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Licenciatura em ciências · USP/ Univesp
6.1 Forças e Interações 6.1.1 Forças na Mecânica 6.1.2 Forças são grandezas vetoriais 6.1.3 Unidades de Força 6.2 Identificando as Forças 6.2.1 Forças à distância e Forças de contato 6.2.2 O Diagrama de Corpo Livre (DCL) 6.3 A Força Gravitacional 6.3.1 A Força peso 6.3.2 Força Peso de um objeto extenso 6.4 As Forças Eletromagnéticas 6.4.1 Forças Elétricas 6.4.2 Forças Magnéticas 6.5 Forças de Contato 6.5.1 Força Normal 6.5.2 Força de Atrito Atrito Seco 6.5.2.1 Intensidade da Força de Atrito 6.5.3 Força Tensora 6.5.4 Forças Elásticas 6.6 Forças sobre um objeto num fluido 6.6.1 Empuxo 6.6.2 Força Viscosa
FORÇAS 6
Gil da Costa Marques
Dinâmica do Movimento dos Corpos
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6.1 Forças e Interações
Tudo no Universo, desde os objetos pequenos do nosso planeta até os grandes aglomerados de galáxias, está sujeito a transformações ou as experimenta. Algumas delas, como as que ocorrem no interior do Sol, realizam-se de forma contínua, e seus efeitos são observados a grandes distâncias. Outras são bem mais sutis. De qualquer forma, as várias partes do Universo e todos os objetos localizados no nosso mundo interagem entre si. Dessas interações resultam as transformações. Todas as transformações no Universo derivam de apenas quatro tipos básicos de interação:
- as gravitacionais; - as eletromagnéticas; - as fracas e - as fortes.
Forças correspondem, a rigor, a dois tipos especiais de interação: aqueles que produzem como resultado final algo que identificamos como deslocamentos dos objetos, ou seja, forças são intera- ções que levam a movimentos de afastamento ou de aproximação dos objetos. Nem todas as interações deixam os objetos com a sua estrutura íntima inalterada. Por exemplo, sabemos que as interações podem produzir transformações bastante radicais e que, portanto, nada têm a ver com afastamentos e aproximações de partículas. Mesmo as inte- rações eletromagnéticas, que produzem as forças do dia a dia, podem produzir transformações surpreendentes, e podem propiciar o desaparecimento das partículas que interagem entre si. Esse é o caso da aniquilação de pares de partículas. E esse fenômeno está na base de um novo tipo de tomografia: aquela baseada na aniquilação de pósitrons ( PET SCAN ).
Atenção Salvo raras exceções, tudo o que ocorre no nosso mundo pode ser entendido à luz das duas primeiras interações: as gravitacionais e as eletromagnéticas.
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6.1.2 Forças são grandezas vetoriais
O fato de ser uma grandeza vetorial implica que uma força pode ser analisada a partir de suas componentes. Temos assim que, para caracterizar uma dada força, devemos especificar seu módulo, direção e sentido ou, alternativamente, suas componentes cartesianas:
No referencial cartesiano, escrevemos:
Enquanto no referencial polar escrevemos:
As coordenadas de força dependem do referencial. O fato de a força ser uma grandeza vetorial faz com que o efeito da força aplicada dependa da intensidade dela, bem como de sua direção e sentido.
6.1.3 Unidades de Força
Na dinâmica, utilizaremos exclusivamente o Sistema Internacional de Unidade (SI), que tem, como unidade de intensidade de força, o newton, cujo símbolo é N. De acordo com as regras de escrita do SI, a unidade “newton” se escreve com letra minúscula, embora venha do nome próprio “Newton”. 1 newton é a força necessária para acelerar um corpo de massa 1 kg de tal forma que sua aceleração seja de 1 m/s^2. Por razões históricas, às vezes aparece outra unidade de força que não pertence ao SI: é o caso da unidade “quilograma-força” ou “quilograma-peso”, cujo símbolo é kgf. No sistema cgs, a unidade de força é a dina. 1 dina = força necessária para acelerar uma partícula de massa 1 g de forma que sua acele- ração seja de 1 cm/s^2.
