Contexto e Aplicações Dante - vol 3, Notas de estudo de Matemática

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Cada volume da coleção é

dividido em quatro unidades

nas quais você encontrará os

seguintes boxes e seções:

UNIDADE

1

Matemática

financeira e

Estatística

Surge um aparelho menor e mais leve (cerca de kg), vendido comercialmente e marca época como símbolo de status e tecnologia.

Época marcada pela popularização do famoso “tijolão”, semelhante a um telefone sem fio convencional.

Surge o primeiro celular com tela touchscreen da História.

Surgem os primeiros celulares com inovações, como display colorido, câmera digital integrada e MP„ player.

Surgem os smartphones dando origem a sistemas operacionais exclusivos, interação touchscreen e instalação de aplicativos.

Surgem os primeiros celulares com antena interna e recursos, como o recebimento de mensagens de texto e acesso à internet.

O celular acumula recursos capazes de substituir computadores em tarefas domésticas e profissionais. E a evolução persiste... para a sorte do consumidor!

Adaptado de: <http://atecnoinfo.blogspot.com.br///a-evolucao-dos-celulares.html>. Acesso em: 
fev. .

UNIDADEUNIDADEUNIDADEUNIDADEUNIDADEUNIDADEUNIDADE

11111111111111111111111111

MatemáticaMatemáticaMatemáticaMatemáticaMatemáticaMatemáticaMatemáticaMatemáticaMatemáticaMatemáticaMatemáticaMatemáticaMatemáticaMatemáticaMatemáticaMatemáticaMatemáticaMatemáticaMatemáticaMatemáticaMatemáticaMatemáticaMatemáticaMatemáticaMatemáticaMatemáticaMatemáticaMatemáticaMatemáticaMatemáticaMatemáticaMatemáticaMatemáticaMatemáticaMatemáticaMatemáticaMatemáticaMatemáticaMatemáticaMatemáticaMatemáticaMatemáticaMatemáticaMatemáticaMatemáticaMatemáticaMatemática

financeira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira e

EstatísticaEstatísticaEstatísticaEstatísticaEstatísticaEstatísticaEstatísticaEstatísticaEstatísticaEstatísticaEstatísticaEstatísticaEstatísticaEstatísticaEstatísticaEstatísticaEstatísticaEstatísticaEstatísticaEstatísticaEstatísticaEstatísticaEstatísticaEstatísticaEstatísticaEstatísticaEstatísticaEstatísticaEstatísticaEstatísticaEstatísticaEstatísticaEstatísticaEstatísticaEstatísticaEstatísticaEstatísticaEstatísticaEstatísticaEstatísticaEstatísticaEstatísticaEstatísticaEstatísticaEstatísticaEstatísticaEstatísticaEstatísticaEstatísticaEstatísticaEstatísticaEstatísticaEstatísticaEstatísticaEstatísticaEstatísticaEstatísticaEstatísticaEstatísticaEstatísticaEstatística

Adaptado de: <http://atecnoinfo.blogspot.com.br///a-evolucao-dos-celulares.html>. Acesso em: 
fev. .

A Estatística é uma ciência que se dedica à coleta, análise e interpretação de dados numéricos para o estudo de fenômenos naturais, econômicos e sociais, com o objetivo de analisá-los e compreendê-los para subsidiar a proposição de estratégias e tomadas de decisão.

Evolução do celular

É desenvolvido o primeiro protótipo do celular. O aparelho contava com a desvantagem de pesar Š‹ kg e era instalado em porta-malas de carros de luxo.

. Com que objetivo são realizados estudos estatísticos de fenômenos naturais, econômicos e sociais? . É correto afirmar que de ”‹‹” a ”‹ ” houve um aumento de aproximadamente •‹‹% no número de pessoas com acesso à internet no Brasil? Por quê?

PESSOAS COM ACESSO

(Casa, trabalho, lan houses e locais públicos)

† MILHÕES ‹Œ,† MILHÕES

USUÁRIOS

ATIVOS

(Casa e trabalho)

•,‹ MILHÕES †‹,Œ MILHÕES

COMPUTADORES

EM USO

‹ MILHÕES^ •• MILHÕES

DOMÍNIOS.BR

REGISTRADOS †›› MIL^ Œ MILHÕES

FATURAMENTO DO

COMÉRCIO ELETRÔNICO

¡›› MILHÕES

› BILHÕES

CELULARES Œ¢ MILHÕES ¢¡¢ MILHÕES

INTERNET FIXA — †›› VEZES MAIS RÁPIDA

INTERNET MÓVEL — ¢›› VEZES MAIS RÁPIDA

OS NÚMEROS DE DEZ ANOS DE INTERNET E TELEFONIA

MÓVEL NO BRASIL (Dados do º semestre)

1

CAPÍTULO

Matemática

financeira

A Matemática financeira é utilizada em muitas situações de nosso cotidiano, e um de seus principais conceitos é o juro, uma relação entre o dinheiro e o tempo.

A pessoa que conhece os fundamentos da Matemática financeira pode adotar uma postura consciente em seu papel de consumidor, evitando o endividamento e o pagamento de juros altos. Por exemplo, um trabalhador que ganha R$ 1 000 , 00 mensais comprou um televisor a prazo nas condições da figura. Ele terá de trabalhar 45 dias no ano para pagar o televisor e mais 12 dias para pagar o valor dos juros do financiamento. Você acha que ele fez um bom negócio?

Edu Lyra/Pulsar Imagens

Dam d’Souza/Arquivo da editora

Capítulo 8 • Equações algébricas 195

«passo a passo : exercício 13

«Resolvido passo a passo

13. (FGV-SP) Durante o último jogo da seleção brasileira, brinquei com meu primo, apostando quem conse- guiria colocar mais pipocas na boca. Comecei colo- cando duas na boca e fui aumentando r pipocas por vez, como em uma PA. Ele começou colocando 1 na boca e foi multiplicando por r , como numa PG. Na quarta vez em que colocamos pipocas na boca, des- cobrimos que a quantidade colocada por nós dois foi a mesma. Nessa nossa brincadeira, o valor de r é: a) um número quadrado perfeito. b) um número maior que 3. c) um divisor de 15. d) um múltiplo de 3. e) um número primo.

1. Lendo e compreendendo a) O que é dado no problema? São dadas uma PA cujo primeiro termo é 2 e uma PG de primeiro termo 1 , ambas de razão r. É infor- mado que o 4 o^ termo de ambas é igual. b) O que se pede? O valor de r , que, segundo o enunciado, é a razão das sequências descritas no texto.

2. Planejando a solução Vamos obter o 4 o termo de cada sequência, igualá- -los e resolver a equação cúbica resultante. Para tal, precisaremos obter uma raiz. 3. Executando o que foi planejado Vamos construir a PA e a PG, de acordo com o enun- ciado: PA ( 2 , 2  r , 2  2 r , 2  3 r , …) PG ( 1 , r , r^2 , r^3 , …) Como o 4 o^ termo das duas sequências é igual, en- tão r 3  2  3 r.

Para obter o valor de r , precisamos resolver a equa- ção r^3  3 r  2  0. Vamos então pesquisar as prováveis raízes racionais dessa equação: p é divisor de 2 → p  { 1 , 1 ,  2 , 2 } q é divisor de 1 → q  { 1 , 1 } Então, p q

Fazendo a verificação: p ( 1 )  ( 1 )^3  3 ( 1 )  2 ⇒ ⇒ p ( 1 )   1  3  2  0 Como p ( 1 )  0 , então  1 é raiz. Vamos eliminar a raiz  1 utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini e obter as raízes restantes:

 1 1 0  3  2 1  1  2 0 Portanto, as duas raízes restantes são as raízes da equação r 2  r  2  0 :   ( 1 )^2  4  1  ( 2 )  9

r 

22  11 ^

⇒ r  2 ou r   1 Assim, o conjunto solução dessa equação é S  { 1 , 2 }. Porém, para haver coerência com o enunciado, somente a raiz positiva pode ser a razão das sequências apresentadas (não há “pipocas ne- gativas”). Desse modo, r  2 ; portanto, r é um nú- mero primo. 4. Emitindo a resposta A resposta é a alternativa e. 5. Ampliando o problema a) Quantas pipocas o narrador colocou na boca até o momento relatado no texto? E o primo? b) Se os rapazes continuarem a brincadeira, se- guindo as mesmas regras, qual dos dois (o nar- rador ou o primo) conseguirá continuar pondo pipocas na boca por mais vezes?

