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Prof. Ewerton da Silva LemesProf. Ewerton da Silva LemesProf. Ewerton da Silva LemesProf. Ewerton da Silva LemesProf. Ewerton da Silva LemesProf. Ewerton da Silva LemesProf. Ewerton da Silva LemesProf. Ewerton da Silva LemesProf. Ewerton da Silva LemesProf. Ewerton da Silva LemesProf. Ewerton da Silva LemesProf. Ewerton da Silva LemesProf. Ewerton da Silva LemesProf. Ewerton da Silva LemesProf. Ewerton da Silva LemesProf. Ewerton da Silva LemesProf. Ewerton da Silva Lemes
Introdução
Existe um abismo muito grande entre o ensino médio e a graduação. A graduação possui muito mais conteúdo, os professores passam os conteúdos muito mais rápido e muitas vezes não dão muitos detalhes sobre os conteúdos, o estudo depende muito mais do aluno e de sua proatividade para buscar os conteúdos. Além disso, no caso específico da Matemática, os alunos chegam com uma base fraca e sem conhecer as definições dos objetos matemáticos. Pronto, aí está uma fórmula que talvez você não conheça, a fórmula do desespero e das notas baixas. Eu escrevi esse e-book com o objetivo de começar as construir uma ponte sobre esse abismo, ele foi feito para ligar o estudante do ensino médio ao estudante do ensino superior.
Dentro do assunto de Cálculo, para muitos estudantes, a ideia de limites pode parecer abstrata ou intimidante à primeira vista, pois não se parece com nada visto no ensino médio e nem no que precisa ser estudado para passar no vestibular. Este e-book foi pensando para que essa dificuldade com o início dos estudos dos limites seja superada, o objetivo dele é tornar o conceito de limite mais claro e fazer com que o estudante dê os primeiros passos no cálculo de limites.
Quase a totalidade do que é estudado em Cálculo depende do conceito de limite, por exem- plo, as derivadas, as integrais e a análise de funções em geral. Isso mostra que o conceito de limite é essencial para o Cálculo, é a base do Cálculo.
No primeiro capítulo desse e-book abordamos o conceito de limite de forma intuitiva, ex- plorando o que ele realmente significa no contexto matemático, tanto algebricamente como graficamente. A compreensão dessa base é essencial para enxergar o cálculo de limites não apenas como um conjunto de regras, mas como uma ferramenta poderosa para descrever o comportamento das funções.
No capítulo 2, apresentamos alguns teoremas, um pouco da teoria, para fundamentar o cálculo de limites. Depois disso, as regras de cálculo de limites são apresentadas e vários exemplos são feitos para que se possa compreender como as regras de cálculo de limites são usadas.
No capítulo 3, abordamos um grande desafio aos estudantes, os limites que tem como
resultado a indeterminação do tipo
. Abordaremos dois casos onde limites dão
mostrando
duas formas de sair dessa indeterminação e calcular esses limites.
Por fim, no capítulo 4, está uma lista de exercícios com gabarito para você testar o que você aprendeu durante o estudo desse e-book.
O ícone ¢, que está em alguns exemplos, o levará a uma animação feita no Geogebra para que você veja geometricamente o que foi calculado no exemplo onde ele aparece.
Esse e-book, com certeza, te ajudará muito no estudo inicial de limites. Ele fará com que os próximos passos na teoria de limites fiquem mais fáceis. Aproveite e bons estudos.
Capítulo 1
O Conceito de Limite
A melhor maneira de abordar o conceito de limite de uma função real de uma variável real, pelo menos, inicialmente, é de forma intuitiva e usando exemplos. Vamos fazer isso nesse capítulo.
1.1 Noção intuitiva de limite
Exemplo 1.1 Considere a função f (x) =
x^2 − 1 x − 1
. Note que a função f não está definida em
x = 1, ou seja, não é possível calcular f (1). Isso ocorre porque ao substituirmos x por 0 na função f obtemos
f (1) =
que é uma indeterminação.
