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DEFINICIÓN 2.2.1 Ecuación separable Una ecuación diferencial de primer orden de la forma d ROO) Se dice que es separable o que tiene variables separables. Por ejemplo, las ecuaciones d d ER = yixetrtay y O y + senx x son respectivamente, separable y no separable. da 6x — 4y -€ x ru Nota: | Saxo Ec , le Salucton- dy . E”. €U dx d & d SS ce dx 63 é cel. Grs e 4 6x 20). 38X 4 C wet: lc, o) e! dy e dx / dy xg42x-9-2 ax 3] X4 -3x 439 -9 Solocion: ds, XIcy tixd NV dx xg-3x +3y-4 RE = )3s- | dy D+ xo) JU-g)dy- Je RO al ax x(5-9 t3ly-3) Ls -4 x dy Qd (342) Jay SJ - 49% Xx+3 S - x (4-3) (x+3) y- 5 Inlys2] - x -4nlxe3] + € X+3 — A )dx x+> x+3 xel- 3,00) yvEeT: <2,00> x dx x+3 [gays | tas | 442-5 dy- | X43-4 dy REZA X+3 4) Pass yo ) yld=- Selucion : , do. y(1-0) m Int = -L-lnt ão & . Mx da cl oot€ 3 x Ê 4 C- ae Sh Ed ' ' y (es 25) En; hiyl - “A = mix] +e [tdo (he 1) | 3 ) x Poa: lnlyl- = = Mabel + ) X €T= Inlst= O Ibase -2 Ihlyl- 2.4 -hIxi re Piva Gn YEN) Inlap=- Lo -talalre 2(-* Sendx dx -Wj Coé (25) dy -Q Soluciom EDITA TO . 4 Senl2x) dx = 2y Goal? Jay (E) d(pre Era de = ya pu - 19 +€ | (tos (em) . Smlzndy = Jevdy ut. € (4 que) a Cos (2x) (cost) » ay! + € - -Smt. g. “2 aa ado" Ut “du. sentar) dx sed (ex)= 9y! 40, XE IR-)CniNM mnez | DEFINICIÓN 2.3.1 Ecuación lineal Una ecuación diferencial de primer orden de la forma d a) e É ad0)y = 869) (1) se dice que es una ecuación lineal en la variable dependiente y. FORMA ESTÁNDAR Al dividir ambos lados de la ecuación (1) entre el primer coefi- ciente, a (x), se obtiene una forma más útil, la forma estándar de una ecuación lineal: dy 2x + PO)y = 09. (2) x Buscamos una solución de la ecuación (2) en un intervalo T, en el cual las dos funcio- nes P y f sean continuas. 1) l - y a - . fes Solucisa: Vevamo a te Fovana: Y + Pa yz Re conocenmos Pe -- Ux, far x ? El facho integrante NA = e d93x J-ixdx -“(8) o Mea .e =€ -€ J ug O Ego [exe de linhegeomo pre prter) e a 2x2 3 2x2 txt e dg - Wee Je x.€ u=xt dv. x e” dx, ho — ” = ee 3 am! ducexax ave [xe E dx a 4 xe 1 E ()x dx dx Vo j je g . - 2 a (E) = PE da : E yeesa 2X «Tx? «2x? (e) n pé e (E) Je . DO jgerlsa pe x dx ai w* E dx e J 4" 2 N [d = , “ c* y- 4 x Ex “4 (] - * cu dx Cem timas XE Cos) x [7 3 Oy x — To, X a ta a ey + É be x a 1 'y ad => k y “> a q oo — Do + ca «+ + 4 1 h a —,DO “x x DA x | a a LU E 'q) 1) 9] o) o Se Ce e x “> +|— “> > 1 ] ' ] " “ ú N 29 mo >” > eo o) y E) Y) ta) d (Stcn3) = xe o e(x-Dy = E(-x43x-3) 4C dx a (ted) (ade dx go lot, E Ja (e 0em q) | (xt) E dx ao ' (x-1) (xa) y= | ec