Baixe Demonstração Soma e Subtração de Arcos - Rodrigo R. Gonçalez e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity!
Demonstração Algébrica das Fórmulas de
Soma e Subtração dos Arcos Trigonométricos.
Rodrigo R. Gonçalez ABSTRACT: understanding the demonstration of such relations Due to the great difficulty by the students ofhips by rotating the Cartesian Basic Education in A simpler and principle common toxes, thought to be important to conduct such a dem High School students:onstration using tools that are Law of Cosines and the Pythagorean Theorem. Here's the proposal.
- Introdução. Devido demonstração de tais relações mediante à grande dificuldade por parte dos alunos a rotação dos eixos da educação básica cartesianos, em compreender a pensei ser importante realizar simples e comuns a alunos do Ensino Médio: tal demonstração utilizando ferramentas que a princípio são Lei dos Cossenos e o Teorema de mais Pitágoras. Eis a proposta.
- O Ciclo Trigonométrico e Relações Algébricas em Triângulos. Seja o ciclo trigonométrico de raio unitário OA OB 1 , conforme figura abaixo.
Figura 1.
Temos as seguintes relações: sen b ; cos a ; sen ( ) d ; cos( ) c ( ) I
Seja o triângulotriângulo isósceles, pois OAB conforme a figura abaixo. Vemos claramente que se trata de um Lei dos Cossenos a esse triângulo em relação ao ângulo^ OA^ OB^1. Chamemos o segmento.^ AB^ x. Vamos aplicar a
Figura 2. ( )² ( )² ( )² 2 ( ) ( ) cos ² 1² 1² 2.1.1.cos ² 2 2.cos ( )
AB OA OB OA OB
x x II Tomemos agora o triânguloque a hipotenusa do triângulo CAB , o qual é retângulo emé x , e os catetos C medem. Pela figura, observamos respectivamente, AC a c e BC d b :
2 2.cos 2 2.cos .cos( ) 2.. ( ) 2.cos 2.cos .cos( ) 2.. ( ). (^12) cos cos .cos( ). ( ) cos cos ( ). ( ) ( ). : cos [ ( )] cos .cos( )
sen sen sen sen sen sen Sabemos que Seja Logo sen. ( )
. : (1) cos( ) cos .cos.
sen Podemos fazer e Então sen sen
Eis a primeira relação. Para encontrarmos as demais relações, vamos apenas fazeralgumas substituições nos próprios ângulos dados.
- Obtendo as demais relações por substituição de arcos.
Substituindo em (1) por , temos: cos[ ( )] cos .cos( ). ( ) cos( ) cos ( ). : (2) cos( ) cos .cos.
sen sen Sabemos que e sen sen Então sen sen
Vamos, agora, substituir em (1) por 2. Temos:
cos 2 cos 2 .cos 2. , : cos 2 2 cos . : cos (^2)
sen sen Mas sabemos que sen e sen Essas relações são facilmente demonstradas em triângulos retângulos Fazendo cos 2 ( ) cos 2 ( ) ( ) : (3) ( ) .cos .cos
sen Então sen sen sen
Agora, basta substituirmos em (3) por : .cos( ) ( ).cos , cos( ) cos ( ). : (4) ( ) .cos .cos
sen y sen sen Novamente temos que e sen sen Logo sen sen sen
Eis, assim, as quatro relações em termos do seno e do cosseno da soma e da diferença dedois arcos:
(1) cos ( ) cos cos (2) cos ( ) cos cos (3) ( ) cos cos (4) ( ) cos cos
sen sen sen sen sen sen sen sen sen sen
