Análise de Distribuições e Equações em Mecânica Quântica, Notas de aula de Energia

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Condensados de Bose-Einstein: um estudo

variacional

Paulo Roberto Borba Pedreira

11 de janeiro 2000

Conteúdo

Capítulo 1

INTRODUÇÃO

Às dez horas e cinquenta e quatro minutos do dia cinco de junho de 1995 foi observado, pela primeira vez, o produto real da condensação de Bose-Einstein [1]. Cerca de 2000 átomos de 87 Rb foram aprisionados em uma armadilha magnética e esfriados, por laser e evaporativamente, até à temperatura de 170 nanokelvins [2]. O conjunto de átomos torna-se um “átomo gigante”, formado por uma bola de átomos de 87 Rb, tão estacionários quanto permitido pelas leis quânticas, com todos os seus constituintes no mesmo estado quântico comportando-se como uma única entidade, o Condensado de Bose-Einstein (CBE). Esta bola estava envolta por uma nuvem difusa destes mesmos átomos. Antes de registrar este átomo gigante em imagens, os físicos resfriaram o condensado até a incrível marca de vinte nanokelvins: a temperatura mais baixa jamais conseguida em qualquer parte do Universo até esta data[1]. O condensado, o qual pode ser visto como um novo estado da matéria, foi predito há 70 anos atrás por Bose[3] e Einstein[4], mas nunca observado até então. Logo após esta descoberta, novos condensados foram observados: CBE com átomos de 23 Na[5], e com átomos de 7 Li[6], entre outros mais recentes tais como os CBE de 7 Li [7], o de (^87) Rb [8, 9] e o de 23 Na [10].

Em 1924, o físico indiano Satyendra Nath Bose, em um artigo enviado a Al- bert Einstein, usou agumentos de mecânica estatística para deduzir o espectro de radiação de corpo negro. Einstein estendeu o modelo estatístico para incluir sistemas com número de partículas conservado[4], utilizando a idéia recente de de Broglie¤ de associar ondas à matéria. O resultado deste trabalho conjunto é a estatística de Bose-Einstein, e as partículas obedecendo esta estatística são os bósons. Estava previsto então, que em temperaturas su…cientementes baixas, átomos formando um gás não-interagente condensariam, ao ponto onde todos cairiam no mesmo estado, comportando-se essencialmente como um único átomoy. Devido a todos estes aspectos que cercam o condensado de Bose-Einstein, o interesse em entender mais sobre ele reacendeu, tanto teórico quanto experimental- mente, e muitos físicos assestaram suas objetivas sobre o CBE. Tragados por esta onda, provocada pelo novo estado da matéria, ou pelo super-átomo, nós desenvolve- mos esta monogra…a. Neste trabalho, no próximo capítulo, teremos uma introdução experimental ¤Anterior à Schrodinger estabelecer as bases da Mecânica Quântica; foi a primeira vez que alguém

usou, ou se referiu, ao conceito de ondas de matéria de de Broglie[11]. yCondições similares existem em um laser, onde fótons viajam em uma forma coordenada, gerando

um feixe de luz coerente[1].

