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DINÂMICA CLÁSSICA NEWTONIANA
1. O PROBLEMA CENTRAL DA MECÂNICA CLÁSSICA
Mecânica é o ramo da Física que estuda o movimento dos corpos do Universo, ou seja, como eles mudam de posição, no decorrer do tempo, com relação a um sistema de referência pré-determinado. O estudo do fenômeno movimento feito sem indagar as suas "causas", isto é, procuran- do apenas descrevê-lo, dá-se o nome de Cinemática. Dinâmica é a outra parte da Mecânica que estuda o porquê (as causas) do movimento. Esta parte que será explorada agora.
Verificamos, através de observações e experiências, que o movimento de um corpo é deter- minado pela natureza e disposição dos corpos que constituem a sua "vizinhança". Por exem- plo:
Estudar dinâmica é resolver o seguinte problema central :
I. É dada uma partícula da qual conhecemos suas características (massa, carga elétrica, etc.)
II. Colocamos essa partícula, com velocidade inicial conhecida , numa vizinhança tam- bém conhecida.
TESE: Qual o movimento subseqüente da partícula?
A tese consiste em predizer as posições futuras( ou passadas) e velocidades futuras (ou passadas) da partícula que interage com o meio exterior (vizinhança). Em outras palavras, qual é a evolução da partícula no decorrer do tempo? Este problema é muito profundo e o homem, através dos tempos, vem solucionando-o de maneiras diferentes. Aristóteles apresentou uma solução baseada apenas no raciocínio que foi abandonada, após 2.000 anos de uso, pela sua inconsistência com os fatos experimentais apresentados por Galileu Galilei. Sir Isaac Newton, no século XVII, apresentou outra solução muito conveniente que será explorada por nós neste capítulo. É bom dizer que Hamilton e Lagrange, independentemente, apresentaram mais tarde so- luções alternativas, muito elegantes matematicamente, e são usadas em problemas complexos e na generalização para a mecânica quântica. Todas estas soluções são ditas clássicas , pois consideram que a evolução temporal seja única e determinada. Na Física Moderna , particularmente na Mecânica Quântica, esse deter- minismo Laplaciano é trocado por probabilidades de evolução, isto é, sob determinadas con- dições iniciais, não existe uma única maneira do sistema evoluir, e sim probabilidades de evolu- ções distintas asseguradas pelo princípio da incerteza de Heisenberg. Aqui é difícil saber o cur- so da história da partícula. O método clássico proposto por Newton que iremos explorar consiste em:
PASSO #1. Introduzir o conceito de força F
PASSO #2. Estabelecer um processo para atribuir massa inercial a um corpo qual- quer.
PASSO #3. Calcular as forças que atuam na partícula a partir das propriedades dela e de sua vizinhança(Leis de Força).
OBSERVAÇÕES:-
i. O método newtoniano não pode ser comprovado por partes. Devemos encará-lo como uma unidade e julgaremos o seu êxito se pudermos responder afirmativamente a duas perguntas:
H I P Ó T E S E
Será uma mesa horizontal de atrito desprezível e u'a mola. Assim,
OBS2:- Usamos a mola para sabermos, através do seu alongamento, quanta força estamos fazen- do.
Puxemos a mola horizontalmente para a direita de forma que, por tentativas, con- sigamos dar ao corpo-padrão uma aceleração constante de a = 1,0 m/s^2 Declaramos, por definição, que a mola está exercendo sobre o corpo-padrão uma força cujo valor denominaremos de 1,0 N (um newton). Repetimos a experiência de sorte a imprimir uma aceleração a = 2,0 m/s^2 ao cor- po. Declaramos, por definição, que a mola está exercendo sobre m 0 uma força de 2, N. Em geral, numericamente, temos: F = a
OBS:- Para o corpo padrão com m 0 = 1,0 Kg. Sabendo medir o valor da força resta saber se ela é uma grandeza escalar ou vetorial. Para ser uma grandeza vetorial é necessário que:- i. Tenha módulo, direção e sentido. ii. Obedeça pelo menos as regras da adição vetorial. Somente a experiência é que vai dizer se a força preenche ou não esses requisistos para ser uma grandeza vetorial. O importante é que a experiência evidencia conclusivamente que as forças são veto- res !!!!
E x p e ri ê n c i a
Quando várias forças atuam sobre um corpo, cada uma produz independentemente a sua própria aceleração. A aceleração resultante é a soma vetorial das várias acelerações indepen- dentes. Por que Newton preferiu a aceleração para definir força? A resposta é muito profunda e será dada na próxima seção.
