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diagramas exercicios de analise estrutural
Tipologia: Exercícios
1 / 10
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Não perca as partes importantes!
15 kN
3 kN
9 kNm
20kN
8 kNm
10 kN/m
4 kN/m
10 kN/m
Sem determinar as reacções, determine as expressões analíticas do esforço axial ( N ), esforço transverso ( V ) e momento flector ( M ) em todas as barras da estrutura representada.
Desenhe os diagramas dos esforços ( N , V e M ) caracterizando todos os pontos notáveis (máximos, mínimos e zeros).
d V
e
d
e
d V
e
+
d
V
e
+
4 m 2 m 2 m 1 m
1.5 m
2 m
3 m
3 m
F
B
A
C
D
E
15 kN
3kN
9kNm
20 kN
8kNm
10 kN/m
4 kN/m
10 kN/m
Secção onde o momento é máximo:
21,767 kNm
V(x) 0 M(x) M 0,2 1,793 5 1,793 16 1,793 8
máx
3 2 máx máx (x1,793)
=
Secção onde o momento é nulo: M = 0 ⇒ 0,2 x^3 − 5 x^2 + 16 x + 8 = 0 ⇒ x =4,316m
Concavidade do diagrama de Momentos: 0 d x
d M 2
2 < ⇒ concavidade ∪∪∪∪
Comprimento da barra EC = 13 m
β =
β= β = = ⇒ sen 0 ,
cos 0 , 33, 3
arctg o
Decomposição das forças:
β =
β=
15 sen 8,3205 kN
15 cos 12,4808kN
β =
β=
3 cos 2,4962 kN
3 sen 1,6641kN
Resultante na perpendicular à barra: 12,4808 + 1,6641 = 14,1449 kN (^)
Resultante na direcção do eixo da barra: 8,3205 – 2,4962 = 5,8243 kN
(x) 14,145 kNm recta
(x) 14 , 145 kN rectadenível
(x) 5,824kN rectadenível
M x
C
E 5,824kN 14,145kN d
e
x
ββββ
E
15kN
8,3205 kN
12,4808 kN
ββββ
ββββ C
E (^) 3kN
1,6641kN
2,4962 kN ββββ
ββββ C
V 14,145kN
N 5,824kN
(x 0)
E
E
E
M 14,145 13 51 kNm
V 14,145kN
N 5,824kN
(x 13 m)
C
C
C
C
Comprimento da barra DC = 2,5 m
senα 0,
cosα 0, 36, 2
arctg
o
αααα
b = x sen α b = 0,6 x
9 5 b kNm 2
b M (b) 9 10 b 2 = + = +
M (x) 9 5 (0,6 ) 9 1,8 kNm curva(2º grau) 2 2 = + x = + x ⇒
Concavidade do diagrama de Momentos: 0 d x
d M 2
2
⇒ concavidade (^) ∩∩∩∩
R – resultante de todas as forças à direita do ponto.
R = 10 b kN
N = R cos α = 10 b cos α V = R sen α = 10 b sen α
V(x) 10 sen sen 10 0,6 0,6 3,6 kN recta
N(x) 10 sen cos 10 0,6 0,8 4 ,8 kN recta
V(b) 10 bsen
N( b) 10 bcos b xsen
=− α α=− × × =− ⇒
= α α=− × × = ⇒ →
=− α
= α = α x x x
x x x
Tramo DC
(x) 9 1,8 kNm curva(2º grau)
(x) 3,6 kN recta
(x) 4 ,8 kN recta
M x
V x
N x
x b
αααα
αα αα
C
D 9 kNm
10 kN/m
b
d
b
x αααα
e
C
D 9 kNm
10 kN/m
b
d
R=10b kN x αααα
e
V R
N
αα αα
M 9 kNm
(x 0)
D
D
D
M 9 1,8 2,5 2 0,25 kNm
V 3,6 2,5 9 kN
N 4,8 2,5 12 kN
(x 2,5m)
2 C
C
C
C
Resultante de todas as acções à direita do ponto C com a direcção do eixo da barra CB :
3 + 10x1,5 = 18 kN
Resultante de todas as acções à direita do ponto C com a direcção perpendicular ao eixo da barra CB :
15 kN
Momento no ponto C devido a todas as acções à direita do ponto C:
M 51 20,25 30,75 kNm BarraEC M 51 kNm
BarraDC M 20,25kNm
C C
C
(x) 30,75 15 kNm recta
(x) 15 kN rectadenível
(x) 18 kN rectadenível
M x
M 30,75 kNm
V 15 kN
N 18 kN
(x 0)
C
C
C
M 30,75 15 2 60,75 kNm
V 15 kN
N 18 kN
(x 2 m)
B
B
B
B
Resultante de todas as acções à direita do ponto B (acções transmitidas à barra BF pela barra CB ):
− 60,75kNm
15 kN
18 kN
B (^) C
d
e
B
60,75 kNm
F
A
C
18 kN
15kN
Resultante de todas as acções à esquerda do ponto B (acções transmitidas à barra BF pela barra AB ):
− 12 kNm
19 kN
12 kN
Resultante de todas as acções à direita do ponto B com o referencial da barra BF :
− α α =
α+ α=
12 kNm
12 sen - 19 cos 8 kN
12 cos 19 sen 21 kN
Resultante de todas as acções transmitidas à barra BF :
(x) 48,75 39 kNm recta
(x) 39 kN rectadenível
(x) 23 kN rectadenível
M x
B αααα
12 kN 19 kN
12 kNm
F
A
C
B αααα
12 kN 19kN
12 kNm
F
A
C (^) B
12 kNm
F
A
C
21 kN
8 kN
⇔⇔ ⇔⇔
B
12kNm
F
A
C
21kN
8 kN
B
60,75 kNm
F
A
C
18kN
15kN
B
48,75kNm
F
A
C
39kN
23kN
+ (^) ⇔⇔⇔⇔
F
B e
d
x
39 kN
23 kN
48,75 kNm
+
+
+
23 18 12
-
-5,
N
unidade: kN
ESFORÇO AXIAL
-
1.793 m
c
r
+
15 +
+
c
r
-9-
V^ 14,
unidade: kN
ESFORÇO TRANSVERSO
16
-
M
unidade: kNm
MOMENTO FLECTOR
c
r r
r
c
1.793 m
21,
8
12
1.25 m
4.316 m +
-68,
48,
-60,
+
- -30,
-51 -
20,
9
+
