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Curso de C´alculo 3
C´alculo vetorial, sequˆencias e s´eries
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CENTRO DE CIEˆNCIAS EXATAS E DA NATUREZA
Usado na disciplina: C´alculo 3 - 2010. 1
Autores: ( 1 a vers˜ao) Gabriel Coutinho Data: Mar/ 2010
Observa¸c˜ao importante: Ao longo do que segue, n˜ao estaremos preocupados com os devidos
cuidados formais que algumas defini¸c˜oes, passagens, coment´arios e demonstra¸c˜oes exigem. Este ´e
um texto com o objetivo de motivar e explicar, e n˜ao de apresentar resultados matem´aticos formais.
Para os que quiserem textos rigorosos a n´ıvel de um curso de C´alculo, sugiro:
C´alculo 2 de Serge Lang, editora Ao Livro T´ecnico S.A.
Um curso de C´alculo vols 2 , 3 e 4 de Hamilton Guidorizzi, editora LTC.
Um bom livro com exerc´ıcios e figuras, e referˆencia para a montagem deste curso ´e:
C´alculo, v. 2 de James Stewart, editora CENGAGE.
Livros de um n´ıvel mais aprofundado, para os que quiserem contato com matem´atica a n´ıvel
superior, s˜ao:
Geometria Diferencial de Curvas e Superf´ıcies de Manfredo P. Carmo, editora da SBM.
An´alise Real v. 1 de Elon L. Lima, editado pelo IMPA.
O autor cita ainda
All the Mathematics You Missed - But Need to Know for Graduate School de Thomas A. Garrity, Cambridge University Press.
como uma excelente fonte para revisar assuntos de cursos de c´alculo que ele na verdade nunca prestou
muita aten¸c˜ao. Inclusive, as demonstra¸c˜oes para os Teoremas de Stokes e Gauss foram fortemente
inspiradas (copiadas) deste livro.
O autor agradece ao prof. S´ergio Santa Cruz (UFPE) pelas notas de aula que inspiraram o apˆendice
sobre geometria diferencial de curvas.
Por ´ultimo, o autor sugere a qualquer estudante que realmente deseje aprender c´alculo (eu sei que
existem) que fa¸ca mais exerc´ıcios do que os que constam nessas notas.
O texto a seguir n˜ao foi bem revisado, e poder´a conter erros. Gentileza report´a-los ao
autores, assim como quaisquer cr´ıticas, du´vidas, coment´arios, sugest˜oes e principalmente
elogios: gmcout@gmail.com.
Sum´ario
- I 1 a unidade
- 1 Curvas parametrizadas
- 1 1 Introdu¸c˜ao
- 1 2 A derivada de uma curva - 1 2 1 Curva (parametriza¸c˜ao) regular - 1 2 2 Reparametriza¸c˜ao
- 1 3 O comprimento de uma curva - 1 3 1 Reparametriza¸c˜ao pelo comprimento do arco
- 1 4 Exerc´ıcios
- 2 Integrais de linha e campos vetoriais
- 2 1 Integrais de linha por comprimento de arco
- 2 2 Integrais de linha sobre campos vetoriais - 2 2 1 Trabalho - 2 2 2 Integral de linha sobre um campo - 2 2 3 Campos Conservativos - Conservativos 2 2 4 Teorema Fundamental da Integrais de Linha sobre Campos
- 2 3 Exerc´ıcios
- 3 Teorema de Green
- A Apˆendice - Geometria de Curvas
- A. 1 Curvatura para curvas planas
- A. 2 Curvas espaciais - o triedro de Frenet e a tor¸c˜ao - A. 2 1 F´ormulas de Frenet
- A. 3 Parametriza¸c˜oes quaisquer e f´ormulas - A. 3 1 F´ormula para curvatura - A. 3 2 F´ormula para tor¸c˜ao
- A. 4 Existˆencia e Unicidade de curvas - breve coment´ario
- A. 5 Exerc´ıcios
- II - unidade a
- 4 Superf´ıcies parametrizadas e integrais de superf´ıcie
- 4 1 Introdu¸c˜ao
- 4 2 Plano tangente e vetor normal
- 4 3 A´rea de superf´ıcies
- 4 4 Integrais de superf´ıcie
- 4 5 Exerc´ıcios