Embora não seja possível calcular f (1), podemos aplicar f em valores de x tão próximos de 1 o quanto quisermos. Por exemplo, para x = 0, 99 qual será o valor de f (0, 99)? Ou ainda, se x = 1, 01 , qual será o valor de f (1, 01)? Vamos responder a essas perguntas usando as seguintes tabelas
x f (x) 0 , 8 1 , 8 0 , 9 1 , 9 0 , 99 1 , 99 0 , 999 1 , 999 0 , 9999 1 , 9999
x f (x) 1 , 0001 2 , 0001 1 , 001 2 , 001 1 , 01 2 , 01 1 , 1 2 , 1 1 , 2 2 , 2
Na primeira coluna da tabela à esquerda, de cima para baixo, estão alguns valores de x que estão se aproximando de 1 por valores menores que 1. Ao fazermos isso, vemos que os valores de f (x), que estão na segunda coluna da mesma tabela, de cima para baixo, estão se aproximando de 2. Intuitivamente, concluímos que, conforme os valores de x se aproximam de 1 por valores menores que 1 , os valores de f (x) se aproximam de 2.
Agora observe a tabela da direita. Na primeira coluna desta tabela, de baixo para cima, temos alguns valores de x que estão se aproximando de 1 por valores maiores que 1. Ao fazermos isso, percebemos que os valores de f (x), também de baixo para cima, se aproximam de 2. Intuitivamente, concluímos que, quando os valores de f (x) se aproximam de 1 por valores maiores que 1 , os valores de f (x) também se aproximam de 2.
1.1. NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE 7
Figura 1.3: Gráficos da função f com x se aproximando de 1 pela direita
Por meio do gráfico de f , vemos o mesmo comportamento que observamos usando as tabelas, quando x tende a 1 , os valores de f (x) tendem a 2 independentemente se valores de x estão à esquerda ou à direita de 1 , ou ainda, se são menores ou maiores que 1.
O exemplo 1.1 nos descreveu exatamente o conceito de limite. Por meio de tabelas e também pelo gráfico de f , vimos que quando x se aproxima de 1 , f (x) se aproxima de 2. Em linguagem de limites, esse comportamento de f para valores de x próximos de 1 é dito como:
"O limite de f (x) quando x tende a 1 é igual a 2 ."
Usando a notação de limites, a frase acima é escrita como:
lim x→ 1 f (x) = 2,
ou, usando a própria expressão da função, podemos escrever
lim x→ 1
x^2 − 1 x − 1
De maneira geral, dada uma função qualquer f (x), se o fato de x se aproximar de um número qualquer a faz com que os valores de f (x) se aproximem de um valor L, dizemos que o limite de f (x) quando x tende a a é L e, em símbolos, escrevemos
lim x→a f (x) = L.
Então, à partir de agora, não se assuste ao ver a notação acima com alguma função, ela só está dizendo que, quando x se aproxima de a, tanto por valores menores como por valores maiores que a, os valores da função se aproximam de L.
Esta forma intuitiva de calcular um limite por meio de um gráfico vista no exemplo 1.1 é muito importante será usada mais vezes nesse texto.
8 CAPÍTULO 1. O CONCEITO DE LIMITE
Esse é o conceito de limite de uma função. Agora que compreendemos esse conceito, vamos olhá-lo mais de perto para ver alguns detalhes importantes.
No Exemplo 1.1 calculamos intuitivamente o limite de f (x) quando x tendia a 1 onde f (1) não existia. Mas a não existência de f (1) não é uma condição para se calcular esse limite, ou seja, não é necessário que f (a) não exista para se calcular o limite de f (x) quando x tende a algum número real a. No exemplo que fizemos, poderíamos ter calculado o limite de f (x) fazendo x tender a 2 usando um raciocínio análogo com f (2) existindo, visto que f (2) = 3. A questão aqui é analisar o comportamento de uma função quando os valores de x estão perto de um determinado número sem nos importarmos se f aplicada à esse número existe ou não.