Introdução 4

ao CBE, principalmente às técnicas utilizadas para o resfriamento dos átomos [12, 13, 14], e também noções básicas da teoria sobre a qual se apoia o estudo sobre o condensado[15] e, em particular, ressaltaremos a equação de Gross-Pitaevskii[16]. Esta equação é obtida via a teoria de campo médio, e tem sido usado para descrever os estados fundamental e com vórtices de um CBE. Para a resolução da equação de Gross-Pitaevskii, vários procedimentos numéri- cos [18, 19, 20, 21, 22] e métodos analíticos de aproximação[23] tem sido utilizados. Entre estes esquemas, chama a atenção o esquema proposto por Baym e Pethick[23], para obter uma aproximação dos valores numéricos experimentais encontrados por Anderson et al[2]. Neste esquema de aproximação variacional, a função teste usada tem a forma do estado fundamental do potencial da armadilha. Esta função é uma Gaussiana tridimensional, cujos parâmetros variacionais são as frequências axial e transversal da armadilha magnética. Como veremos mais tarde no capítulo 4, esta forma somente fornece bons resultados quando o número de átomos na armadilha é muito pequeno. Quando o número de átomos cresce, a interação repulsiva entre os átomos de 87 Rb tende a fazer com que o condensado se expanda, e o per…l da densi- dade na região central, onde ela é máxima, aplaine. A Gaussiana consegue fornecer uma descrição da expansão do CBE, mas é impotente quanto à descrição do per…l da densidade. Outra aproximação, a aproximação de Thomas-Fermi [21, 22, 23], fornece uma função de onda que é válida quando o número de átomos é muito grande, o que é o caso em condensados mais recentes[24]. É óbvio que é de grande interesse termos uma função de onda que possua estes comportamentos limites e que forneça boa aproximação também fora dessas condições limites. Nesta direção, Fetter [25] propôs, baseando-se no método variacional, uma função teste para analisar o estado fundamental de bósons, em armadilhas tanto isotrópicas quanto anisotrópicas, para átomos com interação repulsiva, por exemplo o 87 Rb. A função de Fetter interpo- la suavemente entre o gás ideal (número muito pequeno de átomos) e o limite de Thomas-Fermi (número muito grande de átomos). Entretanto, a função teste de Fet- ter não é adequada para estudar o condensado com interação atrativa entre os bósons, isto porque a energia variacional somente acha o seu mínimo quando a função tende para uma Gaussiana. No capítulo 3, visando obter um melhor entendimento qualitativo da função teste a ser empregada no estudo da equação de Gross-Piteaevskii, analisaremos de- talhadamente uma situação mais simples: a do oscilador anarmônico com energia potencial V (x) = ¸ jxj^2 n, (n > 0). Inicialmente, empregaremos uma função teste Gaussiana que veri…caremos aproximar bem somente para o caso n próximo de um. Tendo em vista este fato, partiremos para a utilização de uma nova função teste. Motivados pela estatística generalizada de Tsallis[26] e baseados na respectiva gene- ralização da exponencial, consideraremos a generalização da função Gaussiana, que utilizaremos como função teste; esta função é conhecida como Gaussiana generalizada ou Gaussiana-q, ou ainda Tsallisiana. A Tsallisiana é dependente de um parâmetro real q, a qual nos fornece uma indicação do quanto ela se afasta da Gaussiana. Como veremos, os resultados obtidos com a Tsallisiana como função teste são impressionan- temente acurados. No capítulo 4, veremos que o funcional de Gross-Pitaevskii fornecerá uma

Capítulo 2

CONDENSADO DE BOSE-EINSTEIN

Descrevemos resumidamente o arranjo experimental e a teoria relativos à con- densação de Bose-Einstein para átomos alcalinos. Esta apresentação é direcionada à exposição, em linhas gerais, da conexão entre os recentes experimentos, datados da segunda metade da decáda de 90, relativos à condensação de átomos e à equação de Gross-Pitaevskii. Inicialmente tecemos alguns comentários sobre o arranjo expe- rimental que permitiu veri…car a existência de condensados para átomos alcalinos. A seguir apresentamos sucintamente como pode ser obtida a equação para um conden- sado, a equação de Gross-Pitaevskii. Assim, este capítulo é basicamente importante para motivar, contextualizar e estabelecer a notação empregada nas discussões sobre os condensados de Bose-Einstein (CBE) estudados nos capítulos seguintes.

