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Curso básico de matemática financeira, Notas de estudo de Administração Empresarial

Matemática financeira de forma simples e usual.

Tipologia: Notas de estudo

2013

Compartilhado em 20/08/2013

petronio-walerio-11
petronio-walerio-11 🇧🇷

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me Alegria Financeira Fundamental Médio Geometria Trigonometria Superior Cálculos Matemática Financeira: Curso de Matemática Financeira Elementos básicos Compatibilidade dos dados Juros simples Fator de Valor Atual Cálculo de juros Compostos j Taxas Montante simples Taxas equivalentes Fluxo de caixa Descontos Juros compostos Montante composto Fator de Acumulação de Capital Tipos de descontos Financiamento: Sistema Price A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. A idéia básica é simplificar a operação financeira a um Fluxo de Caixa e empregar alguns procedimentos matemáticos. Capital: O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em língua inglesa, usa-se Present Value, indicado nas calculadoras financeiras pela tecla PV. Juros: Juros representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva. Os juros podem ser capitalizados segundo os regimes: simples ou compostos, ou até mesmo, com algumas condições mistas. Regime Processo de funcionamento Simples [Somente o principal rende juros. Após cada período, os juros são incorporados ao Compostos Capital, proporcionando juros sobre juros. Notações comuns que serão utilizadas neste material C |Capital n número de períodos juros simples decorridos n períodos [em juros compostos decorridos n períodos r |taxa percentual de juros i | taxa unitária de juros (i=r/100) Principal ou valor atual Montante de capitalização simples D| para obter o resultado. Se i é a taxa ao período, n é o número de períodos, definimos o Fator de Acumulação de Capital ou Fator de P para S, denotado por FAC(i,n) ou FPS(i,n), como: FAC(i,n) = FPS(i,n) = (1 +)" Agora, podemos escrever o montante composto S como o produto do valor Principal P por FAC(i,n): S=PFAC(in)=P FPS(in) Utilidade: O FAC(i,n)=(1+i)" pode ser obtido com uma calculadora simples, dessas que normalmente não executam potências. Digita-se i, soma-se 1, aperta-se o sinal X (de multiplicação) e a seguir tecla-se o sinal de igualdade n-1 vezes. Existem algumas variações da fórmula do Montante Composto, que estão apresentadas abaixo: log(S) — log(P) -— Au =2—————————————— S=P( + log(1 + 1) P=S(1+)" i= [201 P Uma variação da fórmula de Montante composto é usada na obtenção do Valor Atual P de um capital futuro conhecido S. P=S(1+i)” Se i é a taxa ao período, n é o número de períodos, o Fator de Valor Atual ou Fator de S para P ou Fator de Desconto, denotado por FVA(i,n) ou FSP(i,n) como o inverso de FAC(i,n)=FPS(in): FVA(in) = FSP(in) = (1+i)" Utilidade: O FVA(in)=(1+i)" pode ser obtido com uma calculadora simples, dessas que normalmente não executam potências. Digita-se i, soma-se 1, aperta-se o sinal X (de multiplicação) e o sinal = (igual) n-1 fechamento de negócios pela consequente falta de entendimento entre as partes. Dentro dos programas dos diversos cursos de Matemática Financeira existe uma verdadeira 'poluição' de taxas de juros." Não importando se a capitalização é simples ou composta, existem três tipos principais de taxas: Taxa Nominal: A taxa Nominal é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital não coincide com aquele a que a taxa está referida. Exemplos: 1. 1200% ao ano com capitalização mensal. 2. 450% ao semestre com capitalização mensal. 3. 300% ao ano com capitalização trimestral. Taxa Efetiva: A taxa Efetiva é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital coincide com aquele a que a taxa está referida. Exemplos: 1. 120% ao mês com capitalização mensal. 2. 450% ao semestre com capitalização semestral. 3. 