Definição formal do limite de funções, Notas de estudo de Cálculo

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DEFINIÇÃO FORMAL

DE LIMITE

DISCIPLINA: CÁLCULO I (LOB1003) DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS BÁSICAS E AMBIENTAIS PROFa. DIOVANA NAPOLEÃO

Esta é uma maneira precisa de dizer que f ( x ) está próximo de 5 quando x está próximo de 3, pois diz que podemos fazer os valores de f ( x ) ficarem dentro de uma distância arbitrária ε de 5 tomando os valores de x dentro de uma distância ε /2 de 3 (mas x 3). DEFINIÇÃO FORMAL DO LIMITE 3 – < x < 3 + ( x 3) então 5 – ε < f ( x ) < 5 + ε Observe que as condições apresentadas na Fig. 1 podem ser reescritas como: Figura 1

Uma vez que | x – a | é a distância de x a a e | f ( x ) – L | é a distância de f ( x ) a L , e como ε pode ser arbitrariamente pequeno, a definição de limite pode ser expressa em palavras da seguinte forma: 𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑎 f ( x ) = L significa que a distância entre f ( x ) e L fica arbitrariamente pequena tomando-se a distância de x a a suficientemente pequena (mas não igual a 0 ). DEFINIÇÃO FORMAL DO LIMITE

O LIMITE DE UMA FUNÇÃO Exemplo 1 : Vamos analisar o comportamento da função f definida por f ( x ) =𝑥 2

• x + 2 para valores de x próximos de 2. A tabela a seguir fornece os valores de f ( x ) para valores de x próximos de 2, mas não iguais a 2. Aproximação pela lateral esquerda Aproximação pela lateral direita

O LIMITE DE UMA FUNÇÃO Exemplo 2: O gráfico de f está apresentado na Figura 3. Agora vamos mudar ligeiramente f definindo seu valor como 2 quando x = 1 e chamando a função resultante de g : Figura 3 𝑦 = 𝑥− 1 𝑥− 1 )(𝑥+ 1 =0,

Essa nova função g tem o mesmo limite quando x tende a 1 (Figura 4). O LIMITE DE UMA FUNÇÃO Figura 4

LIMITES LATERAIS lim 𝑥→𝑎−^ 𝑓(𝑥) = 𝐿 lim 𝑥→𝑎+^ 𝑓 𝑥 = 𝐿