F (^) x , Fy , Fz
F = F ix + F jy + F kz
F = F e ρ ρ (^) + F e ϕ ϕ
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6.2 Identificando as Forças
Ao nos depararmos com problemas que envolvam o movimento de um corpo devemos iden- tificar todas as forças que atuam sobre ele. Esse passo deve ser o primeiro e é fundamental. Por isso, vamos analisar as principais forças com as quais lidamos no dia a dia. As forças são divididas em duas categorias: forças à distância (aquelas resultantes das interações fundamentais) e as que delas derivam. Existem quatro interações fundamentais: a gravitacional, a eletromagnética, a forte e a fraca. As duas primeiras produzem as forças à distância com as quais lidamos no dia a dia. As demais forças da natureza são derivadas delas. Em geral, elas só acontecem quando os objetos do dia a dia estão muito próximos. Em particular, algumas forças surgem apenas quando os objetos estão em contato entre si; por exemplo, as moléculas que se formam quando os átomos se aproximam. De fundamental importância para entender as forças que surgem no cotidiano, destacamos as forças interatômicas e intermoleculares, isto é, forças que surgem entre os átomos ou molé- culas que compõem a matéria. A força interatômica é um exemplo de força não fundamental, pois ela pode ser entendida como uma força elétrica. O mesmo vale para a força intermolecular.
6.2.1 Forças à distância e Forças de contato
Podemos ainda dividir as forças em duas categorias: Forças à distância e Forças de contato. As forças de contato são aquelas que resultam do contato físico entre, por exemplo, duas superfícies ou o contato de um objeto com um fluido. Como exemplo típico de tais forças temos um objeto que está tão próximo de outro, de tal modo que essa proximidade propicie a interação entre átomos pertencentes a corpos distintos. Forças de contato são, portanto, forças derivadas. Para que haja interação entre os objetos, não há necessidade de que eles estejam próximos. Podem surgir forças entre objetos mesmo que eles estejam muito longe uns dos outros. São forças cuja ação se dá à distância. Nessa categoria estão algumas das forças fundamentais da natureza. É como se existisse algo que faz a ligação entre os objetos: um campo de forças. A noção de campo traz a possibilidade de tratar teoricamente, de forma adequada, as interações fundamentais. Por exemplo, para descrever a ação da atração gravitacional, diz-se que existe, numa região do espaço, um campo gravitacional. A força gravitacional está relacionada teorica- mente a esse campo. Outro exemplo bastante familiar é o campo magnético. Todos já viram o
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Exemplos
- ExEmplo 01 : Um bloco A, encostado em B, é empurrado por uma força horizontal de intensidade F. Ambos estão sobre uma mesa horizontal, conforme esquematizado na Figura 6.3. Nessas circunstâncias, desenhar o DCL de cada bloco.
→ REsolução Os blocos A e B interagem com a Terra (por meio da força peso) e com a mesa (forças normais e de atrito). Neste exemplo, os blocos A e B também interagem entre si, pois têm superfícies em contato. O bloco A é empurrado para a direita pela força
F e, por isso, o bloco A empurra o bloco B no mesmo sentido por meio de uma “força normal”
N (^) A/B. O bloco B reage a essa ação de A, nele exercendo uma força normal de reação
N (^) B/A. Importante lembrar:
N (^) A/B é uma força aplicada em B, hori- zontal para a direita; enquanto
N (^) B/A é uma força de reação aplicada em A. Essas forças têm intensidades iguais, sentidos opostos e suas direções repousam sobre uma mesma linha reta horizontal. Levando-se em conta esses dados, obtemos os DCLs dos corpos A e B de acordo com as Figuras 6.4a e 6.4b , respectivamente. As forças de atrito nos blocos atuam no sentido oposto ao movimento ou tendência de movimento. Por isso, elas são esquematizadas, em cada bloco, para a esquerda. A segunda providência consiste em escolher um referencial cartesiano. Nesse referencial cartesiano, devemos agora determinar as componentes das forças.