1300% ao ano com capitalização anual. Taxa Real: Taxa Real é a taxa efetiva corrigida pela taxa inflacionária do período da operação. Conexão entre as taxas real, efetiva e de inflação: A taxa Real não é a diferença entre a taxa efetiva e a taxa da inflação. Na realidade, existe uma ligação íntima entre as três taxas, dadas por: 1+ieretiva = (1+irear) (1 +iinflação) Exemplo: Se a taxa de inflação mensal foi de 30% e um valor aplicado no início do mês produziu um rendimento global de 32,6% sobre o valor aplicado, então o resultado é igual a 1,326 sobre cada 1 unidade monetária aplicada. Assim, a variação real no final deste mês, será definida por: Vreal = 1 + ireal que pode ser calculada por: Vreal = resultado / (1 + iinfiação) isto é: Vreal = 1,326 / 1,3 = 1,02 o que significa que a taxa real no período, foi de: ireal = 2% Aplicação em caderneta de poupança: Se o governo anuncia que a Caderneta de Poupança proporciona um rendimento real de 0,5% ao mês (=0,005), significa que o seu dinheiro deve ser corrigido pela taxa da inflação iinfiaçãos isto é, deve ser multiplicado por 1 + iinfiação € depois multiplicado por 1+0,5%=1,005. Exemplo: Se uma pessoa possuia numa caderneta de poupança o valor de CR$ 670.890,45 no dia 30/04/93 e a taxa da inflação desde esta data até 30/05/93 foi de 35,64% entao ele terá em sua conta no dia 30/05/93, o valor de: V = 670.890,45 x 1,3564 x 1,005 = 914.545,77 Duas taxas iy e iz são equivalentes, se aplicadas ao mesmo Capital P durante o mesmo período de tempo, através de diferentes sistemas de capitalização, produzem o mesmo montante final. Exemplo: A aplicação de R$1.000,00 à taxa de 10% ao mês durante 3 meses equivale a uma única aplicação com a taxa de 33,1% ao trimestre. Observemos o Fluxo de caixa da situação. Consideraremos ia uma taxa ao ano e ip uma taxa ao período p, sendo que este período poderá ser: 1 semestre, 1 quadrimestre, 1 trimestre, 1 mês, 1 quinzena, 1 dia ou outro que se deseje. Deve ficar claro que tomamos 1 ano como o período integral e que o número de vezes que cada período parcial ocorre em 1 ano é indicado por Np. Exemplo: 1 ano = 2 semestres = 3 quadrimestres = 4 trimestres = 12 meses = 24 quinzenas = 360 dias. A fórmula básica que fornece a equivalência entre duas taxas é: 1+ia=(1+ip)NP onde la |taxa anual ip |taxa ao período Np [número de vezes em 1 ano Situações possíveis com taxas equivalentes Fórmula Taxa Período |Número de vezes 1ria=(1 +isem? isem | semestre 2 Tia = (1+iquad)* | iquad [quadrimestre 3 Tia =(1itrim)! | itrim | trimestre 4 Iria = (1+imes)!2 | imes mês 12 Aria=(1 +iquinz)! iquinz | quinzena 24 1+ia = (1+isemana)|isemana) semana 52 Tia = (1rigias)º8S | dias dia 365 Exemplo: Qual será a taxa efetiva que equivale à taxa de 12% ao ano capitalizada mês a mês? Vamos entender a frase: "12% ao ano capitalizada mês a mês". Ela significa que devemos dividir 12% por 12 meses para obter a taxa que é aplicada a cada 1 mês. Se estivesse escrito "12% ao ano capitalizada trimestralmente" deveriamos entender que a taxa ao trimestre seria igual a 12% dividido por 4 (número de trimestres de 1 ano) que é 3%. Vamos observar o fluxo de caixa da situação: c Lina MOMO €— EO T T T T T T T T T T T D1 2. 3 40. 6 6 7 8 9/10 mn Solução: A taxa mensal é i,=12%/12=1%=0,01, assim a taxa efetiva pode ser obtida por 1+iz = (1,01)12 = 1,1268247 logo iz = 0,1268247 = 12,68247% Observação: Se iinflação=0, a taxa real equivale à taxa efetiva. Exemplo: Qual é a taxa mensal efetiva que equivale à taxa de 12% ao ano? Neste caso, a fórmula a ser usada é: Aria=(1+ imes)!2 Como ia=12%=0,12 basta obter i(mes) com a substituição dos valores na fórmula acima para obter: 1,12=[1 + i(mes)]!2 Existem outras maneiras para resolver esta equação exponencial mas aplicaremos o logaritmo na base 10 a ambos os lados da igualdade para obter: log(1,12) = 12 log[1+i (mes)] l0g(1,12)/12 = log[1 + i(mes)] 0,04921802267018/12 = log[1 + i(mes)] 0,004101501889182 = log[1+i (mes)] Desconto Simples Comercial (por fora): O cálculo deste desconto é análogo ao cálculo dos juros simples, substituindo-se o Capital P na fórmula de juros simples pelo Valor Nominal N do título. Desconto por fora D=Nin N = Valor Nominal Juros simples j=Pin P = Principal i=taxa de desconto| i=taxa de juros n=no. de períodos |n = no. de períodos O valor atual no desconto por fora, é calculado