eX dx J- Dx + ro [XE (10) -x24x es at DS e 4 Se 0 DD e —+ E teny = (ex) ef - (axn)el sl-zeX) +C x X E) J= teltxe re “e 2X 40 Ei) yo XE t3xe* -3ef 40 Do xy + (-x)y- e"Gs2x yl4 dx qy e” Co32x XxX x Rewnoceme M x Pe = 1x ; A E totir facho integrante | foda [ 1 dx Jk-£ do | ax - [dx e um e -=e - .e Ria =X . AM - x E” tm. 4 dx x : 1-x - £ Costx d * x | d (xe) =) ost dx =X - - xecy4 px xe y - ellostx, xe” xy. mx 4 C q x o x 2 ” Yo Smix [o =X 2 to mex é (xe 3) - Gstx 2x€ xé x 1 e Sw 2 x + Cem ' K € (0,0) axe) lsstx dx 2x M. (x-z/dy 34 2y - Xy dx Solvcion: (-27dy - 24 4x dx 1 3= arts corase dy ) 3 + do 1- (xy (ey dy 1 J dx t x-2] J - (x-2)> Re canucemos às . a Pão y = Ft) Polo ta. E x-2 eat facto nlegvande frédax (id DATOS] - e -€ inte) a) (ro) a 4 Ly LS x x-2 N e (x-2), = = E [eq Kafe). [& Ger) y - Ee Qd) gy. 7. 4- Tlnlx-a] to di o (x-2) 2 dx dx x-2 Inlx-2] + € X-2 xe To luro) 2. (0-1) dy c2xy= ez) dx Solución 2 dy — 2 x y= (x-2) dx x=4y X—y ds dx. a) dx véu Cen) De) dy . Lx 4= x-2 dx X-—y x+2 Re conocemes e + Pg = Fe) Péd= Ex Po fg W-z XY x fachoy integrante : fptadx [E de I Ac2xdx e x=4 xéy MÓ = - e .e -Intxiy) 4 . tap - Mk): € - e bes) - (eu) U lx) d— x2y dx x2y xtz L dy 2x dy. dot xty dx xy xy x2y X2 x<2 xy -2 Ag. (ua sy 1 - -2 + c “4= - (xy) 4 c(xiy) 200! Ly. A +C y=- Leo, (xy) xy 2(x42) 2a .4 yo - (2) E) J. yo GÊ) ( Pre +) fre Rá 4) xelR-A=2) MÉTODO DE SOLUCIÓN Dada una ecuación en la forma diferencial M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0, determine si la igualdad de la ecuación (4) es válida. Si es así, entonces existe una función f para la que d a = M(x, )). Podemos determinar f integrando M(x, y) respecto a x mientras y se conserva cons- tante: Fe, y) = | M(x, )) dx + g(y), 6) donde la función arbitraria g(y) es la “constante” de integración. Ahora derivando (5) respecto a y y suponiendo que df/dy = Nx, y): SL | Mx, 3) dx + 80) = NG, 9). dy dy Se obtiene e (0) = N(x,)) — 2 [ma 3) dx. (6) Por último, se integra la ecuación (6) respecto a y y se sustituye el resultado en la ecuación (5). La solución implícita de la ecuación es f(x, y) = c. I3. (Ux tsyy dx + (5x -Ey)dy=0 Solvargn fecsnacemos ! Mb) dx + N Ex) dy -0 Mogu)= Ux ty, NOM x dy Veamos s1 la EDO O exacto Ms o > Iguales ; la EDO A exacta. 2N- 5 DX Hallemos la salueron Steny= (0) donde : luego: Kd DE Mig) 3 a. NG 3) Foca 2 + xy +) 4 É. dx45y or » hesy= Hay e Pote: La Soly cus en! VE = (4x +54) Dx hey sy fox) 0 Saf= (Cuxesy) dx Jr |-2ydy 2x 45xy 2/4 Co O xe Cau fix) = 406) +Sytd + hay) hegl= -a(4!)+0 fts 2% +5xy - 2 +C bh = CATA 2x2 5xy + hey (1) = 2yt4c 
