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Estudo de Campos Quânticos: Equações de Campo e Correntes Bosônicas, Notas de estudo de Energia

Documento que apresenta a solução regular na origem de campos quânticos, incluindo a função de wightman e as densidades de corrente bosônica e fermiônica. O texto aborda as transformações de lorentz, a equação de klein-gordon e as relações de comutação para operadores de criação e aniquilação.

Tipologia: Notas de estudo

2022

Compartilhado em 07/11/2022

Rafael86
Rafael86 🇧🇷

4.6

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Baixe Estudo de Campos Quânticos: Equações de Campo e Correntes Bosônicas e outras Notas de estudo em PDF para Energia, somente na Docsity!

Universidade Federal da Para´ıba Centro de Ciˆencias Exatas e da Natureza Departamento de f´ısica Programa de P´os-graduac¸˜ao em F´ısica

Tese de doutorado

Correntes induzidas e condensado

fermiˆonico no espac¸o-tempo de uma corda

c´osmica

Eduardo Andr´e de Figueiredo Braganc¸a

Jo˜ao Pessoa – PB Fevereiro de 2017

Eduardo Andr´e de Figueiredo Braganc¸a

Correntes induzidas e condensado

fermiˆonico no espac¸o-tempo de uma corda

c´osmica

Tese apresentada ao Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em F´ısica, do Departamento de F´ısica da Universidade Federal da Para´ıba, como requisito parcial para a obten¸c˜ao do t´ıtulo de doutor em F´ısica. Orientador: Prof. Dr. Eugˆenio Ramos Bezerra de Mello

Jo˜ao Pessoa – PB Fevereiro de 2017

Para minha fam´ılia, especialmente, para Heloisa Cristina. Saudades eternas.

iii

Agradecimentos tamb´em para outros amigos: Tamires, Thayres, Mara e Andr´e. Por tamb´em me darem for¸ca quando minha m˜ae partiu e apoio para conseguir seguir em frente e terminar esta caminhada. Aos demais amigos: de Icoaraci, Salvaterra, UFPA, Tel´egrafo. Obrigado a todos pelo bom conv´ıvio.

Minha imensa gratid˜ao a Iarley e Febrˆania por terem me dado abrigo longe de casa, quando fui para a It´alia. Serei eternamente grato a vocˆes, obrigado pela amizade. Meus agradecimentos tamb´em aos amigos brasileiros que fiz em Roma: Eduardo, Grasi, Bernardo, Gabriel, Iara, Carlos. Minha adapta¸c˜ao r´apida a Roma tamb´em se deve a ajuda de vocˆes. Sempre lembro de nossas sa´ıdas e reuni˜oes, bastante animadas.

Agradecimentos tamb´em v˜ao para outros amigos que fiz em Roma: Davide, Carito, Gabriel (colombiano), Haymy, Francesco, o pessoal do futebol, o pessoal do samba, entre outros. Agrade¸co o bom conv´ıvio.

A meu orientador, Eugˆ` enio Ramos Bezerra de Mello, por sempre estar disposto a tirar minhas d´uvidas. Agrade¸co sua orienta¸c˜ao, conselhos e, principalmente, por ser uma ´otima pessoa e um excelente profissional.

Minha gratid˜ao ao professor Stefano Bellucci, por aceitar me orientar no per´ıodo em que estive no Laboratori Nazionali di Frascati. Agrade¸co seu profissionalismo e ajuda no desenvolvimento do trabalho. Ao professor Aran Saharian, com quem tive a oportunidade de fazer uma colabora¸c˜ao no per´ıodo em que estive em Frascati. Tamb´em agrade¸co suas in´umeras ajudas para a conclus˜ao do trabalho.

Por fim, agrade¸co `as institui¸c˜oes por onde passei ao longo de minha trajet´oria acadˆemica, UFPA, UFPB e Laboratori Nazionali di Frascati, pela infra-estrutura para que pudesse realizar um bom trabalho. Aos professores destas institui¸c˜oes, pois foram muito importantes para minha forma¸c˜ao. E a Capes pelo suporte financeiro.

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“ A tarefa n˜ao ´e tanto ver aquilo que ningu´em viu, mas pensar o que ningu´em ainda pensou sobre aquilo que todo mundo vˆe.”

