 0 1 1 1

u e

x

e u

y

α

α α β α α β

β

β β α β α β

δ' w

γ' v

γ' v

δ' w

Simultaneidade

Portanto, o estimador de MQO aplicado à equação 1 é viesado e inconsistente!

Esse tipo de viés do estimador de MQO é denominado “ viés de equações simultâneas ” ou simplesmente “ viés de simultaneidade ”.

Em geral, não é possível saber a direção do viés.

Em modelos simples, porém, isso é possível.

Simultaneidade

Por exemplo, suponha que o modelo seja:

Novamente temos

n

( x i x ) u

x y e

y x u

0 1 δ'^ w

0 1 α α

β β

E portanto

=

=

= + n

i

i

i

i

x x

x x u

1

2

1 1 1

β^ ˆ β

1 1

1 2 1

1 1

var( )

plim ( ˆ ) cov( , )

u

x

x u

Variáveis Instrumentais

Considere a equação:

(*) onde: E(u) = 0 cov(x,u) ≠ 0

Independentemente do motivo para a existência de correlação entre x e u, o método de variáveis instrumentais ( VI )

y = β 0 + β 1 x + u

método de variáveis instrumentais ( VI ) fornece um estimador consistente dos parâmetros de interesse.

O método se baseia na utilização de uma variável adicional z, não incluída em (*), que satisfaça certas condições.

Variáveis Instrumentais

Tais condições são:

(1) Cov(z,u) = 0 (2) Cov(z,x) ≠ 0

Quando uma variável z satisfaz ambas as condições acima, dizemos que z é um instrumento válido para x. instrumento válido para x.

Vale notar que a condição (1) não é testável , pois refere-se à covariância entre z e um erro não observável

Você precisa de uma boa “historinha” para justificar seu instrumento!

A condição (2), porém, pode ser testada em uma regressão de x em z [teste de significância de qual coeficiente?]