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Econometria 1 modelo de regressão linear, violação dos pressupostos do MRL
Tipologia: Esquemas
1 / 23
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Teorema de Gauss-Markov
Definição
Gráfica
Teste t
Watson Godfrey
MQG MQGF
Robusto
O modelo só é válido para relações lineares.
Quem varia é o regressando, o regressor é fixo, qualquer que seja a amostra. Em
outras palavras, dados os valores controlados de x , Y variará aleatoriamente
segundo uma distribuição de probabilidade, com valor esperado dado por E( Y | x ).
É a mesma coisa afirmar que E( Y| x )= x
i
´b.
i
2
s
2
Os erros são homocedásticos, ou seja, sua variância é uma constante.
i
j
Não há relação entre valores dos erros.
- Inércia: séries econômicas costumam apresentar ciclos, ou seja, períodos de
t
- Falhas de especificação: a autocorrelação pode ser devida à ausência de um
- Defasagens: as decisões econômicas em um período t dependem, muitas vezes,
t t t
e = e + u
r
t t t
Y = a+ b X + e
t t t
Y = a + b X + e
t t t t
2
1 2
a b b
t t t
Y = a + b X + e
t t t t
1 2 - 1
a b b
t t t t
a d b
1
ou
Definição
Gráfica
Teste t
Watson Godfrey
MQG MQGF
Robusto
Definição
Gráfica
Teste t
Watson Godfrey
MQG MQGF
Robusto
possuem mais variância mínima). Em outras palavras, seja b o estimador de
MQO, então existe outro estimador b* tal que:
Não Autocorrelacionado
Y
X
Intervalo de
Variação das
estimativas de
MQO
Intervalo de
Variação das
estimativas de
outro método
Autocorrelacionado
Y
X
Intervalo de
Variação das
estimativas de
MQO
Intervalo de
Variação das
estimativas de
um método
mais eficiente
)
ˆ
*) (
ˆ
Var ( b < Var b
Principais testes para se detectar a autocorrelação:
Definição
Gráfica
Teste t
Watson Godfrey
MQG MQGF
Robusto
ê
Não há nenhum padrão evidente de
relacionamento no tempo
tempo
Há um padrão cíclico de dispersão
dos resíduos ao longo do tempo
tempo
ê
Há uma tendência quadrática de
dispersão dos resíduos ao longo do tempo
tempo
ê
tempo
Há uma tendência linear na distribuição
dos resíduos ao longo do tempo
ê
Definição
Gráfica
Teste t
Watson Godfrey
MQG MQGF
Robusto
î
í
ì
=
0
0
1
0
H :
H :
Como correlações seriais são, usualmente, positivas, sugere-se teste
unicauldal para verificar existência de autocorrelação nos erros.
t t t
e = e + u
t
k
j
t j j
Y X e
t
= + +
å
= 1
a b
Se supormos que os erros apresentem autocorrelação de primeira ordem:
Se estimarmos os resíduos de MQO ê
t
, podemos testar as hipóteses:
Poderíamos utilizar a estatística t dada por:
r
r
ˆ
2
1
2
2
1
ˆ
ˆ ˆ
ˆ
=
=
å
å
=
t
n
t
n
t
t t
e
e e
r
2
1
2
2
ˆ
ˆ
ˆ
=
å
=
t
n
t
e
S
s
r
2
2 2
å
=
t
n
t
s
Sendo os estimadores de MQO dados por:
Caso os regressores sejam estritamente exógenos e a
amostra seja relativamente grande, teremos:
0
p
( n - 1 )- 1
Como não observamos e
t
,
a estatística t é válida
assintóticamente caso os
regressores sejam
estritamente exógenos.
Definição
Gráfica
Teste t
Watson Godfrey
MQG MQGF
Robusto
t t t
e e u
ˆ ˆ 0 , 252
ˆ
1
= +
As estimativas de MQO foram:
O valor p do teste de hipóteses será dado por:
0
0,
( 34 - 1 )- 1
Se rejeitarmos a hipótese de
ausência de autocorrelação pelo
teste t , estaremos sujeitos a um
erro de 7,9%. A validade do
teste depende, entretanto, (i) da
ausência de relação entre os
erros e
t
e os valores defasados
do preço da cana-de-açucar e
(ii) do tamanho da amostra, que
não é razoavelmente grande.
t t t
ˆ
r
1,
î
í
ì
=
0
0
1
0
H :
H :
Definição
Gráfica
Teste t
Watson Godfrey
MQG MQGF
Robusto
Estatística de Durbin-Watson:
A estatística de Dubin-Watson (DW) pode ser utilizada para testar as hipóteses:
1
0
r
r
sendo
å
å
=
=
=
n
t
t
n
t
t t
e
e e
DW
1
2
2
2
1
ˆ
)
ˆ ˆ (
2
1
2
1
t
n
t
n
t
t t
=
=
onde
Teremos que:
O fato de a estatística DW basear-se em valores estimados a
partir da amostra ( ê
t
), ao invés de valores observados ( e
t
),
condiciona sua densidade de probabilidade aos valores
observados na amostra. Caso não disponha de um programa
estatístico para calcular o valor p. Durbin e Watson
elaboraram uma tabela com possíveis valores extremos de
DW em função no número de variáveis independentes ( k ) e
observações da amostra ( n ).
0
I
d
S
d
4
Rejeita H 0 :
r > 0
Zona
Indecisão
Não Rejeita H 0
: r
= 0
I
S
d
Na zona de indecisão, não se pode
rejeitar nem aceitar H
0
,
I
n k
DW
,
S
n k
DW
,
Definição
Gráfica
Teste t
Watson
Godfrey
MQG MQGF
Robusto
0
4
#,%
!&
'
Como o valor de DW
obtido a partir dos
resíduos (1,4725) está na
região de indecisão, o
teste seria inconclusivo,
ou seja, não há
evidências, para afirmar
que os erros sejam ou não
autocorrelacionados.
