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CAPÍTULO 3 – DINÂMICA DOS
FLUIDOS ELEMENTAR – EQUAÇÃO
DE BERNOULLI – 2ª PARTE
UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS
ENGENHARIA CIVIL E DE MINAS
Prof. Eliane Justino
3.6 – EXEMPLOS DA APLICAÇÃO DA EQUAÇÃO
DE BERNOULLI
Se o escoamento puder ser modelado como invíscido, incompressível e se o regime for permanente, tem-se para a Equação de Bernoulli entre dois pontos que pertencem a mesma linha de corrente , (1) e (2):
3.6.1 – JATO LIVRE
Descreve a descarga de líquidos para a atmosfera de um grande reservatório.
Como mostrado na Figura a seguir.
3.6.1– JATO LIVRE
Escoamento Vertical no Bocal de um Tanque
3.6.1– JATO LIVRE
Aplicando a Equação de Bernoulli entre (1) e (2):
Considerando que a referência está na saída do jato
O reservatório é de grande porte – V 1 ≈ 0 – Conservação da Massa.
p 1 = p 2 = 0 – estão expostos à pressão atmosférica e consideraremos a pressão relativa, sendo assim os valores de p 1 e p 2 são nulos.
Portanto:
3.6.1 – JATO LIVRE
H é a distância entre a seção de descarga do bocal e ponto (5)
3.6.1 – JATO LIVRE
Considerando agora um jato horizontal
EscoamentoEscoamentoEscoamentoEscoamento HorizontalHorizontalHorizontal noHorizontalnonono BocalBocalBocalBocal dededede umumumum TanqueTanqueTanqueTanque
3.6.1 – JATO LIVRE
A velocidade na linha de centro do escoamento V 2 , será um pouco maior que V 1 , e um pouco menor do que a do fundo, V 3 , devido a diferença de elevação.
V 1 < V 2 < V 3
A velocidade na linha de centro do escoamento representa bem a velocidade média do escoamento se d << h.
Se o contorno do bocal não é suave, veja figura a seguir, o diâmetro do jato, dj, será menor que o diâmetro do orifício, dh.
Este efeito, conhecido como vena contracta , é o resultado da inabilidade do fluido de fazer uma curva de 90º.
3.6.1 – JATO LIVRE
Como as linhas de corrente no plano de saída são curvas ( R < ∞), a pressão não é constante entre as linhas de corrente. Note que é necessário um gradiente infinito de pressão para que seja possível fazer uma curva com raio nulo (R = 0).
EfeitoEfeitoEfeitoEfeito (^) dadadada VenaVenaVenaVena ContractaContractaContractaContracta numnumnumnum OrifícioOrifícioOrifícioOrifício comcomcomcom BordaBordaBordaBorda pontudapontudapontudapontuda
3.6.1 – ESCOAMENTOS CONFINADOS
São caso de escoamentos em que a pressão não pode ser determinada a priori, como acontece no caso de jato livre, visto que, a pressão em que estes escoamentos estão submetidas é diferente da pressão atmosférica.
EXEMPLO: Escoamento em bocais e nas tubulações que apresentam diâmetro variáveis.
Onde a velocidade média do escoamento varia, porque a área de escoamento não é constante.
Para solucionar este tipo de problema é utilizado o conceito de Conservação da Massa (ou Equação da Continuidade) juntamente com a equação de Bernoulli.
3.6.1 – ESCOAMENTOS CONFINADOS
Será utilizado uma Derivação a partir de argumento intuitivos para obtenção da Equação da Conservação da Massa Simplificada:
Considere um escoamento de um fluido num volume fixo, tal como um tanque, que apresenta apenas uma seção de alimentação e uma seção de descarga, como mostrado na Figura abaixo:
3.6.1 – ESCOAMENTOS CONFINADOS
Se o escoamento ocorre em regime permanente, de modo que não existe acumulo de fluido no volume, a taxa com que o fluido escoa para o volume precisa ser igual a taxa com que o fluido escoa do volume (de outro modo a massa não seria conservada).
A vazão em massa na seção de descarga:
Onde Q é a vazão em volume (m^3 /s).
Se a área da seção de descarga é A e o fluido escoar na direção normal ao plano da seção com velocidade média V, a quantidade de fluido em volume que passa pela seção no intervalo de tempo δt é expressa por:
3.6.1 – ESCOAMENTOS CONFINADOS
Ou seja, igual a área da seção de descarga multiplicada pela distância percorrida pelo escoamento (Vδt).
Assim, sendo a vazão em volume dada por Q = A.V, tem se para vazão em massa:
Para que a massa no volume considerado permaneça constante, a vazão em massa na seção de alimentação deve ser igual àquela na seção de descarga.