Quando escrevemos lim x→a f (x)
não estamos assumindo x = a, estamos pensando em x cada vez mais próximo de a porém diferente de a e, a partir disso, observamos os valores de f (x) para ver o que acontece com eles. Por isso, no limite de f (x) quando x tende a um número a, f (a) não importa, ele pode existir ou não.
Vejamos alguns exemplos para perceber o que acabamos de escrever acima, que em lim x→a f (x),
o valor de f (a) não importa.
Exemplo 1.2 Considere a função
g(x) =
x^2 − 1 x − 1
se x ̸= 1 1 se x = 1
Seu gráfico é
Figura 1.4: Gráfico da função g
Analisando o gráfico de g como fizemos com o gráfico de f no exemplo 1.1, concluímos que lim x→ 1 g(x) = 2 mesmo com g(1) existindo e sendo g(1) = 1. Esse é um caso onde o resultado do
limite é diferente do resultado da função aplicada no número para o qual x está tendendo.
Exemplo 1.3 Considere a função
h(x) = x + 1.
Seu gráfico é
10 CAPÍTULO 1. O CONCEITO DE LIMITE
Figura 1.7: Gráfico da função f com x tendendo a 0 pela esquerda e pela direita
Por meio da figura anterior percebemos que, quando x tende a 0 pela esquerda, os valores de f (x) se aproximam de 0 e, quando os valores de x tendem a 0 pela direita, os valores de f (x) se aproximam de 1. Isso nos mostra que o valor para o qual f (x) se aproxima quando x tende a 0 depende da forma que x tende a 0 , se por valores menores ou maiores que 0. Como vimos no Exemplo 1.1, para que esse limite exista, os valores de f (x) devem se aproximar de um mesmo número independentemente de como x se aproxima de 0. Portanto, concluímos que lim x→ 0 f (x) não existe.
Exemplo 1.5 Considere a função g(x) =
x
. O gráfico dessa função é dado por
Figura 1.8: Gráfico da função g
Vamos observar esse gráfico mais de perto e fazer com que x se aproxime de 0 pela esquerda.
1.1. NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE 11
Perceba que os valores de g(x) vão ficando cada vez menores, (ou em outras palavras, grandes em módulo, porém negativos). Isso nos mostra que conforme x se aproxima de 0 , os valores de g(x) não se aproximam de valor algum, eles decrescem indefinidamente.
Vamos ver agora o que acontece quando x se aproxima de 0 pela direita.
Nessa figura podemos perceber que, conforme x se aproxima de 0 , os valores de g(x) crescem indefinidamente, sem se aproximarem de algum valor, eles simplesmente ficam cada vez maiores.
Sendo assim, g(x) não se aproxima de algum valor quando x tende a 0 e também dizemos que lim x→ 0 g(x) não existe.
Vamos ver mais um caso onde o limite de uma função não existe.
Exemplo 1.6 Considere a função h(x) = sen
x
. O gráfico dessa função é
Figura 1.9: Gráfico da função h
Observe que, perto de x = 0 a função oscila muito e, por esse motivo não é possível dizer para qual valor a função h(x) se aproxima quando x se aproxima de 0. Logo, lim x→ 0 h(x) não
existe.
Capítulo 2
Calculando limites
Antes de vermos qualquer regra pra cálculo de limites, vamos ver um teorema muito importante.
Teorema 2.1 (Unicidade do Limite) Dados uma função y = f (x) e a ∈ R, se lim x→a f (x) = L 1
e lim x→a f (x) = L 2 , então L 1 = L 2.
Esse teorema nos garante que não é possível uma função ter limites diferentes quando x tende a um mesmo número a. O limite, quando existe, é único. Esse teorema também nos diz que, ao usarmos as regras para cálculo de limites que veremos adiante, é impossível encontrarmos limites diferentes.
