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Este documento aborda o tema de erros em sistemas de ponto flutuante, especificamente na resolução de equações usando métodos numéricos. O texto discute as expressões para o erro absoluto e relativo de arredondamento, e os efeitos desses erros na propriedade associativa da adição e na multiplicação. Além disso, são apresentados métodos numéricos para resolver equações, como o método da bisseção e o método do ponto fixo, e a teoria da convergência desses métodos. O documento também discute a relação entre esses métodos e a resolução de equações no ensino secundário.
O que você vai aprender
Tipologia: Manuais, Projetos, Pesquisas
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Não perca as partes importantes!
Raul Aparício Gonçalves
Utilização de métodos numéricos na
resolução de equações e perspetivas de
integração curricular no Ensino
Secundário
outubro de 2014
A todos aqueles que contribuíram de forma mais ou menos decisiva para que este trabalho se tivesse realizado e aos que futuramente contribuirão para que ele possa ser útil.
Em particular aos Professores Rui Ralha e Elfrida Ralha, que numa fase inicial me deram incentivo e me convenceram de que eu seria capaz de realizar um trabalho de dissertação que integrasse os meus interesses, quer ao nível de conteúdo quer ao nível do cumprimento de prazos e sem que as alterações da gestão do tempo diário causassem prejuízo para os meus afazeres profissionais.
Em especial ao professor Rui Ralha, que ao longo do ano foi acompanhando o meu trabalho na qualidade de orientador, sobretudo pela forma simples com que me ajudou a estudar e a compreender alguns assuntos complexos e também pela forma como apresentou as suas sugestões de correção aos documentos que ia escrevendo.
À minha família, em especial à Sónia, ao Rui Pedro e à Inês.
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Esta dissertação realiza-se no âmbito do Mestrado em Ciências (Formação Contínua de Professores) cujo público-alvo são sobretudo os professores do Ensino Secundário que desejem aprofundar conhecimentos e desenvolver competências com vista a uma melhoria do seu desempenho como professores.
Em função da experiência profissional do autor e da pesquisa bibliográfica realizada percebeu-se que o trabalho com o cálculo numérico pode ter um grande potencial na formação matemática dos alunos nos anos que antecedem a entrada num curso superior. Parece-nos de primordial importância confrontar os alunos em fase final do Ensino Secundário com problemas que não podem ser resolvidos por fórmulas exatas e sensibilizá-los para a importância dos métodos de cálculo aproximado. O tema de equações não lineares adequa-se completamente a este objetivo. Nos programas tradicionais os alunos aprendem a usar a fórmula resolvente das equações polinomiais do 2º grau e também a regra de Ruffini se uma das raízes for de determinação fácil. Depois de aprendidas estas regras clássicas, devem os alunos ser confrontados com outras equações (polinomiais ou não) que mostrem a necessidade de outras ferramentas matemáticas e computacionais.
Assim, este trabalho é uma reflexão sobre esta temática e inclui a apresentação de exemplos concretos da possibilidade de trabalho destas questões com alunos do Ensino Secundário. Do vasto leque de métodos numéricos que existem para a resolução de equações selecionamos apenas três (dos mais populares) que servem bem o objetivo de perspetivar a respetiva integração curricular no ensino não superior. São eles o método da bisseção, o método do ponto fixo e o método de Newton-Raphson. Para além do respetivo interesse intrínseco, estes métodos são
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também uma oportunidade para os alunos apreciarem uma aplicação muito concreta de conhecimentos matemáticos por eles já adquiridos (limites de sequências numéricas, o teorema de Bolzano, derivadas e o teorema do valor médio de Lagrange, entre outros). Para além disto, a implementação prática destes métodos também envolve capacidades que os alunos desenvolvem em unidades curriculares da área da informática.
Uma questão fundamental na utilização dos métodos numéricos é a do controle dos erros. Os erros de arredondamento são inevitáveis porque a máquina de calcular (ou o computador) opera apenas com um número finito, embora grande, de números e com eles tem que representar todos os números reais (dentro de certos limites). Por outro lado, os erros propagam-se de diferentes maneiras em diferentes sequências de operações numéricas. Estes são temas complexos tratados em cursos superiores e é nosso entendimento que não deve ser tentado no ensino antes disso. No entanto, pode ser interessante dar aos alunos alguma informação sobre a representação de números em ponto flutuante, quer no sistema decimal quer no sistema binário, e mostrar com exemplos algumas consequências na precisão da aritmética computacional.