6.3 A Força Gravitacional
O exemplo mais simples de força à distância, uma vez que faz parte do nosso cotidiano, é a força gravitacional. A queda dos objetos em direção à superfície terrestre ocorre devido à força gravitacional. Outro exemplo é o movimento de translação da Terra. A Terra mantém-se numa órbita elíptica em torno do Sol como resultado da
Figura 6.3: Blocos sendo empurrados por uma força externa a eles.
DCL bloco B Figura 6.4: Diagramas de corpo livre dos blocos A e B.
DCL bloco A
a
b
Figura 6.5: A Força gravitacional ocorre entre objetos dotados do atributo massa.
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força gravitacional exercida pelo Sol sobre ela. A lei que rege o comportamento da interação gra- vitacional foi proposta por Newton. A interação gravitacional ocorre devido às massas dos objetos. Se dois objetos de massa m 1 e m 2 estiverem a uma distância d, surge entre eles uma força de atração (a força gravitacional) de tal forma que seu módulo é dado pela expressão:
ou seja, a força gravitacional é diretamente proporcional às massas e inversamente propor- cional ao quadrado da distância. A constante G é conhecida como constante da gravitação universal e seu valor é:
6.3.1 A Força peso
A força peso é o resultado da atração gravitacional exercida pela Terra não somente sobre os objetos localizados próximo à sua superfície, mas atuando também a longas distâncias.Trata-se de um exemplo, no cotidiano, de forças de ação à distância. O fato de os objetos caírem sobre a superfície terrestre é a consequência mais perceptível da força peso. Em geral, escreve-se a força peso sob a forma:
onde (^) g é o vetor aceleração da gravidade. Da expressão 6.2 , segue-se que esta é dada, em módulo, pela expressão:
onde M T e R T são, respectivamente, a massa da Terra e o raio da Terra. Pode-se verificar experi- mentalmente que, em São Paulo, o valor aproximado de g é:
F
Gm m
d
G = ⋅
2 , N m kg
P = mg
g M R
= T G
T 2
g = 9 8, m/s^2
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- ExEmplo 03 : A massa de um astronauta, com seus equipamentos, é m = 200 kg. Calcular o peso do astronauta: a. na superfície da Terra; b. na órbita da Estação Espacial Internacional.
→ REsolução a. Na superfície da Terra → g 0 = 9,8 m/s². Logo, p 0 = m ⋅ g 0 = 200 kg ⋅ 9,8 m/s² = 1.960 newtons ou, simplesmente, 200 kgf. b. A Estação Espacial Internacional (ISS) tem órbita aproximadamente circular situada à altura h ≅ 400 km. Logo, a distância até o centro da Terra de qualquer ponto desta órbita é d = R + h ≅ 6800 km. Sendo d = 6.800 km = 6,8 × 10^6 m; M Terra = 6 × 10^24 kg e G = 6,67 × 10-11^ N⋅m²/kg² tem-se:
Assim, na órbita da Estação Espacial Internacional: p ( d = 6800 km) = 200 kg × 8.65 m/s² =1.730 newton O astronauta pesa 230 newtons menos do que na superfície terrestre: Δ p = p ( d = 6800 km) − p (superf.Terra) = −230 newtons. A massa do astronauta e sem apetrechos é, ainda, 200 kg.
