Contribuição Marginal
Econometria
Alexandre Gori Maia
Bibliografia Básica:
Maia, Alexandre Gori (2017). Econometria: Conceitos e Aplicações. Cap. 9.
Ementa:
•Definição;
•ANOVA para Contribuição Marginal;
•Correlação Parcial;
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Maia, Alexandre Gori (2017). Econometria: Conceitos e Aplicações. Cap. 9. Ementa: • Definição;. • ANOVA para Contribuição Marginal;. • Correlação Parcial; ...
Tipologia: Resumos
2022
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Contribuição Marginal
Econometria
Alexandre Gori Maia
Bibliografia Básica:
Maia, Alexandre Gori (2017). Econometria: Conceitos e Aplicações. Cap. 9.
Ementa:
- Definição;
- ANOVA para Contribuição Marginal;
- Correlação Parcial;
Contribuição Marginal
Variabilidade
total de Y
Variabilidade
total de X
1
Variabilidade
de Y
explicada por
X
1
Qual a parcela da variabilidade de Y
explicada isoladamente por X
2
?
Em outras palavras, qual a contribuição
marginal de X
2
, depois de considerada a
contribuição de X
1
?
Variabilidade
total de X
1
Variabilidade
total de X
2
Contribuição
marginal de
X
1
em Y
Contribuição
marginal de
X
2
em Y
Variabilidade
total de Y
Contribuição
conjunta de X
1
e X
2
sobre Y
O grau de relacionamento linear entre X
1
e Y
determinará a parcela da variabilidade de Y
explicada unicamente por X
1
.
Seja o modelo de RLS:
Seja o modelo de RLM:
Y = + X + e
1 1
a b
Y = + X + X + e
1 1 2 2
a b b
Definição
ANOVA Correlação Parcial
Contribuição Marginal ( q =2)
SQReg devido a X
1
, X
2
e X
3
(Irrestrito):
Variabilidade de Y explicada pelo conjunto das variáveis
X
1
, X
2
e X
3
:
1 2 3
SQReg Y X X X
SQReg devido exclusivamente a X
1
(Restrito):
Variabilidade de Y explicada exclusivamente por X
1
1
SQReg Y X
SQReg devido ao acréscimo de X
2
e X
3
:
Variabilidade de Y explicada por X
2
e X
3
após considerada a
variabilidade explicada por X
1
ir r
Contribuição de X e X = SQReg - SQReg
2 3
Graus de liberdade: 3
coeficientes angulares do modelo
Y= a + b
1
X
1
+ b
2
X
2
+ b
3
X
3
+e
Graus de liberdade: 1
coeficiente angular do modelo Y= a + b
1
X
1
+e.
Graus de liberdade: 2
novos coeficientes angulares incorporados
no modelo ( b
2
e b
3
).
ou
ir
SQReg
ou
r
SQReg
Y
X
1
X
2
X
3
Y
X
1
X
2
X
3
Y
X
1
X
2
X
3
Definição
ANOVA Correlação Parcial
Teste de Restrição aos Parâmetros
Seja o modelo irrestrito de RLM:
Em outras palavras, estaríamos interesados em testar a hipótese nula de que os q
coeficientes do modelo irrestrito são nulos:
Para verificarmos se a contribuição de um grupo de q variáveis independentes é
significativa no modelo irrestrito devemos, primeiro, elaborar um modelo com restrição
aos parâmetros. Suponha que, por simplicidade, as q variáveis que desejamos testar são
as últimas das k variáveis do modelo irrestrito (a ordem, obviamente, não faz
importância). Nosso modelo restrito seria:
O teste estatístico para restrição aos parâmetros consiste em verificar se a contribuição
marginal dessas q variáveis é significativa. A estatística F será dada por:
Y X X X e
k k
= a + b + b +...+ b +
1 1 2 2
Y X X X e
k q k q
a b b ... b
1 1 2 2
0 1
k - q + k
H b b
Re /( 1 )
( Re Re ) /
=
SQ s n k
SQ g SQ g q
F
ir
ir r
Onde SQReg
ir
e SQReg
r
são, respectivamente, a soma dos quadrados da regressão sem e
com restrição nos parâmetros, SQRes
ir
é a soma dos quadrados dos resíduos da regressão
sem restrição.
ou
Re /( 1 )
( Re Re ) /
=
SQ s n k
SQ s SQ s q
F
ir
r ir
Definição ANOVA
Correlação Parcial
"
- ./ 01
e
Teste F para Contribuição Marginal
H
0
: b
k – q +
=...= b
k
=0 (não contribui)
H
1
: Pelo menos um b
j
¹0 (contribui)
q,n-k 1
F ~F
F
p
SQRes /(n-k 1)
(SQReg -SQReg )/q
F
ir
ir r
Rejeitar H
0
significa afirmar que o grupo de q variáveis contribui para explicar Y , ou
seja, há relação significativa entre pelo menos uma destas variáveis explicativas e a
variável dependente.