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A fundamental issue in using numerical methods is that of keeping the errors under control. Rounding errors are unavoidable because the calculator (or the computer) only stores a large but finite number of representations. Furthermore, the analysis of propagation of numerical errors belongs to advanced courses where the numerical stability of algorithms is studied and clearly no attempt should be made to treat such subject in high school. However, it may be useful to teach the students about the way numbers are represented in the calculator and in the computer, and show with examples some consequences on the precision of the computational arithmetic.
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No meu percurso profissional de professor do Ensino Básico e Secundário, que já leva mais de 20 anos, a tecnologia no Ensino tem ocupado um lugar de destaque nas minhas ações. Enquanto estudante universitário, na licenciatura de Matemática – Ramo Educacional, que terminei no ano de 1992, na Faculdade de Ciências da Universidade do Porto, fascinei-me com a utilização do meu primeiro computador, um Timex Sinclair 2068 (figura 1.1) que, apesar de bastante mais limitado do que os atuais, me permitiu desenvolver capacidades de programação, sobretudo em BASIC. Nas aulas de Análise Numérica a computação era feita com uma máquina de calcular com funcionalidades de programação, a TI-66 Programable, (figura 1.2) sendo a linguagem de programação própria da empresa que a comercializou, mas com comandos muito idênticos aos do BASIC.
Fig. 1.1 Fig. 1.
Da minha aprendizagem no âmbito desta cadeira ficaram sobretudo o gosto pela utilização das máquinas e a sensibilidade para a importância dos erros numéricos e dos métodos de cálculo aproximado de soluções. Como professor não tenho tido a oportunidade para desenvolver tanto quanto gostaria estas temáticas, que não têm feito parte dos conteúdos dos programas oficiais de matemática.
Utilização de métodos numéricos na resolução de equações e perspetivas de integração curricular no Ensino Secundário
Já no exercício profissional desempenhou papel importante na minha formação a participação no “Programa de Acompanhamento dos Programas de Matemática do Ensino Secundário”, do Ministério da Educação, a cujo grupo de trabalho tive a oportunidade e o prazer de pertencer, entre 1998/1999 e 2001/2002. Os meus horizontes do ensino da matemática alargaram-se de forma sustentada com uma utilização mais intensiva das calculadoras gráficas e os desafios que isso acarretou, com mais conexões entre os diferentes temas de matemática e com a realização de atividades extracurriculares com os alunos sobre problemas matemáticos. Num contexto de explorações para tornar as aprendizagens dos meus alunos do 12º ano, em 2001, mais significativas, surgiu a análise do comportamento relativo das funções definidas por 𝑥𝑥 2 e por 2 𝑥𝑥^ [1]. Tal levou a uma tão grande curiosidade por parte de alguns alunos na obtenção da abcissa de um dos pontos de intersecção dos gráficos das duas funções que, só um trabalho sobre a forma como a calculadora gráfica funciona para solucionar equações poderia satisfazer essa curiosidade. O trabalho desenvolvido com os alunos para dar resposta a estas questões suscitou-me um conjunto de reflexões que levaram a algumas suposições e constatações, nomeadamente:
O tratamento de temas de análise numérica por alunos do Ensino Pré-universitário é um assunto que tem merecido a atenção de investigadores/educadores. William P. Fox e Richard D. West,
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fim, procurámos escrever um texto de leitura acessível e que desperte o interesse do “professor leitor”. Assim, por um lado, a “teoria”, embora rigorosa do ponto de vista matemático, é reduzida ao estritamente necessário para um bom entendimento do funcionamento dos métodos numéricos; por outro lado, são trabalhados numerosos exemplos, com apresentação de resultados obtidos em algumas calculadoras gráficas e o leitor interessado poderá, munido da sua própria calculadora, repetir a experiência relatada. O autor espera que a sua já longa experiência como professor lhe tenha permitido encontrar uma “linguagem” adequada para a comunicação com outros professores. Este trabalho contempla quatro capítulos devidamente ligados e justificados em conjunto. Optou- se pelo tratamento de três métodos numéricos, o método da bisseção, o método do ponto fixo e o método de Newton-Raphson. Este último, que tem uma longa história, é ainda hoje um dos mais importantes métodos iterativos para a determinação de raízes de equações (e não só). Além disso, consideramos que o seu estudo, pelo menos nos aspetos mais básicos, está ao alcance dos alunos em fase final do Ensino Secundário e permite fazer a ligação com o tema das derivadas. O método da bisseção é um método muito simples e robusto (tem convergência garantida) e relaciona-se com o teorema de Bolzano, o qual consta no programa oficial do Ensino Secundário. O método do ponto fixo tem também grande potencial formativo ao nível do Ensino Básico e Secundário, sendo um método que associa normalmente uma maior rapidez em relação ao método da bisseção e a ultrapassagem de algumas dificuldades que possam decorrer da utilização do método de Newton- Raphson. Para compreender alguns aspetos do funcionamento dos métodos, e porque estes lidam com sucessões e valores aproximados, importa a análise do erro e da representação e números na máquina, o que é feito já a seguir, após esta introdução.
