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Capítulo 5 Condutos em série, paralelo e série-paralelo
5. 1. Introdução É comum, em sistemas hidráulicos, encontrar trechos em que duas canalizações diferentes estão instaladas lado a lado, ou uma em sequência à outra, como mostra a Figura 5. 1. Nessa Figura, os trechos denominados canalização A, B e C estão em série, enquanto que os trechos denominados canalização D e E estão em paralelo.Diz-se que o arranjo de todas as canalizações ali mostradas constitui um sistema série-paralelo.
Fig. 5.1 – Condutos em série, paralelo e série-paralelo
Pode-se substituir arranjos em série, em paralelo e em série- paralelo por uma canalização equivalente. Essa canalização, cujo material, diâmetro e extensão será definido, e capaz de conduzir a mesma vazão do arranjo com a mesma perda de carga.
5. 2. Canalização equivalente a um grupo de canalizações em série
5. 2. 1. Caracterização do problema A Figura 5. 2 representa as canalizações 1 , 2 e 3 instaladas em série. Desejamos substituí-la por uma só canalização que seja capaz de transportar a mesma vazão Q transportada pelas três canalizações anteriores, produzindo a mesma perda de carga hf.
Fig. 5.2 – Canalização equivalente a um grupo de canalizações em série
A partir da equação expressão geral das perdas de carga
h QDn L
m f =^
(^1 1) D^11 L 1 h Q n
m f =^ 2 2
2 2 2 L D h Q n
m f =^ 3 3 3 3 3 L D h Q n
m f =^ eqn eq
eqm feq eqD L h = Q
Escrevemos, para cada uma das canalizações de interesse:
Sabemos que: hfeq = hf 1 + hf 2 + hf 3
(^1 11122223) D^33 L 3 L Q D L Q D L Q D
Q n
m n
m n
m eqn eq
eqm Portanto: (^) eq = + +
Ou, genericamente, para n trechos:
=
n i in
i i eqn
eq eq D
L
D
L
1
^ 5.
g
U D
L hf f 2
2 = podemos escrever: L D
Q
g
f D
Q
gD
h f L f (^) 5
2 2
2
2
Portanto, na expressão geral:
Solução:
L
D
Q
h n
m f =^ ^ temos: 9 , 8 0 ,^00165
8 8 0 , 02 = 2 = 2 = x g
f m = 2 n = 5
Se todo o trecho tivesse diâmetro D = 250 mm , sua extensão que asseguraria o escoamento de 37,8 L / s seria:
L L L m D
h Q n
m f (^) 0 , 25 2071
800 795 0 , 001650 ,^0378
5
2
A partir da fórmula 5.1 :
n i in
i i n eq
eq eq
D
L
D
L
1
escrevemos:
Vamos conferir as perdas de carga em
cada trecho, calculadas utilizando as
extensões, diâmetros e fatores de atrito
aplicáveis a cada um deles, para a
vazão de 37 , 8 L / s. Devemos encontrar,
para a sua soma, o valor de 5 m.
k
i (^) i
i eq
eq
D
L
D
L
5 1 5
uma vez que o valor de é o
mesmo para todos os trechos e
que n = 5 , como vimos.
Portanto: 5 5 5
2071 = + L L = 3660 m
Trecho f Q
(m³/s)
D (mm) L (m) hf (m)
S = 5,000 m
(^5 0) , 255 0 , 35
600
0 , 25
2071 L = +
5 5 0 , 25 0 , 3
2071 600 L
−
5 0 , 3
1506 , 304
L
x = L
1506 , 304 0 , 3
L= 3660m
A exemplo do que fizemos no Exemplo Resolvido 1, determinamos, para a expressão geral das perdas de carga, os
valores de , m e n
0 , 00116 9 , 8
8 8 0 , 014 = 2 = 2 =
x g
f m= 2
n= 5
Se todo o trecho tivesse diâmetro D = 500 mm , sua extensão que asseguraria o escoamento de 160 L / s seria:
L L L m
D
h Q
n
m
f 0 , 5 14733
154 140 0 , 001160 ,^16
5
2
A partir da fórmula 5.1:
k i in
i i n eq
eq eq D
L
D
L
1
^ escrevemos:
k
i (^) i
i eq
eq
D
L
D
L
5 1 5
uma vez que o valor de é o mesmo
para todos os trechos e que n = 5 ,
como vimos.
5 5 5 5
600 0 , 4
1800 0 , 5
2400 0 , 5
14733 D
Portanto: = +^ + D^ =^0 ,^307 m =^307 mm
Vamos conferir as perdas de carga em
cada trecho, calculadas utilizando as
extensões, diâmetros e fatores de atrito
aplicáveis a cada um deles, para a
vazão de 160 L / s. Devemos encontrar,
para a sua soma, o valor de 14 m.
Trecho f Q (m³/s) D (mm) L (m) hf (m) 1 0,014 0,00116 0,160 500 2400 2, 2 0,014 0,00116 0,160 400 1800 5, 3 0,014 0,00116 0,160 307 600 6,
S = 13,945 m ≈ 14 m
5 5 5 5
600 0 , 4
1800 0 , 5
2400 0 , 5
14733
D
= + +
5 5 5 5
600 0 , 4
1800 0 , 5
2400 0 , 5
14733
D
− − =
5
600 218874 , 5 D
=
218874 , 5
5 600 D =
D = 0 , 307 m
5. 3. 2. Exemplo resolvido 3
Calcular a vazão total que pode ser transportada através da adutora representada na Figura 5. 6 (desprezar as perdas localizadas). Determine as vazões e velocidades em cada um de seus trechos.