Arthur Schopenhauer

vi

2.3.3 Intera¸c˜ao do campo fermiˆonico com os campos gravitacional e eletro-

 - magn´etico 
  • 3 Teoria Quˆantica de Campos
    • 3.1 Quantiza¸c˜ao do Campo de Klein-Gordon
      • 3.1.1 Quantiza¸c˜ao Canˆonica
      • 3.1.2 O campo real de Klein-Gordon
      • 3.1.3 O campo complexo de Klein-Gordon
    • 3.2 Quantiza¸c˜ao do campo fermiˆonico
      • 3.2.1 A representa¸c˜ao de n´umero para f´ermions
      • 3.2.2 A segunda quantiza¸c˜ao
    • 3.3 Mecˆanica Estat´ıstica Quˆantica
  • 4 Correntes bosˆonicas
    • 4.1 Fun¸c˜ao de Wightman
    • 4.2 Corrente bosˆonica
      • 4.2.1 Densidade de carga e corrente radial
      • 4.2.2 Densidade de corrente azimutal
      • 4.2.3 Densidade de corrente axial
    • 4.3 Considera¸c˜oes a respeito dos resultados
  • 5 Condensado fermiˆonico e Correntes fermiˆonicas
    • 5.1 Condensado Fermiˆonico
      • 5.1.1 An´alise do condensado para |μ| 6 m
      • 5.1.2 An´alise do condensado para |μ| > m
    • 5.2 Densidade de carga
      • 5.2.1 An´alise da densidade de carga para |μ| 6 m
      • 5.2.2 An´alise da densidade de carga para |μ| > m
    • 5.3 Carga induzida
    • 5.4 Densidades de corrente
      • 5.4.1 An´alise da densidade de corrente para |μ| 6 m
      • 5.4.2 An´alise da densidade de corrente para |μ| > m
    • 5.5 Considera¸c˜oes a respeito dos resultados
  • 6 Considera¸c˜oes finais
  • A F´ormulas de soma
    • A.1 F´ormula de soma envolvendo a fun¸c˜ao de Bessel modificada Iβn (w)
    • A.2 A segunda soma envolvendo a fun¸c˜ao de Bessel modificada Iβn (z)
    • A.3 An´alise da densidade de corrente induzida ao longo das dimens˜oes extras
  • B F´ormulas usadas na simplifa¸c˜ao da carga total
  • Referˆencias bibliogr´aficas

Abstract

In this thesis, we investigate the effect of the topology and the magnetic field on the vacuum fluctuations associated to bosonic and fermionic charged fields. Firstly, we analize the vacuum induced current densities for a bosonic field in a (D+1)-dimensional cosmic string spacetime. For this analysis, we consider the presence of a magnetic field along of the azimuthal and axial directions and that the z-axis is compactified to a circle of lenght L. This analysis is performed using the positive frequencies Wightman function, that is necessary to calculate the vacuum expectation values of the induced current densities. Our second investigation is related with fermionic fields. We investigate the expectation values of the fermionic condensate, 〈 ψψ¯ 〉, charge and current densities for a massive fermionic field in thermal equilibrium with T temperature, with a nonzero chemical potential, μ. We consider the background of a (2+1)-dimensional conical spacetime and the presence of a magnetic field in the cone apex. In this analysis, we consider two separeted cases. Firstly, we consider the case where |μ| 6 m and after that the case where |μ| > m.

Keywords: cosmic string, induced currents, compactification, fermionic condensate, finite temperature, magnetic field.

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Lista de Figuras

4.1 Densidade de corrente azimutal sem a presen¸ca da compactifica¸c˜ao para D = 3 em unidades de “m^4 e”, em termos de α 0 para mr = 0.5 e q = 1. 5 , 2 .5 e 3.5.. 49

4.2 Densidade de corrente azimutal induzida pela compactifica¸c˜ao para D = 3 ´e mostrada, em unidades de “m^4 e”, em termos de α 0 para mr = 0.5, mL = 1 e q = 1. 5 , 2 .5 e 3.5. O gr´afico da esquerda ´e para β˜ = 0.1 enquanto que o da direita ´e para β˜ = 0.7............................... 52

4.3 Densidade total de corrente azimutal para D = 3 em unidades de “m^4 e”, em termos de mr para os valores q = 2.5, α 0 = 0.25 e mL = 0. 1 , 0. 2 , 1 .0. As curvas correspondentes aos valores finitos de mL s˜ao comparadas com as curvas s´olidas para mL → ∞. Para o gr´afico da esquerda temos β˜ = 0 enquanto que para o da direita β˜ = 0.5............................. 53

4.4 Densidade de corrente axial para D = 3 na Eq. (4.70) em unidades de “m^3 e”, em termos de β˜ para os valores mr = 0.4, mL = 1 e q = 1. 5 , 2. 5 , 3 .5. O gr´afico da esquerda ´e para α 0 = 0 enquanto para o da direita α 0 = 0.25........ 57

5.1 Parte topol´ogica na densidade de carga como fun¸c˜ao do parˆametro α 0 conside- rando as representa¸c˜ao irredut´ıveis com s = 1 (curvas cheias) e s = −1 (curvas tracejadas). Os n´umeros pr´oximos as curvas correspondem aos valores de q. Os gr´aficos s˜ao plotados para μ/m = 0.25, mr = 0.5, and T /m = 0.5..... 79