26. ATIVIDADEEM DUPLA Pesquisem as raízes racionais das equações algébricas: a) 2 x^3  x^2  2 x  1  0 c) 4 x^3  5 x  1  0 b) 4 x 4  4 x 3  3 x 2  4 x  1  0 d) 2 x 3  7 x 2  7 x  2  0 27. ATIVIDADEEM DUPLA (PUC-SP) Quais são as raízes da equação 3 x 3  13 x 2  13 x  3  0? 28. ATIVIDADEEM DUPLA (FEI-SP) Resolva a equação cúbica x^3  2 x^2  3 x  6  0. 29. (ITA-SP) Quais são as raízes inteiras da equação x^3  4 x^2  2 x  4  0?

Exercícios

Exercício resolvido

passo a passo

Apresenta a resolução detalhada de

uma questão ou problema. Não são

modelos a serem seguidos, mas

visam inspirar e indicar estratégias

de resolução.

Conheça

seu livro

Para refletir,

Fique atento!

e Você sabia?

Pequenos boxes que trazem questões para

reflexão ou dicas importantes para o estudo.

Exercícios

Essenciais para a aprendizagem. Ajudam a

fixar e aprofundar os conteúdos estudados.

Capítulo 2 • Estatística 39

Veja outros exemplos de gráficos de segmentos.

Você sabia? Os dados dos gráficos acima foram obtidos do Censo Demográfico 2010 , que é uma pesquisa realizada a cada 10 anos pelo

Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE). O primeiro Censo brasileiro aconteceu em (^1872) e chamava-se Recenseamento

da População do Império do Brasil. Os pesquisadores do IBGE visitam todos os domicílios do país para aplicar um questionário e posteriormente os dados são analisados e publicados em estudos sobre diversos temas.

a) Crescimento da população brasileira de 1940 a 2010 Em milhões de habitantes

1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 Ano

Fonte: IBGE.

b) Número de alunos matriculados no Ensino Supe- rior no Brasil

Matrícula(s)

Ano Fonte: http://painel.mec.gov.br/. Acesso em: 6 nov. 2012.

10. Utilize o gráfico de segmentos do exemplo dado (venda de livros) na página anterior e responda: a) Em que períodos do segundo semestre as vendas subiram? b) Em qual destes dois meses as vendas foram maiores: julho ou outubro? c) Em que mês do semestre as vendas foram menores? d) Em que mês foram vendidos 450 11. Um aluno apresentou durante o ano letivo o seguinte aproveitamento: primeiro bimestre: nota^ livros?

7 , 0 ; segundo

bimestre: nota 6 , 0 ; terceiro bimestre: nota 8 , 0 ; e quarto bimestre: nota 8 , 0. Construa um gráfico de segmentos

correspondente a essa situação e, a partir dele, tire algumas conclusões.

12. Uma professora anotou o número de faltas dos alunos, durante um semestre, de acordo com os dias da semana. Observe as anotações, construa o gráfico de segmentos e tire conclusões: segunda-feira,

64 faltas; terça-feira, 32 ;

quarta-feira, 32 ; quinta-feira, 48 ; sexta-feira, 60.

13. Analise o gráfico a seguir e responda: a) Em qual ano o saldo comercial foi o menor? b) Em qual ano o saldo foi o maior? c) O que ocorreu com o saldo comercial de d) Quantos milhões de dólares cresceu o saldo de^2007 a 2008? para 2011? (^2010)

Exercícios

Valores^ Evolução do saldo comercial do Brasil

Ano

2002

5 000 0

10 000

10 440 15 076

19 749 19 533

20 584

11 293

13 905

7 880

12 959

7 069

15 000

2 618

20 000

25 000

(em U$ milhões)

(^2003 2004 2005 2006 ) Fonte dos dados: <www.desenvolvimento.gov.br/portalmdic/////arquivos/dwnl_^2008 2009 2010 2011 <www.mdic.gov.br/arquivos/dwnl_ 1312201939 .pdf>. Acesso em: (^1349207864) .pdf> e 9 mar. (^2013).

Você sabia? O saldo comercial, ou seja, o saldo da balança comercial, é um termo econômico que representa a diferença entre o que é exportado e o que é importado. Quando o saldo é positivo é porque o país exportou mais do que importou. Caso ocorra o inverso, dizemos que o saldo é negativo.

32 Unidade 1 •^ Matemática financeira e Estatística

Variável Uma indústria automotiva que pretende lançar um novo modelo de carro faz uma pesquisa para sondar a preferência dos consumidores sobre tipo de combustível, número de portas, potência do motor, preço, cor, tamanho, etc. Cada uma dessas características é uma

variável da pesquisa.

Na variável “tipo de combustível”, a escolha pode ser, por exemplo, entre etanol e gasolina. Dizemos que esses são valores ou realizações^ da variável “tipo de combustível”.

Variável qualitativa

Em uma pesquisa que envolve pessoas, por exemplo, as variáveis consideradas podem ser sexo, cor de cabelo, esporte favorito e grau de instrução. Nesse caso dizemos que as variáveis são

qualitativas , pois

apresentam como possíveis valores uma qualidade (ou atributo) dos indivíduos pesquisados. Além disso, dizemos que as variáveis qualitativas podem ser

ordinais , quando existe uma ordem nos

seus valores, ou^ nominais , quando isso não ocorre. Por exemplo, “grau de instrução” é uma

variável qualitativa ordinal

, já que seus valores podem ser

ordenados (Fundamental, Médio, Superior, etc.).

Variável quantitativa

Quando as variáveis de uma pesquisa são, por exemplo, altura, peso, idade em anos e número de irmãos, dizemos que elas são^ quantitativas , pois seus possíveis valores são números. As variáveis quantitativas podem ser

discretas , quando se trata de contagem (números inteiros), ou

contínuas , quando se trata de medida (números reais). Por exemplo: a) “Número de irmãos” é uma variável quantitativa discreta, pois podemos contar (

0 , 1 , 2 , etc.).

b) “Altura” é uma variável quantitativa contínua, uma vez que pode ser medida (

1 , 55 m, 1 , 80 m, 1 , 73 m, etc.).

Quadro-resumo dos tipos de variável de uma pesquisa:

Variávávávelel

qualitativivivaa

nominal ordinal

quantitat

iviiviiviv aa

discreta contínua

Para refletir “Esporte favorito” é uma^ variável qualitativa nominal. Justifique.

Fique atento! A idade em anos exatos pode ser considerada variável quantitativa discreta ( 8 , 10 , 17 , etc.).

1.^ Classifique as variáveis em qualitativas nominais, qualitativas ordinais, quantitativas discretas ou quantitativas contínuas: a) número de alunos da sua sala; b) altura dos professores; c) cor do cabelo de uma determinada pessoa; d) número de defeitos observados em um equipamento eletrônico; e) tipos de defeitos observados em cada unidade de um determinado produto; f) série em que um aluno estuda; 2. Uma concessionária de automóveis tem cadastrados 3 500 clientes e fez uma pesquisa sobre a preferência de compra em relação a “cor” (branco, vermelho ou azul), “preço”, “número de portas” (duas ou quatro) e “estado de conservação” (novo ou usado). Foram consultados 210 clientes. Diante dessas informações, responda: a) Qual é o universo estatístico e qual é a amostra dessa pesquisa? b) Quais são as variáveis e qual é o tipo de cada uma? c) Quais os possíveis valores da variável “cor” nessa pesquisa?

ATENÇÃO!

Não escreva no seu livro!