2.1 Dois limites muito importantes
Nos exemplos a seguir veremos como calcular limites com a função identidade e a função constante. Nesse primeiro exemplo trataremos da função identidade e ele será usado como uma regra para cálculo de limites.
Exemplo 2.2 Considere a função identidade f (x) = x. Dado um número real qualquer a, qual é o valor de
lim x→a f (x) = lim x→a x?
Esse limite está nos perguntando: "de qual número x se aproxima quando x se aproxima de a?"Claramente, x se aproxima do próprio a. Podemos ver isso por meio do gráfico de f (x) = x
Figura 2.1: Gráfico da função identidade com x tendendo a a
14 CAPÍTULO 2. CALCULANDO LIMITES
Logo lim x→a x = a
para qualquer que seja a real.
Vejamos alguns exemplos de como usar essa regra vista no exemplo anterior.
Exemplo 2.
(a) lim x→ 1 x = 1
(b) lim x→ 0
x = 0
(c) lim x→− √ 3
x = −
Esse próximo exemplo, que aborda a função constante, também será usado como regra.
Exemplo 2.4 Se f é uma função constante, f (x) = k para algum k real, dado a ∈ R, qual é o valor de lim x→a f (x) = lim x→a k?
O último limite está nos perguntando: "para qual valor a constante k se aproxima quando x tende a a?"Observe que k não depende de x, ele não muda, logo, k se aproxima de k quando x tende a a. Podemos ver isso pelo gráfico de f (x) = k
Figura 2.2: Gráfico da função constante com x tendendo a a
Assim lim x→a k = k
para quaisquer que sejam a e k números reais.
Vejamos alguns exemplos do uso dessa regra vista no exemplo anterior.
Exemplo 2.
(a) lim x→ 1
(b) lim x→− 3
(c) lim x→ 2
16 CAPÍTULO 2. CALCULANDO LIMITES
Desse modo, temos a generalização desse exemplo. Seja
p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x^2 + · · · + anxn
um polinômio qualquer com ai ∈ R para i = 0, 1 , 2 ,... , n. Dado a ∈ R, temos
lim x→a p(x) = lim x→a a 0 + a 1 x + a 2 x^2 + · · · + anxn
= lim x→a
a 0 + a 1 lim x→a
x + a 2
lim x→a
x
lim x→a
x
n
= a 0 + a 1 · a + a 2 · a^2 + · · · + an · an = p(a)
Portanto, sempre que você for calcular lim x→a p(x) com p(x) um polinômio, o resultado será
p(a). Agora, veja nos próximos exemplos como ficou fácil de calcular limites de funções que são polinômios.
Exemplo 2.
(a) lim x→− 1 x^2 + 1 = (−1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2
(b) lim x→ 2 x^3 − x + 1 = 2^3 − 2 + 1 = 8 − 2 + 1 = 7
(c) lim x→− 3 x^4 −
x^2 2
− 1 = (−3)^4 −
(−3)^2
Já que calcular limites de polinômios é bem fácil, vamos complicar as coisas um pouquinho. E se a função que está no limite possuir raízes de algum índice n? Nesse caso, usaremos o item 6’ do Teorema 2.6. Nos seguintes exemplos veremos como usar essa regra (juntamente com outras).
Exemplo 2.9 Calcule lim x→ 3 x^2 − 3
x. ¢
Solução: lim x→ 3 x^2 − 3
x = lim x→ 3 x^2 − lim x→ 3
x Teorema 2.6 item 2 = lim x→ 3 x^2 − 3 lim x→ 3
x Teorema 2.6 item 3 com k= = lim x→ 3 x^2 − 3
q lim x→ 3 x Teorema 2.6 item 6’ = 32 − 3
3 Exemplo 2. = 9 − 3
No exemplo anterior o lim x→ 3 x^2 foi calculado diretamente, como vimos anteriormente, pois x^2
é um polinômio.