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CAP´ITULO 1

Introdu¸c˜ao

Quebras de simetria no universo primordial devido a transi¸c˜oes de fase, tˆem diver- sas consequˆencias cosmol´ogicas, fornecendo um elo importante entre f´ısica de part´ıculas e a cosmologia. Em particular, diferentes tipos de defeitos topol´ogicos podem ter sido forma- dos devidoas transi¸c˜oes de fase do v´acuo ap´os o tempo de Planck [1, 2]. Entre eles, cordas c´osmicas s˜ao de interesse especial, pois acreditava-se que elas poderiam oferecer uma alterna- tiva a infla¸c˜ao, no sentido de gerar as perturba¸c˜oes de densidade primordial que causaram o crescimento de gal´axias [3, 4]. Por´em, mesmo com observa¸c˜oes recentes da radia¸c˜ao c´osmica de fundo, onde foi descartadoas cordas c´osmicas como fonte primordial de perturba¸c˜ao na distribui¸c˜ao de mat´eria no universo [5], elas ainda s˜ao candidatas a um n´umero de efei- tos f´ısicos interessantes, como explos˜oes de raios gama [6], ondas gravitacionais [7] e raios c´osmicos de altas energias [8]. Mais recentemente, devido ao fato de uma varia¸c˜ao de seu mecanismo de forma¸c˜ao ser proposta no contexto da infla¸c˜ao [9, 10], o interesse por cordas c´osmicas foi renovado.

Uma corda c´osmica ideal ´e um defeito linear, retil´ıneo, cujo raio ´e desprez´ıvel, com o espa¸co-tempo produzido por ela sendo localmente plano, por´em, globalmente cˆonico, com um d´eficit de ˆangulo planar determinado pela tens˜ao da corda, ∆φ = 8πGμ 0 , onde G ´e a constante da gravita¸c˜ao de Newton e μ 0 ´e a densidade linear de massa da corda. Embora este objeto tenha sido introduzido na literatura primeiramente como sendo uma distribui¸c˜ao de energia

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Cap´ıtulo 1. Introdu¸c˜ao 2 de 112

tipo Delta de tens˜ao axial ao longo de uma linha reta [11], ele tamb´em pode ser descrito por uma teoria cl´assica de campos onde o tensor energia-momento associado ao sistema Maxwell-Higgs, investigado por Nielsen e Olesen em [12], se acopla as equa¸c˜oes de Einstein. Este sistema acoplado foi investigado por Garfinkle e Linet em [13] e [14], respectivamente. Os autores mostraram que um d´eficit de ˆangulo planar, ∆φ, surge na superf´ıcie bi-dimensional perpendiculara corda, assim como um fluxo magn´etico atravessando seu n´ucleo.

Nesta tese, uma de nossas contribui¸c˜oes ´e analizar os efeitos quˆanticos, mais es- pecificamente, as flutua¸c˜oes do v´acuo das densidades de corrente, em um campo bosˆonico considerando um espa¸co-tempo com D+1 dimens˜oes de uma corda c´osmica, na presen¸ca de um fluxo magn´etico e da compactifica¸c˜ao do eixo z de nosso modelo. As flutua¸c˜oes do v´acuo s˜ao alteradas devido a estrutura cˆonica do espa¸co-tempo de uma corda c´osmica, com isso o valor esperado no v´acuo (VEV) de observ´aveis f´ısicos adquirem valores n˜ao nulos [15–19] e [20–23]. Al´em disso, a presen¸ca de um campo magn´etico atravessando o n´ucleo da corda fornece contribui¸c˜oes adicionais para os VEVs associados a campos carregados [24–30], assim como, densidades de corrente induzidas no v´acuo, 〈jμ〉.

A presen¸ca de dimens˜oes compactas tamb´em induz efeitos quˆanticos topol´ogicos em campos de mat´eria. E bem conhecido que a presen¸´ ca de dimens˜oes compactas ´e uma caracter´ıstica importante em muitas teorias da f´ısica fundamental de altas energias, como teorias de supergravidade e supercordas. Os efeitos combinados da topologia n˜ao trivial do espa¸co-tempo de uma corda c´osmica, de dimens˜ao compacta ao longo do eixo da corda e da presen¸ca do fluxo magn´etico no n´ucleo da corda, nos VEVs do tensor energia-momento, 〈Tμν 〉, e densidades de correntes, 〈jμ〉, associados a campos quˆanticos fermiˆonicos carrega- dos em um espa¸co-tempo 4-dimensional de uma corda c´osmica foram investigados em [31] e [32], respectivamente. Uma aplica¸c˜ao interessante de modelos te´oricos com a presen¸ca de dimens˜oes compactas pode ser encontrada em nanof´ısica [33]. A descri¸c˜ao de longo compri- mento de onda dos estados eletrˆonicos no grafeno pode ser formulada em termos da teoria tipo Dirac em um espa¸co-tempo tri-dimensional, com a velocidade de Fermi fazendo o papel da velocidade da luz.