- 5 Teorema de Stokes e Teorema da Divergˆencia
- 5 1 Teorema de Stokes
- 5 2 Teorema da Divergˆencia
- 5 3 Exerc´ıcios
- B Demonstra¸c˜ao do Teorema de Stokes e do Teorema da Divergˆencia
- B. 1 Demonstra¸c˜ao do Teorema de Stokes
- B. 2 Demonstra¸c˜ao do Teorema da Divergˆencia
- C Revis˜ao - integrais triplas
- C. 1 Coordenadas retangulares
- C. 2 Mudan¸ca de vari´aveis
- C. 3 Coordenadas cil´ındricas
- C. 4 Coordenadas esf´ericas
- C. 5 Aplica¸c˜ao: C´alculo de volumes
- C. 6 Exerc´ıcios
- III 3 a unidade
- 6 Sequˆencias
- 6 1 Crit´erios de convergˆencia
- 6 2 Exemplos cl´assicos
- 6 3 Exerc´ıcios
- 7 S´eries
- 7 1 Crit´erios de convergˆencia e divergˆencia
- 7 1 1 Crit´erios para s´eries de termos positivos
- 7 1 2 S´eries de termos quaisquer
- 7 2 Exemplos mais sofisticados e um resultado surpreendente
- 7 3 Exerc´ıcios
- 8 S´eries de Potˆencias e S´eries de Taylor
- 8 1 Raio de Convergˆencia
- 8 2 S´eries de Taylor
- 8 2 1 Derivada e integral de uma s´erie
- 8 2 2 S´erie de Taylor de uma fun¸c˜ao
- 8 3 Exerc´ıcios
- D Breve introdu¸c˜ao `as fun¸c˜oes complexas
- D. 1 Revis˜ao das propriedades b´asicas
- D. 1 1 Aritm´etica
- D. 1 2 O plano complexo e a forma trigonom´etrica
- D. 1 3 F´ormulas de deMo¨ıvre
- D. 1 4 Exerc´ıcios desta se¸c˜ao
- D. 2 Fun¸c˜oes complexas e a derivada
- D. 2 1 Derivada complexa
- D. 2 2 Equa¸c˜oes de Cauchy-Riemann
- D. 3 S´eries de potˆencias complexas
- D. 3 1 S´eries de potˆencias
- D. 3 2 S´erie de Taylor
- D. 3 3 F´ormula para as fun¸c˜oes
- D. 4 Exerc´ıcios
- E Uma breve introdu¸c˜ao `as S´eries de Fourier e uma aplica¸c˜ao not´avel
- E. 1 S´eries de Fourier
- E. 2 Identidade de Parseval
- E. 3 Aplica¸c˜ao para o c´alculo da soma dos inversos de potˆencias pares
- E. 3 1 Expoente igual a
- E. 3 2 Expoente igual
- E. 3 3 Expoente par qualquer
- E. 3 4 Dificuldade para expoente ´ımpar
- IV Gabaritos
- 9 Curvas parametrizadas
- 9 1 Introdu¸c˜ao
- 9 2 A derivada de uma curva
- 9 3 O comprimento de uma curva
- 9 4 Exerc´ıcios
- 10 Integrais de linha e campos vetoriais
- 10 1 Integrais de linha por comprimento de arco
- 10 2 Exerc´ıcios
- 11 Teorema de Green
- F Apˆendice - Geometria de Curvas
- 12 Superf´ıcies parametrizadas e integrais de superf´ıcie
- 13 Teorema de Stokes e Teorema da Divergˆencia
- 13 1 Teorema de Stokes
- 13 2 Exerc´ıcios
- 14 Sequˆencias
- 15 S´eries
- 16 S´eries de Potˆencias e S´eries de Taylor
Cap´ıtulo 1
Curvas parametrizadas
- 1 Introdu¸c˜ao
Nosso ambiente de estudo poder´a ser os espa¸cos R^2 ou R^3. Nosso interesse inicial ´e descrever curvas
nestes espa¸cos, e para tal vamos introduzir a id´eia de curva parametrizada.
Defini¸c˜ao 1. 1. Uma curva parametrizada em R^2 ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua definida num intervalo I dos
nu´meros reais. Ou seja, α : I → R^2 que associa a cada nu´mero no intervalo a um ponto no plano.
Ser´a comum representarmos da forma a seguir:
α(t) = (x(t), y(t))
A motiva¸c˜ao de introduzir essa defini¸c˜ao para falarmos de curvas no R^2 ´e que nem todas as curvas
podem ser expressas como o gr´afico de uma fun¸c˜ao f : R → R. Por exemplo, n˜ao existe fun¸c˜ao desta
forma cuja o gr´afico seja uma circunferˆencia. No m´aximo podemos expressar uma semi-circunferˆencia
fazendo f (t) =
1 − t^2 (no caso, o raio seria 1 ).