2.1 Arranjo experimental.

Desde o início dos anos 70 tem havido um interese crescente, por parte de experimentais, de encontrar um condensado de Bose-Einstein em um gás diluído à baixa temperatura. Um dos primeiros candidatos foi o gás de átomos de hidrogênio com polarização de spin (H")[15]. Estes átomos eram imaginados estáveis como um gás, mesmo à T = 0 K. Este fato devia-se aos átomos de H" não poderem se combi- nar, posto que não existem estados ligados do potencial interatômico entre dois tais átomos. Logo, a fase sólida, bem como a fase líquida, não poderiam ser formadas [34]. Entretanto, em densidades altas, as interações de três corpos tornam-se importantes. Estas interações trocam os spins de alguns átomos permitindo, deste modo, a combi- nação entre eles e a respectiva formação de moléculas de H 2. As densidades mais altas eram uma imposição da técnica de resfriamento criogênico. Por meio desta técnica era possível obter temperaturas de aproximadamente 10 ¡^4 K, mas não inferiores¤. O candidato mais provável ao CBE passou a ser um gás diluído de átomos alcalinos: Li, N a, K, Rb ou Cs. Estes átomos tem a seu favor as suas transições ópticas, excitáveis pelos lasers disponíveis, e as suas estruturas internas de níveis energéticos são favoráveis ao resfriamento por lasers até a temperaturas muito baixas. A estratégia utilizada para observação do primeiro CBE foi desacelerar o gás de átomos alcalinos, inicialmente à temperatura ambiente, por laser e capturá-lo em uma armadilha criada por diodos lasers. Esta técnica permitiu atingir temperaturas da ordem de 10 ¡^6 K. Porém esta ordem de grandeza da temperatura ainda é insu…ciente

¤O CBE de H" foi observado, pela primeira vez, em junho de 1998, após quase 20 anos de trabalho[35].

Arranjo experimental. 7

para a formação do CBE e, como átomos alcalinos podem ser aprisionados em armadi- lhas magnéticas (possuem estrutura de “um eletron” e seus spins podem ser alternados controladamente), o gás de átomos alcalinos aprisionado magneto-opticamente pode ser novamente esfriado, desta vez evaporativamente, até a temperatura necessária. Combinando as técnicas de esfriamento por laser e esfriamento evaporativo, os cien- tistas puderam obter sucesso em atingir a temperatura e a densidade necessárias à formação do CBE. Pesquisadores[2] usaram armadilhas ópticas e magnéticas para criar o CBE, uma pequena bola de átomos de 87 Rb, os quais eram tão estacionários quanto permi- tido pelo princípio da incerteza. Esta bolinha, envolvida por uma nuvem difusa de átomos de 87 Rb normais (temperaturas mais altas) foi o primeiro CBE observado. Este CBE foi criado dentro de uma pequena câmara de vidro (…gura (1.1)), com vácuo de aproximadamente 10 ¡^11 Torr, envolvida por uma arranjo de magnetos, lasers e computadores em um laborátorio do Joint Institute Laboratory for Astro- physics (JILA). Começando com um gás, inicialmente à temperatura ambiente, estes pesquisadores frearam os átomos com laser, através da absorção de fótons com uma determinada energia e a emissão de fótons com energia mais alta, e os capturaram em uma armadilha óptica (criada por diodos lasers similares aos utilizados em im- pulsionadores de discos compactos, CD’s). Os lasers eram alinhados de modo a bombardearem os átomos a partir de qualquer direção: pela frente, por trás, pela direita, pela esquerda, por cima e por baixo[1].

Figura 1 : 1 - Con…guração magneto-óptica: Três pares de feixes de laser contra-propagando com polarizações de spin opostas (¾+^ e ¾¡) superpos- tos ao campo magnético das bobinas de Helmholtz.y

O comprimento de onda dos fótons foram escolhidos de maneira que estes somente interagiriam com átomos que estivessem se movendo na mesma direção e em

yEstas imagens (…guras 1.1 e 1.2) foram obtidas de Mike Mathews, membro do grupo de JILA, via http://jilawww.colorado.edu/www/press/images.html

Operadores energias cinética e potencial 9

destruição de partículas e Ãb

(r;t) o operador de criação. Neste contexto o operador densidade de partículas é bn (r; t) = Ãb

(r;t)Ã(r;t), e o operador número corresponde a sua integral,

N^ b =

Z

bn (r; t) d^3 r =

Z

Ãb+ (r;t)Ãb(r;t)d^3 r: (2.1)

Assim, os valores esperados de bn(r; t) e Nb fornecem a densidade média de partículas

e o número médio de partículas, respectivamente. A integral constante em Nb, assim como as demais constantes neste capítulo, referem-se a todo o volume ocupado pelo sistemaz.