Exercícios

Matemática tecnologia

e

Gráfico de funções polinomiais

Para construir gráficos de funções polinomiais vamos novamente utilizar o Geogebra. Caso você ainda não tenha o programa instalado, volte ao capítulo 5 , siga as instruções de download e veja os primeiros passos de utilização do software. Vamos construir o gráfico de uma função po- linomial do quarto grau p ( x )  ax^4  bx^3  cx^2   dx  e com coeficientes variáveis. Para isso siga os passos abaixo. 1 o^ passo : Na barra de ferramentas, clique com o botão esquerdo do mouse , inicialmente, na opção “Controle deslizante”: Em seguida, clique em qualquer ponto da jane- la de visualização (Zona gráfica) e tecle “Enter”. Nesse instante aparecerá o parâmetro a (com valor inicial igual a 1 ) Repita a operação e insira novos parâmetros ( b , c , d e e ). 2 o^ passo : No campo “Entrada” (situado na par- te inferior da tela) digite o polinômio: p ( x )  a * x ^ 4  b * x ^ 3  c * x ^ 2  d * x  e, em seguida, tecle “Enter”. Observe que “*” significa a operação de multiplicação e “^” significa a operação de potenciação. 3 o^ passo : Para melhorar a visualização, clique com o botão direito do mouse no gráfico da função polinomial. Na aba que será apresen- tada clique em “Propriedades”. Clique na aba “Cor” e escolha uma nova cor para o seu gráfico. Em seguida, clique na aba “Estilo” e coloque a espessura da linha igual a 5. Feche a janela e observe que o gráfico ficou destacado. 4 o^ passo : Na barra de ferramentas (parte su- perior da tela) clique na aba “Exibir” e depois em “Malha”. 5 o^ passo : Para observar significados importan- tes para os coeficientes a , b e c , clique na boli- nha do controle deslizante de a e altere lenta- mente o seu valor (basta arrastar a bolinha para um dos lados). Observe o que acontece com o gráfico da função polinomial. Repita a

operação para os controles deslizantes de b , c , d e e (utilize um controle deslizante por vez). Por exemplo, se a  2 , b   1 , c   4 , d  2 e e  1 , a curva é a seguinte:

6 o^ passo : Para determinar os pontos em que a curva intersecta os eixos coordenados, deve- -se digitar no campo de entrada Intersecção [ p , x  0 ] e teclar “Enter” para obter o ponto em que a curva intersecta o eixo das ordena- das (eixo y ) e Intersecção [ p , y  0 ] e teclar “Enter” para obter o ponto em que a curva intersecta o eixo das abscissas (eixo x ). Observação : Para obter as raízes do polinômio, basta analisar as abscissas dos pontos obtidos ao digitar intersecção [ p , y  0 ] ou Raiz [ p ]. Você pode mover, ampliar ou reduzir sua ima- gem utilizando o botão Outra opção para aumentar ou diminuir o zoom é utilizar o scroll do mouse (aquela “bolinha” que fica na parte superior da maioria dos mouses ). Agora, utilizando o controle deslizante, faça o que se pede.

1. Tendo como base a função polinomial p ( x )  ax^4  bx^3  cx^2  dx  e , qual é o efeito do parâmetro e no gráfico da função?
2. Obtenha o gráfico das funções polinomiais a seguir, obtendo, se existirem, suas raízes reais: a) p ( x )  x^4  2 x^3  x^2  2 x b) p ( x )  2 x^4  x^3  x^2  x  1 c) p ( x )  3 x^4  x^3  x^2  3 x  2

Salve suas atividades em um local escolhido do seu computador.

Reprodução/<www.geogebra.org>

Capítulo 7 • Polinômios

Matemática

e tecnologia

Sugestões de atividades em que o

computador é utilizado para visualizar

e manipular gráficos e tabelas. Uma

oportunidade de trabalhar com a

Matemática dinâmica.

Abertura de unidade

Duas páginas que proporcionam

o primeiro contato com um

dos assuntos que será abordado

na unidade.

Abertura de capítulo

Texto introdutório com o objetivo

de apresentar, por meio de uma

situação real ou contexto histórico,

o conteúdo que será estudado no

capítulo.

Atenção! Ainda que seja pedido

ÒAssinaleÓ, ÒIndiqueÓ, etc.

em algumas quest›es, nunca

escreva no livro. D• todas as

respostas no caderno.

Objeto Educacional Digital

Este ícone indica Objetos Educacionais

Digitais relacionados aos conteœdos

do livro.

ATENÇÃO!

Não escreva no

seu livro!

198 Unidade 4 • Polin™mios e equa•›es algŽbricas Capítulo 8 • Equa•›es algŽbricas 199

Outros

contextos

A folhas tantas do livro matemático, um Quociente apaixonou-se, um dia, doidamente por uma Incógnita. Olhou-a com seu olhar inumerável e viu-a, do ápice à base, uma figura ímpar; olhos romboides, boca trapezoide, corpo retangular, seios esferoides.

Fez de sua uma vida paralela à dela até que se encontraram no infinito. “Quem és tu?”, indagou ele em ânsia radical. “Sou a soma do quadrado dos catetos. Mas pode me chamar de Hipotenusa.” E de falarem descobriram que eram (o que em aritmética corresponde a almas irmãs) primos entre si.

E assim se amaram ao quadrado da velocidade da luz numa sexta potenciação traçando ao sabor do momento e da paixão retas, curvas, círculos e linhas senoidais nos jardins da quarta dimensão. Escandalizaram os ortodoxos das fórmulas euclidianas e os exegetas do Universo Finito. Romperam convenções newtonianas e pitagóricas.

E enfim resolveram se casar constituir um lar, mais que um lar, um perpendicular. Convidaram para padrinhos o Poliedro e a Bissetriz. E fizeram planos, equações e diagramas para o futuro sonhando com uma felicidade integral e diferencial. E se casaram e tiveram uma secante e três cones muito engraçadinhos. E foram felizes até aquele dia em que tudo vira afinal monotonia. Foi então que surgiu O Máximo Divisor Comum frequentador de círculos concêntricos, viciosos. Ofereceu-lhe, a ela, uma grandeza absoluta e reduziu-a a um denominador comum. Ele, Quociente, percebeu que com ela não formava mais um todo, uma unidade. Era o triângulo, tanto chamado amoroso. Desse problema ela era uma fração, a mais ordinária. Mas foi então que Einstein descobriu a Relatividade e tudo que era espúrio passou a ser moralidade como aliás em qualquer sociedade.

FERNANDES, Millôr. Poesia matemática. Rio de Janeiro: Desiderata , 2009_._

Trabalhando com o texto 1. Depois de ler o poema, identifique os termos matemáticos e escreva os seus respectivos significados. Há termos que você não conhece? Pesquise-os. 2. Em equipe, representem o texto por meio de desenhos. Pode ser uma história em quadrinhos.

3. Agora é sua vez. Escreva um poema com elementos matemáticos e apresente para a classe.

Pesquisando e discutindo 4. Pesquise a biografia de Millôr Fernandes ( 1923 - 2012 ) e as principais características das suas obras. Depois, tente verificar essas características no poema.

Marcos de Paula/Agência Estado

Millôr Fernandes

5. Existem outros artistas brasileiros (poetas, músicos, etc.) que têm obras cujo tema se refere à Matemática. Pesquise alguns exemplos. 6. Em 1906 , Adam C. Orr, publicou na revista norte-americana Literary Digest os seguintes versos: Now I, even I, would celebrate In rhymes unapt, the great Immortal Syracusan, rivaled nevermore, Who in his wondrous lore, Passed on before, Left men guindance, How to circles mensurate. a) De maneira breve e jocosa, esses versos homenageiam um importante matemático grego da Antiguidade, referido como o “Imortal de Siracusa” ( Immortal Syracusan ), que chegou a um valor aproximado do número irracional p (p 5 3,1415926... ), o que explica o último verso. Quem foi esse matemático? b) Esses versos ainda têm uma curiosidade implícita muito interessante. Conte o número de letras de cada uma das palavras do poema e as coloque em ordem. Que número você obteve?

Veja mais sobre o assunto

Procure mais informações em jornais, revistas e nos sites : ¥ Página “ Millôr On-line ”: <www 2 .uol.com.br/millor/index.htm>; ¥ Outros poemas matemáticos: <www.somatematica.com.br/poemas.php>; ¥ Passeios pela Matemática: <www.passeiospelamatematica.net/index.htm>. Acessos: em 20 dez. 2012.

Um matemático que não é também um pouco poeta nunca será um matemático completo. Karl Weierstrass (1815-1897), matemático alemão.

198 Unidade 4 • Polin™mios e equa•›es algŽbricas Capítulo 8 • Equa•›es algŽbricas 199

Poesia matem‡tica

112 Capítulo 4^ •^ Geometria analítica: a circunferência 113

Vestibulares de Norte a Sul

Unidade 2 • Geometria analítica: ponto, reta e circunferência

Região Norte

1. (Ufam) Dadas as equações das retas r : 5 x 1 y 2 5 5 0 e s : x 1 5 y 2 10 5 0 , podemos afirmar: I. que a reta r passa pelos pontos ( 0 , 5 ) e ( 2 , 25 ). II. que a reta s passa pelos pontos ( 10 , 0 ) e ( 5 , 5 ). III. que r e s são paralelas. IV. que r e s são perpendiculares. Está(ão) correta(s): a) I apenas. b) II apenas. c) II e IV apenas. d) III e IV apenas. e) II e III apenas. 2. (Uepa) A linha de produção tecnológica de uma fa- mosa fábrica de bicicletas, na Ásia, utiliza em suas pesquisas modelos matemáticos que visam ao apri- moramento do desempenho de seus produtos. A figura abaixo ilustra uma dessas pesquisas que busca aperfeiçoar as relações entre as duas engre- nagens utilizadas para movimentar uma bicicleta. A engrenagem E 1 , representada pela circunferência menor , está centrada no sistema de coordenadas cartesianas e tem raio r. A engrenagem E 2 , repre- sentada pela circunferência maior , está deslocada à direita e tem raio R.