por: A=N-D=NNin= N(-in) Desconto Simples Racional (por dentro): O cálculo deste desconto funciona análogo ao cálculo dos juros simples, substituindo-se o Capital P na fórmula de juros simples pelo Valor Atual A do título. O cálculo do desconto racional é feito sobre o Valor Atual do título. Desconto por dentro Juros simples D=Ain j=Pin N = Valor Atual P = Principal i = taxa de desconto | = taxa de juros n=no. de períodos n=no. de períodos O valor atual, no desconto por dentro, é dado por: A=N/(1+in) Desconto Comercial composto (por fora): Este tipo de desconto não é usado no Brasil e é análogo ao cálculo dos Juros compostos, substituindo- se o Principal P pelo Valor Nominal N do título. Desconto composto por fora A=N(-i A = Valor Atual Juros compostos S=P(1+i) P = Principal i = taxa de desconto negativa i = taxa de juros n=no. de períodos n=no. de períodos Apenas para fins didáticos, iremos obter a fórmula para o cálculo deste desconto. Ela é obtida por aplicações repetidas do desconto simples para 1 período. Para n=1, o desconto composto por fora funciona como o desconto simples por fora, logo: ME N(H) onde Aí é o valor atual do título com valor nominal N. Para n=2, devemos reaplicar o mesmo processo, substituindo agora N por Aí, para obter Az, isto é: Ap = A(1-i) = N(1-i2 Por este raciocínio, temos que, para cada número natural n: An= NH Esta fórmula é similar à formula do montante composto, dada por: S=P(1+iP Desconto Racional composto (por dentro): Este tipo de desconto é muito utilizado no Brasil. Como D=N-Ae como N=A(1 +)”, então D=NN(+i)" = N[-(1+)"] O melhor estudo que se pode fazer com o desconto racional composto é considerar o Valor Atual A como o capital inicial de uma aplicação e o Valor Nominal N como o montante desta aplicação, levando em consideração que as taxas e os tempos funcionam de forma similar nos dois casos. Exemplo a: Qual é o desconto racional composto de um título cujo valor Exemplo: Suponhamos que uma pessoa compre um carro para pagar em 4 prestações mensais consecutivas e iguais de R$8.000,00, sem entrada e com taxa de 10% ao mês. Qual será o Valor Atual (real) deste carro? Fluxo de caixa do problema Valor Atual meses Lo PT Tl 8000 8000 8000 8000 4] 5 4 O que se deve fazer é calcular o valor atual de cada prestação e realizar a soma desses valores para obter o Valor Atual do bem financiado. A4 = 8000/(1+0,1)1 As = 8000/(1+0,1)2 As = 8000/(1+0,1)2 Ay = 8000/(1+0,1)4 Assim o Valor Atual será a soma dos valores atuais parciais A = 8000.(1,11+1,12+1,13+1,13) que pode ser escrito como: A = 8000 x 3,169865435 = 25.358,92 que é o valor à vista que custa o carro. Um fato curioso é o aparecimento da expressão: K=11141,12+113+41,14 que representa a soma dos termos de uma sequência geométrica (PG) com 4 termos. Na sequência, analisaremos a situação geral quando temos n prestações num modelo semelhante, considerando agora um financiamento cujo Valor Atual A na data inicial (tempo=0) será pago em n prestações iguais a R ao final de cada um dos n meses seguidos, a taxas mensais iguais a i. Fluxo de caixa do problema A 1 2 3 mz ni on õ CE RR Ri Bj R O problema é similar ao anterior e pode ser resolvido do ponto de vista matemático, como : A = RI(+ +++. +(1+)"] Evidenciando o termo (1+i)", segue que: As RIAA +in e o termo dentro dos colchetes corresponde à soma dos n primeiros termos de uma PG cujo primeiro termo é igual 1 e cuja razão é igual a (1+i). A fórmula abaixo é a expressão matemática procurada por tantas pessoas para saber como são realizados os cálculos de taxas de juros em financiamentos. IF) AR Esta não é uma expressão matemática simples! Quando se conhece a taxa i, o número de períodos n e o valor de cada prestação R é bastante fácil obter o Valor Atual A. Quando conhecemos o Valor Atual (preço à vista) A, Prestação R e Número de períodos n, não é fácil obter a taxa de juros porque além de ser matematicamente difícil, o governo, as empresas e financeiras em geral, embutem muitas outras taxas a títulos diversos que mascaram o valor real da taxa! Esta fórmula matemática pode ser escrita como: A=R FVAdin)