Figura 2 : 2 - Imagem com simulação em cor da distribuição de velocidades em uma nuvem de átomos de 87 Rb. a) - pouco antes da condensação de Bose-Einstein; b) - exatamente após aparecer a condensação, e c) - após alguma evaporação, quando …camos com uma amostra do condensado quase puro.

2.3 Operadores energias cinética e potencial

Os demais operadores relativos às grandezas físicas são também escritos em

termos de Ãb(r;t) e Ãb

(r;t). Por exemplo, a energia cinética para um conjunto de partículas idênticas de massa m é

E^ b(c)^ =

Z

Ãb+ (r;t)

μ ¡

}^2

2 m

r^2

Ãb(r;t)d^3 r; (2.2)

zOs operadores à (^) e Ã+^ dependem continuamente de r. Caso as partículas tenham spin não nulo, estes operadores dependerão do estado de spin. Além disto, as integrais em (2.1) e nas demais equações deste capítulo devem ser substituídas por uma operação dupla: integral espacial e somatória nos estados de spin.

O Hamiltoniano e a equação de movimento para à 10

e a energia potencial de interação das partículas devido a um potencial externo V (r; t) é dada por

E^ b(p)^ =

Z

Ãb+ (r;t) V (r; t) Ãb(r;t) d^3 r =

Z

V (r; t) nb (r; t) d^3 r: (2.3)

Por sua vez, a energia de interação entre as partículas envolve mais que dois operadores de campo. No caso de uma interação tipo par, U(r 1 ; r 2 ; t), a energia correspondente toma a forma

E^ b(U^ )^ =^1 2

Z

bÃ+ (r 1 ;t)bÃ+ (r 2 ;t)U(r 1 ; r 2 ; t)Ãb(r 2 ;t)bÃ(r 1 ;t)d^3 r 1 d^3 r 2 : (2.4)

Geralmente temos U(r 1 ; r 2 ; t) =U(r 1 ¡ r 2 ) indicando que esta interação depende ex- clusivamente da posição relativa entre as partículas.

2.4 O Hamiltoniano e a equação de movimento para Ã

Basicamente, para a formação do operador Hamiltoniano do sistema devemos levar em conta todas as contribuições de energia cinética, de interação com campos externos, interação entre duas partículas, etc. Por exemplo, o Hamiltoniano para um sistema de partículas idênticas em um campo externo V (r; t) e com interações do tipo par U (r 1 ; r 2 ; t) é

H^ b =

Z ·

Ãb+ (r 1 ;t)

μ ¡

}^2

2 m

r^2

Ãb(r 1 ;t) + bÃ+ (r 1 ;t)V (r 1 ; t) Ãb(r 1 ;t) +

Z

bÃ+ (r 1 ;t)Ãb+ (r 2 ;t)U(r 1 ; r 2 ; t)Ãb(r 2 ;t)Ãb(r 1 ;t)d^3 r 2

d^3 r 1 : (2.5)

Como continuação desta breve discussão sobre segunda quantização, notemos

que os operadores Ãb(r;t) e Ãb

(r;t) satisfazem algumas regras de comutação a depender do tipo de partícula que descrevem: férmions ou bósons. Mais precisamente, h bÃ(r 1 ;t); Ãb+ (r;t)

i

§

= ± (r ¡ r 1 ) (2.6)

e h Ãb(r 1 ;t); Ãb(r;t)

i

§

h Ãb+ (r 1 ;t); bÃ+ (r;t)

i

§

onde

h A;b Bb

i

§

= Ab Bb § Bb A :b (2.8)

O sinal “+” (anti-comutador) corresponde ao caso fermiônico e o sinal “¡” (comu- tador) ao caso bosônico.