Exemplo 1. 1. Por outro lado, a circunferˆencia de raio 1 pode ser representada como uma curva
parametrizada da seguinte forma:
α(t) = (cos(t), sen(t))
onde t ∈ [ 0 , 2 π], ou seja, α : [ 0 , 2 π] → R^2. Para se convencer disto, basta pensarmos no c´ırculo
trigonom´etrico, que ´e um c´ırculo e as coordenadas dos pontos s˜ao exatamente o seno e o cosseno do
A^ ˆngulo (no caso, o nosso parˆametro t).
Note que neste exemplo, x(t) = cos(t) e y(t) = sen(t).
Talvez seja interessante imaginarmos uma curva parametrizada como um ponto descrevendo uma
trajet´oria no plano. Mesmo que trajet´oria seja o c´ırculo unit´ario, existem diversas como um ponto
pode percorrˆe-la: velocidade baixa, alta, constante ou vari´avel, acelerando e depois desacelerando, etc.
Esta forma de percorrer ´e dada pela parametriza¸c˜ao. Isto nos sugere que diferentes parametriza¸c˜oes
podem ter a mesma curva como imagem.
Exemplo 1. 2. A curva β(t) = (cos( 2 t), sen( 2 t)) com t ∈ [ 0 , π] ´e exatamente o c´ırculo unit´ario, mas ´e
como se a velocidade tivesse sido duas vezes maior. E ainda, (cos(t^2 ), sen(t^2 )), com t ∈ [ 0 ,
2 π] ´e a
mesma curva, mas ´e como se a velocidade fosse aumentando a medida que t cresce. Futuramente, ao
falarmos de derivada, vamos quantificar esta no¸c˜ao de velocidade.
Estender os coment´arios acima para o espa¸co R^3 ´e f´acil.
Defini¸c˜ao 1. 2. Uma curva parametrizada em R^3 ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua α : I → R^3 que associa
a cada n´umero no intervalo I ⊂ R a um ponto no espa¸co. Ser´a comum representarmos da forma a
seguir:
α(t) = (x(t), y(t), z(t))
Exemplo 1. 3. Consideramos a seguinte curva
γ(t) = (cos(t), sen(t), t)
onde t ∈ [ 0 , 2 π]. Qual o formato desta curva? Para responder perguntas deste tipo, o mais interessante
´e eliminarmos uma coordenada de modo que ela se torne mais familiar. Por exemplo, se n˜ao existisse
a ´ultima, seria exatamente o c´ırculo do exemplo anterior. Significa que onde quer que ela esteja no
espa¸co, sua proje¸c˜ao no plano ser´a o c´ırculo unit´ario, ou seja, esta curva localiza-se no cilindro reto
sobre este c´ırculo.
Ocorre que a medida que o parˆametro t aumenta, de 0 a 2 π, as duas primeiras coordenadas fazem
os pontos da curva descrevem uma trajet´oria circular, ao passo que a u´ltima coordenada faz os pontos
“subirem”. Ou seja, teremos um formato helicoidal - a curva ser´a uma h´elice!
Exemplo 1. 4. Qual uma curva parametrizada que representa a interse¸c˜ao entre o cilindro x^2 + y^2 = 1
e o plano y + z = 2? Ora, chamando x = x(t), y = y(t) e z = z(t), temos que:
x(t)
2
2 = 1
O conjuntos de todos os pontos que satisfazem tal equa¸c˜ao ´e justamente x(t) = cos(t) e y(t) = sen(t),
com t ∈ [ 0 , 2 π]. Agora:
y(t) + z(t) = 2 ⇒ sen(t) + z(t) = 2 ⇒ z(t) = 2 − sen(t)
Portanto nossa curva ser´a:
α(t) = (cos(t), sen(t), 2 − sen(t)) com t ∈ [ 0 , 2 π]
Exemplo 1. 5. Este exemplo ´e um exerc´ıcio. Qual uma curva parametrizada que representa a in-
terse¸c˜ao entre o parabol´oide y = x^2 + z^2 com o plano x = z ??
( 1 ) Encare estas vari´aveis como as fun¸c˜oes x(t), y(t), z(t). ( 2 ) O que vocˆe pode dizer facilmente
sobre x(t) e z(t)? ( 3 ) Arbitrariamente, decida que alguma destas fun¸c˜oes ser´a simplesmente = t.
Quais parecem uma boa escolha? ( 4 ) Substitua na express˜ao para y(t).
Vocˆe seria capaz de desenhar esta curva? Tendo chamado x(t) de t^2 , ter´ıamos obtido a mesma
curva? E se fosse t^3?