E 1

E 2

x

y

r d

A B

R

D

C

Sabendo que a medida do segmento AB vale d e que o diâmetro de E 2 é d 1 r , a equação da circun- ferência que representa E 2 é: a) ( x 1 2 R )^2 1 y^2 5 R^2. b) ( x 2 R ) 2 1 y 2 5 R 2.

c) ( x 1 3 R )^2 1 y^2 5 R^2. d) ( x 2 3 R )^2 1 y^2 5 R^2. e) ( x 2 2 R )^2 1 y^2 5 R^2.

Região Nordeste

3. (UFRN) Uma formiga se desloca num plano, ao longo de uma reta. Passa pelo ponto ( 1 , 22 ) e percorre a menor distância até interceptar a trajetória retilínea de outra formiga, nesse mesmo plano, descrita pela equação y 1 2 x 5 8. A equação da reta que repre- senta a trajetória da primeira formiga é: a) 2 y 2 x 1 5 5 0. c) y 1 x 1 1 5 0. b) y 2 x 1 3 5 0. d) 2 y 1 x 1 2 5 0. 4. (UFRN) Uma praça, em formato retangular, tem uma fonte luminosa de forma circular no seu centro. Su- ponha que as coordenadas dos cantos da praça se- jam ( 0 , 0 ), ( 40 , 0 ), ( 0 , 60 ) e ( 40 , 60 ) e que o raio da circunferência da fonte seja r 5 3. Em relação aos pontos P ( 22 , 32 ) e Q ( 17 , 29 ), pode-se afirmar: a) P está fora da fonte e Q está dentro. b) P está dentro da fonte e Q também. c) P está dentro da fonte e Q está fora. d) P está fora da fonte e Q também.

Região Centro-Oeste

5. (UEMT) Observe os três pares de pontos: P 1 : ( 4 , 15 ); P 2 : ( 12 , 11 ) e P 3 : ( 18 , k ). O valor de k para que os três pontos estejam sobre a mesma reta é: a) 8. b) 16. c) 24. d) 4. e) 28. 6. (UFG-GO) Num sistema de coordenadas cartesianas, são dadas três retas e os pontos de interseção das mesmas, como na figura a seguir.

A
(1, 2)

C
(1, 4)

y

B
(2, 0) x

Assim, encontre o centro e o raio da circunferência determinada pelos pontos A , B e C.

7. (UFG-GO) Dado o sistema de equações:

x^2 1 y^2 2 4 x 2 2 y 1 4 5 0 y 5 mx , m [ ¨

a) represente graficamente, no plano cartesiano, o sistema quando a reta y 5 mx passa pelo centro da circunferência descrita pela primeira equação. b) determine o conjunto de valores de m para que o sistema admita duas soluções.

Região Sudeste

8. (Uerj) Em uma folha de fórmica retangular ABCD , com 15 dm de comprimento AB por 10 dm de largu- ra AD , um marceneiro traça dois segmentos de reta, AE e BD. No ponto F , onde o marceneiro pretende fixar um prego, ocorre a interseção desses segmen- tos. A figura abaixo representa a folha de fórmica no primeiro quadrante de um sistema de eixos coordenados.

y (dm) D C

A B

E

x (dm)

F

Considerando a medida do segmento EC igual a 5 dm, determine as coordenadas do ponto F.

9. (UFRRJ) Em um circo, no qual o picadeiro tem – no plano cartesiano – a forma de um círculo de equa- ção igual a x 2 1 y 2 2 12 x 2 16 y 2 300 < 0 , o pa- lhaço acidentou-se com o fogo do malabarista e saiu desesperadamente do centro do picadeiro, em linha reta, em direção a um poço com água localizado no ponto ( 24 , 32 ). Calcule a distância d percorrida pelo palhaço, a partir do momento em que sai do picadeiro até o momento em que chega ao poço.

Região Sul

10. (UFSM-RS) Uma luminária foi instalada no ponto C ( 25 , 10 ). Sabe-se que a circunferência iluminada por ela é tangente à reta que passa pelos pontos P ( 30 , 5 ) e Q ( 230 , 215 ). O comprimento da linha central do passeio correspondente ao eixo y , que é iluminado por essa luminária, é: a) 10 m. b) 20 m. c) 30 m. d) 40 m. e) 50 m. 11. (UFPR) Um balão de ar quente foi lançado de uma rampa inclinada. Utilizando o plano cartesiano, a figura abaixo descreve a situação de maneira sim- plificada.

y

x

P

Q

Ao ser lançado, o balão esticou uma corda presa aos pontos P e Q , mantendo-se fixo no ar. As coordena- das do ponto P , indicado na figura, são, então: a) ( 21 , 7 ). b) ( 22 , 8 ). c) ( 24 , 12 ). d) ( 25 , 13 ). e) ( 26 , 15 ).

12. (UEL-PR) Um pássaro sobrevoa uma rampa conforme mostra a figura. A ave faz seu voo em linha reta e paralela à calçada.

calçada 3 m

muro de apoio

a) Sabendo-se que a rampa forma um ângulo de 135 º com a calçada, conforme mostra a figura, e que a distância do muro de apoio até o pé da rampa é de 3 metros, calcule o comprimento da rampa. b) Determine a menor distância entre o pássaro e a rampa no instante em que o pássaro se encontra a 5 metros do muro e a 6 metros da calçada em que se apoia a rampa. Apresente os cálculos rea- lizados na resolução de cada item.

Ilustrações: Dam dÕSouza/Arquivo da editora

Outros contextos

Temas relevantes e atuais que tratam de situações práticas,

articulando a Matemática com outras disciplinas e com temas como

saúde, sociedade, meio ambiente entre outros.

Vestibulares de Norte a Sul

Questões de vestibulares, de todas as regiões geográficas do Brasil,

relacionadas aos conteúdos estudados.

Pensando

no Enem

Atividades

contextualizadas que

visam o desenvolvimento

das competências e

habilidades previstas na

Matriz do Enem.

Caiu no Enem

Questões extraídas do

Enem classificadas de

acordo com as unidades.

62 Unidade 1 •^ Matemática financeira e Estatística

Pensando

noENEM

1. Este cartaz faz parte de uma campanha para o consumo consciente e apresenta dicas para a economia de água.

Disponível em: <www.brasil.gov.br/consumo-consciente>.Acesso em: 1 o (^) nov. 2012.

Suponha que Antônio tenha viajado um mês inteiro, e nesse tempo tenha ocorrido um vazamento em um cano de sua casa por conta de um buraco de

2 mm. Veja como é cobrada a conta de água e de esgoto na cidade em que Antônio mora: Classe de consumo^ (m

(^3) /mês)

Tarifas de ‡gua (R$)

Tarifas de esgoto^ (R$) Residência/ Normal 0 a 10 14 , 19 /mês^14 ,^19 /mês 11 a 20 2 ,^22 /m

(^3 2) , 22 /m 3

21 a^50 5 ,^54 /m

(^3 5) , 54 /m^3

Acima de 50 6 , 10 /m

(^3 6) , 10 /m 3

(Dado: 1 m^3 5 1 000 ,.) Observação : O pagamento da tarifa mínima de água e de esgoto é obrigatório para todas as residências pela disponibilização dos serviços, mesmo que não sejam utilizados. Com base nessas informações, responda: a) Quanto Antônio pagou pela água desperdiçada? b) Se a empresa responsável pelo abastecimento de água e coleta de esgotos cobra por esse segundo serviço o mesmo valor do primeiro, qual foi o prejuízo total de Antônio?

2. No dia 14 de fevereiro de^2011 foi anunciada a aposentadoria de um dos melhores jogadores de futebol de todos os tempos e o maior artilheiro de Copas do Mundo, Ronaldo Nazário de Lima, o Fenômeno. Eleito três vezes o melhor jogador do mundo pela Fifa, marcou centenas de gols e atuou em

7 clubes, 2 do Brasil e^5 do exterior.

Teve também uma brilhante passagem pela seleção brasileira.

Governo Federal/www.brasil.gov.br/consumo-consciente

16 Unidade 1 • Matem‡tica financeira e Estat’stica

Leitura

Conceito de infla•‹o: o que Ž e como se forma?