Equação de Gross-Pitaevskii 12

2.5 Equação de Gross-Pitaevskii

Quando se supõe a existência de um condensado, é razoável (para não dizer

natural) supor que o operador de campo bÃ(r;t) comporte-se aproximadamente como seu valor médio[17]. Matematicamente,

Ã^ b(r;t) = ª(r;t) + ¢Ãb(r;t); (2.14)

onde

ª(r;t) =

D

bÃ(r;t)

E

e ¢Ãb(r;t) é a diferença entre Ãb(r;t) e

D

Ãb(r;t)

E

, aqui considerada pequena. Assim,

substituiremos sistematicamente de agora em diante

Ã^ b(r;t) por ª(r;t) e bÃ+ (r;t) por ª¤(r;t): (2.16)

Consequentemente, se levarmos a cabo esta substituição na equação de movi- mento para o operador de campo (2.13), obtemos

@ª(r;t) @t

μ ¡

}^2

2 m

r^2 + V (r;t)

ª(r;t) +

·Z

ª¤(r 1 ;t)U (r 1 ; r; t)ª(r 1 ;t)d^3 r 1

ª(r;t): (2.17)

Além desta aproximação, podemos empregar

U (r 1 ; r 2 ) = U 0 ± (r 1 ¡ r 2 ) : (2.18)

Em outras palavras, a interação interpartículas pode, com boa aproximação, ser con- siderada desprezível quando as partículas estão distantes (baixa densidade) e é rele- vante somente quando elas estão muito próximas. Além disto, em baixas temperatu- ras, o comprimento de onda de de Broglie para os átomos é muito grande comparado com o alcance da energia potencial interatômica[30]. Empregando esta aproximação na equação (2.17) e fazendo a integração em r 1 veri…camos que

@ª(r;t) @t

μ ¡

}^2

2 m

r^2 + V (r;t)

ª(r;t) + U 0 jª(r;t)j^2 ª(r;t): (2.19)

(2.19) é uma equação de Schroedinger não-linear (ESNL), a equação de Gross-Pitaevskii [16], para a função de onda do condensado ª(r;t). Adicionada a esta equação devemos ter a condição de normalização

Z ª¤(r;t)ª(r;t) d^3 r =N (2.20)

advinda da equação (2.1). Aqui N é o número de partículas do condensadox.

xOutras referências autorizadas no assunto, contendo amplas discussões e referêrncias bibliográ- …cas, são [31, 32, 33].

Solução estacionária 13

2.6 Solução estacionária

Para obtermos a solução estacionária da equação de Gross-Pitaevskii, podemos considerar que

ª(r;t) = exp

t

Ã(r); (2.21)

onde ¹ é uma constante (como veremos no capítulo 4, ¹ é o potencial químico do condensado). A substituição desta função na equação (2.19) quando o potencial externo não depende expicitamente do tempo, conduz à equação de Gross-Pitaevskii independente do tempo, isto é,

· ¡

}^2

2 m

r^2 + V (r) + U 0 jÃ(r)j^2

Ã(r) = ¹Ã(r): (2.22)

A obtenção da solução aproximada (estados fundamental e com vórtices) desta equação para os condensados de 87 Rb e 7 Li, via método variacional, é o principal objetivo desta monogra…a.

Oscilador anarmônico: estados Gaussianos 15

variacionalmente. Conforme discutido no apêndice A1, construímos a integral

D

Hb

E

D

ªj Hbjª

E

hªjªi

R^1

¡

e¡^

a^22 x^2 ³^ ¡~ 2 2 m

d^2 dx^2 +^ ¸^ jxj

2 n

e¡^

a^22 x 2 dx

R^1 ¡

e¡a^2 x^2 dx

Neste ponto, é de bom alvitre fazermos um preâmbulo a respeito do Hamiltoni- ano usado em (3.3). É sempre conveniente escolhermos variáveis especiais de modo a simpli…carmos ao máximo a expressão original. Isto, por sua vez, simpli…ca bastante a análise a ser efetuada. Em nosso caso particular construímos um Hamiltoniano na forma escalonada e independente dos parâmetros experimentais,