Seja o modelo de RLM:
Y X X X e
k k
= a + b + b +...+ b +
1 1 2 2
Para testarmos a contribuição marginal de um grupo de q variáveis, teremos as
hipóteses:
A estatística de teste será
Considerando H
0
verdadeiro, a
distribuição de F será...
Definição ANOVA
Correlação Parcial
Contribuição Marginal - Exemplo
Na relação entre renda familiar ( Y ), anos de estudo ( X
1
) e idade ( X
2
) do
responsável pela família, a contribuição marginal da idade é significativa?
i i
Y X X e
i i
1 2
,
cont
~F
SQ s/
SQ g /
11
Re 1
Re 1
F = 0 , 430
Y
X
1
X
2
Modelo Irrestrito:
i i
Y X e
i
1
Modelo Restrito:
Não há evidências para afirmar que a contribuição marginal da idade sobre a
variabilidade da renda familiar seja significativa. A probabilidade de erro ao fazermos
tal afirmação é muito alta, de aproximadamente 63%.
34 , 174 0,
Fonte gl
Soma dos
Quadrados
Quadrados
Médios
F
Regressão Irrestrita 2 34.800 17.400 87.
Resíduos 1 0.200 0.
Total 3 35.
Fonte gl
Soma dos
Quadrados
Quadrados
Médios
F
Regressão Restrita 1 34.174 34.
Regressão Irrestrita 2 34.800 17.400 87.
Resíduos 1 0.200 0.
Total 3 35.
Fonte gl
Soma dos
Quadrados
Quadrados
Médios
F
Regressão Restrita 1 34.174 34.
Contribuição Marginal 1 0.086 0.086 0.
Regressão Irrestrita 2 34.800 17.400 87.
Resíduos 1 0.200 0.
Total 3 35.
Definição ANOVA
Correlação Parcial
Correlação Parcial - Conceito
Passo 1) Estimar resíduos do ajuste:
Passo 2) Estimar resíduos da relação:
Passo 3) Estimar correlação entre
os resíduos dos dois modelos:
2 12
ˆ ˆ Y 1. 2 e e
Y
r = r
X
2
Y
X
1
Seja o modelo de RLM:
Y = + X + X + e
1 1 2 2
a b b
Para calcularmos r
Y 1.
, poderíamos seguir os seguintes passos:
r
2
y1.
X
2
Y
X
1
X
2
Y
X
1
0 1 2 2
y
Y = d + d X + e
1 0 1 2 12
X = g + g X + e
ê
y 2
contém a parcela de Y não associada a X
2
.
ê
1 2
contém a parcela de X
1
não associada a X
2
.
Definição ANOVA Correlação Parcial
Correlação Parcial - Cálculo
Coeficiente de Correlação Parcial
No caso de duas variáveis independentes:
2
2
2
12
1 2 12
Y
Y Y
Y1.
r r
r r r
r
e
2
1
2
12
2 112
Y
Y Y
Y2.
r r
r r r
r
Analogamente, o coeficiente de determinação parcial será dado por:
2
2
2
2
2
Y
Y
Y1.
2
r
R r
r
Y = + X + X + e
1 1 2 2
a b b
Então a correlação parcial poderá ser diretamente obtida por:
Definição ANOVA Correlação Parcial
Correlação Parcial - Exemplo
Podemos ainda calcular a correlação parcial entre renda e anos de estudo
( r
Y 1.
) diretamente por:
Vamos considerar a relação para a renda ( Y ) como função dos anos de
estudo ( X
1
) e idade ( X
2
Y = + X + X + e
1 1 2 2
a b b
i i
Y X X e
i i
1 2
2
2
2
12
1 212
Y
Y Y
Y1.
r r
r r r
r
Onde:
09959
21 35
27
1
2
1
2
1
1
1
1
,
( )( )
x y
x y
r
n
i
i
n
i
n
i
i i
Y
i
= = =
å å
å
= =
=
09827
500 35
130
1
2
1
2
2
1
2
2
,
( )( )
x y
x y
r
n
i
i
n
i
n
i
i i
Y
i
= = =
å å
å
= =
=
09759
21 500
100
1
2
2
1
2
1
1
1 2
12
,
( )( )
x x
x x
r
n
i
n
i
n
i
i i
i i
= = =
å å
å
= =
=
[ 1 ( 0 , 9759 ) ][ 1 ( 0 , 9827 ) ]
2 2
Definição ANOVA Correlação Parcial