Citamos que uma curva parametrizada deve ser uma fun¸c˜ao cont´ınua. De fato, para que isto
ocorra, ´e necess´ario e suficiente que cada fun¸c˜ao coordenada seja cont´ınua. A proposi¸c˜ao a seguir
esclarece este fato:
Proposi¸c˜ao 1. 1. Seja α : I → R^3 uma curva parametrizada tal que α(t) = (x(t), y(t), z(t)). Ent˜ao:
lim t→t 0
α(t) = ( lim t→t 0
x(t), lim t→t 0
y(t), lim t→t 0
z(t))
Se cada componente ´e cont´ınua, teremos que:
( lim t→t 0
x(t), lim t→t 0
y(t), lim t→t 0
z(t)) = (x(t 0 ), y(t 0 ), z(t 0 ))
Logo limt→t 0 α(t) que ´e exatamente a primeira parte ser´a igual a α(t 0 ), que ´e segunda parte, garantindo
que a curva ´e cont´ınua.
Exemplo 1. 7. A derivada da curva α(t) = (cos( 2 t), sen( 2 t)) ´e:
α
′ (t) = (− 2 sen( 2 t), 2 cos( 2 t))
Logo ||α′(t)|| = ||(− 2 sen(t), 2 cos(t))|| = 2
cos^2 ( 2 t) + sen^2 ( 2 t) = 2 Ou seja, a part´ıcula estaria des-
crevendo com velocidade 2 o c´ırculo unit´ario. No exemplo anterior, qual era a velocidade?!
Exemplo 1. 8. Este exemplo ´e um exerc´ıcio. Consideremos a h´elice no R^3 :
β(t) = (cos(t), sen(t), t^2 ) com t ∈ [ 0 , 2 π]
Qual o vetor tangente a curva em t = π? Qual a fun¸c˜ao que determina a velocidade do ponto
percorrendo a curva? Qual a velocidade do ponto em t = 2 π?
( 1 ) Fa¸ca a derivada da curva. ( 2 ) Substitua t = π para saber o vetor tangente. ( 3 ) Calcule a
norma do vetor derivada - esta ser´a a fun¸c˜ao que dar´a a velocidade. ( 4 ) Substitua t = 2 π.
1. 2. 1 Curva (parametriza¸c˜ao) regular
Defini¸c˜ao 1. 3. Dizemos que uma curva (parametriza¸c˜ao) ´e regular se sua derivada nunca ´e o vetor
nulo, ou seja, se α′(t) ∕= 0 para todo t ∈ I, onde este zero representa o vetor nulo.
Note que quando uma curva n˜ao ´e regular, em algum ponto a derivada se anula. Fisicamente, ´e
como se a part´ıcula parasse em sua trajet´oria. Ao retomar o movimento, ela pode alterar drasticamente
a dire¸c˜ao, gerando uma esp´ecie de bico no formato da curva. Observe:
Exemplo 1. 9. A curva α(t) = (t^3 , t^2 ) ´e tal que α′(t) = ( 3 t^2 , 2 t). Quando t = 0 , temos α′( 0 ) = ( 0 , 0 ).
Desenhe esta curva e constate que existe um bico na origem. Para sabermos analiticamente se a curva
formar´a um bico, o ideal ´e escrevermos uma componente (y(t)) em termos da outra: se x(t) = t^3 ,
ent˜ao t = 3
x. Como y(t) = t^2 , teremos: y = x^2 /^3
Derivando, teremos:
dy
dx
x
− 1 / 3
que n˜ao ´e definida se x = 0! Isso nos indica que n˜ao h´a tangente poss´ıvel para a curva - sendo o caso
de existir um bico.
1. 2. 2 Reparametriza¸c˜ao
Vamos atentar para um fato que j´a foi discutido anteriormente. Consideramos uma curva parametri-
zada por α : I → R^3. Agora considere que existe um intervalo J e uma fun¸c˜ao ϕ : J → I. Definimos
β(s) por:
β(s) = α(ϕ(s))
Tal β ´e uma reparametriza¸c˜ao da curva.
Exemplo 1. 10. Lembre-se de quando consideramos a curva α(t) = (cos(t), sen(t)), t ∈ [ 0 , 2 π], e
mostramos que β(s) = (cos( 2 s), sen( 2 s)), s ∈ [ 0 , π], era exatamente a mesma curva. Ora, nosso ϕ
neste caso ´e tal que ϕ : [ 0 , π] → [ 0 , 2 π] sendo ϕ(t) = 2 t.
Observe que se
β(s) = α(ϕ(s))
ent˜ao temos que:
β′(s) = ϕ′(s) · α′(ϕ(s))
Desta forma, ϕ′(s) determina a rela¸c˜ao entre as derivadas. Se for positiva, a reparametriza¸c˜ao ocorre
sem alterar o sentido da trajet´oria. Se for negativo, os sentidos ser˜ao opostos.
