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Modelagem de Processos: Modelos Estáticos e Dinâmicos, Resumos de Engenharia Civil

Centro Universitário Sant´Anna (UNISANT'ANNA)Engenharia Civil

Controle Proporcional-Integral (PI)

Tipologia: Resumos

2022

Compartilhado em 24/01/2023

alvarenga.oficial
alvarenga.oficial 🇧🇷

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Bacharelado em Engenharia Aeronáutica
Introdução à Teoria de Controle
2º Semestre de 2022
Aula 05 - Modelagem
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Aula 05 - Modelagem
•Roteiro:
–Princípios básicos
–Processos contínuos e discretos
–Modelos estáticos e dinâmicos
–Simulação de processos
–Ajuste de modelos
–Aproximação linear de modelos
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Baixe Modelagem de Processos: Modelos Estáticos e Dinâmicos e outras Resumos em PDF para Engenharia Civil, somente na Docsity!

Bacharelado em Engenharia Aeronáutica

Introdução à Teoria de Controle

2º Semestre de 2022

Aula 05 - Modelagem

1

Aula 05 - Modelagem

• Roteiro:

– Princípios básicos

– Processos contínuos e discretos

– Modelos estáticos e dinâmicos

– Simulação de processos

– Ajuste de modelos

– Aproximação linear de modelos

2

  • O principal objetivo de um modelo é que seja capaz de representar matematicamente o comportamento de um processo real.
  • Essa representação é necessária para a realização de análises sobre seu funcionamento (sem o custo e a complexidade dos processos reais) e o projeto de sistemas de controle.
  • Um modelo, portanto, deve descrever como as variáveis manipuladas, as variáveis de processo e as perturbações se relacionam.
  • Às vezes, é preciso aproximar processos por modelos mais simples que tornem possível o projeto de sistemas de controle adequados para uso prático. 3

Princípios Básicos

  • Metodologia para modelagem de um processo:
    1. Identificação das variáveis de interesse: manipuladas, controladas e perturbações.
    2. Por meio de princípios físico-químicos, determinação das relações entre as variáveis de forma estática ou dinâmica.
    3. Organização das relações de forma a se obter um conjunto de equações (modelo) que descreva diretamente as relações entre as variáveis.
  • O modelo de um processo pode ser mais simples ou mais complexo, dependendo da situação e do objetivo da modelagem. Simplificações podem ser aplicadas conforme necessário, desde que não comprometam a representatividade do modelo resultante. 4

Princípios Básicos

  • Exemplo 43 – continuação. ─ O modelo pode ser mais detalhado por meio da relação entre a força do motor e a posição de um potenciômetro que o aciona: ─ Simplificação: a força do motor é instantaneamente modificada ao se alterar p(t). Como o tempo de reação do motor é bem menor que o tempo de reação do elevador, essa simplificação pode ser adotada. ─ Relação entre a força de atrito e a velocidade do elevador: 7

Processos Contínuos e Discretos

  • Exemplo 43 – continuação. ─ Novo modelo entrada-saída para o processo:  ─ Equação diferencial de primeira ordem com uma variável de entrada p(t) e uma de saída v(t). ─ Modelo linear (equação diferencial linear) e invariante no tempo (coeficientes constantes m, Ka e Km ) 8

Processos Contínuos e Discretos

  • Exemplo 45 – contínuo, controle de velocidade de um carro em uma estrada com inclinação variável. ─ Carro de massa m. ─ Movimento a uma velocidade v(t), que depende da ação sobre o pedal do acelerador u(t). ─ Força Fm(t) proveniente do motor. ─ Força Fa(t) de atrito devido à resistência do ar (depende da velocidade). ─ Inclinação da estrada θ(t). ─ Variável de processo: velocidade do carro. ─ Variável manipulada: ação sobre o pedal do acelerador. ─ Perturbações: força de atrito e inclinação da estrada. 9

Processos Contínuos e Discretos

  • Exemplo 45 – continuação. 10

Processos Contínuos e Discretos

  • Exemplo 47 – discreto, comportamento do crescimento de uma população de coelhos em uma fazenda. ─ Cada dia k. ─ Número total de coelhos Nc(k), calculado em função dos nascimentos e mortes desse dia e do número de coelhos na fazenda no dia anterior. ─ Número de nascimentos N(k) depende do número de coelhos e de um fator de natalidade n(k). ─ Fator de natalidade pode ser regulado pelo dono da fazenda de acordo com o isolamento I(k) entre machos e fêmeas. ─ Isolamento varia entre 0 (isolamento total) e 1 (nenhum isolamento). ─ Número de mortes depende das mortes por doenças Md(k) e por abate Ma(k). 13

Processos Contínuos e Discretos

  • Exemplo 47 – continuação. ─ Variáveis de controle: I(k) e Ma(k). ─ Variável de processo: Nc(k). ─ Perturbação: Md(k). ─ Primeiro modelo: ─ Podemos considerar que ─ Podemos considerar que o isolamento afeta de forma proporcional o fator de natalidade: 14

Processos Contínuos e Discretos

  • Exemplo 47 – continuação. ─ Novo modelo: ─ Modelo às diferenças não linear, causal e com coeficientes constantes. 15

Processos Contínuos e Discretos

  • Em muitas situações práticas na indústria, os modelos discretos são obtidos a partir de dados amostrados de sistemas contínuos, ou seja, são obtidos modelos discretos amostrados.
  • Exemplo 48 – discreto amostrado, sistema de controle de nível em um tanque. ─ Produto armazenado em um tanque cilíndrico. ─ Controle do nível h(k) (variável de processo), ─ por meio da abertura ae(k) da válvula de entrada (variável manipulada). ─ Demanda de produto regulada por meio da abertura as(k) da válvula de saída (perturbação). 16

