Contexto e Aplicações Dante - vol 2, Notas de estudo de Geometria

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Diretoria editorial e de conteúdo: Angélica Pizzutto Pozzani

Gerência de produção editorial: Hélia de Jesus Gonsaga

Editoria de Matemática, Ciências da Natureza e suas Tecnologias:

Cármen Matricardi

Editores: Cibeli Chibante Bueno; Letícia Mancini Martins,

Luiz Paulo Gati de Cerqueira Cesar e Marcela Pontes (estags.)

Supervisão de arte e produção: Sérgio Yutaka

Editor de arte: André Gomes Vitale

Diagramação: Casa de Tipos

Supervisão de criação: Didier Moraes

Editora de arte e criação: Andréa Dellamagna

Design gráfico: Ulhôa Cintra Comunicação Visual

e Arquitetura (miolo e capa)

Revisão: Rosângela Muricy (coord.) , Claudia Virgilio (prep.) ,

Ana Paula Chabaribery Malfa, Arnaldo R. Arruda,

Luís Maurício Bôa Nova e Gabriela Macedo de Andrade (estag.)

Supervisão de iconografia: Sílvio Kligin

Pesquisadora iconográfica: Claudia Bertolazzi

Cartografia: Allmaps, Juliana Medeiros de Albuquerque

e Márcio Santos de Souza

Tratamento de imagem: Cesar Wolf e Fernanda Crevin

Foto da capa: Gloria H. Chomica/Masterfile/Other Images

Ilustrações: Dam d’Souza, Fabio Eugenio, Formato Comunicação

e Paulo Manzi (aberturas das unidades)

Direitos desta edição cedidos à Editora Ática S.A.

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o

andar e andar intermediário ala A

Freguesia do Ó – CEP 02909-900 – São Paulo – SP

Tel.: 4003-

www.atica.com.br/editora@atica.com.br

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)

(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)

Dante, Luiz Roberto

Matemática : contexto & aplicações / Luiz Roberto

Dante. – 2. ed. – São Paulo : Ática, 2013.

Obra em 3 v.

1. Matemática (Ensino médio) I. Título.

13–03268 CDD–510.

Índice para catálogo sistemático:

1. Matemática: Ensino médio 510.

ISBN 978 8508 16301-4 (AL)

ISBN 978 8508 16302-1 (PR)

Código da obra CL 712767

Uma publicação

Versão digital

Diretoria de tecnologia de educação: Ana Teresa Ralston

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Luiz Fernando Caprioli Pedroso

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Editores de tecnologia de educação: Cristiane Buranello e Juliano Reginato

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Drielly Galvão Sales da Silva, José Victor de Abreu e

Michelle Yara Urcci Gonçalves

Assistentes de produção de tecnologia de educação: Alexandre Marques,

Gabriel Kujawski Japiassu, João Daniel Martins Bueno, Paula Pelisson Petri,

Rodrigo Ferreira Silva e Saulo André Moura Ladeira

Desenvolvimento dos objetos digitais: Agência GR8, Atômica Studio,

Cricket Design, Daccord e Mídias Educativas

Desenvolvimento do livro digital: Digital Pages

2

Cada volume da coleção é

dividido em quatro unidades

nas quais você encontrará os

seguintes boxes e seções:

O coração bate sistematicamente em intervalos regulares bombeando sangue pelas artérias. O sangue, ao circular, exerce uma pressão sobre as paredes arteriais.

O gráfico a seguir, da pressão ( P ) em função do tempo ( t ), representa uma investigação desse tipo, na qual se analisa a situação clínica de um paciente. Nele pode-se observar que ocorre um ciclo completo a cada ç,75 segundo e que cada ciclo corresponde a um batimento cardíaco.

Muitos fenômenos físicos e sociais de comportamento cíclico podem ser modelados com auxílio de funções trigonométricas, como a pressão sanguínea, por exemplo.

Usando a função cosseno para modelar a regularidade, os dados contidos no gráfico podem ser expressos por meio da lei:

f ( t ) = 1çç – 2ç. cos(áçç t

f ( x )

x

Africa Studio/Shutterstock/Glow Images

A variação da pressão nas paredes dos vasos sanguíneos de um indivíduo (medida em mmHg: milímetros de mercúrio), em função do instante de coleta dessa medida, é verificada por meio de um aparelho chamado esfigmomanômetro.

UNIDADE

1

Trigonometria

1. Que característica comum têm os fenômenos que podem ser modelados **por meio de funções trigonométricas?

2. O que representa cada ciclo do gráfico da pressão sanguínea?**

Algumas vezes deparamos com plantas de terrenos em que há a re- presentação de lagos ou de montanhas com todas as medidas indicadas sem que nos ocorra pensar em como essas medidas teriam sido obtidas. A Topografia é a área da Engenharia que trata de situações como esta: medições que determinam a forma e a posição de elementos do relevo, com base em relações estabelecidas pela Trigonometria. Para isso, utiliza-se o teodolito, um instrumento de observação que ajuda a calcular distâncias difíceis de serem medidas, a partir de medidas de triângulos que podem ser determinados nos terrenos.

O conhecimento das relações entre lados e ângulos desses triângu- los é fundamental para o topógrafo, pois se ele conhecer três das seis medidas de lados e ângulos de um triângulo poderá calcular as demais. Até a descoberta dessas relações, problemas que envolvessem triân- gulos eram geralmente resolvidos com o que se sabia das relações no triângulo retângulo, mas a prática mostrou que isso era insuficiente ou tornava os cálculos muito trabalhosos. A determinação das medidas dos ângulos e dos comprimentos dos lados de um triângulo qualquer, sem recorrer aos triângulos retângulos, foi possí- vel com a evolução da Trigonometria. As relações, chamadas lei dos senos e lei dos cossenos , trouxeram ferramentas fundamentais para os problemas que envolviam esses triângulos. Vamos estudá-las neste capítulo.

Marcus Lyon/Getty Images

Engenheiro usando teodolito.

1

CAPÍTULO

Trigonometria:

resolução de

triângulos quaisquer

Capítulo 2 • Conceitos trigonométricos básicos 33

1. Escreva a expressão geral dos arcos côngruos aos arcos de: a) 45 °; b) 3 4

(^) rad.

Resolução: a) expressão geral:  k  360 °  45 ° 45 °  k  360 °, com k [ Z b) expressão geral: x  2 k
x  3 4

(^) rad

3 4

 2 k
, com k [ Z

2. Qual é o menor arco não negativo côngruo ao arco de 1 320 °, ou seja, qual é a 1 a^ determinação positiva do arco de 1 320 °? Resolução: Devemos obter o menor valor não negativo de tal que  k  360 °  1 320 °, com k [ Z. Então: 1 320 360 240 3

k

Logo, o arco pedido mede 240 °. Fique atento! Neste exercício dizemos que 240 ° é a 1 · determinação positiva de 1 320 ° ou que 1 320 ° foi reduzido à 1 · volta.

b) O que se pede? Pede-se ao aluno que determine quantas voltas o atleta gira quando faz a manobra denomina- da “ 900 ” no skate vertical. 2. Planejando a solução Sabendo que uma volta completa equivale a um giro de 360 °, basta determinarmos quantas voltas equivalem a 900 °. Isso pode ser feito de várias maneiras: descobrin- do-se quantas vezes o 360 ° “cabe” em 900 °; usando-se proporção; etc. 3. Executando o que foi planejado

- Chamando de x o número de vezes que 360 º “ca- be” em 900 º, temos: 360 x  900 ⇒ x  900 360

Portanto, são duas voltas e meia.

- Usando proporção, e chamando de x o número de voltas que equivale a 900 º, temos: x (^) x 900

Note que isso equivale a usar a chamada “regra de três”. 4. Emitindo a resposta A resposta é a alternativa d. 5. Ampliando o problema a) Muitas outras manobras do skate vertical (ram- pa em forma de U) têm no nome números que indicam a rotação em graus do atleta. Uma manobra como “ 180 ollie frontside ” consiste em um giro de meia-volta no ar quando o atleta sai da rampa, voltando para ela com o skate já na nova posição. Considerando apenas o nome das manobras abaixo, descreva o número de voltas do giro do atleta em cada uma delas: I. Fakie 360 II. 540 McTwist III. 720 McHawk b) Discussão em equipe Skatismo é ou não é esporte? Há quem de- fenda uma e outra posição. Já quiseram até mesmo incluir essa atividade em olimpíadas. Alguns dos maiores nomes do skatismo mun- dial dizem que “skatismo não é esporte, é estilo de vida”. Mas é considerado também um “esporte radical” e participa dos X-Games , a “olimpíada dos esportes radicais”. Converse com seus colegas e dê sua opinião. c) Pesquisa Quem foi o primeiro a executar o “ 900 ”? Quando e onde isso aconteceu?

x

«Resolvido passo a passo

3. (Enem) Nos X-Games Brasil , em maio de 2004 , o skatista brasileiro Sandro Dias, apelidado “Minei- rinho”, conseguiu realizar a manobra denominada “ 900 ”, na modalidade skate vertical, tornando-se o segundo atleta no mundo a conseguir esse feito. A denominação “ 900 ” refere-se ao número de graus que o atleta gira no ar em torno de seu pró- prio corpo, que, no caso, corresponde a: a) uma volta completa. b) uma volta e meia. c) duas voltas completas. d) duas voltas e meia. e) cinco voltas completas.

1. Lendo e compreendendo a) O que é dado no problema? É explicado que a denominação “ 900 ”, na manobra do skate vertical, se refere ao número de graus que o atleta gira em tor- no do seu próprio corpo.

Para refletir Qual é o significado de um nœmero não negativo?

«passo a passo: exercício 3

Exercícios resolvidos

Exercício resolvido

passo a passo

Apresenta a resolução detalhada de

uma questão ou um problema. Não

são modelos a serem seguidos, mas

visam inspirar e indicar estratégias

de resolução.

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Para refletir,

Fique atento!

e Você sabia?

Pequenos boxes que trazem questões para

reflexão ou dicas importantes para o estudo.

Exercícios

Essenciais para a aprendizagem. Ajudam a

fixar e aprofundar os conteúdos estudados.

169

Capítulo 8 • Geometria espacial de posição: uma abordagem intuitiva

(^8) Paralelismo no espaço Retomando o que vimos até agora sobre paralelismo no espaço, temos:

- Duas retas distintas são paralelas quando, e somente quando, são coplanares e não têm ponto comum. - Dois planos distintos são paralelos quando, e somente quando, não têm ponto comum. - Uma reta e um plano que não a contenha são paralelos quando, e somente quando, não têm ponto comum.

É preciso estar atento a certos fatos relativos ao paralelismo. Veja alguns: 1 o) Podemos ter, em dois planos paralelos, retas que não sejam paralelas. Por exemplo, no paralelepípedo a seguir os planos paralelos; entretanto, as retas ABCD e EFGH são paralelas e sim reversas. Veja:^ , AB -^ e^ ,^ FH - pertencentes a eles não são

A (^) D

H

C

F G

B

E

a

b

r

s

a / b , r está em a s está em b r e s não são paralelas r e s são reversas 2 o) Podemos ter retas paralelas contidas em dois planos que não sejam paralelos. Por exemplo, no paralelepípedo abaixo, as retas lelas. A reta AB está no plano , AB - e , GH - são para- ABCD e a reta GH está no plano que se intersectam segundo a reta CDHG , CD. A

B

F (^) G

C

E

D

H a b

r s

r / s , r está em b s está em a a e b não são paralelos

Para refletir ¥ Que posi•›es relativas podem ter duas retas distintas que n‹o s‹o paralelas? ¥ O que acontece com dois planos distintos quando n‹o s‹o paralelos? ¥ Que posi•›es relativas podem ter uma reta e um plano quando n‹o s‹o paralelos?

Você sabia? Na cadeira de praia abaixo, o encosto e o assento podem ser vistos como partes de planos secantes; as ripas de madeira podem ser vistas como retas paralelas entre si.

Elsar/Shutterstock/Glow Images

Exercício

14. Indique se são verdadeiras ( a) Se dois planos são paralelos, qualquer reta de um deles é paralela a qualquer reta do outro. V ) ou falsas ( F ) as afirmações: b) Se dois planos são paralelos, qualquer reta que intersecta um deles intersecta o outro. c) Se dois planos distintos são paralelos, qualquer reta de um deles é paralela ao outro. d) Dois planos paralelos a uma reta são paralelos entre si. e) Uma reta r não está contida em um plano a e é tal que r / a. Então, existe uma reta s , contida em a , tal que s / r.

f) Se um plano intersecta dois planos paralelos, então as intersecções são retas paralelas.

Capítulo 8 • Geometria espacial de posição: uma abordagem intuitiva

11 Dist‰ncias

Distância entre dois pontos

Dados dois pontos distintos,^ A^ e^ B , a dist‰ncia entre

A e^ B^ Ž a medida do segmento

AB.

A

B

Se A e B coincidem, dizemos que a dist‰ncia entre

A e B Ž zero. A B

Distância de um ponto a uma reta

Dados um ponto^ P^ e uma reta^

r , podemos tra•ar uma reta que passa por

P e Ž perpendicular a^ r

no ponto A. A dist‰ncia do ponto^ P^ ˆ reta^ r

Ž a dist‰ncia entre os pontos^ P^ e^ A.

P

A

r

Distância de um ponto a um plano

Dados um ponto^ P^ e um plano^ a

, podemos determinar^ P^9 , que Ž a proje•‹o ortogonal de

P sobre^ a^.

A dist‰ncia do ponto^ P^ ao plano

a Ž a dist‰ncia entre os pontos^ P^ e^ P^9.

a

P

P 9

Distância entre duas retas distintas e paralelas

Dadas as retas^ r^ e^ s , distintas e paralelas, a dist‰ncia entre

r e s Ž a dist‰ncia de qualquer ponto

de uma delas ˆ outra reta. A

B

r

s

Se duas retas s‹o coincidentes (paralelas iguais), a dist‰ncia entre elas Ž zero.

Fique atento! Quando se diz que a distância entre A e B é AB , subentende-se que é a medida de^ AB.

Para refletir Em que condições a distância entre P e r é igual a zero?

Para refletir Qual é a distância entre^ P^ e^ a^ , quando P [ a?

Fique atento! Não se pode definir distância entre duas retas concorrentes.

52 Unidade 1 • Trigonometria

Matemática

tecnologia

e

Gráfico de funções trigonométricas no computador

Agora, vamos aprender, ou relembrar, como construir gráficos de funções quadráticas usando o software livre Geogebra. Trata-se de um software matemático, criado por Markus Hohenwarter, que reúne Álgebra e Geo- metria. Ele pode ser utilizado em todos os níveis de ensino e já recebeu diversos prêmios na Europa e nos Estados Unidos. A instalação desse software é simples:

- Acesse o site <www.geogebra.org/cms/pt_BR> e clique em “Download”; - Clique em “Webstart”, faça o download e siga os passos automáticos de instalação do programa. Depois disso, você já pode usá-lo. Ao abrir o programa, você verá a seguinte tela:

barra de menu

entrada de comando

barra de ferramentas

zona algébrica zona gráfica

Fotos: Reprodução/<www.geogebra.org>

Depois de ter o programa instalado, faça os exercícios a seguir.

1. Construa o gráfico das funções f ( x ) 5 sen x e g ( x ) 5 cos x , como a seguir. Para isso siga os passos: 1 o^ passo : No campo “Entrada” (situa- do na parte inferior da tela) insira a função: f ( x ) 5 sin x e tecle “Enter”. Em se- guida, no mesmo campo digite g ( x ) 5 cos x e tecle “Enter”. Obser- ve que f(x ) 5 sin x é o mesmo que f ( x ) 5 sen x. 2 o^ passo : Para melhorar a visuali- zação, clique com o botão direito do mouse sobre o gráfico da fun- ção seno e abrirá uma aba com a opção “Propriedades...”; clique so- bre ela. Assim, abrirá uma janela com várias opções; clique na aba “Cor” e escolha uma nova cor para o seu gráfico. Em seguida, clique na aba “Estilo” e coloque a espessura da linha igual a 5. Feche a janela e observe que o gráfico ficou destacado. Faça o mesmo com a função cosseno.

Matemática

e tecnologia

Sugestões de atividades em que o

computador é utilizado para visualizar

e manipular gráficos e tabelas. Uma

oportunidade de trabalhar com a

Matemática dinâmica.

Abertura de unidade

Duas páginas que proporcionam

o primeiro contato com um

dos assuntos que será abordado

na unidade.

Abertura de capítulo

Texto introdutório com o objetivo

de apresentar, por meio de uma

situação real ou um contexto histórico,

o conteúdo que será estudado no

capítulo.

4

Aten•‹o! Ainda que seja pedido

ÒAssinaleÓ, ÒIndiqueÓ, etc.

em algumas quest›es, nunca

escreva no livro. D• todas as

respostas no caderno.

Objeto Educacional Digital

Este ’cone indica Objetos Educacionais

Digitais relacionados aos conteœdos

do livro.

ATEN‚ÌO!

Não escreva no

seu livro!

O mundo na

palma das mãos

Durante séculos, os astros e a Matemática foram os instrumentos que permitiram ao ser humano desenhar mapas para se localizar no planeta. Hoje, quando o pla- neta é visto de cima pelos satélites, seus contornos não têm mais segredo. Antes mesmo de começar a escrever, é provável que as pessoas das primeiras civilizações rabiscassem re- presentações gráficas dos lugares por onde passavam. O mapa mais antigo de que se tem notícia é de origem babilônica. Trata-se de um tablete de argila cozido e que contém a representação de duas cadeias de mon- tanhas e, no centro delas, um rio, provavelmente o Eufrates. Por mais de vinte séculos, o ser humano olhou para o céu para calcular dist‰ncias e representá-las nos mapas. Hoje faz o inverso: vai para o espaço e de lá consegue imagens do planeta com uma precisão inalcançável pa- ra quem tem os pés na Terra. No Egito, essa prática começou cedo. Os egípcios já conheciam a triangulação, uma técnica para determinar dist‰ncias baseada na Matemática, que seria depois usa- da por muitos outros povos. A triangulação utiliza um princípio da Trigonometria: se um lado e dois ‰ngulos de um tri‰ngulo são conhecidos, é possível calcular o ter- ceiro ‰ngulo e os outros dois lados. Determinava-se, en- tão, uma base para se chegar ˆs dist‰ncias desejadas. A medição de terras era quase vital para os fara—s e sacer- dotes, já que seus incontáveis gastos eram garantidos basicamente pelos impostos cobrados sobre a terra, pagos em cereais. Mas quem achou o mapa do tesouro da Cartografia foram os gregos. ÒEles foram o primeiro povo a ter uma base científica de observaçãoÓ, conta a cart—grafa Re- gina Vasconcelos, professora da Universidade de São Paulo e membro da Associação Cartográfica Interna- cional. ÒA princípio, os gregos acreditavam ser a Terra um disco achatado.Ó Seus primeiros mapas-mœndi, como o de Anaximandro de Mileto ( 610 a.C.- 546 a.C.), eram representados por um círculo onde um oceano circundava os três continentes conhecidos: Europa, çsia e çfrica.

Sheila

Terry/Science Photo Library/Latinstock

Mapa da Terra baseado nos mitos e conhecimentos dos antigos gregos na Žpoca de Homero ( 1 o e 2 o mil•nios antes de Cristo).

Ainda no século VI a.C., a escola de Pitágoras apresentou uma Terra esférica. Essa suposição tinha base em observações práticas, como a sombra projetada por um eclipse, e considerações filos—ficas, como o fato de a esfera ser a forma geomé- trica mais perfeita. Coube ao fil—sofo e astrônomo Erast—stenes ( 276 a.C.- 194 a.C.) a tarefa de medir a circunferência da Terra. Também conhecedor de Matemática, Erast—stenes usou a Trigonometria em seus cálculos. Ele observou que nos dias 20 e 21 de junho o ‰ngulo que os raios do Sol faziam com a superfície da Terra na cidade de Siena (hoje Assuã) era de 90 ¡. Nos mesmos dias, esse ‰ngulo era de 7 ¡ para a cidade de Alexandria. Por meio de relatos de viajantes, Erast—stenes sabia que a dist‰ncia entre as duas cidades era de cerca de 5 000 estádios, ou 206 250 metros. Mais uma vez usando Trigonome- tria, ele foi capaz de calcular a circunferência da Terra. Chegou ao resultado de 45 000 quilômetros. Uma precisão razoável, já que o valor real é de 40 076 quilômetros. Posidônio ( 135 a.C.- 51 a.C.), um século mais tarde, utilizou a dist‰ncia entre Rodes e Alexandria e a altura da estrela Canopus para fazer o mesmo cálculo, chegando ao resultado de 29 000 quilômetros. Provavelmente, foi esse o cálculo adotado por Crist—vão Colombo, quinze séculos mais tarde, fazendo-o acreditar, pelo tempo de viagem, que havia chegado ˆs êndias. O sistema de coordenadas geográficas latitude e longitude também é um lega- do dos gregos, graças, mais uma vez, ˆ Matemática, e também ˆs observações de fenômenos celestes. Adaptado de: LUCêRIO, Ivonete D.; HEYMANN, Gisela.Disponível em: <http://super.abril.com.br/tecnologia/localizacao- Superinteressante. terra-mundo-palma-maos- 440278 .shtml>; <http://www.algosobre.com.br/ geografia/cartografia.html>. Acesso em: 7 dez. 2012.

Trabalhando com o texto

1. Na época de Erastóstenes não existiam instrumentos de medição precisos, por isso ele cometeu um erro ao calcular que a circunferência da Terra era de 45 000 km. Conside- rando que a circunferência da Terra é de 40 000 km, qual foi o percentual de erro de Erastóstenes?

Pesquisando e discutindo

2. Quem foi Claudius Ptolomeu e qual foi a sua importância no desenvolvimento da Cartografia?
3. Em que período histórico a Cartografia teve maior relevância? Como é, atualmente, o tra- balho do cartógrafo? E qual a importância dessa profissão?
4. Em um mapa da sua cidade, localize diversos pontos importantes como escolas, univer- sidades, hospitais. Depois, compare com mapas feitos por colegas de classe.

Veja mais sobre o assunto

Procure mais informa•›es em jornais, revistas e nos sites :

- Cartografia: <www.cartografia.org.br> e <www.suapesquisa.com/grandesnavegacoes>. - Artigo: Equador, paralelos e meridianos: apenas linhas imagin‡rias?: <www.ufrrj.br/ emanped/paginas/conteudo_producoes/docs_ 27 /equador.pdf>. Acessos em: 7 dez. 2012.

Outros

contextos

24 Unidade 1 • Trigonometria Capítulo 1 • Trigonometria: resolução de triângulos quaisquer 25

SatŽlite.

Neo Edmund/Shutterstock/Glow Images

Mapa babil™nico. Não se sabe, ao certo, a sua idade. Calculam os estudiosos que tenha entre 2400 e 2200 anos antes da Era Cristã.

Erich Lessing/Album/Latinstock

Vestibulares de Norte a Sul

Unidade 3 • Geometria plana e espacial Capítulo 10 • Corpos redondos

Região Norte

1. (Ufam) Observe a figura ao lado: Nessa figura, o quadrado ABCD tem área igual a 4 , o triângulo BPQ é equilátero, e os pontos P e Q pertencem, respecti- vamente, aos lados CD e AD. Assim sendo, a área do triân- gulo ABQ é: a) 4 2 3. c) 4 2 2 3. e) 2 12 3.

b) 4 12 3. d) 4 1 3.

2. (Ufam) Considere as afirmações: I. Duas retas no espaço, paralelas a uma terceira, são paralelas entre si. II. Um plano a, perpendicular a uma reta de um pla- no b, é paralelo a b. III. Dois planos perpendiculares à mesma reta são paralelos. Então: a) Todas são falsas. d) Somente I é falsa. b) Todas são verdadeiras. e) Somente III é falsa. c) Somente II é falsa. 3. (Ufac) Um depósito de água tem base quadrada e laterais perpendiculares à base. Quando se adicio- nam 500 ¯ de água ao depósito, a altura da água sobe 10 cm. Dado que a altura do depósito mede 2 m, sua capacidade em m^3 é igual a: a) 8. b) 5. c) 10. d) 0 , 5. e) 1.

Região Nordeste

4. (UFC-CE) Na figura ao lado, a razão entre o perímetro da re- gião hachurada e o perímetro da circunferência é: ( O é o cen- tro da circunferência.) a) 1 3 . d) p 1 p

b) p 1 p

. e) 2.

c) p 4

5. (UFPB) Assinale a alternativa cuja proposição é sem- pre verdadeira. a) A projeção ortogonal de uma reta num plano é uma reta. b) Duas retas distintas que não têm ponto comum são paralelas.

O

c) Se dois planos distintos são paralelos, então toda reta de um é paralela a qualquer reta do outro. d) Se duas retas são ortogonais, então existe um úni- co plano que passa por uma delas e é perpendicular à outra. e) Dois planos secantes são perpendiculares.

6. (UFMA) O volume do sólido gerado pela rotação da figura plana ABCD , abaixo, em torno do eixo z é: a) 532 p m^3. c) 704 p m^3. e) 725 p m^3. b) 360 p m^3. d) 680 p m^3.

8 m 3 m

15 m

A B

D

C

z

Região Centro-Oeste

7. (UFMS) Uma sequência de quatro quadrados foi cons- truída, na ordem do maior para o menor, de forma que um quadrado está circuns- crito na circunferência na qual o quadrado seguinte está inscrito e assim suces- sivamente, como ilustrado na figura ao lado: Sabendo-se que a área do menor quadrado mede 4 m^2 , então a área total destacada em azul mede: (Use p 5 3 , para obter o valor procurado final.) a) 16 m^2. b) 14 m^2. c) 12 m^2. d) 10 m^2. e) 8 m^2. 8. (UEG-GO) Observe e classifique as afirmações abaixo como sendo verdadeiras ou falsas: I. Se um plano intercepta dois outros planos parale- los, então as intersecções são retas paralelas. II. Se dois planos são paralelos, qualquer reta de um deles é paralela a qualquer reta do outro. III. Se uma reta é paralela a dois planos, então esses planos são paralelos. IV. Se dois planos são paralelos, uma reta de um deles pode ser reversa a uma reta do outro. Marque a alternativa correta: a) Apenas as afirmações I e II são verdadeiras. b) Apenas as afirmações I e III são verdadeiras. c) Apenas as afirmações I e IV são verdadeiras. d) Apenas as afirmações II e IV são verdadeiras. e) Apenas as afirmações III e IV são verdadeiras. 9. (UFMT) Considere um cilindro circular reto de períme- tro da base 16 p cm inscrito em um cubo que, por sua vez, está inscrito em uma esfera. Determine a área da superfície dessa esfera.

Região Sudeste

10. (UFV-MG) De um piso quadrado de 34 cm de lado recortam-se pequenos triângulos retângulos isósceles de cateto x , de modo a obter um piso em forma de octógono regular, conforme ilustra a figura abaixo. Considere 2 5 1 , 4.

x x a) Determine o valor de x. b) Calcule a área de um dos triângulos recortados. c) Calcule a área do octógono.

11. (Fatec-SP) Na figura a seguir tem-se: o plano a defini- do pelas retas c e d , perpendiculares entre si; a reta b , perpendicular a a em A , com A [ c ; o ponto B , inter- secção de c e d.

A

a

B

b

d c

Se X é um ponto de b , X ” a, então a reta s , definida por X e B : a) é paralela à reta c. b) é paralela à reta b. c) está contida no plano a. d) é perpendicular à reta d. e) é perpendicular à reta b.

12. (UFRRJ) Observe o bloco retangular da figura 1 , de vidro totalmente fechado com água dentro. Virando-o, como mostra a figura 2 , podemos afirmar que o valor de x é: a) 12 cm. c) 10 cm. e) 6 cm. b) 11 cm. d) 5 cm.

Figura 2

x cm 40 cm

10 cm Figura 1 20 cm

6 cm

40 cm

10 cm

20 cm

Região Sul

13. (PUC-RS) Um jardim de forma retangular com me- didas 6 m 3 8 m possui dois canteiros em forma de triângulos isósceles e um passeio no centro, co- mo na figura ao lado. A área do passeio, em metros quadrados, é: a) 64. c) 24. e) 2. b) 36. d) 12. 14. (UEL-PR) As retas r e s foram obtidas prolongando-se duas arestas de um cubo, como está representado na figura ao lado: Sobre a situação dada, assi- nale a afirmação incorreta. a) r e s são retas paralelas. b) r e s são retas reversas. c) r e s são retas ortogonais. d) Não existe plano contendo r e s. e) r > s 5 [ 15. (PUC-RS) A representação geométrica da função que calcula o volume de uma esfera de raio x é:

a)

x

y

d)

x

y

b)

x

y e)

x

y

c)

x

y

s

r

A

B C

Q D

P

Outros contextos

Temas relevantes e atuais que tratam de situações práticas,

articulando a Matemática com outras disciplinas e com temas como

saúde, sociedade, meio ambiente entre outros.

Vestibulares de Norte a Sul

Questões de vestibulares, de todas as regiões geográficas do Brasil,

relacionadas aos conteúdos estudados.

Pensando

no Enem

Atividades

contextualizadas que

visam ao desenvolvimento

das competências e

habilidades previstas na

Matriz do Enem.

Caiu no Enem

Questões extraídas do

Enem classificadas de

acordo com as unidades.

214 Unidade 3^ •^ Geometria plana e espacial

Leitura

Platão e seus poliedros

Filósofo grego, Platão foi discípulo de Sócrates. Nasceu em Atenas em 427 a.C. e morreu em 347 a.C., com 80 anos de idade. Fundou uma escola em Atenas, no ano de 386 a.C., a “Academia”, onde transmitia seus ensinamentos aos seus discípulos. Via nos filósofos-governantes a solução para os problemas políticos. Suas obras são conhecidas como Diálogos , pois retratavam diálogos (reais e imaginários) entre Sócrates e outras pessoas, que focavam principalmente a política e a moral. Os Diálogos de Platão estão entre as maiores obras literárias do mundo, sendo conside- rados por muitos verdadeiras obras de arte. O mais importante diálogo de Platão é a República , sendo também um dos mais longos. Nesse diálogo, Platão enfoca a Política, a Educação, a Arte, a Poesia e a Filosofia pura, ocupando- -se principalmente da natureza da justiça. É uma visão geral de toda a filosofia de Platão e é nele que está a famosa “Alegoria da caverna”. Platão defendia o quadrivium , os quatro campos da Matemá- tica no estudo das artes liberais, que compreendia a Aritmética, a Geometria plana, a Geometria espacial e a Astronomia. Acredita- va que a busca da compreensão das coisas levava à pureza do co- nhecimento. Na porta de sua academia, Platão escreveu “Que não entre aqui aquele que ignore a Geometria ”. No diálogo Timeu ( 350 a.C.), Platão apresentou um estudo do Universo, que para ele consistia em formas; em objetos particulares; em Deus, o artesão; em espaço absoluto e em matéria bruta. Platão acreditava que tudo era composto de terra, ar, fogo e água, e que a cada um desses elementos correspondia um poliedro regular – que já era conhecido dos gregos. Platão associou à terra o hexaedro (mais especificamente, o cubo) por causa da sua “estabilidade”; ao fogo, o tetraedro; ao ar, o octaedro; e à agua, o icosaedro, por serem sólidos constituídos de triângulos, para ele a unidade básica de todas as coisas. O dodecaedro representava o elemento do qual o Universo seria feito. Leia, a seguir, um trecho do Timeu : Devemos prosseguir distribuindo as figuras cujas origens acabamos de descrever pelo fogo, terra, água e ar. Atribuímos o cubo à terra, uma vez que é o mais imóvel dos quatro corpos e o que tem a forma mais estável, sendo estas características que deve possuir a figura com as formas mais estáveis. [...] Mantemos assim o nosso princípio de verossimilhança atribuindo o cubo à terra e, de forma semelhante, atribuímos à água a menos móvel das outras figuras, a mais móvel ao fogo e a intermédia ao ar. E de novo atribuímos a menor figura ao fogo, a maior à água, a intermédia ao ar; a mais cortante ao fogo, a segunda mais cortante ao ar e a menos cortante à água. Re- sumindo, a figura que tem o menor número de faces deverá ser, pela natureza das coisas, a mais móvel, assim como a mais cortante e a mais penetrante e, finalmente, sendo composta pelo menor número de partes semelhantes, a mais leve. A nossa segunda figura será a segunda em todas essas características, e a nossa terceira será a terceira. Deste modo, a lógica e a veros- similhança exigem que olhemos a pirâmide como a figura sólida que é a unidade básica ou a semente do fogo; e podemos olhar a segunda das figuras que construímos (o octaedro) como a unidade básica do ar, a terceira (icosaedro) a da água. Adaptado de: MAGEE, Bryan. História da Filosofia. S‹o Paulo: Loyola, 1999_._

Richard Nowitz/National Geographic Creative/Getty Images

Est‡tua de Plat‹o ( 427 a.C.- 347 a.C.) na Academia de Atenas, GrŽcia.

Leitura(s)

Textos que visam ampliar e

enriquecer o conteúdo estudado

no capítulo.

Um pouco mais...

Textos e exercícios que ajudam a

aprofundar o conteúdo do capítulo.

Capítulo 6 • Sistemas lineares 125

Um pouco

mais...

Programa•‹o linear e a otimiza•‹o de fun•›es

As equa•›es e inequa•›es lineares, bem como os sistemas de equa•›es e inequa•›es simult‰neas, s‹o bastante œteis na resolu•‹o de problemas de economia, transporte, alimenta•‹o (dietas), etc. Em problemas como esses Ž comum precisarmos saber os valores m‡ximo ou m’nimo de uma fun•‹o cujas vari‡veis est‹o sujeitas a certas desigualdades. Em muitos deles a fun•‹o que se quer otimizar (ou seja, da qual se quer encontrar o m‡ximo ou o m’nimo) Ž uma fun•‹o linear, e as desigualdades a que est‹o sujeitas suas vari‡veis tambŽm s‹o lineares. Quan- do isso ocorre, dizemos ent‹o que estamos diante de um problema de programação linear.

O mŽtodo gr‡fico

Consideremos a seguinte situa•‹o-problema: Dois produtos, P e Q , cont•m as vitaminas A , B e C nas quantidades indicadas no quadro abaixo. A œltima coluna indica a quantidade m’nima ne- cess‡ria de cada vitamina para uma alimenta•‹o sadia, e a œltima linha indica o pre•o de cada pro- duto por unidade. Que quantidade de cada produ- to uma dieta deve conter para que proporcione uma alimenta•‹o sadia com o m’nimo custo?

P Q

A 3 1 12

B 3 4 30

C 2 7 28

Diante de um problema de programa•‹o li- near, consideramos as seguintes orienta•›es pa- ra resolv•-lo:

1. Estabelecemos a função objetivo , isto Ž, a fun- •‹o que queremos maximizar ou minimizar. 2. Transformamos as restri•›es impostas no pro- blema em um sistema de inequa•›es lineares. 3. Tra•amos o gr‡fico da regi‹o poligonal convexa correspondente a essas restri•›es determinan- do as coordenadas dos seus vŽrtices. 4. Calculamos os valores da fun•‹o objetivo em cada um dos vŽrtices. 5. Constatamos que o maior desses valores Ž o m‡- ximo e o menor Ž o m’nimo da fun•‹o objetivo. Voltamos ao problema e damos a sua solu•‹o. Acompanhe cada passo na resolu•‹o da nossa situa•‹o-problema: Seja x a quantidade do produto P , e y a quantida- de do produto Q nas condi•›es do problema. 1. Fun•‹o objetivo: O custo Ž dado por C 5 3 x 1 2 y , o qual queremos minimizar. 2. Restri•›es: As condi•›es impostas pelo problema s‹o x > 0 , y > 0 , 3 x 1 y > 12 , 3 x 1 4 y > 30 e 2 x 1 7 y > 28. 3. Gr‡fico: y

x

x^^5

y (^5 02) x (^1 7) y 5 28

3 x 1 (^4) y (^5 )

(^3) x 1 y 5 12

Nesse caso, a regi‹o de possibilidades Ž a parte do plano limitada pelas retas x 5 0 , y 5 0 , 3 x 1 y 5 12 , 3 x 1 4 y 5 30 e 2 x 1 7 y 5 28. Os vŽrtices s‹o dados pelas solu•›es dos sistemas:

x x y

 ⇒^ ( x ,^ y )^5 (^0 ,^12 )

3 12 3 4 30

x y x y

⇒ ( x , y ) 5 ( 2 , 6 )

x y x y

⇒ ( x , y ) 5

( , 13 )

2 7 28 0

x y y

⇒ ( x , y ) 5 ( 14 , 0 )

298

Caiu no Enem

(Enem) Um aluno registrou as notas bimestrais de algumas de suas disciplinas numa tabela. Ele obser- vou que as entradas numéricas da tabela formavam uma matriz 4 3 4 , e que poderia calcular as médias anuais dessas disciplinas usando produto de matri- zes. Todas as provas possuíam o mesmo peso, e a tabela que ele conseguiu é mostrada a seguir

1 o Bimestre

2 o Bimestre

3 o Bimestre

4 o Bimestre Matemática 5 , 9 6 , 2 4 , 5 7 , 7 Português (^6) , 6 7 , 1 6 , 5 9 , 0 Geografia 8 , (^6 6) , 8 7 , 8 8 , 4

História 6 , 2 5 , (^6 5) , 9 7 , 7

Para obter essas médias, ele multiplicou a matriz obtida a partir da tabela por: a)  ^

b)  

c) 

d) 

e) 

(Enem) Em exposições de artes plásticas, é usual que estátuas sejam expostas sobre plataformas girató- rias. Uma medida de segurança é que a base da escultura esteja integralmente apoiada sobre a pla- taforma. Para que se providencie o equipamento adequado, no caso de uma base quadrada que será fixada sobre uma plataforma circular, o auxiliar técnico do evento deve estimar a medida adequado para a plataforma em termos da medida^ R^ do raio do lado da base da estátua.^ L

Qual relação entre R e L o auxiliar técnico deverá apresentar de modo que a exigência de segurança seja cumprida? a) R $ L 2 b) $ p

R^2 L

c) $ p

R L

d) R $ L 2

e) R $ L 2 2

(Enem) Para decorar a fachada de um edifício, um arquiteto projetou a colocação de vitrais compostos de quadrados de lado medindo 1 m, conforme a figu- ra a seguir. Nesta figura, os pontos A , B , C e D são pontos médios dos lados do quadrado e os segmentos AP e QC me- dem 41 da medida do lado do quadrado. Para con- feccionar um vitral, são usados dois tipos de mate- riais: um para a parte sombreada da figura, que custa R$ 30 , 00 o m^2 , e outro para a parte mais clara (regiões ABPDA e BCDQB ), que custa R$ 50 B ,^00 o m^2.

A

D

P QC

De acordo com esses dados, qual é o custo dos ma- teriais usados na fabricação de um vitral? a) R$ 22 , 50 c) R$ 40 , (^00) e) R$ 45 , 00 b) R$ 35 , 00 d) R$ (^42) , 50

(Enem) Suponha que na escultura do artista Ema- noel Araújo, mostrada na figura a seguir, todos os prismas numerados em algarismos romanos são retos, com bases triangulares, e que as faces laterais do poliedro II são perpendiculares à sua própria fa- ce superior, que, por sua vez, é um triângulo con- gruente ao triângulo base dos prismas. Além disso, considere que os prismas I e III são per- pendiculares ao prisma IV e ao poliedro II.

Dispon’vel em: <www.escritoriodearte.com.br>.

Acesso em: 28 jul. 2009.

5

Matrizes, determinantes e sistemas lineares

UNIDADE

2

Cálculo da medida do lado e do apótema

Geometria espacial de posição:

Distância de uma reta a um plano

Geometria plana e espacial

UNIDADE

3

10

O coração bate sistematicamente

em intervalos regulares bombeando

sangue pelas artérias. O sangue, ao

circular, exerce uma pressão sobre

as paredes arteriais.

Muitos fenômenos físicos e sociais

de comportamento cíclico podem ser

modelados com auxílio de funções

trigonométricas, como a pressão

sanguínea, por exemplo.

f ( x )

x

UNIDADE

Trigonometria

11

O gráfico a seguir, da pressão ( P ) em função do tempo ( t ),

representa uma investigação desse tipo, na qual se

analisa a situação clínica de um paciente.

Nele pode-se observar que ocorre um ciclo completo a

cada 0,75 segundo e que cada ciclo corresponde a um

batimento cardíaco.

Usando a função cosseno para modelar a

regularidade, os dados contidos no gráfico

podem ser expressos por meio da lei:

f ( t ) = 100 – 20. cos (

800 t

3

)

Africa Studio/Shutterstock/Glow Images

A variação da pressão nas paredes dos

vasos sanguíneos de um indivíduo (medida

em mmHg: milímetros de mercúrio), em

função do instante de coleta dessa medida,

é verificada por meio de um aparelho

chamado esfigmomanômetro.

1. Que característica comum têm os fenômenos que podem ser modelados

por meio de funções trigonométricas?

2. O que representa cada ciclo do gráfico da pressão sanguínea?

Capítulo 1 • Trigonometria: resolução de triângulos quaisquer 13

1. Nesta figura, as retas paralelas r e rÕ representam as

margens de um rio. Determine a largura , desse rio.

30 °

A

,

r’

C r

B 30 m

2. Calcule os valores das medidas x e y :

a)

x

45°

16

b)

y

60°

20

3. Dois níveis de uma praça estão ligados por uma rampa

de 2 m de comprimento e 30 ° de inclinação, conforme

a figura. Devem-se construir, sobre a rampa, 8 degraus

de mesma altura. Encontre a altura de cada degrau.

30°

2

m

4. Observe a figura:

v x

=

v y

=

v =

a

y

x

Dizemos que vx - e vy - são as componentes retangulares

do vetor v -.

Considerando o módulo de v - igual a 10 cm e o ângulo

a de 30 °, determine os módulos de v x

• e v y -. 5. Um poste na posição vertical tem sua sombra proje-

tada em uma rua horizontal. A sombra tem 12 m. Se a

altura do poste é de 4 3 m, então, qual é a inclina-

ção dos raios solares em relação à rua horizontal?

6. Determine o valor de CD. na figura abaixo. CD. é a pro-

jeção ortogonal de AB. sobre um eixo.

4 cm

A

B

C D

15 ¡

7. Determine a área da região triangular abaixo.

h

7 cm

4 cm

C

20 °

A B

8. Um observador, no ponto B da

figura ao lado, vê um prédio de

modo que o ângulo ABC é de

105 °. Se esse observador está

situado a uma distância de 8 m

do prédio e a uma altura de 8 m,

qual é a altura do prédio?

9. Calcule as medidas x , y , z e w indicadas nas figuras.

a)

30 ¡

A C

B

60 ¡

w

100

b)

x z 12

30 °

y

8 m

8 m

B

A

C

(^1) Revisão sobre resolução de triângulos

retângulos

Antes de aprender novos conceitos e relações da Trigonometria, vamos revisar o que foi estudado

nos anos anteriores. Faça dupla com um colega e tentem resolver os exercícios a seguir.

Quando necessário use a tabela da página 23 ou uma calculadora científica.

Observação : Usaremos AB.^ ora para designar segmento de reta AB , ora

para designar medida do segmento de reta AB. Pelo contexto da situação

saberemos quando está sendo usado um significado e quando está sendo

usado o outro.

Segmento de reta: parte da reta

compreendida entre dois de

seus pontos distintos,

denominados extremos.

ATENÇÃO!

Não escreva no

seu livro!

Exercícios

14 Unidade 1 •^ Trigonometria

(^2) Seno e cosseno de ângulos obtusos

10. Obtenha o valor de:

a) sen 135 ° c) sen 150 °

b) cos 135 ° d) cos 150 °

11. Obtenha o valor de x em:

a) x 5 sen 20 ° 2 sen 160 ° 1 cos 44 ° 1 cos 136 °

b) x 5 sen 10 °? cos 50 ° 1 cos 130 °? sen 170 °

Neste capítulo precisaremos, em alguns momentos, saber os valores de senos e cosse-

nos de ângulos obtusos. Como esse assunto ainda não foi estudado — não existem ângulos

obtusos nos triângulos retângulos —, aprenderemos neste momento apenas como lidar

com eles na prática, e deixaremos a parte teórica, que fundamenta o que estudaremos

agora, para outro capítulo.

Inicialmente, é necessário saber que:

- (^) sen 90 ° 5 1 e (^) cos 90 ° 5 0 - senos de ângulos obtusos são exatamente iguais aos senos dos suplementos desses ângulos:

sen x 5 sen ( 180 ° 2 x )

- cossenos de ângulos obtusos são opostos aos cossenos dos suplementos desses ângulos:

cos x 5 2 cos ( 180 ° 2 x )

Exemplos:

a) sen 120 ° b) cos 120 °

O suplemento de 120 ° é 60 °, portanto: cos 120 ° 5 2 cos ( 180 ° 2 120 °) 5 2 cos 60 ° 5 2

1

2

sen 120 ° 5 sen ( 180 ° 2 120 °) 5 sen 60 ° 5

3

2

Fique atento!

Lembre-se de que ângulos suplementares

são dois ângulos que têm a soma de suas

medidas igual a 180 °.

Exercícios

ångulo obtuso:

ângulo cuja

medida está

entre 90° e 180°.

(^3) Lei dos senos

Vamos analisar a seguinte situação-problema:

Uma empresa de fornecimento de energia, ao instalar a rede elétrica em uma fazenda, precisou colocar

dois postes em lados opostos de um lago para permitir a passagem da fiação. Com isso surgiu um pequeno

problema: para fazer o projeto da rede, seria necessário saber a distância entre os postes, e a presença do

lago impedia a medição direta dessa distância.

Um dos engenheiros posicionou-se em um local onde era possível visualizar os dois postes e medir a

distância entre eles. Com um aparelho apropriado, o teodolito, ele mediu o ângulo entre a linha de visão

dele e os postes, obtendo 120 °. Um auxiliar mediu a distância entre o engenheiro e o poste mais afastado e

obteve 100 m; outro auxiliar mediu o ângulo entre a linha do poste mais próximo do engenheiro e a linha

entre os postes, obtendo 45 °. Com essas informações, o engenheiro ficou satisfeito, pois ele já conseguiria

calcular a distância entre os postes. Acompanhe como, a seguir.

16 Unidade 1 •^ Trigonometria

Observações:

1

a

) Pode-se provar que a razão

medida do lado

seno do ângulo oposto

é constante e igual a 2 R , em que R é o raio da

circunferência circunscrita ao triângulo considerado.

B (^) a C

A

c b

R

a

A

b

B

c

C

R

sen A sen sen

ö ö ö

== ==

öö öö öö

= 2

2

a

) Quando o enunciado de uma questão se refere a um triângulo ABC , temos de colocar o lado a oposto ao

ângulo A , o lado b oposto ao ângulo B , e o lado c oposto ao ângulo C , como na figura abaixo:

B

b

A

a

C

c

Agora temos condições de resolver a situação-problema apresentada na página 14 :

Uma empresa de fornecimento de energia, ao instalar a rede elétrica em uma fazenda, precisou colocar

dois postes em lados opostos de um lago para permitir a passagem da fiação. Com isso surgiu um pequeno

problema: para fazer o projeto da rede, seria necessário saber a distância entre os postes, e a presença do

lago impedia a medição direta dessa distância.

Um dos engenheiros posicionou-se em um local onde era possível visualizar os dois postes e medir a

distância entre eles. Com um aparelho apropriado, o teodolito, ele mediu o ângulo entre a linha de visão

dele e os postes, obtendo 120 °. Um auxiliar mediu a distância entre o engenheiro e o poste mais afastado e

obteve 100 m; outro auxiliar mediu o ângulo entre a linha do poste mais próximo do engenheiro e a linha

entre os postes, obtendo 45 °. Com essas informações, o engenheiro ficou satisfeito, pois ele já conseguiria

calcular a distância entre os postes.

Retomando o modo matemático, temos:

Pela lei dos senos, temos:

100

45 120

100

2

2

3

2

2 100 3

sen ° sen °

5 5 5 5

d d

⇒ d ⇒

⇒

⋅

⋅

d 5 5 5 5

100 3

2

100 3 2

2 2

100 6

2

50 6. 122 47,

Então, a distância entre os postes é de aproximadamente 122 , 47 m.

120 °

O

B

d

100 m

A

45 °

Capítulo 1 • Trigonometria: resolu•‹o de tri‰ngulos quaisquer 17

12. Na figura abaixo, calcule o valor da medida x.

105¡

45¡

x

100

13. No tri‰ngulo abaixo, calcule o valor da medida x.

60° 45°

x^3

14. Em cada tri‰ngulo abaixo, calcule o valor da medida x.

a)

45¡

5 2 75¡^ x

b)

45°

30°

8

x

15. Num tri‰ngulo ABC , são dados B A  45 ¡, B B  30 ¡ e

a b  2 1. Calcule o valor de a.

16. Use a tabela da p‡gina 23 ou uma calculadora cient’-

fica e determine os valores de x (aproximadamente):

a)

76°

32°

5

x

b)

30°

27°

x

10

c)

70¡ x

3 4

1. Em um tri‰ngulo is—sceles, a base mede 6 cm e o

‰ngulo oposto ˆ base mede 120 ¡. Calcule a medida

dos lados congruentes do tri‰ngulo.

30¡

120¡

30¡

x

6 cm

Resolução:

Pela lei dos senos, temos:

6

sen 1201200000000000 ° sen 30333333333330 °



x

⇒

⇒⇒⇒⇒ ⇒⇒⇒⇒

6

3

22

1

⇒⇒ ⇒⇒

22

⇒⇒ ⇒⇒

x

⇒⇒⇒⇒ 3 6 ⇒⇒⇒⇒

6

3

66 33

33 33

66 33

3

⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ 33 xx  66 ⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ xx     22 33

33 33

Cada um dos lados congruentes mede 22 33 cm.

2. Em um tri‰ngulo ABC , temos BC t  5 cm, B A  48 ¡

e B B  25 ¡. Calcule a medida aproximada do lado

AB w (use a tabela da p‡gina 23 ou uma calculadora

cient’fica).

Resolução:

Pela lei dos senos:

 

BB BB B B

BC

A

AC

B

AB

sen A sen sen C

,

sendo B C  180 ¡
( 48 ¡ 25 ¡)  107 ¡.

Fique atento!

Com a tabela calculamos sen 107 °. 0 , 956 ,

procurando sen 73 °.

Substituindo:

5

48 107

5

sennn 48 ° sssenen 107 ° 0 743 0 956

 

AB AB

 ⇒⇒  ⇒⇒

0 70 7 , 43 0 90 9,

⇒ AB 

5 0 956

0 743

6 43

5 05 0 á ,

0 70 7 ,

.6 46 4,

Portanto, a medida aproximada do lado AB t Ž 6 , 43 cm.

Exercícios resolvidos

Para refletir

Em um triângulo

isósceles, a altura

relativa à base é

também mediana

e bissetriz. Use

esse fato e resolva

este exercício de

outra forma.

Exercícios

Capítulo 1 • Trigonometria: resolu•‹o de triângulos quaisquer 19

Traçando a altura BH t , obtemos os triângulos retângulos ABH e CBH.

- No n ABH , temos:

cos cos

ö ö A

AH

c

AH c A

c h AH h c AH h



 

⇒ = ⋅

⇒ ⇒

2 2

2 2 2

2 2

 c
c A h  c
c A

2

2 2 2 2 2

( ⋅ ) ⇒^ ⋅











cos

ö ö cos

- No n CBH , temos:

a

 h

CH

2

⇒ a

 h

( b
AH u )

⇒ h

 a

( b
c  cos B A )

⇒

⇒ h

 a

b

2 bc  cos A B
c

 cos

B A II

- De I e II temos:

a

b

2 bc  cos B A
c^ A^ c^ c^ A

2 2 2 2 2 ⋅ cos = − ⋅cos

μ μ ⇒ a

 b

c

2 bc  cos A B

Agora estamos em condições de resolver a situação-problema colocada no início deste item.

Retomando o modelo matemático, temos:

Pela lei dos cossenos, temos:

d

 100

( 36 , 6 )

2  100  36 , 6  cos 120 ° ⇒ d

 15 000 ⇒

⇒ d  15000  50 6 ; 122 47, m

Observe que esse valor é o mesmo encontrado na página 16.

Para refletir

¥ Verifique que a relaç‹o

vale para B A agudo no

tri‰ngulo ret‰ngulo e

no tri‰ngulo

obtus‰ngulo.

¥ Podemos considerar o

teorema de Pit‡goras

( a

2  b

2 c

2 ) como um

caso particular da lei

dos cossenos (pois

cos 90   0 ).

I

120 °

O

B

d

100 m

36,60 m

A

Çpasso a passo: exercício 4

Exercícios resolvidos

3. O ângulo agudo de um losango mede 20 ° e seus

lados medem 5 cm. Calcule as medidas das diago-

nais menor e maior do losango.

Resolução:

- diagonal menor

20¡ x

5

5

x

2 2 2 5 5

22 22 2 5 5 20

25 25 50 0 94 50 47



2 2 55 55

22 22 

 25 44 55

−

−− 50 0 9 4444 555500 −− 44

22  55  55  22

−−  −−

5555 cos 2222 °

0 90 9 , 



3

3 1 7

⇒

⇒ x 33 11 , cm

usando a tabela da página 23

ou uma calculadora científica

- diagonal maior

160°

y

5 5

y

2 2 2

5 5

22 22

2 5 5 160

50 50 0 94 50 4



2 2

55 55

22 22



 50
0 9 444  55500 44

− 22  55  55  11



5555 cos 1111 °

(
0 90 90 9 , 444444 ) )  555555 777 97

97 9 8

77 99



⇒

⇒ y. 9 89 8, cm

cos 160  
cos 20 

ÇResolvido passo a passo

4. Geografia

(UEL-PR) Entre os povos indígenas do Brasil con-

temporâneo, encontram-se os Yanomami. Estima-

dos em cerca de 9 000 indivíduos, vivem muito

isolados nos estados de Roraima e Amazonas, pre-

dominantemente na serra do Parima. O espaço de

floresta usado por cada aldeia yanomami pode ser

descrito esquematicamente como uma série de

três círculos concêntricos: o primeiro, com raio de

5 km, abrange a área de uso imediato da comuni-

dade; o segundo, com raio de 10 km, a área de caça

individual e da coleta diária familiar; e o terceiro,

com raio de 20 km, a área das expedições de caça

e coleta coletivas, bem como as roças antigas e

novas. Considerando que um indivíduo saia de sua

aldeia localizada no centro dos círculos, percorra

20 Unidade 1 •^ Trigonometria

Assim, a estratŽgia se resume a obter o lado AB t ,

que chamaremos x , do tri‰ngulo, usando a lei

dos cossenos.

3. Executando o que foi planejado

Chamando a medida do lado AB t de x , usaremos

a lei dos cossenos para obt•-lo:

Lei dos cossenos: x

2 5 8

2 1 8

2 2 2? 8? 8? cos 120 ¡

Como visto no in’cio deste cap’tulo, o cosseno

de 120 ¡ equivale ao oposto do cosseno de 60 ¡

(ou seja, cos 120 ¡ 5 2 cos 60 ¡).

x

2 5 64 1 64 2 2? 8? 8? (Ðcos 60 ¡) ⇒

⇒ x

2 5 64 1 64 1 128? cos 60 ¡ ⇒

⇒ x

2 5 128 1 128?

1

2

⇒

⇒ x

2 5 192 ⇒ x 5 88 33

Assim, o indiv’duo em quest‹o estar‡ a 88 33 km

do local de origem (aproximadamente 13 , 6 km).

4. Emitindo a resposta

A resposta Ž a alternativa a.

5. Ampliando o problema

a) Se o indiv’duo em quest‹o desejar retornar ˆ

‡rea de ca•a individual, qual Ž a dist‰ncia m’ni-

ma que ele vai percorrer?

b) Discussão em equipe

O artigo 231 da Constitui•‹o Federal do Brasil, de

1988 , reconhece Òaos ’ndios sua organiza•‹o so-

cial, costumes, l’nguas, cren•as e tradi•›es, e os

direitos origin‡rios sobre as terras que tradicional-

mente ocupam, competindo ˆ Uni‹o demarc‡-las,

proteger e fazer respeitar todos os seus bensÓ. Os

Yanomami tiveram suas terras demarcadas em

1992. PorŽm, cada nova demarca•‹o de terras in-

d’genas gera muita discuss‹o e processos judiciais,

principalmente por causa da retirada dos indiv’-

duos n‹o ind’genas que residem nessas ‡reas.

Troque ideias com seus colegas sobre a situa-

•‹o dos ’ndios no Brasil. Discutam sobre estas

quest›es:

¥ ƒ importante a preserva•‹o da cultura ind’gena?

¥ Os povos ind’genas devem ter direito a essas

‡reas exclusivas para viver (as tais ‡reas de-

marcadas)?

c) Pesquisa

¥ AlŽm do Brasil, em que outro pa’s vivem os Ya-

nomami? O que significa a palavra Yanomami?

¥ O que significa a sigla Funai?

( 88 33 −^10 )^ km

8 km em linha reta atŽ um local de ca•a individual

e a seguir percorra mais 8 km em linha reta na

dire•‹o que forma 120 ¡ com a anterior, chegando

a um local onde est‡ localizada sua ro•a antiga, a

dist‰ncia do ponto de partida atŽ este local Ž:

a) 88 33. c) 33 88. e) 22 88.

b)

88 33

3

. d) 88 22.

1. Lendo e compreendendo

a) O que Ž dado no problema?

ƒ dada a descri•‹o do espa•o da floresta usa-

do por cada aldeia ( uma série de três círculos

concêntricos: o primeiro, com raio de 5 km,

abrange a área de uso imediato da comuni-

dade; o segundo, com raio de 10 km, a área de

caça individual e da coleta diária familiar; e o

terceiro, com raio de 20 km, a área das expe-

dições de caça e coleta coletivas, bem como

as roças antigas e novas ).

TambŽm Ž dado o trajeto percorrido pelo

indiv’duo ( ele sai de sua aldeia localizada

no centro dos círculos, percorre 8 km em li-

nha reta até um local de caça individual e

a seguir percorre mais 8 km em linha reta

na direção que forma 120 ° com a anterior,

chegando a um local onde está localizada

sua roça antiga ).

b) O que se pede?

Pede-se a dist‰ncia que um indiv’duo estar‡

do local de partida ap—s caminhar seguindo

as indica•›es do enunciado.

2. Planejando a solu•‹o

Devemos interpretar o texto montando o tra-

jeto percorrido pelo indiv’duo. Assim podemos

escolher a melhor maneira de obter a dist‰n-

cia dele ao ponto de partida. De acordo com

o texto, montamos o esquema abaixo:

120°

A

‡rea de uso imediato

da comunidade

‡rea de ca•a

individual

e coleta di‡ria

familiar

‡rea de ca•a e

coleta coletivas

e ro•as

8

8

B

Analisando o esquema anterior, percebemos a

necessidade de se obter o lado AB t do tri‰ngulo

resultante das informa•›es do enunciado.