A infla•‹o Ž um conceito econ™mico que representa o aumento persistente e generalizado do pre•o de uma cesta de produtos em um pa’s ou regi‹o durante um determinado per’odo de tempo. Se, por exemplo, uma cesta de produtos custa R$ 100 , 00 em julho e passa a ser ven- dida por R$ 150 , 00 em agosto, verifica-se uma infla•‹o de 50 % no m•s. Ela tambŽm represen- ta a queda do poder aquisitivo do dinheiro em rela•‹o ˆ eleva•‹o dos pre•os de bens e servi•os. Quando a infla•‹o est‡ em um n’vel muito baixo, ocorre a estabiliza•‹o dos pre•os e, assim, o valor dos produtos n‹o aumenta. A infla•‹o j‡ foi o grande drama da economia brasileira, e sempre merece grande aten•‹o e acompanhamento do governo e da sociedade. A partir dos anos 1980 , v‡rios planos fracas- saram na tentativa de impedir o seu crescimento, mas, desde 1994 , com a implanta•‹o do Plano Real, ela est‡ relativamente sob controle.

Causas

¥ Infla•‹o monet‡ria: emiss‹o exagerada e descontrolada de dinheiro por parte do governo. ¥ Infla•‹o de demanda: demanda nos custos (aumento no consumo) maior do que a capacidade de produ•‹o do pa’s. ¥ Infla•‹o de custos: aumento nos custos de produ•‹o (m‡quinas, matŽria-prima, m‹o de obra) dos produtos.

Indicadores

No Brasil, existem v‡rios ’ndices que medem a infla•‹o e s‹o refer•ncias. Os principais s‹o: IGP ou êndice Geral de Pre•os (calculado pela Funda•‹o Getœlio Vargas), IPC ou êndice de Pre•os ao Consumidor (medido pela Fipe Ð Funda•‹o Instituto de Pesquisas Econ™micas), INPC ou êndice Nacional de Pre•os ao Consumidor (medido pelo IBGE) e IPCA ou êndice de Pre•os ao Consumidor Amplo (tambŽm calculado pelo IBGE). O IPC, por exemplo, considera o consumo de fam’lias com renda atŽ 33 sal‡rios m’nimos que vivem no Rio de Janeiro e em S‹o Paulo. O IGP-M Ž calculado a partir de outros ’ndices. O IPCA, de maior abrang•ncia, pesquisa fam’lias com renda de atŽ 40 sal‡rios m’nimos em pelo menos 10 grandes capitais brasileiras. J‡ o ICV, calculado pelo Dieese, considera apenas os pre•os de alimenta•‹o, transporte, saœde e habita•‹o praticados na cidade de S‹o Paulo. Adaptado de: <www.oeconomista.com.br/ inflacao-o-que-e-e-como-se-forma/>. Acesso em: 30 out. 2012.

¥ A infla•‹o brasileira em 2012 foi de 5 , 84 % (IPCA). Assim, se uma cesta de produtos custava R$ 100 , 00 em dezembro de 2011 , quanto ela custava em dezembro de 2012?

Ismar Ingber/Pulsar Imagens

Leitura(s)

Textos que visam ampliar e

enriquecer o conteúdo estudado

no capítulo.

Um pouco mais...

Textos e exercícios que ajudam a

aprofundar o conteúdo do capítulo.

Capítulo 3 • Geometria analítica: ponto e reta 93

Um pouco mais...

ångulo formado por duas retas

Vamos considerar duas retas concorrentes, r e s , oblíquas aos eixos coordenados e não perpendi- culares entre si, de coeficientes angulares m 1 e m 2 , respectivamente. Elas formam entre si o ‰ngulo . y r s

a x u b

Para  agudo, temos:

tan  

m m m m

mm 1 mm 2 1 m mm m 1 2

mm mm 

¥ Se r e s forem paralelas, m 1  m 2 e   0 ¡. ¥ Se r e s forem perpendiculares, m 1 m 2   1 e   90 ¡. ¥ Se uma das retas for vertical, temos:

y s

r

a x

u

Considerando  agudo, temos:

tan  

m Por exemplo, vamos determinar o valor do ‰ngulo agudo formado pelas retas r : y  4  3 ( x  5 ) e s : 2 x  y  7  0. ¥ y  4  3 ( x  5 ) ⇒ m 1  3 ¥ 2 x  y  7  0 ⇒ y   2 x  7 ⇒ m 2   2 Logo:

tan   3 2 1 3 2

⇒ tan   tan ( 
) 

tan tan tan tan

m m m m

1 2 11 2

⇒ tan   tan ( 90 ¡  )  cot 

tan

m

Fique atento! As retas r e s do exemplo formam dois ‰ngulos de 45 ¼ e dois ‰ngulos de 135 ¼.

1. ATIVIDADEEM DUPLA Qual é o valor do ângulo agudo formado

pelas retas y  4 x  6 e y  3   1 4

( x  5 )?

2. ATIVIDADEEM DUPLA Determinem a tangente do ângulo agudo

formado pelas retas y  7 e 2 x  3 y  5  0.

3. ATIVIDADEEM DUPLA Determinem a equação da reta que passa

pelo ponto P ( 2 , 1 ) e forma um ângulo de 45 ° com a reta de equação y  5 x  3.

4. ATIVIDADEEM DUPLA Calculem a cotangente do ângulo agudo

formado pelas retas x^ y 2 6

  1 e 15 x  5 y  2  0.

Exerc’cios adicionais

202

Caiu no Enem

(Enem) Em sete de abril de 2004 , um jornal publicou o ranking de desmatamento, conforme gráfico abai- xo, da chamada Amazônia Legal, integrada por nove estados.

9 O Amapá

Ranking do desmatamento em km 2

8 O^ Tocantins 7 O^ Roraima 6 O Acre 5 O^ Maranhão 4 O Amazonas 3 O Rondônia 2 O Pará 1 O Mato Grosso

4 136 326 549 766 797 3463 7293 10416 Disponível em: <www.folhaonline.com.br>. Acesso em: 30 abr. 2010 (adaptado). Considerando-se que até (^2009) o desmatamento cresceu (^10) , 5 % em relação aos dados de desmatamento médio por estado em^2004 , o 2009 está entre: a) (^100) km (^2) e 900 km (^2). b) 1 000 km^2 e 2 700 km 2. c) 2 800 km 2 e (^3 200) km (^2). d) (^3 300) km (^2) e 4 000 km (^2). e) 4 100 km^2 e 5 800 km 2.

(Enem) Uma pessoa aplicou certa quantia em ações. No primeiro mês, ela perdeu do investimento e, no segundo mês, recuperou^30 % do total 20 % do que havia perdido. Depois desses dois meses, resolveu tirar o montante de R$ 3 800 , 00 gerado pela aplicação. A quantia inicial que essa pessoa aplicou em ações corresponde ao valor de: a) R$ 4 222 , 22. b) R$ 4 523 , 80. c) R$ 5 000 , (^00). d) R$ 13 300 , 00. e) R$ 17 100 , 00.

(Enem) Um jovem investidor precisa escolher qual investimento lhe trará maior retorno financeiro em uma aplicação de R$ 500 , 00. Para isso, pesquisa o rendimento e o imposto a ser pago em dois investi- mentos: poupança e CDB (certificado de depósito

bancário). As informações obtidas estão resumidas no quadro:

Rendimento mensal IR (Imposto de Renda)

POUPANÇA 0 , (^560) ISENTO

CDB (^0) , 876 4 % (sobre o ganho)

Para o jovem investidor, ao final de um mês, a apli- cação mais vantajosa é: a) a poupança, pois totalizará um montante de R$ 502 , 80. b) a poupança, pois totalizará um montante de R$ 500 , 56. c) o CDB, pois totalizará um montante de R $ 504 , 38. d) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 504 , 21. e) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 500 ,

(Enem) Considere que uma pessoa decida investir uma determinada quantia e que sejam apresentadas três possibilidades de investimento, com rentabili- dades líquidas garantidas pelo período de um ano, conforme descritas: Investimento A : 3 % ao mês Investimento B : 36 % ao ano Investimento C : 18 % ao semestre As rentabilidades, para esses investimentos, inci- dem sobre o valor do período anterior. O quadro fornece algumas aproximações para a análise das rentabilidades:

n (^) 1 , 03 n

3 1 , 093

6 1 , 194

9 1 , 305

12 1 , 426

Para escolher o investimento com maior rentabili- dade anual, essa pessoa deverá: a) escolher qualquer um dos investimentos A , B ou C , pois as suas rentabilidades anuais são iguais a 36 %.