QUESTIONÁRIO
- Qual o corpo e qual a vizinhança utilizada para definir operacionalmente a grandeza força?
- Descreva a experiência utilizada para se definir força.
- O que é necessário verificar para sabermos se uma grandeza é vetorial?
- Força é um vetor? Em caso afirmativo quem garante a resposta?
EXERCÍCIOS
- Um corpo-padrão está sujeito a ação das forças mostradas na figura. Determine o valor numérico da acele- ração resultante.
- Duas forças concorrentes no corpo-padrão apresentam idênticas intensidades (módulos) F e formam entre si um ângulo de 120º, podemos dizer que o vetor aceleração resultante será dado por: módulo:- direção:- sentido:-
- Determine a resultante do sistema de forças aplicadas ao corpo padrão, utilizando expressões cartesianas.
- Dadas duas forças, em expressão cartesiana, por: F 1 = 3 i + 4 j F 2 = 12 i + 16 j Determine o módulo, a direção e o sentido de a. da força F 1 b. da força F 2 c. da resultante F 1 + F 2 d. da força F 1 - F 2
Newton fez desse resultado a sua PRIMEIRA LEI DO MOVIMENTO e, por esta razão, conceituou a força em termos da aceleração.
" Se a resultante das forças que agem sobre um corpo for NULA, este permane- cerá em seu estado de repouso ou M.R.U ."
Newton e ⇒⇒ Galileu
O fato de os corpos permanecerem em repouso ou em M.R.U. quando a resultante F for nula é descrito atribuindo-se à matéria uma propriedade chamada INÉRCIA. Portanto, para romper a inércia de um corpo é necessária uma força. Por isso, às vezes, a primeira lei de Newton é referida como LEI DA INÉRCIA.
3.1 DISCUSSÃO DA PRIMEIRA LEI
Há duas informações contidas na lei da inércia: I. primeira é a definição qualitativa de força: força é a causa do movimento e a sua presença é necessária para alterar o estado de movimento de um corpo. II. A segunda é a de que o REPOUSO (v = 0) e M.R.U.(V = CTE) são dois estados inteiramente equivalentes. Este último parece uma violação ao bom senso, mas a experiência levou Galileu e Newton a adotá-lo. Está implícito na lei da Inércia um importante princípio físico : a existência do sistema de referência inercial , isto é, existem sistemas de referência onde a primeira lei de Newton é váli- da. Eles são chamados referenciais inerciais. Isto significa que nem sempre a primeira lei é válida!!!!! Senão vejamos: uma experiência
v = 0 repouso F = 0 ⇒ v = constante M.R.U.
F ≠ 0 v é variável ou existe uma aceleração
Consideremos um sistema de referência ligado a um avião que está decolando. Enquanto o avião corre na pista cada vez mais depressa, um passageiro, em repouso relativamente ao avião, sente o encosto da poltrona empurrá-lo para frente. (Tanto isto é verdadeiro que ele afunda na poltrona estofada e se estiver de pé sobre patins come- ça a se mover para trás embora "nenhuma" força real atue sobre ele). A primeira lei de Newton não descreve corretamente essas situações, porque o avião decolando não é um referencial inercial.
Concluímos que um referencial inercial é aquele relativo ao qual um corpo permanece em REPOUSO ou em M.R.U. quando nenhuma resultante de forças atue sobre ele. O avião durante a decolagem não é um referencial inercial. Os sistemas de referências inerciais conservam a forma da lei da inércia, isto é, ela é a mesma em todos eles. Agora o que liga um referencial inercial a outro é a TRANSFORMA- ÇÃO DE GALILEU
A lei da inércia é invariante com respeito a Transformação de Galileu. Há, porém, ou- tras transformações que mudam a forma da lei; se quisermos pois, conservar sua forma deve- mos usar referenciais inerciais. A generalização desta exigência para todas as leis da mecânica é chamado PRINCIPIO DA RELATIVIDADE DE GALILEU (ou Invariança Galileana ), isto é, representa o princí- pio de que todos referenciais inerciais são equivalentes para a descrição da Mecânica, ou, em outras palavras, não existem sistemas inerciais privilegiados na Natureza para descrever os fenômenos mecânicos. Este não princípio pode ser generalizado para toda a Física. As equa- ções de Maxwell não são invariantes sob transformação de Galileu. A sua convicção era tão grande que existiu até a Teoria da Emissão modificando as equações de Maxwell para mantê- lo. Em outros sistemas de referencia não-inerciais a lei da inércia não conserva a sua forma. Vejamos isto através de outra experiência.