Utilização de métodos numéricos na resolução de equações e perspetivas de integração curricular no Ensino Secundário
2.1. INTRODUÇÃO A procura de formas de facilitar o cálculo ocupa a humanidade há milénios. Surge no séc. XVII a primeira calculadora mecânica pela mão de Wilhelm Schickard (1592-1635), um pouco antes da conhecida pascalina (figura 2.1) de Blaise Pascal (1623-1662), por ele construída com o objetivo de ajudar o pai, que trabalhava nos impostos. Schickard e Pascal são considerados os percursores das máquinas de calcular mecânicas, as quais foram sofrendo evoluções que acompanharam os avanços da tecnologia mecânica até ao séc. XX. Note-se que apenas em 1810 viria a ser construída a primeira máquina de calcular comercial. No final do séc. XIX as máquinas comerciais generalizaram-se, sendo famosa a máquina que o estatístico americano Herman Hollerith (1860- 1929), principal impulsionador do leitor de cartões perfurados e um dos fundadoresda IBM, construiu para tratar os dados do censo de 1890 nos Estados Unidos (figura 2.2) [7], conhecida por Tabuladora de Hollerith.
Fig. 2.1. Fig. 2.2. [8]
A última calculadora mecânica terá sido, porventura, a Curta (figura 2.3), uma calculadora mecânica de bolso que apareceu em 1948 pela mão do engenheiro austríaco Curt Herzstark e que foi produzida na cidade de Vaduz no Principado de Liechtenstein.
Fig. 2.
Para além das quatro operações elementares, a Curta permitia também o cálculo de raízes com diferentes índices, entre outras operações.
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mais avançado alguma vez produzido. Nos últimos anos tem sido possível utilizar as calculadoras gráficas no ecrã do computador através de emuladores, favorecendo a exposição em aula ou a edição de ecrãs em documentos, sendo aqui a tecnologia TI-Nspire a mais avançada, na medida em que o software de computador vai muito mais além do que a repetição da calculadora no computador. A calculadora TI-Nspire é conhecida por “unidade portátil” (“handheld”), o que traduz a ideia de apêndice físico e interligado a um software com imensas valências, entre as quais a possibilidade de realização de páginas interativas para colocação na web ou um sistema de comunicação a distância (via wireless) com controle das unidades portáteis e análise de respostas a questionários (TI-Nspire Navigator).
Fig. 2.7 Fig. 2.8 Fig. 2.9 Fig. 2.
Só para dar uma ideia do avanço que ocorreu na miniaturização dos circuitos integrados, que possibilitou o aparecimento da calculadora eletrónica portátil, é referido em [12] que tal levou a uma redução do custo das funções eletrónicas de um milhão para um, evolução nunca conseguida antes com tanta magnitude. As calculadoras atuais trouxeram incrível facilidade aos cálculos. Quando pretendemos efetuar cálculos com números reais sem uma máquina, como uma calculadora ou um computador, habitualmente deparamo-nos com dificuldades que esses instrumentos nos permitem ultrapassar. No entanto, as suas limitações físicas, variáveis de máquina para máquina, obrigam a uma aritmética diferente da que utilizamos em cálculo ou álgebra. Vejamos os resultados produzidos por três calculadoras gráficas, das mais utilizadas atualmente pelos alunos do Ensino Secundário, em alguns cálculos. Na figura 2.11 apresentam-se os resultados obtidos nas calculadoras indicadas para 987654321 + 0.0004 , 987654321 + 0. e (987654321 + 0.0004) − ( 987654321 + 0.0001) Utilização de métodos numéricos na resolução de equações e perspetivas de integração curricular no Ensino Secundário
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Fig. 2.
Acrescentamos agora mais um algarismo nos números anteriores e calculamos 9876543210 + 0.0004 , 9876543210 + 0. e (9876543210 + 0.0004) − ( 9876543210 + 0.0001)
Casio fx-CG20 Texas Instruments TI-84 Plus C SE
Fig. 2.
Na figura 2.11 podemos observar que embora as somas 987654321+0.0004 e 987654321+0.0001 não produzam o mesmo valor (já que a diferença entre elas calculada pelas máquinas não é nula), as representações que aparecem no ecrã coincidem. Esta prática de esconder alguns dos últimos algarismos que fazem parte da representação interna de cada número é comum a praticamente todas as máquinas. Há portanto que ter presente que o número
Utilização de métodos numéricos na resolução de equações e perspetivas de integração curricular no Ensino Secundário