6.4 As Forças Eletromagnéticas
Exceção feita à força gravitacional, que promove a atração dos objetos em direção ao centro da Terra, todas as demais forças relevantes no nosso mundo são forças de origem eletromagnética. As forças elétricas e magnéticas são igualmente forças fundamentais. Conquanto não estejamos em condições ainda de nos darmos conta disso, o fato é que essas forças estão também presentes no cotidiano das pessoas e isso porque forças de atrito e reações normais às superfícies são forças que derivam das forças eletromagnéticas. porque são as forças entre os átomos (forças
Figura 6.6: O peso pode ser con- siderado como uma força resultante aplicada no centro de gravidade CG do corpo.
g G M d
g G M d (^) d
^
^
Terra 2 2 =8 65, m s^2
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interatômicas) que dão origem a algumas forças com as quais já estamos bastante familiarizados. No entanto, as forças entre os átomos e moléculas são forças elétricas. Dizemos que as forças interatômicas e intermoleculares derivam das forças eletromagnéticas.
6.4.1 Forças Elétricas
A força elétrica surge entre objetos dotados de carga elétrica. Se um corpo possui carga Q 1 e outro possui carga Q 2 , então surge uma força entre eles, cujo módulo é dado pela lei de Coulomb:
isto é, a força é diretamente proporcional às cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância. A constante de proporcionalidade é dada por:
A força elétrica tanto pode ser atrativa (se as cargas forem de sinais opostos) quanto repulsiva (cargas de mesmo sinal). A direção da força é a da reta que une as duas cargas. No caso em que a partícula se move numa região na qual existe um campo elétrico
E , a força elétrica sobre uma partícula de carga Q é:
6.4.2 Forças Magnéticas
Uma partícula de carga q e dotada de velocidade v , quando numa região onde existe um campo magnético
B , experimenta uma força
F , dita magnética, dada pela expressão:
F Q Q d = 1 (^4 )
1 2 πε^2
0
9
2 πε
^
N
m C
F = qE
F = qv × B
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mais compacto damos o nome de líquido. Sabemos que as forças referidas acima, denominadas forças de Van der Waals, são forças derivadas das forças eletromagnéticas. Vemos assim que as interações eletromagnéticas entre os constituintes da matéria dão origem a um número muito grande de forças. As ligações químicas, interpretadas como um tipo de força, têm uma origem eletromagnética. Num curso básico de mecânica consideramos apenas algumas dessas forças derivadas. A seguir discutiremos algumas delas. A força de atrito , muitas vezes, não é levada em conta nos problemas de mecânica.Trata-se de uma questão de simplificação dos problemas. Esta é uma força derivada da eletromagnética. Em alguns casos, devemos levar em conta a força elástica. Quando os corpos estão interligados por fios ou cordas, devemos considerar a força tensora. Ambas são forças derivadas. Quando dois corpos estão repousando um sobre o outro, devemos nos lembrar da força normal. Ela é, igualmente, de origem eletromagnética. Seu entendimento apela para argu- mentos da Teoria Quântica.
6.5.1 Força Normal
Um livro repousa sobre uma mesa. Isso ocorre porque a mesa exerce uma força sobre o livro. Essa força é perpendicular à mesa (tem a direção da reta perpendicular à superfície) e equilibra a força da gravidade (impedindo que o livro caia no chão). Esse tipo de força, que impede o movimento na direção perpendicular às superfícies, tem sempre essa direção. Como perpendicular, nesse caso, é sinônimo de normal, essa força tem o nome de força normal. Por isso, ela será indicada com a letra N.
Atenção Quando dois objetos estão em “contato”, podemos prever forças resultantes desse contato. Entre elas, destacamos as forças elásticas, as forças de atrito, as forças normais e as forças aplicadas por fios e cordas. Estudaremos essas forças a seguir. Para o entendimento do surgimento dessas forças e de algumas das suas características, devemos recorrer às forças interatômicas e intermoleculares.