EXPERIÊNCIA
X = x + v.t Y = y Z = z T = t
Transformação de GALILEU
EXPERIÊNCIA
Y y P v o x O X
EXERCÍCIOS
- Coloca-se um cartão sobre um copo e uma moeda sobre o cartão. Puxando-se bruscamente o cartão, a moeda cai no copo. Por que?
- Um carro freia bruscamente e o passageiro bate com a cabeça no vidro pára-brisa. Três pessoas dão as seguintes explicações sobre o fato: I. O carro foi freado, mas o passageiro continuou em movimento. II. O banco do carro impulsionou a pessoa para frente no instante da freada. III. O passageiro só continuou em movimento por que a velocidade era alta e o carro freou bruscamente.
Quais delas tem razão?
- Um pára-quedista desce verticalmente submetido à ação de duas forças: uma vertical para baixo P devido à atração da Terra e outra vertical para cima F aplicada pela resistência do ar. "Como o pára-quedista está descendo, a força para baixo é obrigatoriamente mais intensa que a força para cima". Localize o erro contido na frase anterior, justificando.
- Um carro só consegue se manter numa curva devido a aderência entre os pneus e o chão. A cada instante o chão aplica forças nos pneus que alteram a direção do movimento do carro. Se num dado instante o carro passar sobre uma mancha de óleo, poderá derrapar e sair da pista. Dizem que "o carro foi empurrado para fora da curva pela força centrífuga". Comente o erro dessa afirmação.
- Lemos nos jornais casos de pingentes que SAO JOGADOS PARA FORA DO TREM PELA FORÇA CEN- TRIFUGA EM CURVAS FECHADAS. Esta visão do "acidente" é correta à luz da primeira lei de Newton? Explique
- Uma bolinha descreve uma trajetória circular sobre uma mesa horizontal sem atrito, presa a um prego por um cordão. Quando a bolinha passa pelo ponto P, o cordão arrebenta. Descreva a trajetória seguida pela bolinha.
- Um corpo de 100N está em equilíbrio (estático = repouso; dinâmico = M.R.U.) sob a ação das forças F e T, conforme a figura. Determinar F e T.
- Um corpo de peso 100N está suspenso por meio de fios ideais (inextensíveis e de massas desprezíveis) que formam com a vertical os ângulos indicados na figura. Determinar as forças que tracionam os fios, sa- bendo que estes tem um ponto em comum A, onde estão amarrados entre si.
- Um corpo de peso P = 60N está preso por meio de um fio 1 a uma barra horizontal AB, de peso desprezível e que está articulada em A. Por meio de outro fio 2, preso em B, impede-se a barra de girar. Considerando-se os fios ideais, pergunta-se: a. qual a força transmitida pelo fio? b. qual a força transmitida pela barra?
sugestão: - isolar o ponto B
- impor a condição de equilíbrio pelo método da poligonal.
- No sistema esquematizado na figura, determinar o valor do ângulo e a força N.
4. CONCEITUAÇÃO DE MASSA INERCIAL
Exploremos agora o passo # 2 do método Newtoniano. Aprendemos medir força a partir da aceleração do corpo-padrão. F = a ..........para o corpo padrão Como havíamos escolhido "arbitrariamente" o corpo-padrão, para qualquer outro corpo que tenha uma resistência ao movimento (inércia) diferente ao movimento, teremos:
m a F F medido com o corpo-padrão
F ∝ a .... para um mesmo corpo
Nesta altura façamos uma pergunta: que efeito terá uma "mesma" força F sobre "ob- jetos diferentes"?
Bola a F
Automóvel a F
Uma resposta quantitativa para essa pergunta exige um método para se medir massa inercial (propriedade que determina sua resistência ao movimento).
Liguemos uma mola ao nosso CORPO-PADRAO
A experiência diária dá-nos a resposta qualitativa : a mesma força produzirá diferentes acelera- ções sobre corpos diferentes.
ou m a ∝ F ou ainda F = k m.a.............................Fruto da experiência.