Exemplo 1. 11. Este exemplo ´e um exerc´ıcio. Considere a parametriza¸c˜ao do trecho de par´abola:
α(t) = (t, t^2 ), com t ∈ [− 2 , 2 ]
E a reparametriza¸c˜ao do mesmo trecho:
β(s) = (− 4 s, 16 s^2 )
Determine ϕ (incluindo os intervalos) e decida se houve altera¸c˜ao no sentido.
( 1 ) Em quem o parˆametro t foi mandado? ( 2 ) Qual a derivada desta fun¸c˜ao? ( 3 ) Para que a
imagem fique entre − 2 e 2 , o dom´ınio tem que ser qual intervalo? ( 4 ) Qual o sinal da derivada?
Esta subse¸c˜ao estabelece de vez que uma mesma curva pode ter v´arias parametriza¸c˜oes. Preferire-
mos ent˜ao nos referirmos `a parametriza¸c˜ao quando estivermos falando da fun¸c˜ao, e de curva quando
estivermos falando da imagem.
- 3 O comprimento de uma curva
Nosso objetivo nesta se¸c˜ao ser´a calcular o comprimento de um arco (trecho) de uma curva parametri-
zada.
Exemplo 1. 12. Consideremos a parametriza¸c˜ao da h´elice α : [ 0 , 2 π] → R^3 com:
α(t) = (cos(t), sen(t), t)
Suponha que uma part´ıcula se move por esta trajet´oria. O significado f´ısico do intervalo sobre o qual
α est´a definido ´e de tempo, e n´os sabemos calcular a velocidade, ser´a:
||α
′ (t)|| = ||(sen(t), cos(t), 1 )|| =
(−sen(t))^2 + (cos(t))^2 + 12 =
Opa, a velocidade ´e constante! N´os sabemos o tempo. Alguma id´eia de qual foi o espa¸co? A f´ısica
nos diz que comprimento da curva, que denotaremos por L, ser´a:
L = velocidade · tempo = 2
2 π
Tudo seria perfeito se a velocidade fosse sempre constante. Ocorre que nem sempre ´e f´acil acharmos
uma parametriza¸c˜ao cuja velocidade seja constante. Por exemplo, qual o comprimento do arco de
par´abola parametrizado por α(t) = (t, t^2 ) com t ∈ [ 0 , 1 ]? A velocidade ser´a ||α′(t)|| =
1 + 4 t^2 , que
infelizmente n˜ao ´e constante.
Ora, o produto tempo vezes velocidade nada mais ´e do que a soma da velocidade por ela mesma
tantas unidades quanto for o tempo. Se a velocidade da part´ıcula na par´abola fosse constante em cada
unidade de tempo, bastaria calcular o comprimento de cada parte e depois somar. O problema ´e que
Lembrando que a identidade trigonom´etrica hiperb´olica fundamental diz que cosh^2 (t) = 1 + senh^2 (t),
teremos que:
||α′(t)|| = cosh(t)
Logo
L =
0
cosh(t) dt = senh(t)
2
0
e^2 − e−^2
2
Exemplo 1. 14. Este exemplo ´e um exerc´ıcio.
Exiba uma integral que determina per´ımetro da elipse que passa pelos pontos ( 2 , 0 ), ( 0 , 1 ), (− 2 , 0 )
e ( 0 , − 1 ).
( 1 ) Que tal desenhar a elipse? ( 2 ) Qual a equa¸c˜ao cartesiana que esta elipse satisfaz? Comece
determinando o a e o b e lembre-se que a equa¸c˜ao ´e x
2 a^2 +^
y^2 b^2 =^1.^ (^3 )^ Qual^ o^ conjunto^ de^ todos
os pontos que satisfazem uma soma de quadrados igual a 1? Isso mesmo, chame
x(t) a =^ cos(t)^ e y(t) b =^ sen(t).^ (^4 )^ Escreva^ a^ parametriza¸c˜ao.^ Qual^ ´e^ o^ intervalo?^ O^ mesmo^ de^ sempre,^ afinal^ estamos dando uma volta. ( 5 ) Calcule a derivada da parametriza¸c˜ao. ( 6 ) Calcule a fun¸c˜ao da velocidade. ( 7 )
Exiba a integral. Vocˆe seria capaz de calcular esta integral?
Algu´em questionador poderia estar pensando: o comprimento de uma curva s´o depende da curva
e n˜ao depende da parametriza¸c˜ao - mas para calcul´a-lo n´os utilizamos uma parametriza¸c˜ao espec´ıfica
α!! A proposi¸c˜ao a seguir vai convencˆe-lo de vez que esta dependˆencia ´e apenas aparente.
Proposi¸c˜ao 1. 3. O comprimento de uma curva n˜ao depende da parametriza¸c˜ao.