H^ b = ¡^1 2

d^2 d»^2

j»j^2 n^ ; (3.4)

usando » = ¯x. Com esta mudança de variável vemos que

H^ b = ¡ ~

2 2 m

d^2 dx^2

• ¸ jxj^2 n^ = ¡

~^2

2 m

¯^2

d^2 d»^2

j»j^2 n ¯^2 n^

Para obtermos a estrutura da Equação (3.4) com Hb = ® Hb devemos supor que

~^2 ¯^2 2 m

¯^2 n^

implicando

¯^2 =

μ 2 ¸m ~^2

¶ (^) 1+^1 n e ® =

~^2

m

μ 2 ¸m ~^2

¶ (^) 1+^1 n : (3.7)

Assim, podemos exibir grá…cos e tabelas de valores médios e outras grandezas, derivadas do Hamiltoniano, em unidades de ®. Tendo em vista estas notas, o problema é reduzido a análise de D Hb

E

N

Z^1

¡

e ¡ a ¯^22 » 22

μ ¡

d^2 d»^2

j»j^2 n

e ¡ a ¯^22 » 22 d»; (3.8)

onde N é o fator de normalização, de…nido como

N =

Z^1

¡

e ¡ a ¯^22 »^2 d»: (3.9)

Calculando a derivada segunda e substituindo em (3.8), temos

D Hb

E

N

Z^1

¡

a^4 ¯^4

»^2 e¡^

a^2 ¯^2 » 2 d» +

Z^1

¡

a^2 ¯^2

e¡^

a^2 ¯^2 » 2 d» +

Z^1

¡

j»j^2 n^ e¡^

a^2 ¯^2 » 2 d»

A :

Oscilador anarmônico: estados Gaussianos 16

Como as duas primeiras integrais podem ser consideradas casos especiais da terceira integral, calcularemos diretamente a última. Inicialmente notamos que

Z^1

¡

j»j^2 n^ e ¡ (^) ¯a^22 »^2 d» = 2

Z^1

0

»^2 ne ¡ a ¯^22 »^2 d» =

¯^2 n+ a^2 n+

Z^1

0

z(n¡^1 =2)e¡zdz; (3.11)

onde …zemos a mudança de variável ditada pela relação a^2 »^2 =¯^2 = z. Por outro lado, usando a representação integral de Euler para a função Gama (ver ref. [36], pág. 933, equação 8.310.1),

¡(t) =

Z^1

0

z(t¡1)e¡z^ dz, Re (t > 0) , (3.12)

com (^) t = n + 1= 2 , obtemos

Z^1

¡

j»j^2 n^ e ¡ a ¯^22 »^2 d» =

μ ¯ a

¶ 2 n+ ¡(n + 1=2): (3.13)

Logo, empregando este resultado com n = 1 e n = 0 temos para as demais integrais de interesse em (3.10)

Z^1

¡

»^2

e¡^

a^2 ¯^2 » 2 d» =

p¼ 2

a

p ¼ (^) ®¯

Após agruparmos os termos, chegamos ao valor médio do Hamiltoniano em função dos parâmetros (^) a e (^) ¯;

D Hb

E

μp ¼ 2

a^2 ¯^2

• ¡(n + 1=2)¯^2 na¡^2 n

O valor de a para o qual

D

Hb

E

tem um extremo, neste caso um mínimo, é

obtido através da equação

D

Hb

E

@a

a=a 0

μ p ¼

a 0 ¯^2

¡ 2 n ¡(n + 1=2)¯^2 na¡ 02 n¡^1

cuja solução pode ser escrita como

a 0 = ¯

μ 2 n ¡(n + 1=2) p ¼

¶ (^2) n (^1) + : (3.17)

Substituindo este resultado em (3.15), temos o extremo, mínimo, do valor médio do Hamiltoniano

D Hb

E

min

μ ¡(n + 1=2) p ¼

¶ (^) n+1^1 " 1 2

(2n )

1 n+1 (^) +

μ 1 2 n

¶ (^) nn+1^ # : (3.18)

Gaussianas generalizadas 18

1 2

0,

0,

0,

0,

1,

1 2

0 ,

0 ,

0 ,

0 ,

1 ,0 (^2 )

0 ,

0 ,

0 ,

0 ,

5 10 1 ,0 15

0,

0,

0,

0,

1,

2 4

0,

0,

0,

0,

1,0 (^2 4 6 8 )

0 ,

0 ,

0 ,

0 ,

1 , ψψ (x^1

) 1 ψψ (x^1

) 1

ψψ (x^1

) 1 ψψ (x^1

) 1

ψψ (x^1

) 1

n = 3 (^) n = 10

x 1 x^1

x 1 x^1

x 1 x^1

n = 1

n = 0 .0 5

ψψ (x^1

) 1

n = 0.

n = 0.