Agora pela definição dinâmica de força, temos quando m 0 = 1 Kg ⇒ F = a ou F = k m.a = a ou F = k .1.a = a ⇒ k = 1 Daí F = m a Newton reuniu isso tudo e mais o fato que "quando várias forças atuam sobre um cor- po, cada uma produz independentemente a sua própria aceleração, sendo a aceleração resul- tante a soma vetorial das acelerações independentes (Princípio da Superposição) e
Este resultado é conhecido como a SEGUNDA LEI DE NEWTON e é estabelecido assim, "Se a resultante das forças que agem sobre um corpo for diferente de zero, então F = m. a "
5.1 - Discussão da 2ª Lei de Newton. É importante salientar que a força que aparece na 2ª lei de Newton é a força resul- tante de todas as forças que agem na partícula. Poderia se pensar que lançamos mão de um raciocínio circular. Se a força é definida por F = m a , então FR = m a da 2ª lei de Newton deveria ser verdade por definição e não por ser uma lei básica da Natureza. A 2ª lei tem a resultante das forças no primeiro membro, e por isso tem um conteúdo físico adicional, que deve ser verificado pela experiência. A 2ª lei de Newton implica na aditividade das massas e na soma vetorial das forças. Por aditividade das massas, entendemos, que, se duas massas mA e mB forem unidas, o corpo resultante terá massa m = (mA + mB). Isto poderia parecer absurdamente óbvio; entretanto, todas as especulações sobre a Natureza devem der verificadas através da experiência. Existem grandezas físicas para as quais não vale a aditividade, como o módulo de vetores ou a adição de volumes. (Se adicionarmos 1 litro de álcool a 1 litro de água, o volume da massa será bem menor que dois litros). Assim, concluímos que, FR = m a é muito mais que apenas uma definição de força pois implica que a massa é escalarmente aditi- va e que a força é somada vetorialmente; este conteúdo deve ser verificado pela experiência.
5.2 - As simetrias e a 2ª lei de Newton.
F = m a
A segunda lei de Newton representa um tremendo progresso para a compreensão do movimento, porém não é a única forma possível. Por exemplo, poder-se-ia pensar que
F ∝ ds
dv
i.é, F fosse proporcional à variação da velocidade com a distância medida ao longo da trajetó- ria, e não com o tempo (d v /dt). Se assim fosse o conceito de aceleração não seria tão impor- tante. São, sobretudo, considerações de invariança ou simetrias que fixam a forma da 2ª lei de Newton. A invariança galileana das leis físicas, não é, obviamente, o único tipo de simetria que deve ser exigida dela. Por exemplo, o "conteúdo físico" de uma lei não pode depender da ori- entação, no espaço, dos eixos escolhidos para descrevê-la (devido a "isotropia" do espaço, que estamos admitindo Euclidiano): por conseguinte, outro princípio de invariança é que uma rotação do sistema de coordenadas não deve afetar a forma das leis, i.é, a 2ª lei de Newton tem a mesma forma no sistema S(x,y,z) e no S* (X,Y,Z) ligados pelas equações:
Isto é uma conseqüência (ou prova) da 2ª Lei de Newton ser expressa por vetores onde fica garantida esta invariança. Observe-se, portanto, que as "duas" invarianças precisam ser exigidas, pois caso fosse exigido apenas uma delas ( a de rotação) a equação fundamental da dinâmica poderia ser do tipo
F = m v = m dt
dr
Mas isto é inaceitável por não ser invariante por uma Transformação de Galileu. Com efeito,
X X x
x x
mv F dt
F mv mdx
v dt
dx dt
dX mas X x vt e dt
dx F mv m
= = + ≠
= = = + = +
A explicação para esta situação peculiar é que na realidade a transformação de Galileu envolve não só x, y, z, mas também o tempo t. A rigor, a transformação de Galileu refere-se a uma transformação no "espaço-tempo" (4 dimensões. Neste espaço, a velocidade não é um vetor, e assim se elimina a possibilidade de F = m v. Vamos agora fazer uma transformação particular, a inversão no tempo , assim X = x Y = y Z = z T = -t
v' dr dt
v =d^ r ⇒ = =
v não permanece a mesma, mas F sim!!!!. A 2ª Lei é invariante por uma inversão no tempo. Esta invariança garante a reversibilidade dos fenômenos da Mecânica. Se filmarmos, o movi- mento
Troca do futuro pelo passado !!!!