CAPÍTULO 3

Geometria analítica: ponto e reta

1 Introdução à Geometria analítica.................. 69

2 Sistema cartesiano ortogonal....................... 69

3 Distância entre dois pontos.......................... 71

Fórmula da distância entre dois pontos................. 71

4 Coordenadas do ponto médio

de um segmento de reta............................. 73

5 Condição de alinhamento de três pontos..........

6 Inclinação de uma reta............................... 76

7 Coeficiente angular de uma reta....................

8 Equação fundamental da reta...................... 79

9 Formas da equação da reta.......................... 80

10 Posições relativas de duas retas no plano......... 83

Retas paralelas.......................................... 83

Retas concorrentes...................................... 83

Intersecção de duas retas............................... 84

11 Perpendicularidade de duas retas.................. 85

12 Distância de um ponto a uma reta................. 88

Fórmula da distância de um ponto a uma reta........ 88

13 Área de uma região triangular...................... 90

Fórmula da área de uma região triangular..............

14 Aplicações à Geometria plana...................... 92

CAPÍTULO 4

Geometria analítica: a circunferência

1 Definição e equação.................................. 95

Equação geral da circunferência........................ 95

2 Posições relativas entre reta e circunferência... 100

3 Problemas de tangência............................ 102

4 Aplicações à Geometria plana..................... 104

Geometria analítica: ponto, reta e circunferência

UNIDADE

2

A roda de

um carro

lembra uma

circunferência.

Tratong/Shutterstock/Glow Images

CAPÍTULO 5

Geometria analítica: secções cônicas

1 Reconhecendo formas................................ 117

2 Parábola................................................ 117

Origem.................................................. 117

Definição e elementos.................................. 118

Equação da parábola.................................... 119

Equação da parábola com vértice na origem............ 119

Equação da parábola com vértice

em um ponto qualquer.................................

3 Elipse....................................................

Origem..................................................

Definição e elementos..................................

Equação da elipse...................................... 126

4 Hipérbole...............................................

Origem..................................................

Definição e elementos..................................

Equação da hipérbole.................................. 136

Assíntotas da hipérbole.................................

Hipérbole equilátera................................... 140

CAPÍTULO 6

Números complexos

1 Retomando: conjuntos numéricos.................

2 Conjunto dos números complexos (C)............ 146

Forma algébrica........................................ 146

3 Conjugado de um número complexo............. 149

4 Divisão de números complexos.................... 150

5 Representação geométrica dos números

complexos............................................. 151

Interpretação geométrica do conjugado...............

6 Módulo de um número complexo..................

7 Forma trigonométrica dos

números complexos..................................

Multiplicação e divisão de números

complexos na forma trigonométrica................. 157

Potenciação de números complexos

na forma trigonométrica – a primeira

fórmula de De Moivre.................................

Radiciação – raízes enésimas de números

complexos............................................. 161

A segunda fórmula de De Moivre....................... 161

8 Aplicação à Geometria...............................

C™nicas e nœmeros complexos

UNIDADE

3

Chris Hellier/Corbis/Latinstock

UNIDADE

Matemática

financeira e

Estatística

Surge um aparelho menor e

mais leve (cerca de 1 kg),

vendido comercialmente e

marca época como símbolo

de status e tecnologia.

Época marcada pela

popularização do famoso

“tijolão”, semelhante a um

telefone sem fio convencional.

Surge o primeiro

celular com tela

touchscreen da

História.

Surgem os primeiros celulares com

inovações, como display colorido,

câmera digital integrada e MP3 player.

Surgem os smartphones dando

origem a sistemas operacionais

exclusivos, interação touchscreen

e instalação de aplicativos.

Surgem os primeiros

celulares com antena

interna e recursos, como o

recebimento de mensagens

de texto e acesso à internet.

O celular acumula recursos

capazes de substituir

computadores em tarefas

domésticas e profissionais.

E a evolução persiste...

para a sorte do

consumidor!

Evolução do celular

É desenvolvido o primeiro protótipo do

celular. O aparelho contava com a

desvantagem de pesar 40 kg e era instalado

em porta-malas de carros de luxo.

Adaptado de: http://atecnoinfo.blogspot.com.br/2012/11/a-evolucao-dos-celulares.html. Acesso em: 15 fev. 2013.

A Estatística é uma ciência que se dedica à coleta, análise e interpretação de dados numéricos

para o estudo de fenômenos naturais, econômicos e sociais, com o objetivo de analisá-los e

compreendê-los para subsidiar a proposição de estratégias e tomadas de decisão.

1. Com que objetivo são realizados estudos estatísticos de fenômenos naturais,

econômicos e sociais?

2. É correto afirmar que de 2002 a 2012 houve um aumento de aproximadamente

500% no número de pessoas com acesso à internet no Brasil? Por quê?

PESSOAS COM ACESSO

(Casa, trabalho, lan houses

e locais públicos)

14 MILHÕES 83,4 MILHÕES

USUÁRIOS

ATIVOS

(Casa e trabalho)

9,8 MILHÕES 48,3 MILHÕES

COMPUTADORES

EM USO

18 MILHÕES 99 MILHÕES

DOMÍNIOS.BR

REGISTRADOS

400 MIL 3 MILHÕES

FATURAMENTO DO

COMÉRCIO ELETRÔNICO

500 MILHÕES 10 BILHÕES

CELULARES 32 MILHÕES 252 MILHÕES

INTERNET FIXA — 400 VEZES MAIS RÁPIDA

INTERNET MÓVEL — 200 VEZES MAIS RÁPIDA

OS NÚMEROS DE DEZ ANOS DE INTERNET E TELEFONIA

MÓVEL NO BRASIL (Dados do 1º semestre)

Capítulo 1 • Matemática financeira 13

1 Situação inicial

Entre as inúmeras aplicações da Matemática está a de auxiliar na resolução de problemas de ordem fi-

nanceira, como cálculo do valor de prestações, pagamento de impostos, rendimento de poupança e outros.

Por exemplo, uma pessoa vai fazer uma compra no valor de R$ 4 000 , 00 ,

usando o dinheiro que está aplicado em um fundo de investimento que

rende 1 % ao mês. Ela quer saber, do ponto de vista financeiro, qual destes

planos de pagamento é mais vantajoso:

- pagar à vista;

ou

- pagar em duas prestações iguais de R$ 2 005 , 00 , uma delas como entrada e a segunda depois de 1 mês.

« Reúna-se com um colega e tentem resolver esse problema com os conhecimentos que vocês já têm.

Considere que vocês têm R$ 4 000 , 00 e que podem tanto optar por gastar quanto aplicar no fundo de

investimento, tirando o dinheiro necessário para o pagamento das prestações.

Esse problema e outros, que envolvem assuntos de Matemática financeira, serão estudados e resol-

vidos neste capítulo.

2 Porcentagem

No Ensino Fundamental estudamos que a porcentagem é uma forma usada para indicar uma fração de

denominador 100 ou qualquer representação equivalente a ela.

Veja os exemplos:

a) 50 % é o mesmo que

50

100

1

2

ou ou 0 , 50 ou 0 , 5 (metade)

b) 75 % é o mesmo que

75

100

3

4

ou ou^0 ,^75

c) 25 % é o mesmo que

25

100

1

4

ou ou 0 , 25 (um quarto)

d) 5 % é o mesmo que

5

100

1

20

ou ou 0 , 05

Fique atento!

Para calcular 1 % de uma quantia,

basta dividir essa quantia por 100 :

1 % de 5 000

Dam d’Souza/Arquivo da editora

Fique atento!

400 % 4 ; etc.

14 Unidade 1 •^ Matemática financeira e Estatística

Exercícios resolvidos

1. O salário de Felipe é de R$ 2 000 , 00 por mês e o de

Renato corresponde a 85 % do salário de Felipe. Qual

é o salário de Renato?

Resolução:

85 % de R$ 2 000 , 00 :

85

100

17

100

? 2 0002 000 5? 2 000 5 1 700 ou

0 , 85? 2 000 5 1 700 ou

85

100 2000

170 000

1

55 100 55 170 000 5

x

55 ⇒⇒ 1010100000000000 xxx 5511111111117070 000000 ⇒⇒ xxx

0000

O salário de Renato é de R$ 1 700 , 00.

2. Leia esta notícia de jornal:

“Após a redução do IPI (Imposto sobre Produtos

Industrializados) e a queda de até 10 % nos preços,

as vendas de automóveis e comerciais leves (camio-

netes e vans) registraram recorde para o mês de

junho, desde quando os números começaram a ser

medidos, em setembro de 2003.

Segundo fontes do setor, venderam-se 340 , 3 mil

veículos – alta de 24 % em relação a maio e de 18 , 6 %

sobre junho de 2011 .”

Venda de carros não reanima indústria.

Folha de S.Paulo , São Paulo, 3 jul. 2012. p. B 1.

De acordo com essa notícia, quantos veículos foram

vendidos em maio de 2012?

Resolução:

Seja x o número de veículos vendidos em maio de

2012 , temos:

x 1 24 % x 5 340 300 ⇒ x 1

24

100

x 5 340 300 ⇒

⇒ 100 x 1 24 x 5 34 030 000 ⇒ 124 x 5 34 030 000 ⇒

⇒ x 5 274 435

Foram vendidos 274 435 veículos em maio de 2012.

3. Observe esta outra notícia de jornal:

“No Brasil, são 27 milhões de empreendedores, ou

27 % da população adulta, com idade entre 18 e

64 anos. O número é 28 , 5 % maior do que o regis-

trado em 2010.

4 milhões têm negócio com até três meses de ope-

ração; 11 milhões têm negócio entre três meses e

três anos e meio de operação; 12 milhões têm ne-

gócio com mais de três anos e meio de operação.”

ROLLI, Cláudia. 1 em cada 4 adultos tem ou está abrindo um negócio.

Folha de S.Paulo , São Paulo, 3 jul. 2012. p. B 3.

De acordo com essa notícia, responda:

a) De quanto era a população adulta do Brasil

nessa data?

b) Desses 27 milhões de empreendedores, que por-

centagem representa os 12 milhões que tinham

negócio com mais de três anos e meio de operação?

Resolução:

a) 27 % → 27 milhões

100 % → x milhões

27

100

27 000 000

5

x

⇒ 27 x 5 2 700 000 000 ⇒

⇒ x 5 100 000 000

A população adulta era de 100 milhões.

b) 1

a maneira :

?% de 27 000 000 5 12 000 000

12000000 12

27

4

9

44

27000000 100

55 55. 0 440 40 4, 5 5 44%

(aproximadamente)

2

a maneira :

x x

100 27 000 000

27

55 55

xxxxxx^12000000 xxxxxx

100

12

27

555 ⇒⇒ 555 ⇒⇒

⇒ 27272727 xxx xxxxxxxx 1200 xxxxxxxxx. 44

Logo, 44 % de 27 milhões é igual a 12 milhões.

Para refletir

Qual é o valor de 10 % de R$ 8 , 00 e 1 % de R$ 8 , 00?

4. (UFTM-MG) Com a proximidade do evento e com

muitos ingressos disponíveis, um cambista passou

a oferecer um desconto de 50 % sobre o preço de

venda de certo tipo de ingresso. Mesmo dando o

desconto, o cambista ainda obteve um lucro de

40 % sobre o preço de custo (preço de bilheteria)

desse ingresso. Se não tivesse dado o desconto,

mas tivesse, mesmo assim, vendido o ingresso, o

lucro do cambista seria de:

a) 80 %. d) 150 %.

b) 90 %. e) 180 %.

c) 120 %.

Resolução:

Uma estratégia para resolver questões que envol-

vem apenas porcentagem (questões em que não

são apresentados valores fixos) é atribuir um valor

para um dos termos.

Considere que o preço do ingresso na bilheteria

seja R$ 100 , 00. Teremos então:

- Lucro do cambista quando este oferece 50 % de

desconto → R$ 40 , 00

- Valor do ingresso vendido pelo cambista (com

desconto) → R$ 140 , 00

- Valor do ingresso vendido pelo cambista (sem

desconto) → R$ 280 , 00

Portanto, o lucro do cambista ao vender o ingresso

sem desconto é de R$ 180 , 00 ou 180 % do valor da

bilheteria. Alternativa e.

16 Unidade 1 •^ Matemática financeira e Estatística

Leitura

Conceito de inflação: o que é e como se forma?

A inflação é um conceito econômico que representa o aumento persistente e generalizado

do preço de uma cesta de produtos em um país ou região durante um determinado período

de tempo. Se, por exemplo, uma cesta de produtos custa R$ 100 , 00 em julho e passa a ser ven-

dida por R$ 150 , 00 em agosto, verifica-se uma inflação de 50 % no mês. Ela também represen-

ta a queda do poder aquisitivo do dinheiro em relação à elevação dos preços de bens e serviços.

Quando a inflação está em um nível muito baixo, ocorre a estabilização dos preços e, assim,

o valor dos produtos não aumenta.

A inflação já foi o grande drama da economia brasileira, e sempre merece grande atenção

e acompanhamento do governo e da sociedade. A partir dos anos 1980 , vários planos fracas-

saram na tentativa de impedir o seu crescimento, mas, desde 1994 , com a implantação do

Plano Real, ela está relativamente sob controle.

Causas

• Inflação monetária: emissão exagerada e descontrolada de dinheiro por parte do governo.
• Inflação de demanda: demanda nos custos (aumento no consumo) maior do que a capacidade

de produção do país.

• Inflação de custos: aumento nos custos de produção (máquinas, matéria-prima, mão de obra)

dos produtos.

Indicadores

No Brasil, existem vários índices que medem a inflação e são referências. Os principais são:

IGP ou Índice Geral de Preços (calculado pela Fundação Getúlio Vargas), IPC ou Índice de Preços ao

Consumidor (medido pela Fipe – Fundação Instituto de Pesquisas Econômicas), INPC ou Índice

Nacional de Preços ao Consumidor (medido pelo IBGE) e IPCA ou Índice de Preços ao Consumidor

Amplo (também calculado pelo IBGE).

O IPC, por exemplo, considera o consumo de famílias com renda até 33 salários mínimos

que vivem no Rio de Janeiro e em São Paulo. O IGP-M é calculado a partir de outros índices.

O IPCA, de maior abrangência, pesquisa famílias com renda de até 40 salários mínimos em

pelo menos 10 grandes capitais brasileiras. Já o ICV, calculado pelo Dieese, considera apenas

os preços de alimentação, transporte, saúde e habitação praticados na cidade de São Paulo.

Adaptado de: <www.oeconomista.com.br/

inflacao-o-que-e-e-como-se-forma/>. Acesso em: 30 out. 2012.

• A inflação brasileira em 2012 foi de 5 , 84 % (IPCA). Assim, se uma cesta de produtos custava

R$ 100 , 00 em dezembro de 2011 , quanto ela custava em dezembro de 2012?

Ismar Ingber/Pulsar Imagens

Capítulo 1 • Matemática financeira 17

3 Fator de atualizaç‹o

O fator de atualização ( f ) é a razão entre dois valores de

uma grandeza em tempos diferentes (passado, presente ou

futuro). Constitui uma ferramenta importante no trabalho com

Matemática financeira.

Na divisão entre dois valores quaisquer, só existem três resultados possíveis: ou resulta em 1 , ou é maior

do que 1 ou menor do que 1.

Quando o resultado da divisão é 1 , os dois valores são iguais, portanto, nenhum é maior nem menor do

que o outro. Um valor é 100 % do outro. Por isso, diz-se que f 5 1 é o fator neutro.

No caso de a divisão resultar em números maiores do que 1 , como

A

B

5 1 05,, podemos entender o

resultado de duas formas diferentes:

1

a

) A é 5 % maior do que B

ou

2

a ) A é 105 % de B (portanto, 5 % maior)

Ambas as interpretações são corretas e seu uso depende do melhor contexto. No caso de a divisão

resultar em número menor do que 1 , por exemplo

A

B

5 0 90, , também podemos entender o resultado de

duas formas diferentes:

1

a ) A é 10 % menor do que B

ou

2

a

) A é 90 % de B (portanto, 10 % menor)

Também aqui a escolha da melhor interpretação depende do contexto.

Na prática, se a opção for pela primeira interpretação, então precisamos aprender a obter a taxa

percentual i a partir do valor do fator de atualização.

- Se f. 1 , f 5 1 1 i ; portanto, a taxa é i 5 f 2 1 , em números decimais. - Se f , 1 , f 5 1 2 i , portanto, a taxa é i 5 1 2 f , em números decimais.

Assim:

- f 5 1 , 05

i 5 f 2 1 5 0 , 05 ⇒ taxa 5 0 , 05 5

5

100

5 5 % (maior do que...)

- f 5 0 , 90

i 5 1 2 f 5 0 , 10 ⇒ taxa 5 0 , 10 5

10

100

5 10 % (menor do que...)

Aumentos e descontos

Na comparação de dois valores diferentes de uma mesma grandeza, f. 1 significa aumento (ou acrés-

cimo de valor) e f , 1 significa desconto (ou perda de valor), pois o valor da grandeza variou no tempo e o

valor mais antigo é a base de comparação. O fato f 5 1 significa que não ouve variação:

f 5

valor novo

valor velho

f. 1 → aumento

f , 1 → desconto

f 5 1 → não houve variação

Capítulo 1 • Matemática financeira 19

9. Escreva o fator de atualização correspondente a cada

situação:

a) 3 % de aumento

b) 3 % de desconto

c) 15 % de aumento

d) 15 % de desconto

e) 230 % de aumento

f) 3 000 % de aumento

10. Interprete cada fator de atualização, definindo se é

aumento ou desconto e qual o valor da taxa.

a) f
1 , 13

b) f
0 , 70

c) f
2

d) f
0 , 95

e) f
30

11. Avalie o efeito acumulado de cada situação a seguir,

definindo qual é o aumento ou o desconto equivalente.

a) Aumento de 3 % e aumento de 5 %.

b) Aumento de 10 % e desconto de 20 %.

c) Três aumentos de 10 %.

d) Dois aumentos de 6 % e três descontos de 4 %.

12. Investi R$ 11 000 , 00 em um fundo de aplicação de um

banco e hoje, após 3 meses, tenho R$ 11 440 , 00. Qual

foi o rendimento percentual obtido nesse período de

3 meses?

13. O preço de uma camisa passou de R$ 50 , 00 para R$ 59 , 00.

Qual foi o aumento percentual desse preço?

14. Um objeto que custava R$ 70 , 00 teve seu preço au-

mentado em R$ 10 , 50. De quanto por cento foi o au-

mento?

15. Uma mercadoria custava R$ 80 , 00 e seu preço foi rea-

justado (aumentado) em 5 %. Se sobre o novo preço

for dado um desconto de 5 %, ela voltará a custar

R$ 80 , 00? Justifique sua resposta. Calcule os preços

após o aumento e após o desconto.

16.

ATIVIDADE

EM DUPLA

O mesmo modelo de uma geladeira está sen-

do vendido em duas lojas do seguinte modo:

¥ na 1

a

loja, sobre o preço de R$ 800 , 00 há um descon-

to de 8 %;

¥ na 2

a loja, sobre o preço de R$ 820 , 00 há um descon-

to de 10 %.

Qual dessas ofertas é a mais conveniente para o

cliente?

17.

ATIVIDADE

EM DUPLA O Índice Bovespa (Índice da Bolsa de Valores

de São Paulo – Ibovespa) é o mais importante indicador

do desempenho médio das cotações do mercado de

ações brasileiro. Ele indica o retorno financeiro (valo-

rização e lucro) de um valor de 100 pontos teoricamen-

te aplicado em ações em 2 / 1 / 1968. A tabela abaixo

mostra a variação percentual desse índice em 4 anos.

Se o Ibovespa fechou o ano de 2011 com 56 754 pontos,

com quantos pontos ele estava no fim de 2007 (ou

seja, antes de 2008 )?

Ano Variação

Disponível em: <www.bmfbovespa.com.br/indices/

ResumoVariacaoAnual.aspx?Indice=IBOVESPA&idioma=pt-br>.

Acesso em: 30 out. 2012.

18.

ATIVIDADE

EM DUPLA A quantia de R$^1 890 ,^00 foi repartida entre

3 pessoas da seguinte forma: Marta recebeu 80 % da

quantia de Luís, e Sérgio recebeu 90 % da quantia de

Marta. Quanto recebeu cada pessoa?

19.

ATIVIDADE

EM DUPLA

Uma calça teve um aumento de 7 % e pas-

sou a custar R$ 59 , 00. Qual era o preço antes do

aumento?

20.

ATIVIDADE

EM DUPLA

Um posto de gasolina aumentou seus preços

em 5 % em fevereiro e 3 % em janeiro. Se a gasolina custa

agora R$ 2 , 59 , quanto custava antes dos aumentos?

21.

ATIVIDADE

EM DUPLA O fluxo de veículos em determinada rua pas-

sou de 3 por hora para 3 por minuto depois que ela foi

asfaltada. Qual foi o aumento percentual do fluxo de

veículos nessa rua?

22.

ATIVIDADE

EM DUPLA O que você prefere quando vai comprar

algo: receber um único desconto de 55 % ou dois des-

contos sucessivos de 30 %? Justifique do ponto de

vista financeiro.

23.

ATIVIDADE

EM DUPLA

O dólar caiu 3 % em janeiro. Em fevereiro

caiu mais x %. Se no bimestre a queda acumulada foi

de 5 %, de quanto por cento foi a queda do dólar em

fevereiro?

24.

ATIVIDADE

EM DUPLA

Em uma promoção, o preço de um celular

passou de R$ 499 , 00 para R$ 399 , 00. Qual foi o descon-

to nessa promoção?

Exerc’cios

20 Unidade 1 •^ Matem‡tica financeira e Estat’stica

4 Termos importantes de Matem‡tica financeira

Vamos supor que uma pessoa aplique certa quantia ( capital ) em uma caderneta de poupança por de-

terminado período ( tempo ). A aplicação é semelhante a um empréstimo feito no banco. Então, no fim

desse período, essa pessoa recebe uma quantia ( juros ) como compensação. O valor dessa quantia é estabe-

lecido por uma porcentagem ( taxa de juros ).

Ao final da aplicação, a pessoa terá em sua conta a quantia correspondente capital ( C ) mais os juros ( j ),

que é conhecida como montante ( M ), ou seja, M 5 C 1 j.

Veja o exemplo:

Um banco oferece rendimento de 0 , 8 % ao mês. Se uma quantia de R$ 600 , 00 for aplicada nesse banco,

vejamos que quantia o cliente terá em sua conta no fim de 1 mês:

0 , 8 % de 600 5 0 , 008? 600 5 4 , 8

600 , 00 1 4 , 80 5 604 , 80

No fim de 1 mês de aplicação a quantia em depósito será de R$ 604 , 80.

Nesse problema, temos:

Fique atento!

O valor de uma quantia

depende da época à qual

ela se refere. Por exemplo,

R$ 100 , 00 hoje

provavelmente valem

mais do que R$ 100 , 00

daqui a um ano.

- 0 , 8 % ao mês: taxa de juros ( i ) - R$ 600 , 00 : capital ( C ) ou principal - 1 mês: tempo ( t ) - j 5 C? i - R$ 4 , 80 : juros ( j ) - M 5 C 1 j - R$ 604 , 80 : montante ( M ) - unidade monetária ( UM ): real

Juros simples

Se um capital C é aplicado durante t unidades de tempo e a taxa i %

de juros por unidades de tempo incide apenas sobre o capital inicial,

os juros j são chamados juros simples:

j 5 i? C : juros obtidos no fim de 1 período

j 5 ( i? C ) t : juros obtidos no fim de t períodos

9. Parcelar ou não?

Muitas vezes o comprador possui o dinheiro para

pagar à vista, mas escolhe a prazo.

Nesses casos, é comum que sejam cobrados juros

que encarecem o produto.

Acompanhe a situação:

Cícero é um chefe de família que decide comprar

um berço para seu filho João Gabriel. A loja oferece

dois planos de pagamento:

I. À vista por R$ 500 , 00.

II. Em duas parcelas iguais de R$ 300 , 00 , sendo a

primeira no ato da compra e a segunda um mês

após a compra.

Caso Cícero opte pelo pagamento a prazo, qual a

taxa mensal de juros que ele pagará?

a) 20 % b) 25 % c) 35 % d) 40 % e) 50 %

Resolução:

A 1

a prestação (na compra parcelada) é paga no ato da

compra e, dessa forma, não incidem juros sobre ela.

Preço à vista: R$ 500 , 00 (esse é o valor da merca-

doria sem juros)

Preço a prazo: R$ 600 , 00 5 R$ 300 , 00 1 R$ 300 , 00

Após pagar a 1

a

parcela, à vista, o valor que o cliente

estará devendo é:

R$ 500 , 00 2 R$ 300 , 00 5 R$ 200 , 00

Se optar por efetuar o pagamento da 2

a parcela após

1 mês, terá de pagar R$ 300 , 00 (e não R$ 200 , 00 ); logo,

os juros cobrados serão

300 200

200

00 22

5 0 , 50 5 50 %

ao mês.

Ou ainda j 5 C? i? t , em que j 5 100 , C 5 200 e t 5 1.

100 5 200? i? 1 ⇒ i 5 0 , 5 5 50 % ao mês.

Portanto, alternativa e.

Exerc’cio resolvido

Voc• sabia?

Na internet, pode-se acessar uma

calculadora financeira on-line em

<www.webcalc.com.br/financas/

calc_fin.html>. Acesso em: 30 out. 2012.

Assim, as fórmulas são j 5 C? i? t e M 5 C 1 j , embora não sejam necessárias. Evite depender delas.