EXEMPLO 3.7 – pág. 109
EXEMPLO 3.7 – pág. 109
SOLUÇÃO
Se modelarmos o escoamento como invíscido, incompressível e em regime permanente, a aplicação da Equação de Bernoulli entre os pontos (1) e (2) resulta em:
Admitindo que p 1 = p 2 = 0, z 1 = h e z 2 = 0, tem-se
EXEMPLO 3.7 – pág. 109
Note que o nível d’água pode permanecer constante (h = constante) porque existe uma alimentação de água no tanque. Da Equação da Conservação da massa, que é adequada para escoamento incompressível, requer que Q 1 = Q 2 , onde Q = A.V. Assim, A 1 .V 1 = A 2 .V 2 , ou:
Assim:
EXEMPLO 3.7 – pág. 109
Combinando as Equações (1) e (3), obtém-se
e:
Neste exemplo nós não desprezamos a energia cinética da água no tanque (V 1 ≠ 0). Se o diâmetro do tanque é grande em relação ao diâmetro do jato (D >> d), A Eq. (3) indica que V 1 << V 2 e a hipótese de V 1 = 0 será adequado
EXEMPLO 3.8 – pág. 110
A Figura abaixo mostra o esquema de uma mangueira de diâmetro D = 0,03 m que é alimentada, em regime permanente, com ar proveniente de um tanque. O fluido é descarregado no ambiente através de um bocal que apresenta seção de descarga, d, igual a 0,01 m. Sabendo que a pressão no tanque é constante e igual a 3,0 kPa (relativa) e que a atmosfera apresenta pressão e temperatura, padrões, determine a vazão em massa e a pressão na mangueira.
EXEMPLO 3.8 – pág. 110
SOLUÇÃO:
Se nós admitirmos que o escoamento ocorre em regime permanente é invíscido e incompressível, nós podemos aplicar a equação de Bernoulli ao Longo da Linha de Corrente que passa por (1), (2) e (3). Assim:
Se nós admitirmos que z 1 = z 2 = z 3 (a mangueira está na horizontal), que V 1 = 0 (o tanque é grande) e que p 3 = 0 (jato livre), tem-se que:
e
EXEMPLO 3.8 – pág. 110
A massa específica do ar no tanque pode ser obtida com a Lei do Gases Perfeito (utilizando temperatura e pressão absolutas). Assim:
Assim, nós encontramos que:
e
EXEMPLO 3.8 – pág. 110
Note que o valor de V 3 independe do formato do bocal e foi determinado utilizando apenas o valor de p 1 e as hipóteses envolvidas na Equação de Bernoulli. A carga de pressão no tanque, p 1 /γ = ( Pa)/(9,8 m/s^2 ) (1,26 kg/m^3 ) = 243 m, é convertida em carga de velocidade V 32 /2g = (69,0 m/s^2 )/ (2 x 9,8 m/s^2 ) = 243 m.
Observe que, apesar de termos utilizado pressões relativas na Equação de Bernoulli (p 3 = 0), nós utilizamos a pressão absoluta para calcular a massa específica do ar com a Lei dos Gases Perfeitos.
A pressão na mangueira pode ser calculada utilizando a Eq. (1) e a Equação da conservação de massa.
EXEMPLO 3.9 – pág. 112
Em muitos casos a combinação dos efeitos de energia cinética, pressão e gravidade são importantes no escoamento. O Exemplo 3.9 ilustra uma destas situações.
A Figura a seguir mostra o escoamento de água numa redução. A pressão estática em (1) em (2) são medidas com um manômetro em U invertido que utiliza óleo, densidade igual a SG, como fluido manométrico. Nestas condições, determine a leitura no manômetro (h).
EXEMPLO 3.9 – pág. 112
EXEMPLO 3.9 – pág. 112
SOLUÇÃO:
Se admitirmos que o regime de operação é o permanente e que o escoamento é incompressível e invíscido, nós podemos escrever a Equação de Bernoulli do seguinte modo:
A Equação da conservação da massa pode fornecer uma segunda relação entre V 1 e V 2 se admitirmos que os perfis de velocidade são uniformes nestas duas seções. Deste modo:
EXEMPLO 3.9 – pág. 112
Combinando as duas últimas Equações:
Esta diferença de pressão é medida pelo manômetro e pode ser determinada com os conceitos desenvolvidos no Cap. 2. Assim:
Ou
CAVITAÇÃO
Se a diferença entre estas velocidades é alta, a diferença entre as pressões também pode ser considerável, isto pode introduzir efeitos compressíveis nos escoamentos de gases, e a cavitação nos escoamento de líquidos.
A Cavitação ocorre quando a pressão no fluido é reduzida a pressão de vapor e o líquido evapora.
Pressão de Vapor, pv, é a pressão em que as bolhas de vapor se formam num líquido, ou seja, é a pressão em que o líquido muda de fase.
Esta pressão depende do tipo de líquido e da temperatura.
CAVITAÇÃO
EXEMPLO : A água evapora a 100º C na atmosfera padrão, 1,013 bar, e a 30º C quando a pressão no líquido é igual a 4,24 kPa (abs), ou seja:
pv = 4,24 kPa (abs) - a 30º C
pv = 101,3 kPa (abs) - a 100º C
É possível identificar a produção de Cavitação num escoamento de líquido utilizando a Equação de Bernoulli.
EXEMPLO: Se a velocidade do fluido aumenta, por uma redução da área disponível para o escoamento, a pressão diminuirá.
CAVITAÇÃO
Distribuição de Pressão e Cavitação Numa Tubulação com Diâmetro Variável;
CAVITAÇÃO
Esta diminuição de pressão, necessária para acelerar o fluido na restrição, pode ser grande o suficiente para que a pressão no líquido atinja o valor da sua pressão de vapor.
EXEMPLO: Cavitação pode ser demonstrada numa mangueira de jardim.
Se o bocal de borrifamento for estrangulado obtém-se uma restrição da área de escoamento, de modo que a velocidade da água nesta restrição poderá ser relativamente grande, se formos diminuindo a área de escoamento, o som produzido pelo escoamento de água mudará, um ruído bem definido é produzido a partir de um certo estrangulamento, este som é provocado pela Cavitação.