E passarmos o filme de trás para frente, não vamos saber se o corpo começou o movimento em A ou B, isto é, não se perceberá. Entretanto, se filmarmos um nadador mergulhando e pas- sarmos o filme ao contrário percebemos. Para completar a análise, uma lei do tipo F = m ( v )^2 pode ser eliminada porque no lado direito, temos um escalar v^2 = v. v invariante, ao passo que no lado esquerdo, temos um vetor. É interessante o fato das leis que descrevem os fenômenos naturais serem reversíveis, enquanto eles próprios são irreversíveis. QUESTIONÁRIO
7. FORÇAS REAIS e FICTÍCIAS
a. Forças Reais Felizmente, as interações observadas na Natureza se reduzem, pelo que conhecemos até agora, a quatro tipos básicos:
1. INTERAÇÃO GRAVITACIONAL
Todas as partículas exercem uma força gravitacional, de atração mútua, dada por
2
1 2 (^12) r
m m F = G ..... Lei de Newton da Gravitação
F 12 é a força que 1 faz em 2. G = 6,67 x 10-11^ N m^2 kg-2^ é a constante de gravitação universal. Newton deduziu esta força de interação a partir das suas leis de movimento e das leis empíricas de Kepler,
- INTERAÇÃO ELETROMAGNÉTICA São as forças exercidas entre as partículas em virtude de suas cargas elétricas. Po- dem ser atrativas ou repulsivas. Quando as cargas estão em repouso, temos:
2
1 2 12 M r
q q F = K ...... Lei de Coulomb
KM = constante do meio e vale 9 x 10^9 N. m^2 C-2. q = N. e = N. 1,6. 10-19^ C
Se calcularmos a razão:
=^1
E
G F
F
A força gravitacional da Terra é importante porque embora sua massa seja grande, ela contém quase o mesmo número de cargas positivas e negativas.
- INTERAÇÃO NUCLEAR FORTE É a força de interação entre uma grande classe de partículas elementares, os Hádrons (mésons de vários tipos), Bárions (Híperons (estranhos) - Λ, Σ, Ξ, Ω e os Núcleons (não estranhos) - p, n. É a responsável pela estabilidade dos núcleos atômi- cos, mantendo a ligação entre nêutrons e prótons. É de curto alcance. As informações a respeito delas são obtidas mediante espalhamento de partículas pelos núcleos, mas não levaram até hoje a uma lei ou fórmula única para elas. Têm como bósons mediadores os glúons.
- INTERAÇÃO NUCLEAR FRACA Agem entre os léptons (elétrons, pósitrons e neutrinos) e hádrons. É de curto alcance e seu efeito é provocar uma certa instabilidade em núcleos e partículas elemen-
tares. É responsável pela radioatividade beta que explica a estabilidade do C^12 e a ins- tabilidade do C^11.
Todas essas forças são reais no sentido que podemos associá-las com determinados objetos da vizinhança. As forças tais como "tensão" numa corda, a "normal", a da "mola", são eletromagnéti- cas, pois são manifestações macroscópicas das atrações e repulsões entre átomos.
b. Forças Fictícias Até agora as nossas observações e medições foram realizadas em um "referencial iner- cial". Podemos, todavia, se julgarmos conveniente, aplicar a Mecânica Clássica para um ob- servador não-inercial. Para tanto, devemos introduzir as chamadas Forças Fictícias ( ou Inerci- ais) As forças fictícias são chamadas assim porque, ao contrário das reais, não podemos associá-las a corpos da vizinhança, e nem tão pouco podemos classificá-las nas categorias mencionadas antes. Elas são, portanto, uma técnica que nos permite aplicar a mecânica clássica usual ao descrevermos um evento num referencial não inercial. Se observarmos o evento num referencial inercial elas desaparecem!!!! Seja um sistema inercial S (x,y,z) em que um corpo se movimenta segundo F = m a. Esse movimento descrito por S'(x', y', z') em translação não uniforme em relação a S, ao longo do eixo x, é
Fx' = m ax' = m ax + m a = Fx + m a Fy' = m ay' = m ay = Fy Fz' = m az' = m az = Fz
A única força real aplicada é F. Se quisermos dizer que a causa da aceleração no sis- tema S' é ainda uma força aplicada, precisaremos dizer que a "força fictícia inercial" m a surgiu quando passamos de S para S'. m ax' = Freal + Ffictício 2ª lei de Newton vista por S'. Para este observador em S', a força Ffictícia é tão real quanto a outra, apenas ele não consegue explicar a sua origem. Seja agora o movimento observado de um referencial S'' (X, Y, Z) que gira com velo- cidade ω constante em torno do eixo z. Os sistemas S''(girante) e o S (inercial) estão ligados por
X = x cos ωt + y sen ωt Y = -x sen ωt + y cos ωt Z = z T = t As velocidade em S'' e S se transformam como
Medida por S
