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Ficha Nº 2 DERIVADAS DE UMA FUNÇÃO Cursos: Engenharias Nível: I Disciplina: Análise Matemática I Semestre: 2º/ Duração: Semanas 4, 5, 6, 7 e 8 (19-Ago a 21-Set-2024) Carga Horária: 6h/Semana
- Determine a equação da recta tangente às funções dadas nos pontos ou abcissas indicados
(a) f (x) = x^2 em x = 2
(b) f (x) = 2x^2 − 7 em (2, 1)
(c) f (x) = x^2 + 2x + 1 em (1, 4)
(d) f (x) =
x em x = 9
(e) f (x) =
x
em x = 2
(f) f (x) = x^2 − x em x = − 1
- A lei do movimento de um corpo é s(t) = 2t^2 + 3t + 5, onde a distância s é dada em centímetro e tempo t em segundos.
(a) Qual será a velocidade média do corpo durante o intervalo de tempo t = 1 a t = 5? (b) Qual é a velocidade do corpo no instante t = 1 e t = 5?
- Uma partícula move-se ao longo de uma recta com a equação do movimento s = f (t), onde s é medido em metros e t em segundos. Encontre a velocidade quando t = 2, sendo:
(a) f (t) = t^2 − 6 t − 5 (b) f (t) = 2t^3 − t + 1
- Se uma bola for atirada ao ar com uma velocidade de 40 pés/s, sua altura (em pés) depois de t segundos é dada por y = 40t − 16 t^2. Encontre a velocidade quando t = 2.
- Se uma flecha é atirada para cima sobre a superfície da Lua com uma velocidade de 58 m/s, sua altura (em metros) após t segundos é dada por H = 58t − 0 , 83 t^2.
(a) Encontre a velocidade da flecha após um segundo. (b) Encontre a velocidade da flecha quando t = a. (c) Quando a flecha volta para a Lua? (d) Com que velocidade ela atinge a Lua?
- Achar o acréscimo da função y = x^2 − 2 x, correspondente à transposição do argumento:
(a) de x = 1 a x 0 = 3; (b) de x = − 1 a x 0 = 5 (^) (c) de x = 3 a x 0 =^11 2
- Achar ∆y para a função y = 3
x se:
(a) x = 1, ∆x = 0. 001 ; (b) x = 8, ∆x = − 9 ; (c) x = a, ∆x = h.
- Usando a definição, calcule a derivada das seguintes funções
(a) f (x) = x^2 (b) f (x) = x^3 + x
(c) f (x) =
x
(d) f (x) =
x^2 (e) f (x) = cos x (f) f (x) = 2x
(g) f (x) =
x (h) f (x) = x^2 + x (i) f (x) = x x + 1
- Encontre constanes a, b e c tais que a função f (x) =
ax^2 + bx + c, se x < 1 x^2 − 5 x + 6, se x ≥ 1 seja derivável em R e f ′(0) = 0.
- Calcule as constantes a e b por forma a que seja diferenciável em x = 0 a função f definida em R por
f (x) =
a + bx se x ≤ 0 1 +
x
sin^2 (x) se x > 0
Justifique a diferenciabilidade de f em R, calcule a sua derivada, e determine a equação da recta tangente ao gráfico de f em cada ponto a ≤ 0.