Demonstra¸c˜ao. Consideramos duas parametriza¸c˜oes de uma curva qualquer, α : [a, b] → R^3 e
β : [c, d] → R^3 , sendo ϕ : [c, d] → [a, b] como j´a hav´ıamos definido. Suponhamos que ϕ′(s) > 0 sempre,
o caso oposto ´e an´alogo. N´os vamos mostrar que:
(^) b
a
||α
′ (t)|| dt =
(^) d
c
||β
′ (s)|| ds
Para tal, observe que: (^) d
c
||β
′ (s)|| ds =
(^) d
c
||α
′ (ϕ(s))|| · ϕ
′ (s) ds
Agora chamamos t = ϕ(s). Vamos aplicar o Teorema de Mudan¸ca de Vari´aveis para integrais. Pela
regra pr´atica, fazemos: dt
ds
= ϕ
′ (s) ⇒ dt = ϕ
′ (s) ds
Notando tamb´em a = ϕ(c) e b = ϕ(d), teremos:
(^) d
c
||α′(ϕ(s))|| · ϕ′(s) ds =
(^) ϕ(d)=b
ϕ(c)=a
||α′(t))|| · dt
exatamente como quer´ıamos.
1. 3. 1 Reparametriza¸c˜ao pelo comprimento do arco
Nem sempre ser´a poss´ıvel, mas as vezes ´e interessante reparametrizarmos uma curva de modo que a
velocidade da part´ıcula seja sempre 1 , ou seja, dado um α(t), acharmos um β(s) = α(ϕ(s)) de modo
que ||β′(s)|| = 1. Significa dizer que o comprimento do arco no instante t em α ser´a exatamente igual
`a varia¸c˜ao do tempo (parˆametro s). Por isto tal parametriza¸c˜ao ser´a chamada de parametriza¸c˜ao pelo
comprimento de arco. Queremos dizer que:
s = ψ(t) =
(^) t
a
||α
′ (u)|| du
Tal rela¸c˜ao nos permite mandar o intervalo [a, b] do parˆametro t no intervalo [ 0 , L] do parˆametro s
por meio da fun¸c˜ao ψ(t). Mas para acharmos a β(s), precisamos da ϕ(s), que tem exatamente a a¸c˜ao
oposta, ou seja, ´e a inversa de ψ(t).
Como calcular ψ(t)? Ora, se ||α′(t)|| possuir uma primitiva ent˜ao o Teorema Fundamental do
C´alculo nos garante que ψ(t) ser´a exatamente esta primitiva.
Para comprovar que este procedimento de fato ir´a gerar uma parametriza¸c˜ao de velocidade 1 , note
que:
||β
′ (s)|| = ϕ
′ (s) · ||α
′ (ϕ(s))|| =
||α′(t)||
ψ′(t)
Mas ψ(t) ´e uma primitiva de ||α′(t)|| - sua derivada ´e exatamente ||α′(t)||. Logo:
||β′(s)|| =
||α′(t)||
ψ′(t)
||α′(t)||
||α′(t)||
Exemplo 1. 15. Vamos reparametrizar a h´elice dada por α(t) = (cos(t), sen(t), t) pelo comprimento
de arco.
Come¸camos fazendo α′(t) = (−sen(t), cos(t), 1 ). Da´ı teremos que: ||α′(t)|| =
- Calculamos
ent˜ao:
ψ(t) =
||α′(t)|| dt
(^) t a ||α
′(u)|| du pelo TFC
2 dt =
2 t
A inversa desta fun¸c˜ao ´e:
ϕ(s) =
s √ 2
Logo a parametriza¸c˜ao por comprimento de arco da h´elice ser´a:
β(s) =
cos
s √ 2
, sen
s √ 2
s √ 2
Quest˜ao 1. 11. Lembra-se da curva dada por (t^2 , t^3 )? Reparametrize-a por comprimento de arco.
Obviamente vocˆe nem se preocupou com o fato que esta curva n˜ao era regular - mas olhe agora para
o seu parˆametro de comprimento de arco e decida se ele pode estar definido no ponto t = 0 ...
Quest˜ao 1. 12. Reparametrize a par´abola por comprimento de arco. Dica: Em alguma integral
que aparecer, chame 2 t = tan(θ) e resolva-a por substitui¸c˜ao (vocˆe tamb´em poderia fazer usando o
ArcSenh). Foi poss´ıvel inverter a fun¸c˜ao obtida?
Quest˜ao 1. 13. Reparametrize a curva
γ(t) =
t^2 + 1
2 t
t^2 + 1
com respeito ao comprimento de arco medido a partir do ponto ( 1 , 0 ) na dire¸c˜ao de um t crescente.