Figura 3 : 2 - Funções de onda do estado fundamental do oscilador anar- mônico, para vários n’s. A linha sólida foi obtida numericamente, e a linha tracejada variacionalmente, através de uma função teste Gaussiana.

3.2 Gaussianas generalizadas

Consideraremos agora funções testes que se ajustem melhor às condições con- cretas do problema e que ainda propiciem uma fácil manipulação algébrica. Dito de outra maneira, quando n > 1 deveremos ter um estado com cauda mais curta que a da Gaussiana, indicando o carácter mais fortemente con…nante do potencial. Por outro lado, quando n < 1 teremos uma situação mais fracamente con…nante e, portanto, o estado fundamental deve ter cauda mais longa do que aquela de uma função Gaussiana. Uma classe de funções, que satisfaz todos estes requisitos e ao mesmo tempo propicia uma manipulação algébrica relativamente fácil, é a função Gaussiana generalizada baseada na estatística de Tsallis (função Tsallisiana). No apêndice A2 apresentamos de maneira sucinta uma introdução sobre a estatística de Tsallis, ressaltando a seguinte generalização da função exponencial

exq ´ expq(x) ´ [1 + (1 ¡ q)x] 1 ¡^1 q : (3.19)

Neste contexto, é natural considerarmos como generalização da distribuição Gaus- siana

Tq(x) = expq(¡x^2 ) ´ [1 + (1 ¡ q)(¡x^2 )]

1 1 ¡q (^). (3.20)

Oscilador anarmônico: Gaussiana generalizada 19

Grá…cos ilustrando o comportamento desta generalização da função Gaussiana estão expostos na …gura (3.3). A partir desta …gura …ca claro que: para q > 1 temos funções com caudas longas e para q < 1 as funções tem caudas curtas como desejado. Isto é, Tq(x) para q < 1 é não nula somente para jxj <

p 1 =(1 ¡ q), em conformidade com a interpretação probabilística da exponencial generalizada discutida no apêndice A2.

0

1

-15 -10 -5 (^5) x 10 15

Figura 3.3 - Grá…co da Gaussiana generalizada, ou Tsallisiana, para al- guns valores de q. A linha tracejada é a Lorentziana (q = 2), a linha sólida é uma Gaussiana (q = 1) e a linha ponto-ponto-traço é a Tsallisiana com q = 1= 2.

3.3 Oscilador anarmônico: Gaussiana generalizada

Iremos agora proceder a outro cálculo aproximado da energia para o estado fundamental do oscilador anarmônico, descrito pelo Hamiltoniano (3.4). Usaremos como função teste a Tsallisiana

Ãq(») = expq

μ ¡

»^2

2 G

1 + (1 ¡ q)

μ ¡

»^2

2 G

¶¸ (^1) ¡^1 q , (3.21)

onde q e G são os parâmetros a ajustar, via extremização do valor esperado do Hamiltoniano. Empregaremos para n < 1 uma função de onda com cauda mais longa que a da Gaussiana, isto é, q > 1. Neste caso, o limite de integração deve cobrir todo o espaço, desde ¡1 até + 1 : Por outro lado, se n > 1 , o potencial é mais fortemente con…nante, o que implica soluções com caudas curtas, ou seja, q < 1 e, portanto, conduzindo a cortes. São estes valores dos cortes, tomados como limites de integração, que correspondem aos valores de » limítrofes da região Ãq 6 = 0, ou 1 ¡ (1 ¡ q)(»^20 = 2 G) = 0, fornecendo

»§ 0 = §» 0 = §

p 2 G=(1 ¡ q); (3.22)