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Quais são as forças sobre um livro apoiado numa mesa? De acordo com a Figura 6.8 , as seguintes forças agem sobre ele: P = força peso (interação gravitacional) ′
N = força normal (força de contato que a mesa exerce no livro). N = força normal (força de contato que o livro exerce na mesa) A força normal é a forma de a mesa (ou qualquer outra superfície) reagir (força de reação) a deformações ditas elásticas, provocadas por objetos colocados sobre ela. Sua origem é de natureza elétrica: as forças interatômicas. A força normal é interpretada como resultado da impenetrabilidade da matéria. Ela impõe, portanto, limites à compressão da matéria, pois atua como uma força de repulsão dos átomos.
6.5.2 Força de Atrito
Força de atrito designa um tipo de força cuja ação é resistir aos movimentos relativos que envolvem deslocamentos tangenciais de superfícies sólidas, camadas de um fluido ou corpos materiais em contato. Distinguem-se dois tipos de atrito:
- Atrito seco é aquele associado à resistência ao movimento tangencial de duas superfícies sólidas em contato. - Atrito viscoso está associado ao deslizamento de uma camada de fluido (ar ou líquido) sobre outra.
Atrito Seco
Podemos perceber a existência da força de atrito e entender algumas de suas característi- cas por meio de uma experiência muito simples. Tomemos uma caixa bem grande, colocada no solo, contendo madeira. À medida que se retirar madeira do interior da caixa e, portanto, à medida que ela ficar mais leve, atinge-se uma condição limite, na qual a caixa começa a deslizar sobre o solo.
Figura 6.8: Forças atuando sobre o livro.
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Enquanto a força aplicada F for pequena, a caixa permanece parada; nessa condição, a força de atrito recebe o nome de “ força de atrito estático ”, cujo módulo F atestático = F. Se F crescer, a F atestático crescerá na mesma proporção; porém, o crescimento da F atestático tem um limite superior que é atingido quando a caixa estiver na “iminência de deslizar”. Esse valor limite é a força de atrito estático máxima , símbolo: F atmax. A força de atrito estático varia desde o valor 0 (quando F = 0) até o valor máximo, ou seja, 0 ≤ F atestático ≤ F atmax. A experiência mostra que a F atmax depende da força normal N que comprime as superfícies. Assim:
O coeficiente μe é conhecido como coeficiente de atrito estático , que depende dos materiais das superfícies em contato. Uma vez iniciado o deslizamento, a força de atrito sobre a caixa apresenta uma pequena queda e mantém-se praticamente constante, passando a ser denominada força de atrito dinâmico , assim expressa:
onde μd = coeficiente de atrito dinâmico. Em geral, os dois coeficientes não são iguais e a seguinte desigualdade se aplica:
ref letindo o fato de que a força de atrito é ligeiramente maior quando o corpo está na imi- nência de deslizar do que quando ela está em movimento (atrito cinemático ou dinâmico). Não há uma explicação para esse fato.
Gráfico 6.1: Comportamento típico da força de atrito.
F atmax = μ eN
F atdin = μd N
μ (^) e ≥μd
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- ExEmplo 04 : A Figura 6.11 ilustra uma pessoa parada em cima de uma rampa cujo piso é de cimento áspero. Desenhar o DCL da pessoa.
→ REsolução Sobre a referida pessoa atuam três forças: I. A força peso
P (vertical para baixo). II. As forças de contato entre o sapato (ou os pés) e a rampa, ou seja, a força normal
^ N^ e a força de atrito F at (tangencial às superfícies em contato e oposto à tendência de deslizamento). Confira essas forças no DCL da Figura 6.. As forças N e F at atuam na sola do sapato ou no pé; as reações a essas forças aplicam-se na rampa em sentido con- trário. Como a pessoa se encontra em repouso em cima da rampa, a força de atrito é do tipo “força de atrito estática”.
6.5.3 Força Tensora
Fios que interligam ou acoplam os objetos impõem restrições ao seu movimento. Disso resulta uma força, chamada tensora, ao longo do fio. Designaremos essa força tensora abreviadamente por tensão e utilizaremos a letra T para representá-la. A tensão T (a força tensora) tem a direção do fio. Ela é de origem eletromagnética. Ao puxarmos uma corda tendemos a afastar os elementos dos quais ela é constituída, os átomos.