A outra contribui¸c˜ao que damos nesta tese, ´e analisar o condensado fermiˆonico e as densidades de correntes induzidas por um campo magn´etico, considerando um espa¸co-tempo cˆonico com (2+1) dimens˜oes em equil´ıbrio t´ermico a uma temperatura T e a presen¸ca de um potencial qu´ımico n˜ao-nulo. Modelos te´oricos com campos fermiˆonicos em (2+1) dimens˜oes d˜ao origem a in´umeros problemas f´ısicos, como as j´a mencionadas teorias tipo Dirac. Os exemplos incluem modelos de supercondutividade a altas temperaturas, grafeno, estados com

CAP´ITULO 2

Teoria Cl´assica de Campos

Neste cap´ıtulo vamos fazer uma breve revis˜ao da Teoria Cl´assica de Campos e ver como ela se comporta sob transforma¸c˜oes gerais de coordenadas. Iremos analisar como as teorias escalares e fermiˆonicas devem ser generalizadas para se tornarem invariantes sob este tipo de transforma¸c˜ao. Antes, por´em, faremos uma breve discuss˜ao a respeito da geometria pseudo-Riemmaniana.

2.1 O espa¸co-tempo de Einstein

Em 1905, A. Einstein propˆos uma nova formula¸c˜ao para a teoria da gravita¸c˜ao. Nesse novo formalismo, a presen¸ca de mat´eria e energia modificaria a estrutura geom´etrica do espa¸co e do tempo, e essas duas grandezas, o espa¸co e o tempo, seriam na verdade uma s´o: o espa¸co-tempo. Desta forma, em uma determinada regi˜ao onde houvesse a presen¸ca de um objeto com uma grande quantidade de massa, o espa¸co-tempo ao redor deste objeto seria modificado, geometricamente falando. Para dar base matem´atica a esta id´eia, Einstein dotou o espa¸co de uma estrutura m´etrica, onde deveria conter toda a informa¸c˜ao geom´etrica do espa¸co-tempo. Esta estrutura m´etrica Einstein denominou de tensor m´etrico, usualmente representado por gμν (x). A seguir, faremos uma breve revis˜ao a respeito de conceitos b´asicos

4 de 112

Cap´ıtulo 2. Teoria Cl´assica de Campos 5 de 112

que s˜ao necess´arios na introdu¸c˜ao da estrutura m´etrica do espa¸co-tempo.

Iniciaremos tratando de referencial inercial e n˜ao-inercial. Em um espa¸co-tempo quadri-dimensional, o elementro de linha, ds, em um referencial inercial, usando as coorde- nadas (t, x, y, z), ´e dado por

ds^2 = dt^2 − dx^2 − dy^2 − dz^2 , (2.1)

e ´e invariante por transforma¸c˜oes de Lorentz^1. Se considerarmos um sistema de referˆencia n˜ao- inercial, o elemento de linha j´a n˜ao ser´a mais dado pela soma dos quadrados das diferenciais das coordenadas. Por exemplo, se tivermos em mente um referencial girante com velocidade angular ω, em torno de um eixo z, onde as coordenadas s˜ao dadas por (t′, x′, y′, z′), as transforma¸c˜oes de coordenadas entre os referenciais s˜ao dadas por

x = x′^ cos(ωt) − y′^ sin(ωt), y = x′^ sin(ωt) + y′^ cos(ωt), (2.2) z = z′,

que pode ser invertida, para escrevermos

x′^ = x cos(ωt) + y sin(ωt), y′^ = −x sin(ωt) + y cos(ωt), (2.3) z′^ = z.

Desta maneira, o elemento de linha, ds′, ´e escrito como

ds′^2 = [1 − ω^2 (x^2 + y^2 )]dt^2 − 2 ωdt(ydx − xdy) − dx^2 − dy^2 − dz^2. (2.4)

A partir da equa¸c˜ao anterior, notamos que o elemento de linha n˜ao ´e dado pela soma ou diferen¸ca dos quadrados das diferenciais das coordenadas.

Definimos o quadri-vetor posi¸c˜ao por xμ^ = (x^0 = t, x^1 = x, x^2 = y, x^3 = z), com (^1) Uma transforma¸c˜ao de Lorentz ´e definida como uma transforma¸c˜ao de coordenadas, dada por: xa (^) → x′a^ = Λabxb. Com Λab sendo as matrizes que constituem elementos do grupo de Lorentz, obedecendo a rela¸c˜ao ΛabΛbc = δca.