Baixe Conceitos, classificação e construção de triângulos e outras Provas em PDF para Trigonometria, somente na Docsity!
Conceitos e fórmulas
1).- Triângulo definição e elementos principais :
Definição - Denominamos triângulo (ou trilátero) a toda figura do plano euclidiano formada por três segmen- tos AB, BC e CA, tais que os pontos A, B, C não estão numa mesma linha reta.
Definição - Na notação acima, a cada triângulo estão associados nove elementos principais:
- seus três lados: AB, BC e CA;
- seus três vértices, os pontos A, B e C;
- seus três ângulos (internos), ∢ A , ∢ B , ∢ C , os
quais são assim definidos: ∢ A é o ângulo de vér-
tice A e que contém todos os pontos do lado BC
(também costuma ser designado por ∢ BAC );
análoga definição para os outros dois lados, cf. figura:
∢ B = ∢ ABC , ∢ C = ∢ ACB.
O lado BC é dito lado oposto ao vértice A e por isso sua medida é denotada por a. Análoga-
mente o lado AC é o lado oposto ao vértice B, e sua medida é denotada por b , e o lado AB é o
lado oposto ao vértice C, e sua medida é c.
Classificação dos triângulos quanto aos lados -
- equilátero: todos os lados têm o mesmo comprimento: a = b = c.
- isósceles (do grego: isos=igual, skelós=pernas): tem dois lados com mesmo comprimento (alguns autores exigem que sejam exatamente dois os lados de mesmo comprimento).
- escaleno (do grego: skalenon=desigual): os comprimentos dos lados são diferentes.
Classificação dos triângulos quanto aos ângulos -
- retângulo: tem um ângulo de 90 graus; (o lado oposto a este ângulo é a hipotenusa, os outros lados são os catetos do triângulo)
- obtuso: tem um ângulo maior do que 90 graus;
- agudo: todos seus ângulos medem menos do que 90 graus.
2).- Triângulo teoremas essenciais :
- Em qualquer triângulo, a soma dos três ângulos vale 180 graus.
- Em qualquer triângulo, cada lado é menor do que a soma dos dois outros.
- Em qualquer triângulo, cada lado é maior que a diferença entre os outros dois.
Exercício -
Na notação usual, indiquemos por a , b ,c o comprimento dos lados de um triângulo qualquer. o
segundo teorema acima diz que: a b c , b a c , c a b. Pede-se mostrar que também vale:
b − c a b c^ ,^ c − b a c b^ , e resultados análogos para b e c.
3).- Existência e construção de triângulos
Tratemos de obter resultados que nos permitam decidir se numa dada situação o que parece ser um triângulo realmente é um triângulo, ou se um dado triângulo realmente tem uma certa propriedade. Para ter uma ideia inicial da importância disso, resolva os exercícios a seguir.
Exercício - Na figura ao lado, o triângulo ABC é isósceles. Pede-se decidir se ADC é um triângulo. (Isto, obviamente, equivale a decidir se A, B e D são colineares.)
Exercício - Na figura ao lado, o segmento FG mede 8 unidades de comprimento e a altura HE mede 7. O ponto H foi escolhido de modo que o triângulo EFG seja isósceles. A figura parece mostrar que EFG é equilátero, e isso parece ser confirmado por medição com régua. Pede- se decidir a veracidade disso por raciocínio. Resp.:
^64 e^ ^65 diferem por cerca de 0,06. Ou seja, se a unidade de
comprimento for o centímetro ( e assim FG mediria 8 cm), a diferença acima seria de 0,06 cm = 0,6 mm.
- Primeiro caso de existência São dadas três retas que se interceptam duas a duas; deseja-se saber se unindo os pontos de in- tersecção produzimos um triângulo. Se cada reta interceptar as outras e elas não forem concorrentes (concorrentes = as retas têm o mesmo ponto de intersecção) fica definido um triângulo. Se as retas forem concorrentes ou se ao menos duas delas forem paralelas não temos três pontos de intersecção, logo não se define triângulo. - Segundo caso São dados três comprimentos (a, b, c) e deseja-se saber se existe algum triângulo cujos lados tenham os comprimentos dados. Teremos um triângulo se cada comprimento for menor do que a soma dos dois outros. Em verda- de, basta que o maior dos três comprimentos seja menor do que a soma dos dois outros. Um caso comum de não existência de triângulo é quando AB = BC + CA, situação onde o ponto C está no segmento AB, logo os três pontos são colineares. - Terceiro caso São dados um segmento de reta e dois ângulos de vértices nas extremidades do segmento.
Ou seja, são dados AB e os ângulos ∢ A e ∢ B , e deseja-se saber se tem sentido falar no
triângulo ABC.
Além dos lados, as cevianas mais importantes são as alturas, as medianas e as bissetrizes, as quais são exemplificadas na figura a seguir; nessa figura também aparece um outro tipo de segmento importante, embora não ceviano, a mediatriz:
Associados a esses segmentos secundários, temos quatro pontos notáveis que frequentemente aparecem em problemas olímpicos: o baricentro (ou centro de gravidade), o incentro, o circun- centro, e o ortocentro; eles são usualmente denotados por BICO. Deles, enfatizaremos apenas o primeiro e o terceiro; confira no texto do Prof. Lucas Octávio de Souza:
Completando o BICO, temos:
. o incentro , que é o ponto de encontro das três bissetrizes do triângulo; ponto muito importante pois é o centro da circunferência inscrita no triângulo; . o ortocentro, que é o ponto de encontro das três alturas do triângulo.
Vejamos como se relacionam os segmentos e pontos secundários nos casos particulares de triân- gulos isósceles, retângulos e equiláteros (novamente, usando o texto do Prof. Lucas Octávio):
6).- Relações entre as linhas notáveis do triângulo
Nível 1 Neste nível a ênfase é nos triângulos retângulos, equiláteros e isósceles. Para esses casos, basta conhecer as relações de linhas no triângulo retângulo , pois as dos outros dois casos são facil- mente dedutíveis do caso retângulo (vide exercícios, parte prática).
Nível 2 Além das fórmulas do nível 1, temos fórmulas que usam as funções trigonométricas. Não tratare- mos delas, pois o assunto Trigonometria está fora dos conteúdos de nossa olimpíada.
Nível 3 A novidade é o uso do Teorema de Stewart. Com ele, podemos calcular o comprimento de qual- quer ceviana.
Exercício - Se um triângulo ABC for semelhante a outro triângulo A'B'C', e a razâo de semelhança valer k,
então (área de A'B'C') = k^2 × (área de ABC).
Como decidir se existe semelhança entre dois triângulos dados?
O resultado chave para decidirmos essa questão é o
Teorema das paralelas de Thales - Todo feixe de retas paralelas que corta duas retas dadas determina, sobre estas, duas sequências de segmentos proporcionais. A figura a seguir ilustra esse resultado no caso de um feixe com quatro paralelas, as quais determinam segmentos a, b, c, d na primeira reta secante ao feixe, e segmentos a', b', c', d' na segun- da reta secante, de modo que temos a proporção:
a '
a
b '
b
c '
c
d '
d
Corolário – (teorema fundamental da semelhança) Em um triângulo, toda reta paralela a um dos lados e que corta os outros dois lados (não pelo vértice em comum) determina um segundo triângulo semelhante ao primeiro.
Condições garantindo a semelhança de dois triângulos dados:
Exercício modelo - Na figura ao lado, determinar o valor de x = BC. Resp.: Verifique que existem dois triângulos semelhantes (um deles é ABC e aplique o caso AA) escreva a correspondente proporção entre os lados e dela deduza algebricamente o valor de x = 8.