- ExEmplo 05 : A Figura 6.13 ilustra um bloco B, suspenso por um fio que o liga a outro bloco A, apoiado num plano horizontal. O fio passa por uma polia leve e sem atrito no mancal. O sistema encontra-se em repouso. Esquematizar os DCLs de cada bloco e da polia.
Figura 6.11: Pessoa em repouso sobre um plano inclinado.
Figura 6.12: DCL: forças externas sobre o corpo da pessoa.
Figura 6.13: Dois blocos em contato por meio de um fio.
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O anel preso à extremidade livre da mola é tracionado pela força
F (^) (força deformante); como consequência, a deformação produzida é
onde L = comprimento final e L 0 = comprimento natural da mola. A força deformante, segundo Hooke, é diretamente proporcional à deformação Δ L = x produ- zida na mola. Assim sendo,
F = k ⋅ x (força deformante).
A constante k – chamada constante da mola – é um atributo da mola. Conhecidos F e x , a constante da mola é assim determinada: k = F/x. A unidade de k depende das unidades com as quais F e x são medidos. No SI, a unidade de ( k ) = newton/metro = N/m. E a força exercida pela mola? Como o anel é puxado para a direita, a mola reage puxando-o para a esquerda com força
F mola. Essa expressão traduz que a força da mola é sempre oposta à deformação x. Por isso, costuma-se expressar a força da mola em sua forma vetorial. De acordo com o referencial da Figura 6.17 , escrevemos:
- ExEmplo 06 : Uma mola pende de um anteparo. Em sua extremidade livre, pendura-se um objeto de massa m = 6 kg. Nessa circunstância, ela se alonga 2 cm, atingindo o ponto de equilíbrio. a. Qual é a constante elástica da mola? b. Num segundo estágio, puxa-se a massa para baixo até que a deformação da mola seja x = 3,2 cm. Nesse caso, calcule a força com que a massa foi puxada.
x = ∆ L = L − L 0
Figura 6.17: Exemplo de força deformante.
F (^) mola = − k x i.
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→ REsolução a. A força que alonga a mola é o peso do objeto. Adotando g = 10 N/kg, o peso do objeto é p = mg = 6 × 10 = 60 N. Logo, F = k ⋅ x → k = F/x → k = ( mg ) /x = 60 N/2 cm = 30 N/cm ou k = 3000 N/m. b. A força necessária para produzir na mola uma deformação x’ = 3,2 cm é F´ = kx´ = 30(N/cm)(3,2 cm) = 96 N. Para compor essa força, a força gravitacional sobre a massa contribui com p = 60 N. Logo, é necessário puxar a massa com força de intensidade F'' = 96 − 60 = 36 N.
6.6 Forças sobre um objeto num fluido
Fluido é a denominação que se dá para substâncias que têm a qualidade de fluir. Assim, todos os gases e todos os líquidos são genericamente denominados fluidos. Os f luidos não têm uma forma bem definida. Amoldam-se aos seus continentes. Deformam-se facilmente.
6.6.1 Empuxo
Um objeto imerso num fluido experimentará a ação de uma força exercida sobre ele como resultado das diferenças de pressão dentro do f luido. Essa força recebe o nome de empuxo e sua descoberta se deve a Arquimedes. Como já percebera Arquimedes, o empuxo é igual ao peso do líquido deslocado. Verificou ele que uma coroa pesa mais no ar do que quando imersa em um líquido.
O empuxo é uma força que age sobre uma peça imersa em um fluido qualquer, e tem a mesma direção que a força peso, portanto, direção vertical, mas sentido contrário ao do peso.
Figura 6.18: Experimentos de Arquimedes.
∆ P = P ( (^) no ar ) − P ( no líquido)