Processos Contínuos e Discretos

  • Modelos podem considerar tanto comportamentos dinâmicos de processos quanto relações estáticas.
  • No Exemplo 48, a relação entre o nível h e as vazões Ve e Vs deve ser considerada de forma dinâmica, incluindo a derivada do nível no modelo:
  • A inclusão da derivada permite observar como o nível se comporta ao longo do tempo quando a válvula acoplada ao tanque é atuada. 19

Modelos Estáticos e Dinâmicos

  • Por outro lado, os modelos das válvulas podem ser construídos sem dinâmica, pois se considera que o tempo que elas demoram para impor uma dada vazão depois de definida uma abertura é muito rápido se comparado ao tempo de variação do nível.
  • Deve ser ressaltado que todo modelo dinâmico estável pode ser convertido em um modelo estático, considerando que o sistema esteja operando em uma dada condição para a qual as variáveis de entrada e saída sejam constantes.
  • Na prática, após uma abertura da válvula, por exemplo, a vazão aumenta de forma gradual até atingir o valor dado pelo modelo estático, geralmente com uma taxa de variação maior no início. 20

Modelos Estáticos e Dinâmicos

  • No Exemplo 48, então, poderia ser considerado um modelo dinâmico do tipo:
  • Foi adicionado ao modelo estático um termo que considera o efeito da variação no tempo: ─ Ao se variar ae em um dado instante, parte dessa variação é “absorvida” por uma variação de Ve(t), outra parte por sua derivada. ─ Ve não assume instantaneamente seu valor de equilíbrio. ─ Quanto maior for o fator da derivada no instante inicial, menor será a variação instantânea de Ve. ─ À medida que a derivada se aproxima de zero, Ve atinge um valor constante e o modelo dinâmico se transforma no modelo estático. 21

Modelos Estáticos e Dinâmicos

  • O parâmetro τ tem um papel importante no efeito da derivada na equação: ─ Quanto maior o valor (em módulo) de τ , maior o efeito da derivada, ou seja, menos instantâneo é o comportamento dinâmico. ─ Parâmetro τ : constante de tempo do modelo dinâmico.
  • No exemplo, essa constante pode ser associada aos tipos e tamanhos das válvulas: quanto maiores, maiores os valores de τ. 22

Modelos Estáticos e Dinâmicos

  • Exemplo 49 - sistema de controle de nível em um tanque. ─ (0 para válvula fechada e 1 para toda aberta) ─ m (5 m o nível máximo do tanque) ─ A condição de equilíbrio ocorre quando o nível está constante: h(t) = h 0 , ou seja,  A vazão de entrada é igual àquela de saída: (Considerando uma abertura de entrada ) 25

Modelos Estáticos e Dinâmicos

  • Exemplo 49 - continuação. ─ Característica estática do processo : ─ O gráfico a seguir ilustra essa característica considerando um tanque com α = 2 e k 2 = 0,. 26

Modelos Estáticos e Dinâmicos

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Modelos Estáticos e Dinâmicos

  • Exemplo 49 - continuação. ─ Pontos de operação: definidos ao longo da curva quadrática dentro do quadrante positivo. ─ Derivada sempre positiva: aumentos de ae acarretam aumentos no nível do tanque. ─ Característica estática não linear: pontos de operação com pequenas aberturas apresentam taxas de aumento de nível menores que aquelas de pontos de operação com aberturas maiores. ─ Derivada da curva: maior perto da abertura máxima. 28

Modelos Estáticos e Dinâmicos

  • Exemplo 50 - continuação. ─ O nível de equilíbrio depende do valor de equilíbrio das aberturas das duas válvulas. ─ Análise em duas situações: ─ relação entre , e ─ relação entre ─ Essas análises permitem avaliar as características estáticas do processo dos pontos de vista da variável manipulada ae e da perturbação as. 31

Modelos Estáticos e Dinâmicos

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Modelos Estáticos e Dinâmicos

  • Exemplo 50 - continuação. ─ Valores de nível maiores quanto mais fechada a válvula de saída. ─ Curva com taxa de variação também afetada pelo valor de as.  Quanto mais fechada a válvula de saída, maior a inclinação da curva. ─ Há diferentes faixas de ae0 , para cada valor fixo de as0 , para que o tanque seja operado dentro dos níveis máximo e mínimo.  Informação importante para a operação do processo e para o projeto de controladores adequados para regular essa operação. 33

Modelos Estáticos e Dinâmicos

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Modelos Estáticos e Dinâmicos

  • O comportamento de um sistema estável, que transita de um ponto de equilíbrio inicial (u 0 , y 0 ) para um ponto de equilíbrio terminal (uf, yf), quando ocorrem mudanças no sinal de entrada u , pode ser dividido em dois regimes: transitório e permanente. 37

Regime Transitório e

Regime Permanente

  • Um regime transitório pode eventualmente durar um tempo infinito. Em termos práticos, é aceita uma faixa estreita de variação em torno de yf.
  • A figura a seguir ilustra possíveis mudanças de equilíbrio com diferentes comportamentos de regime transitório. 38

Regime Transitório e

Regime Permanente

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Regime Transitório e

Regime Permanente

  • Simulação: ferramenta útil para o controle de processos. ─ Análise de cenários de operação do processo, com e sem controle, a partir do modelo. ─ Estudo da influência de parâmetros de projeto no desempenho de algoritmos de controle. ─ Estudo do comportamento do processo quando afetado por perturbações ou por variações na ação de controle.
  • Após construído o modelo de um processo, deve ser encontrada a solução no tempo da equação (diferencial ou às diferenças) que descreve o sistema. 40

Simulação de Processos