Exemplo 2.10 Calcule lim x→− 2
√ (^3) x (^2) − 3 x − 2. ¢
Solução: lim x→− 2
√ (^3) x (^2) − 3 x − 2 = q (^3) lim x→− 2 x^2 − 3 x − 2 Teorema 2. 6 item 6’ = 3
p (−2)^2 − 3 · (−2) − 2 = 3
2.2. REGRAS OPERACIONAIS PARA CÁLCULO DE LIMITES 17
Se observamos bem os dois exemplos anteriores, vamos ver que obteríamos os mesmos limites simplesmente aplicando as funções nos números para os quais x está tendendo. Assim como para os polinômios, se em uma função houver apenas polinômios e raízes de índice n de polinômios, para calcular o seu limite quando x tende para algum a, basta aplicar a função em a. Vejamos mais alguns exemplos.
Exemplo 2.
(a) lim x→ 1 2 x −
x − 1 = 2 · 1 −
(b) lim x→− 3
−x^2 + 4
7 − 3 x = −(−3)^2 + 4
p 7 − 3 · (−3) = −9 + 4
(c) lim x→ 2
x^3 − 3 x^2 + 4 =
Resumindo o que vimos até agora, para calcular limites de funções que envolvem polinômios e raízes de índice n de polinômios basta aplicar a função que está dentro do limite no número para o qual x está tendendo. Faremos isso sempre que calcularmos limites de funções desse tipo. Apesar de sabermos calcular limites de várias funções, ainda não vimos nenhum limite de função onde a função possui quocientes, ou seja, onde a função possui divisões entre seus termos. Para calcular limites desse tipo devemos usar o item 5 do Teorema 2.6 (juntamente com as outra regras). Vejamos alguns exemplos.
Exemplo 2.12 Calcule lim x→ 2
x^2 − 1 x + 1
Solução: O item 5 do Teorema 2.6 nos diz o seguinte:
lim x→a
f (x) g(x)
lim x→a f (x) lim x→a g(x)
desde que lim x→a g(x) ̸= 0. Devido a esta regra e o fato de nesse exemplo termos f (x) = x^2 − 1 e g(x) = x + 1, que são polinômios, basta trocarmos x por 2 e, se g(2) ̸= 0, o resultado que obtivermos será o limite. Vamos fazer as contas,
lim x→ 2
x^2 − 1 x + 1
Pronto, o limite está calculado.
Vamos para mais um exemplo.
Exemplo 2.13 Calcule lim x→− 1
3 − x^2 + x 2 x^2 − 2 x
Solução: Vamos aplicar novamente o item 5 do Teorema 2.6. Como a função da qual vamos calcular o limite é um quociente de funções que envolvem polinômios e raízes de polinômios, vamos aplicar essa função ao − 1 e, se a parte de baixo do quociente não se anular, teremos o limite. Vamos às contas,
lim x→− 1
3 − x^2 + x 2 x^2 − 2 x
p 3 − (−1)^2 + (−1) 2 · (−1)^2 − 2 · (−1)
Pronto, o limite está calculado.
Capítulo 3
Calculando limites com indeterminação
Esse capítulo abordará limites que possuem como resultado a indeterminação
. Vamos tratar
esses tipos de limites em dois tipos de funções diferentes, as funções racionais e algumas funções que são quocientes de expressões que contém polinômios e raízes quadradas de polinômios.
3.1 Funções racionais
Começaremos com um exemplo.
Exemplo 3.1 Calcule lim x→ 1
x^2 − 1 x^2 − 3 x + 2
Solução: Como vimos até aqui, vamos aplicar a função que está dentro do limite em 1 , se a parte de baixo do quociente não se anular, já vamos ter calculado o limite. Vejamos
lim x→ 1
x^2 − 1 x^2 − 3 x + 2
Aplicando a função em 1 , o limite deu
. Esse, com certeza, não é o resultado do limite,
pois
é uma indeterminação, é uma divisão que não pode ser feita e por que o item 5 do
Teorema 2.6 não pode ser aplicado nesse caso, já que a parte de baixo do quociente se anula. O que fizemos aqui foi um teste (não deixe isso em uma prova de cálculo, a não ser que você queira ter um problema com seu professor de cálculo).