Fig. 5.6 – Exemplo resolvido 3: enunciado
Resolução: A partir da expressão 5. 2 :
=
=
k i
m
i i
n i
m
eq eq
n eq L
D L
D 1
(^1 )
sendo m = 2 , n = 5 e f igual em todos os trechos (portanto, os valores de também o
serão), podemos escrever:
n
i (^) i
i eq
eq
L
D
L
D
1
2
1 2 5
1 5 21
2
5 (^22)
1
1
5 1
2
1 5
+
=
L
D L
D L
D
eq
eq
As canalizações 1 e 2 podem ser substituídas por uma canalização equivalente. Façamos seu diâmetro igual a
400 mm (igual ao do terceiro trecho, para facilitar o nosso cálculo, transformando em condutos de mesmo
diâmetro). Seu comprimento será:
2 5 1 2 5 1 2
1 5
L eq
Leq = 907 m
Assim sendo, tudo se passa como se a adutora fosse totalmente construída de diâmetro 400 mm e extensão igual a:
L = 907 + 600 = 1507 m
Através da fórmula de Darcy-Weisbach determinamos a velocidade média de escoamento da água na canalização
D = 400 mm :
U m s
x
U
g
U
D
h f L
f 0 , 4 2 9 , 8 1 ,^53 /
2 2
e, em consequência,
a vazão
transportada:
Q AU D U (^ )^1 , 53 0 , 192 m ³/ s 192 L / s
2 2 = = = = =
5. 3. 3. Exemplo resolvido 4
No esquema apresentado na Figura 5. 7 foi instalada uma canalização paralela à adutora existente, com 300 mm de diâmetro e 1000 m de comprimento. Calcule a vazão inicial e o acréscimo devido à nova instalação, bem como as vazões em cada uma das canalizações em paralelo.
Fig. 5.7 – Exemplo resolvido 4: enunciado
Resolução:
A vazão inicial (transportada antes da existência da canalização em paralelo) pode ser determinada através
da fórmula de Darcy-Weisbach:
U m s x
U
g
U
D
h f L f (^) 0 , 4 2 9 , 8 2 ,^045 /
2 2 = = = Q AU D U (^ )^2 , 045 0 , 257 m ³/ s 257 L / s 4
2 2
Para determinarmos a nova capacidade de transporte da adutora (após a instalação do trecho em paralelo),
determinaremos a extensão equivalente do trecho AB supondo que seu diâmetro fosse igual a 400 mm. Para
tanto, utilizamos a expressão 5.2:
k
i
m i i
n m i
eq eq
n eq
L
D
L
D
1
(^1 )
em que m = 2 , n = 5 e f é o mesmo em todos os trechos (portanto, os valores de
também o serão), o que nos permite escrever:
=
=
k i (^) i
i eq
eq L
D L
D 1
2
1 2 5
1 5 2
1 2
1
2
5 (^22)
1
1
5 (^21) 5 1
L
D
L
D
L
D
eq
eq^2
5 1 2 5 21 5 1 1000
L eq
Substituindo
os valores:
Leq = 452 m
Através da fórmula de Darcy-Weisbach determinamos a velocidade média de escoamento da água na canalização D
= 400 mm :
U m s
x
U
g
U
D
h f L
f 0 , 4 2 9 , 8 2 ,^567 /
2 2
Q AU D U (^ )^2 , 567 0 , 323 m ³/ s 323 L / s 4
2 2
e, em consequência, a vazão transportada:
5. 4. Exercícios resolvidos
5. 4. 1. Dois tubos em paralelo, usados, unem dois reservatórios. O primeiro tubo é de ferro fundido (C= 100 ), extensão igual a 2. 500 m e diâmetro igual a 1200 mm. O segundo tubo é também de ferro fundido (C= 90 ), extensão igual a
- 500 m e diâmetro igual a 1000 mm. O desnível entre os reservatórios é igual a 3 , 6 m. Pede-se: a) Qual seria o comprimento equivalente de um tubo de aço revestido ( C = 140 ) D = 1500 mm? b) Qual é a vazão total transportada pelos tubos existentes? c) Qual deveria ser o desnível entre os reservatórios para que os tubos existentes transportassem 4 , 5 m³/s?
Fig. 5.8 – Exercício resolvido 5.4.1: enunciado
Resolução:
A fórmula de Hazen-Williams é:
4 , 87
1 , 85
D
L
C
h Q
f
e pode ser re-escrita como: L
D
L Q
D
Q
C
h n
m f =^4 , 87 =^
1 , 85 1 , 85
em que: 1 , 85
10 , 643 C
= m =^1 ,^85 n =^4 ,^87
O valor de é então determinado para cada trecho:
0 , 00212 100
10 , 643 10 , 643 = 100 = 1 , 85 = 1 , 85 = C
C 0 , 00258 90
10 , 643 10 , 643 = 90 = 1 , 85 = 1 , 85 = C
C
0 , 00114 140
10 , 643 10 , 643 = 140 = 1 , 85 = 1 , 85 = C
C
Utilizando a expressão 5. 2 : =
=
k i
m i i
m in eq eq
eqn L
D L
D 1
(^11)
obtemos:^1 ,^85
4 , 87 1 1 , 85 4 , (^871) , 851 4 , 87 1 0 , 00258 2500
Leq x x
Leq = 13782 m