Expresse a reparametriza¸c˜ao na forma mais simples. O que pode-se concluir a respeito da curva?
Cap´ıtulo 2
Integrais de linha e campos vetoriais
At´e o presente momento, ao longo do estudo do c´alculo integral, s´o nos dedicamos a definir integrais
de fun¸c˜oes reais sobre regi˜oes de mesmo dimens˜ao que o espa¸co ambiente. Ou seja, t´ınhamos integrais
de fun¸c˜oes reais de 1 vari´avel sobre R, integrais de fun¸c˜oes reais de 2 vari´aveis sobre R^2 e integrais de
fun¸c˜oes reais de 3 vari´aveis sobre R^3.
Neste cap´ıtulo, estaremos interessados em definir integrais diferentes. O primeiro tipo se pretende
a calcular a integral de uma fun¸c˜ao real definida sobre a curva. J´a o segundo tipo depender´a da no¸c˜ao
de campo vetorial, e pretender´a calcular a integral deste campo ao longo da curva.
- 1 Integrais de linha por comprimento de arco
O primeiro tipo de integral que definiremos s˜ao as integrais de linha por comprimento de arco. O
objetivo ´e generalizar as observa¸c˜oes feitas acerca de como se calcula o comprimento de curvas.
Consideramos uma parametriza¸c˜ao α : I → R^3. No espa¸co em que a imagem (curva) estiver
definida, consideramos uma fun¸c˜ao real f : R^3 → R. Estaremos interessados em calcular a integral
desta fun¸c˜ao ao longo da curva. Para tal, lembramos da motiva¸c˜ao do conceito de integral: calcular a
soma dos valores de uma fun¸c˜ao sobre um espa¸co considerando uniformemente a dimens˜ao do espa¸co.
Em outras palavras, ´e como se estiv´essemos somando o valor m´edio da fun¸c˜ao em intervalos regulares
de distˆancia, e fiz´essemos os limites dos comprimentos desses intervalos tenderem a zero.
A parametriza¸c˜ao ´e arbitr´aria, mas sabemos que o componente ||α′(t)|| “uniformiza”a integral - ´e
o parˆametro comprimento de arco. Sem mais delongas, definimos:
Defini¸c˜ao 2. 1. Seja α : I → R^3 uma parametriza¸c˜ao e f : Ω → R uma fun¸c˜ao definida num conjunto
Ω ⊂ R^3 que contenha a curva. A integral de linha de f sobre α com respeito ao comprimento de arco
ser´a: (^)
α
f ds =
(^) b
a
f (α(t))||α′(t)|| dt
Observe que se por algum motivo a curva estiver parametrizada por comprimento de arco, ent˜ao
||α′(t)|| = 1 e ´e como se simplesmente estiv´essemos calculando a integral sobre um intervalo da reta
de mesmo comprimento que a curva.
Exemplo 2. 1. Vamos calcular a integral da fun¸c˜ao f (x, y) = x^2 + 2 y^2 ao longo da circunferˆencia
unit´aria α(t) = (cos(t), sen(t)) com t ∈ [ 0 , 2 π]. Como sempre, temos:
||α′(t)|| = 1
Note que se a for¸ca n˜ao atuasse no mesmo sentido, e que o ˆangulo entre os sentido fosse θ, far´ıamos
simplesmente:
τ = ||F ||.||γ(b) − γ(a)||. cos(θ) =
F,
γ(b) − γ(a)
= F ·
γ(b) − γ(a)
Suponhamos agora que F e γ sejam quaisquer, com F cont´ınuo e γ suave. Para calcularmos
o trabalho, fazemos como sempre. Consideramos uma parti¸c˜ao de [a, b] chamada P definida por
a = t 0 < t 1 < ... < tn = b, onde o maior ∆ti = ti − ti− 1 ´e suficientemente pequeno. E´ razo´avel ent˜ao
esperar que a soma: n
i= 1
F (γ(ti− 1 )) ·
γ(ti) − γ(ti− 1 )
seja uma boa aproxima¸c˜ao para τ. Quanto menor for max ∆ti, melhor ser´a a aproxima¸c˜ao. Agora
lembre-se que:
lim ∆ti→ 0
γ(ti) − γ(ti− 1 )
∆ti
= γ′(ti− 1 )
Logo a medida que max ∆ti diminuir, teremos a aproxima¸c˜ao.