0 , 2419
ˆ
ˆ ˆ
ˆ
2
1
2
1
= =
å
å
=
=
t
n
t
n
t
t t
e
e e
Distribuição para uma amostra de 34
observações ( n =34) e apenas uma
variável independente ( k =1), teremos:
0
1 , 3931 , 514 4
I
DW
34 , 1
S
DW
34 , 1
5%
5%
DW=1,
As estimativas de MQO foram:
t t t
î
í
ì
=
0
0
1
0
H :
H :
Devemos testar:
î
í
ì
<
=
2
2
1
0
H : DW
H : DW
t t t
e = e + u
supondo
que:
As estatísticas de teste serão:
1 , 4745
ˆ
)
ˆ ˆ (
1
2
2
2
1
=
=
å
å
=
=
n
t
t
n
t
t t
e
e e
DW
Onde:
Definição
Gráfica
Teste t
Watson
Godfrey
MQG MQGF
Robusto
Se afirmássemos que há autocorrelação de 1ª ordem, estaríamos sujeitos a um erro de 15,5%
segundo o teste de BG. Diferentemente do teste t e do teste DW , que testam apenas
autcorrelação positiva, o teste BG considera também a presença de autocorrelação negativa.
As estimativas de MQO foram:
t t t
Para testarmos a autocorrelação de 1ª ordem pelo BG:
t t t t
1 1
As hipóteses a serem testadas seriam:
î
í
ì
¹
=
0
0
1
0
H :
H :
( ) ( 34 1 ) 0 , 061 2 , 023
2
ˆ
= - = - =
e
LM n q R
χ
0 , 155
2 , 023
E a estatística de teste seria:
Definição
Gráfica
Teste t
Watson
Godfrey
MQG MQGF
Robusto
Seja a equação autocorrelacionada:
2 2
1 2 3
2 3
2
2 1
2
... 1
... ... ... ... ...
1 ...
1 ...
1 ...
1
1
( ) s s
r r r
r r r
r r r
r r r
r
e = V
ú
ú
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
=
- - - n n n
n
n
n
Var
y = Xβ + e
A equivalente matricial:
Supondo que a autocorrelação seja dada por:
Se conhecemos V a equação corrigida será
dada por:
t t t
r
O objetivo é transformar o modelo para que este
apresente erros não autocorrelacionados.
1º passo) A equação (1) implica em:
A autocorrelação regressiva de 1ª ordem implica:
Λy = ΛXβ + Λe
Onde
Pois:
2 2
( Λee Λ )= ΛVΛ s = I s
T
E
O que implica em:
2
2
1
( )
r
s
=
t
Var e
2
2
1
( , )
r
s
r
=
s
t t s
Cov e e
e
(1)
(2)
t t t
2º passo) Subtraindo da equação (1) a
equação (2) multiplicada por r:
( ) ( 1 ) ( ) ... ( )
1 1 1 1 1
1
t t t t
Y Y X X e e
t t
r a r b r r
ú
ú
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
=
0 0 ... 1
... ... ... ... ...
0 1 ... 0
1 0 ... 0
1 0 0 ... 0
2
r
r
r
r
Λ
u
t
X
*
1
a
*
Y
*
que apresenta erros u
t
não autocorrelacionados
e
Λ Λ = V
T
Definição
Gráfica
Teste t
Watson Godfrey
MQG
MQGF
Robusto
!
"
= $ + &
'
(
'
)
⋯ + &
(
)
"
!
"-'
= $ + &
'
(
'
)./
⋯ + &
(
)./
"-'
0 (!
"-'
) = 0 ($ + &
'
(
'
)./
⋯ + &
(
)./
"-'
)
Mínimos Quadrados Generalizados
y = Xβ + e
%&'()) = ,-
.
Λy = ΛXβ + Λe
%&'(!)) = /-
.
1 1 1 1
T T T T T T
y V y β X V y
1 1
ˆ
SQRes
= -
T T T
e
2 1 1 2
ˆ
ˆ
b
= X V X
T
Definição
Gráfica
Teste t
Watson Godfrey
MQG
MQGF
Robusto
t t t
ou seja
r = 0 , 5
2 2
33 32 31
2 31
32
2 33
2
0 , 5 0 , 5 0 , 5 ... 1
... ... ... ... ...
0 , 5 1 ... 0 , 5
0 , 5 1 0 , 5 ... 0 , 5
1 0 , 5 0 , 5 ... 0 , 5
1 0 , 5
1
( ) s s
r
e = V
ú
ú
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
Var =
As estimativas de MQO foram:
t t t
Supondo agora que:
Definição
Gráfica
Teste t
Watson Godfrey
MQG
MQGF
Robusto
e
Para obter as estimativas de MQG, transformamos as variáveis:
!
"
− 0 , 5!
"'(
= *( 1 − 0 , 5 ) + /( 0
"
− 0 , 50
"'(
) + 1
"
Λy = ΛXβ + Λe
Λ Λ = V
T
em que
Á 345
"
= − 3 , 343 + 5 , 056934 ç;
"
"
As estimativas de MQP são não tendenciosas e as mais eficientes. O estimador da variância também é
não tendencioso. Mas a validade dessas estimativas depende de um pressuposto forte, que a variância
dos erros seja de fato uma função linear da renda, com = = 0 , 5.
As estimativas de MQG seriam: