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Práctica 9
Cónicas
Definiciones y propiedades
Las cónicas son curvas planas que se obtienen intersecando un cono con un plano.
circunferencia
elipse
parábola hipérbola
En todos los casos, pueden definirse a partir de fórmulas que involucran relaciones de distan- cia. Existen puntos fijos (llamados focos) y rectas fijas (llamadas directrices) tales que los puntos P de la cónica cumplen que el cociente entre la distancia de P al foco y la distancia de P a la directriz es una constante e llamada excentricidad. Una parábola es el conjunto de todos los puntos P del plano que equidistan de un punto fijo F , el foco, y de una recta L que no pasa por F , la directriz.
El siguiente gráfico representa a la parábola que tiene foco F = (0, c) y directriz L : y = −c (c > 0 ). La ecuación es x^2 − 4 cy = 0 (la forma canónica de la ecuación de la parábola).
F
L
El eje de la parábola es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco. El vértice es el punto de intersección del eje con la parábola (es el punto medio entre el foco y su proyección ortogonal sobre la directriz). En la parábola del gráfico, el eje es el eje y y el vértice el (0, 0).
En el caso de una parábola, la relación de distancias es (^) dd((PP,, LF)) = 1 = e.
La parábola es simétrica respecto de su eje.
Una elipse es el conjunto de todos los puntos P del plano que cumplen que la suma de las distancias de P a dos puntos F 1 y F 2 , los focos, es constante 2a , con 2a > d(F 1 , F 2 ). El siguiente gráfico representa a la elipse que tiene focos F 1 = (−c, 0) y F 2 = (c, 0) ( 0 < c <
a). La ecuación es x
2 a^2 +^
y^2 b^2 =^ 1 , con^ b^ =^
a^2 − c^2 (la forma canónica de la ecuación de la elipse).
−a a
b
−b
F 1 F 2
Los vértices de la elipse son los puntos V 1 y V 2 de intersección de la elipse con la recta que pasa por los focos. El centro es el punto medio entre los focos (o entre los vértices). El eje mayor es el segmento que une los vértices y el eje menor es el segmento perpendicular al eje mayor que pasa por el centro y une dos puntos de la elipse. Los semiejes mayores son cada uno de los segmentos que unen el centro de la elipse con los vértices y los semiejes menores son cada uno de los segmentos incluidos en el eje menor que unen el centro con los puntos de la elipse. En la elipse del gráfico los vértices son V 1 = (−a, 0) y V 2 = (a, 0) , el centro el (0, 0) , el eje mayor está incluido en el eje x y el eje menor en el eje y. Si c es la distancia del centro de la elipse a uno de sus focos y a es la distancia del centro a uno de sus vértices, la excentricidad de la elipse es e = ca ( 0 < e < 1 ). Cada foco Fi ( i = 1, 2 ) de la elipse tiene asociada una recta directriz Li paralela al eje menor.
Cada punto P de la elipse verifica e = (^) dd((PP,, LFi) i)^
, con i = 1, 2. En el gráfico, las directrices son
L 1 : x = −a
2 c y^ L^2 :^ x^ =^
a^2 c.
En este gráfico, las rectas de ecuación y = −a bx e y = ba x son las asíntotas de la hipérbola. Los vértices de una hipérbola son los puntos de intersección de la hipérbola con la recta que pasa por los focos. El centro es el punto medio entre los focos (o entre los vértices) y el eje transversal o real, el segmento que une los vértices. En el gráfico, los vértices son V 1 = (−a, 0) y V 2 = (a, 0) , el centro es (0, 0) y el eje transversal está incluido en el eje x. Si c es la distancia del centro de la hipérbola a uno de sus focos y a es la distancia del centro al vértice correspondiente, la excentricidad de la hipérbola es e = ca ( e > 1 ). Las directrices de la hipérbola son las rectas L 1 y L 2 que son perpendiculares al eje transver-
sal y tales que cada punto P de la hipérbola verifica e = (^) dd((PP,, LFi) i)^
, con i = 1, 2. Si la hipérbola
está dada por su ecuación canónica, las directrices son L 1 : x = −a
2 c y^ L^2 :^ x^ =^
a^2 c ,
F 1 V 1 V 2 F 2
L 1 L 2
La hipérbola es simétrica respecto de la recta que contiene a su eje transversal y respecto de la recta perpendicular a su eje transversal que pasa por el centro (el eje no transversal o imaginario).
Reducción a la forma canónica
La forma más general de la ecuación de segundo grado en las variables x e y es
α x^2 + β xy + γ y^2 + λ x + μ y + ν = 0.
Para estudiar si representa una parábola, una elipse, una circunferencia o una hipérbola se aplican traslaciones o rotaciones convenientes de manera de transformar esta ecuación en otra que esté dada en forma canónica. Si la ecuación es de la forma α x^2 + γ y^2 + λ x + μ y + ν = 0 ( β = 0 ) , para eliminar los términos
lineales, planteamos la traslación (x, y) = (x + h, y + k). Si α 6 = 0 , h = − 2 αλ , y si γ 6 = 0 ,
k = − 2 γμ. En el caso general de la ecuación de segundo grado, si β 6 = 0 , el ángulo θ que se
deben rotar los ejes para eliminar el término en xy viene dado por tg( 2 θ ) = (^) α − β γ , si α 6 = γ ,
o θ = π 4 , si α = γ. Se plantea entonces
( x y
cos( θ ) − sen( θ ) sen( θ ) cos( θ )
˜x ˜y
Luego de estas transformaciones se obtiene la forma canónica de la ecuación, es decir, una ecuación sin término xy , y con término lineal de una variable no nulo solo si el coeficiente del cuadrado de esa variable es cero.
En lo que sigue, llamaremos lugar geométrico al conjunto de puntos del plano que cumple con ciertas propiedades determinadas. Por ejemplo, el lugar geométrico de los puntos que están a distancia 1 del origen es la circunferencia de ecuación x^2 + y^2 = 1.
Ejercicios
Ejercicio 1. Hallar las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz de las siguientes parábolas. Representarlas gráficamente.
a) y^2 = 6 x b) x^2 = 8 y c) 3y^2 = − 4 x
Ejercicio 2. En cada caso, hallar la ecuación de la parábola que posee los siguientes elementos:
a) foco (3, 0) y directriz x = −.
b) foco (0, 6) y directriz el eje x.
c) vértice (3, 2) y foco (5, 2). d) vértice en el origen, eje igual al de coordenadas x y pasa por (−3, 6).
e) vértice (−2, 3) y foco (1, 3).
Ejercicio 3. Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya distancia al punto fijo (−2, 3) es igual a su distancia a la recta x = −.
Ejercicio 4. Dadas las siguientes ecuaciones de parábolas, calcular las coordenadas del vérti- ce, las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz.
a) focos (4, 0) y (−4, 0) ; vértices (5, 0) y (−5, 0).
b) focos (0, 8) y (0, − 8 ) ; vértices (0, 17) y (0, − 17 ). c) focos (0, 6) y (0, − 6 ) ; semieje menor de longitud 8.
d) focos (5, 0) y (−5, 0) ; excentricidad^58.
Ejercicio 11.
a) Hallar el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a los puntos fijos (3, 1) y (−5, 1) es igual a 10.
b) Hallar el lugar geométrico de los puntos cuya distancia al punto fijo (3, 2) es la mitad de la correspondiente a la recta x = −.
Ejercicio 12. Hallar la ecuación de la elipse
a) de centro el origen, focos en el eje x y que pasa por los puntos (−3, 2
3 ) y (4,^4
3 )^.
b) de centro (4, − 1 ) , uno de los focos en (1, − 1 ) y que pasa por el punto (8, 0).
c) de centro (3, 1) , uno de los vértices en (3, − 2 ) y excentricidad e = 13.
d) con uno de sus focos el punto (−1, − 1 ) , directriz x = 0 , y excentricidad e =
Ejercicio 13. Dada la elipse de ecuación 9x^2 + 16 y^2 − 36 x + 96 y + 36 = 0 , hallar las coorde- nadas del centro, la longitud del semieje mayor y del semieje menor y los focos.
Ejercicio 14. Un arco de 80 metros de luz tiene forma de media elipse (el semieje tiene longi- tud 80 metros). Sabiendo que su altura es de 30 metros, hallar la altura del arco en un punto situado a 15 metros del centro.
Ejercicio 15. La órbita de la Tierra es una elipse en uno de cuyos focos está el Sol. Sabiendo que el semieje mayor de la elipse mide 148, 5 millones de kilómetros y que la excentricidad vale 0, 017 , hallar las distancias máxima y mínima de la Tierra al Sol.
Ejercicio 16.
a) Calcular el área de las elipses del ejercicio 8.
b) Calcular el área de las elipses del ejercicio 10.
Ejercicio 17. Hallar las coordenadas de los vértices y de los focos, las ecuaciones de las direc- trices, las ecuaciones de las asíntotas y la excentricidad de las siguientes hipérbolas:
a) 9x^2 − 16 y^2 = 144 b) 49y^2 − 16 x^2 = 784
Ejercicio 18. Hallar las ecuaciones de las hipérbolas que satisfacen las condiciones siguientes:
a) el eje transversal de longitud 8 y focos (5, 0) y (−5, 0).
b) centro (0, 0) , un foco (8, 0) y un vértice (6, 0).
Ejercicio 19. En cada caso, hallar el lugar geométrico de los puntos que satisfacen las condi- ciones indicadas:
a) el valor absoluto de la diferencia de las distancias a los dos puntos (0, 3) y (0, − 3 ) es igual a 5.
b) la distancia al punto (0, 6) es igual a^32 de la correspondiente a la recta y = 83.
c) el valor absoluto de la diferencia de las distancias a los puntos (−6, − 4 ) y (2, − 4 ) es igual a 6.
Ejercicio 20. En cada caso, hallar la ecuación de la hipérbola que satisface las condiciones indicadas:
a) tiene centro el origen, ejes sobre los ejes de coordenadas y pasa por los puntos (3, 1) y (9, 5). b) tiene vértices (6, 0) y (−6, 0) y asíntotas 6y = 7 x y 6y = − 7 x.
Ejercicio 21. Hallar el centro, los vértices, los focos y las ecuaciones de las asíntotas y repre- sentar gráficamente la hipérbola de ecuación 9x^2 − 16 y^2 − 18 x − 64 y − 199 = 0.
Ejercicio 22. En cada uno de los siguientes casos, por medio de una traslación, transformar la ecuación dada en otra sin términos de grado 1 y caracterizar la figura que representa.
a) y^2 − 6 y − 4 x + 5 = 0 b) x^2 + y^2 − 2 x − 4 y − 20 = 0
c) 3x^2 − 4 y^2 + 12 x + 8 y − 4 = 0 d) 2x^2 + 3 y^2 − 4 x + 12 y − 20 = 0
e) x^2 − 6 x − 4 y + 17 = 0 f ) x^2 + 5 y^2 + 2 x − 20 y + 25 = 0
4. Encontrar los puntos de intersección de las parábolas de ecuación x^2 − 4 y = 0 y x^2 − 6 x + 2 y − 30 = 0. 5. Hallar los puntos de intersección de la elipse x^2 + 3 y^2 = 73 y la hipérbola x^2 − y^2 = 9. Graficar. 6. En cada uno de los siguientes casos, encontrar todos los puntos de intersección de las cónicas: a) x^2 + y^2 − 16 x + 39 = 0 y x^2 − y^2 − 9 = 0 b) 4 x^2 − y^2 − 8 x + 6 y − 9 = 0 y 2 x^2 − 3 y^2 + 4 x + 18 y − 43 = 0 7. En cada uno de los siguientes casos, encontrar todos los puntos de intersección de las cónicas: a) x^2 + y^2 + 8 x + 7 = 0 ; x^2 + y^2 − 4 x + 4 y − 5 = 0 y x^2 + y^2 − 1 = 0 b) x^2 + y^2 − 5 = 0 ; x^2 + y^2 − 3 x − y = 0 y 2 x^2 + 2 y^2 − 4 x + 2 y = 0