γ(ti) − γ(ti− 1 ) ≈ γ′(ti− 1 )∆ti
Logo temos que:
τ ≈
^ n
i= 1
F (γ(ti− 1 )) ·
γ′(ti− 1 )∆ti
Como F (γ(t)) · γ′(t) ´e cont´ınua, logo integr´avel, teremos que:
lim ∆ti→ 0
^ n
i= 1
F (γ(ti− 1 )) · (γ′(ti− 1 )∆ti) =
(^) b
a
F (γ(t)) · γ′(t) dt
Isto motiva nossa defini¸c˜ao.
2. 2. 2 Integral de linha sobre um campo
Seja F : Ω → R^3 um campo vetorial cont´ınuo. Seja γ : [a, b] → Ω uma curva suave. Definimos a
integral de linha de F sobre γ como sendo:
γ
F dγ =
(^) b
a
F (γ(t)).γ′(t) dt
E^ ´ conveniente termos em mente que tal integral independe da parametriza¸c˜ao escolhida, basta que
se tome o cuidado de reparametrizar conservando a mesma orienta¸c˜ao. Isto ´e consequˆencia imediata
do teorema de mudan¸ca de vari´aveis em integrais.
Exemplo 2. 4. Vamos integrar F (x, y) = (−y^2 , x^2 ) em γ(t) = (t^2 , t), como t variando de 0 a 1.
Simplesmente:
γ
F dγ =
0
(−t^2 , t^4 ) · ( 2 t, 1 ) dt =
0
t^4 − 2 t^3 dt = −
Exemplo 2. 5. Vamos fazer a integral do campo F (x, y, z) = (x^2 + y^2 , 1 , x + y + z) na curva γ(t) =
(cos(t), sen(t), 0 ), com 0 ≤ t ≤ π. Teremos que:
γ
F dγ =
(^) π
0
(cos
2 (t) + sen
2 (t), 1 , cos(t) + sen(t) + 0 ) · (−sen(t), cos(t), 0 ) dt =
(^) π
0
−sen(t) + cos(t) dt = − 2
Em particular, se a pergunta fosse qual o trabalho realizado por uma for¸ca descrita por F em uma
part´ıcula que percorresse o semi-c´ırculo, ter´ıamos obtido - 2 como resposta.
Uma classe de campos vetoriais merece destaque por se relacionar intimamente com as integrais
de linha sobre si pr´oprios. S˜ao campos que aparecem naturalmente em problemas da f´ısica, e que
felizmente possuem um tratamento muito razo´avel.
2. 2. 3 Campos Conservativos
Come¸camos introduzindo uma defini¸c˜ao a qual recorreremos ao longo do texto a seguir.
Defini¸c˜ao 2. 2. Dada uma fun¸c˜ao real definida em um conjunto Ω ⊂ R^3 , ie ϕ : Ω → R, o gradiente
desta fun¸c˜ao denotado por ∇ ´e definido por:
∇ϕ =
∂ϕ
∂x
∂ϕ
∂y
∂ϕ
∂z
Tamb´em poderemos denotar a derivada parcial como na seguinte forma:
∇ϕ = (ϕx, ϕy, ϕz )
Um campo vetorial F : Ω → R^3 ´e dito um campo conservativo (ou gradiente) se existe ϕ : Ω → R
diferenci´avel tal que
∇ϕ = F em Ω
Se tal ϕ existe, ela ´e chamada de fun¸c˜ao gradiente ou potencial do campo.
Exemplo 2. 6. F : R^3 → R^3 definida por F (x, y, z) = ( 2 x, 2 y, 2 z) ´e conservativo, uma vez que a
fun¸c˜ao ϕ : R^3 → R definida por ϕ(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 ´e tal que ∇ϕ = F em todo R^3.
Casos cl´assicos na f´ısica de campos conservativos s˜ao aqueles originados pelas for¸cas gravitacional
e el´etrica, sendo as fun¸c˜oes potenciais o que costumamos chamar de potencial gravitacional ou el´etrico.
Abaixo, apresentamos uma condi¸c˜ao necess´aria para que um campo seja conservativo.
Proposi¸c˜ao 2. 1. Seja F : Ω → R^3 tal que F (x, y, z) =
P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)
. Se F ´e
conservativo e suave, ent˜ao ∂P
∂y
∂Q
∂x
∂P
∂z
∂R
∂x
∂Q
∂z
∂R
∂y
Demonstra¸c˜ao. Se F ´e conservativo, ent˜ao existe ϕ : Ω → R tal que ∇ϕ = F. Logo temos que
ϕx = P , ϕy = Q e ϕz = R em Ω. Pelo Teorema de Schwarz:
∂^2 ϕ
∂x∂y
∂^2 ϕ
∂y∂x
e tamb´em para x, z e y, z
Da´ı, por exemplo para x e y, temos:
∂P
∂y
∂^2 ϕ
∂x∂y
∂^2 ϕ
∂y∂x
∂Q
∂x