- Sejam f e g duas funções em R tais que f é diferenciável em R,verifica f (0) = f (π) = 0, e g é dada por g(x) = f (sin x) + sin (f (x)). Obtenha o seguinte resultado:
g′(0) + g′(π) = f ′(0) + f ′(π)
- Ache as derivadas das seguintes funções algébricas:
(a) f (x) = x^5 + x^4 − x^3 − 1 (b) f (x) = a^5 + 5a^3 x^2 − x^5 (c) f (x) = (x − 4)(x − 5)
(d) f (x) =
3 x
(e) f (x) =
ax + b ax − b
(f) f (x) =
x 1 −
x
(g) y =
1 + x − x^2 1 − x + x^2 (h) y =
x (1 − x)^2 (1 + x)^3 (i) f (t) = (t + 1)(t + 2)(t + 3)
(j) f (x) =
2 x − 1
x
(k) f (x) = x^3 −
x^2 + 1
(l) f (x) = xn^ + mx (m) f (x) = (x^2 + 3x + 2)^3
(n) f (x) =
x − 1 x
(o) f (x) =
(x − 1)(x^2 + 1)
(p) y =
a + bxn a − bxn
- Calcule as derivadas das seguintes funções trigonométricas e circulares inversas
(a) y = sin 2x
(b) y = cos
x 2 (c) y = (3 − sin x)^5 (d) y = ln(sin 3x) (e) y = tan x − cot x
(f) y = sin x + cos x sin x − cos x (g) y = sin(x^2 − 5 x + 1) − tan a x
(h) y = sin (sin(sin x))
(i) y =
r 1 − cos x 1 + cos x (j) y =
sin x (k) y = tan 3x (l) y = arcsin
x 2 (m) y = arccos
p 1 − x^2
(n) y = arctan
1 + x 1 − x
(o) y = arctan
1 − x^2 1 + x^2 (p) y = arcsin(sin x − cos x) (q) y = arccos(sin x)
(r) y = arccos
1 − x √ 2 (s) y = arctan(x +
p 1 + x^2 ) (t) y = arcsin(ln x) (u) y = 3 arcsin x · cos^2 x + sin^3 x
- Calcule as derivadas das funções exponenciais e logarítmicas
(a) f (x) = x^2 · log 2 x
(b) f (x) =
ln x
(c) f (x) =
1 − ln x 1 + ln x (d) f (x) = log 2 [log 3 (log 5 x)] (e) f (x) = 3^2 x
(f) f (x) =
1 −x^2
(g) f (x) = ex
(^2) +2x
(h) y = ex^ cos x (i) y = ex^ arcsin x (j) y = (x − 1)ex
(k) y = (x^2 − 2 x + 2)ex
(l) y =
x^2 + 2x ex
(m) y = ln
r 1 − sin x 1 + sin x
(n) y =
ln
x
x
- Ache as derivadas das funções hiperbólicas e hiperbólicas inversas
(a) y = 5 sinh x − 4 cosh x (b) y = x sinh x
(c) y =
x^2 cosh x
(d) y = x − tanh x (e) y = arctan x − arctanhx (f) y = arcsin x · arcsenhx
(g) y =
arctanhx 1 − x^2
- Ache f ′(2), se f (x) = x^2 sin(x − 2)
- Ache f ′(1), se f (x) = x + (x − 1) arcsin
r x 1 + x
(a) y = sin x (b) y = e−^3 x^ (c) y = ln x (^) (d) y = 1 1 + x
- Substituindo o acréscimo da função pelo diferencial, calcule aproximadamente:
(a) cos 62◦ (b) sin 31◦
(c) tan 44◦ (d) ln(0, 92)
(e)
(f) 3
- Desenvolva o polinómio f (x) = x^3 − 2 x^2 + 3x + 5 em potências inteiras e não negativas de x − 2.
- Desenvolva a função f (x) = ex^ em potências do binômio x + 1 até o termo que contenha (x − 1)^2.
- Usando a regra de L’Hospital, ache os seguintes limites:
(a) lim x→+∞
4 x^3 + 2x + 1 x^2 + 3
(b) lim x→+∞
3 x^2 x^2 + 1 (c) lim x→+∞
x √ (^3) x (^3) + 10
(d) lim x→+∞
(x + 1)^2 x^2 + 5
(e) lim x→ 0
sin(5x) sin(2x)
(f) lim x→ 1
sin(πx) sin(3πx)
(g) lim x→π
sin x x − π (h) lim x→ 0
1 − cos x x^2
(i) lim x→a
sin x − sin a x − a
(j) lim x→ 0
tan(5x) x
(k) lim x→+∞
x
kx
(l) lim x→+∞
k x
x
(m) lim x→ 0 (1 + 2x)
bx
(n) lim x→ 0 (cos x)
1 x^2
- Determine os mínimos e máximos absolutos nos intervalos indicados:
(a) f (x) =
x 1 + x^2 em R (b) f (x) = arctan x em R
(c) f (x) = x^3 no segmento [− 1 , 3]
(d) f (x) = 2x^3 + 3x^2 − 12 x + 1 no segmento[− 1 , 5]
- Determine os extremos locais e os intervalos de monotonia das seguintes funções:
(a) f (x) = x^3 − 6 x^2 + 9x − 4 (b) f (x) = x(x − 1)^2 (x − 2)^3
(c) f (x) =
x x − 2 (d) f (x) = x ln x
(e) f (x) = 2ex
(^2) − 4 x
(f) f (x) =
ex x (g) f (x) = arcsin(1 + x)
(h) f (x) =
x x^2 − 6 x − 16
(i) f (x) =
x^3 3 + x^2
(j) f (x) =
x^2 − 2 x + 2 x − 1
(k) f (x) =
(x − 2)(8 − x) x^2
- Determine os intervalos da concavidade e os pontos de inflexão dos gráficos das funções:
(a) f (x) = x^3 − 6 x^2 + 12x + 4
(b) f (x) =
x + 3 (c) f (x) = arctan x − x
(d) f (x) =
x^3 12 + x^2
(e) f (x) = x^2 ln x
(f) f (x) = (1 + x^2 )ex
(g) f (x) =
x 4 + x^2
- Achar as assíntotas das curvas:
(a) f (x) =
(x − 2)^2
(b) f (x) =
x^2 x^2 − 4
(c) f (x) = x x^2 − 4 x + 3
(d) f (x) =
x^3 9 + x^2
(e) f (x) = x √ 3 + x^2
(f) f (x) =
1 − ex
- Encontre as assimptotas, os extremos locais, os intervalos de monotonia, os intervalos de conca- vidade e os pontos de inflexão e use as informações para esboçar o gráfico da função y = f (x).
(a) f (x) = x^3 + x
(b) f (x) = x^3 + 6x^2 + 9x
(c) f (x) = x(x + 2)^3
(d) f (x) = 20x^3 − 3 x^5
(e) f (x) = 1 + 3x − x^2 −
x^3 3 (f) f (x) = x
6 − x (g) f (x) =
p x^2 + x − x (h) f (x) =
x x − 1
(i) f (x) = x (x − 1)^2
(j) f (x) =
x x^2 − 9
(k) f (x) =
x − 1 x^2
(l) f (x) =
x^2 x^2 + 3
(m) f (x) =
x^3 − 1 x^3 + 1
(n) f (x) =
x √ x^2 − 1
(o) f (x) =
1 − x^2 x^2 (p) f (x) = x (ln x)^2
(q) f (x) =
2 x^2 − 2 x (x − 2)(x + 1)
(r) f (x) = 1 + x^2 1 − x^2
(s) f (x) = (2 + x^2 )e−x
2
(t) f (x) =
4 x 4 + x^2 (u) f (x) =
x x^2 − 4
(v) f (x) = ln(x^2 − 1) −
1 − x^2
- Um camponês tem 2.400 metros de arrame farpado e quer cercar um campo rectangular que está na margem de um rio recto. Ele não precisa de cercar ao longo do rio. Quais devem ser as dimensões do campo de modo que área seja maior?
- Uma lata cilíndrica é feita para receber um litro de óleo. Encontre as dimensões que minimizarão o custo do metal para produzir a lata.
- Encontre as dimensões de um rectângulo com perímetro de 100 m cuja área seja a maior possível.
- Uma caixa sem tampa deve ser construída a partir de um pedaço quadrado de papelão. Com 3 metros de largura e, cortando fora um quadrado de cada um dos quatro cantos e dobrando para cima os lados. Encontre o maior volume que essa caixa poderá ter.
- Um fazendeiro quer cercar uma área de 1.5 milhões de metros quadrado em um campo rectan- gular e estão a dividi-lo ao meio com uma cerca paralela a um dos lados do rectângulo. Como fazer isso de forma a minimizar o custo da cerca?
- Uma caixa com uma base quadrada e sem tampa tem um volume de 32000 cm^3. Encontrar as dimensões da caixa que minimiza a quantidade de material.
- Uma lata cilíndrica sem tampa é feita para receber V cm^3 de liquido. Encontre as dimensões que minimiza o custo do metal para produzir a lata.
- Uma rede de água potável ligará uma central de abastecimento situada à margem de um rio de 500 metros de largura a um conjunto habitacional situado na outra margem do rio, 200 metros abaixo da central. O custo da obra através do rio é de 640,00 meticais por metro, enquanto, em terra, custa 312,00 meticais. Qual é a forma mais económica de se instalar a rede de água potável?