O que fazer quando isso acontece? Desistimos? Sentamos e choramos? Claro que não. O
não é o resultado do limite, mas ele nos traz uma informação importante. Observe que o limite em questão é uma divisão de polinômios, o que nós chamamos de função racional e, para esse
tipo de função, o
nos diz que esses polinômios possuem fatores comuns. Vamos entender isso
um pouco melhor. Quando trocamos x por 1 em ambos os polinômios da função racional, eles se anularam, isto é, o número 1 é raiz dos dois polinômios. Quando um polinômio qualquer possui um número a como raiz, significa que ele é divisível por x−a, ou em outras palavras, x−a é um fator dele. Logo, na função que está no limite, o x − 1 é um fator comum dos dois polinômios
que estão nela. É esse fator que está fazendo com que o limite dê a indeterminação
. Para
20 CAPÍTULO 3. CALCULANDO LIMITES COM INDETERMINAÇÃO
eliminarmos essa indeterminação e calcularmos o limite, devemos fatorar os polinômios para simplificar os termos comuns. A fatoração de um polinômio pode ser feita de algumas formas, como por exemplo, colocando um termo comum em evidência, usando produtos notáveis ou fazendo a divisão do polinômio por x − a onde a é uma raiz do polinômio. Vamos fatorar os polinômios que aparecem na função do exemplo.
Usando produtos notáveis, mais especificamente, a diferença de quadrados, temos que
x^2 − 1 = (x + 1)(x − 1).
Para fatorar o polinômio x^2 − 3 x + 2, vamos dividi-lo por x − 1 , pois 1 é uma raiz dele. Assim
x^2 − 3 x + 2 |x − 1 −x^2 + x x − 2 − 2 x + 2 2 x − 2 0
Logo, x^2 − 3 x + 2 = (x − 2)(x − 1). Agora, vamos reescrever o limite e simplificá-lo.
lim x→ 1
x^2 − 1 x^2 − 3 x + 2
= lim x→ 1
(x + 1)(x − 1) (x − 2)(x − 1)
= lim x→ 1
x + 1 x − 2
Se no último limite da igualdade acima, ao substituirmos x por 1 , não tivermos mais uma divisão por 0 , então o limite estará calculado. Vejamos
lim x→ 1
x^2 − 1 x^2 − 3 x + 2
= lim x→ 1
x + 1 x − 2
Portanto, lim x→ 1
x^2 − 1 x^2 − 3 x + 2
= − 2 e a indeterminação
foi eliminada.
A partir de agora, sempre que nos depararmos com um limite de uma função racional com x tendendo a um número a, devemos seguir os passos do exemplo anterior, isto é, primeiramente aplicamos a função no número para o qual x está tendendo para fazer um teste, se a parte de baixo do quociente não se anular, o limite estará calculado. Agora, caso encontremos um 0 0
, devemos fatorar os polinômios para simplificar os termos comuns aos dois polinômios. Se,
depois de termos feito isso, o limite não dá mais
, o limite estará calculado e, caso contrário,
repetimos o processo. Vejamos mais exemplos desse tipo de limite.
Exemplo 3.2 Calcule lim x→ 2
x^2 − 2 x x^3 − 3 x − 2
Solução: Vamos tentar calcular o limite aplicando a função em 2. Temos,
lim x→ 2
x^2 − 2 x x^3 − 3 x − 2
Nessa tentativa, o limite deu a indeterminação
. Não podemos deixar isso como resposta,
pois esse não é o limite, como já vimos. Devemos fator os polinômios que estão na função.
