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Este documento aborda os conceitos fundamentais de triângulos, sua classificação com base em lados e ângulos, além de fornecer condições para a existência e construção de triângulos. São apresentados exercícios didáticos relacionados à definição e existência de triângulos.
Tipologia: Provas
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Não perca as partes importantes!
Definição - Denominamos triângulo (ou trilátero) a toda figura do plano euclidiano formada por três segmen- tos AB, BC e CA, tais que os pontos A, B, C não estão numa mesma linha reta.
Definição - Na notação acima, a cada triângulo estão associados nove elementos principais:
tice A e que contém todos os pontos do lado BC
análoga definição para os outros dois lados, cf. figura:
Classificação dos triângulos quanto aos lados -
Classificação dos triângulos quanto aos ângulos -
Exercício -
Tratemos de obter resultados que nos permitam decidir se numa dada situação o que parece ser um triângulo realmente é um triângulo, ou se um dado triângulo realmente tem uma certa propriedade. Para ter uma ideia inicial da importância disso, resolva os exercícios a seguir.
Exercício - Na figura ao lado, o triângulo ABC é isósceles. Pede-se decidir se ADC é um triângulo. (Isto, obviamente, equivale a decidir se A, B e D são colineares.)
Exercício - Na figura ao lado, o segmento FG mede 8 unidades de comprimento e a altura HE mede 7. O ponto H foi escolhido de modo que o triângulo EFG seja isósceles. A figura parece mostrar que EFG é equilátero, e isso parece ser confirmado por medição com régua. Pede- se decidir a veracidade disso por raciocínio. Resp.:
comprimento for o centímetro ( e assim FG mediria 8 cm), a diferença acima seria de 0,06 cm = 0,6 mm.
- Primeiro caso de existência São dadas três retas que se interceptam duas a duas; deseja-se saber se unindo os pontos de in- tersecção produzimos um triângulo. Se cada reta interceptar as outras e elas não forem concorrentes (concorrentes = as retas têm o mesmo ponto de intersecção) fica definido um triângulo. Se as retas forem concorrentes ou se ao menos duas delas forem paralelas não temos três pontos de intersecção, logo não se define triângulo. - Segundo caso São dados três comprimentos (a, b, c) e deseja-se saber se existe algum triângulo cujos lados tenham os comprimentos dados. Teremos um triângulo se cada comprimento for menor do que a soma dos dois outros. Em verda- de, basta que o maior dos três comprimentos seja menor do que a soma dos dois outros. Um caso comum de não existência de triângulo é quando AB = BC + CA, situação onde o ponto C está no segmento AB, logo os três pontos são colineares. - Terceiro caso São dados um segmento de reta e dois ângulos de vértices nas extremidades do segmento.
triângulo ABC.
Além dos lados, as cevianas mais importantes são as alturas, as medianas e as bissetrizes, as quais são exemplificadas na figura a seguir; nessa figura também aparece um outro tipo de segmento importante, embora não ceviano, a mediatriz:
Associados a esses segmentos secundários, temos quatro pontos notáveis que frequentemente aparecem em problemas olímpicos: o baricentro (ou centro de gravidade), o incentro, o circun- centro, e o ortocentro; eles são usualmente denotados por BICO. Deles, enfatizaremos apenas o primeiro e o terceiro; confira no texto do Prof. Lucas Octávio de Souza:
Completando o BICO, temos:
. o incentro , que é o ponto de encontro das três bissetrizes do triângulo; ponto muito importante pois é o centro da circunferência inscrita no triângulo; . o ortocentro, que é o ponto de encontro das três alturas do triângulo.
Vejamos como se relacionam os segmentos e pontos secundários nos casos particulares de triân- gulos isósceles, retângulos e equiláteros (novamente, usando o texto do Prof. Lucas Octávio):
Nível 1 Neste nível a ênfase é nos triângulos retângulos, equiláteros e isósceles. Para esses casos, basta conhecer as relações de linhas no triângulo retângulo , pois as dos outros dois casos são facil- mente dedutíveis do caso retângulo (vide exercícios, parte prática).
Nível 2 Além das fórmulas do nível 1, temos fórmulas que usam as funções trigonométricas. Não tratare- mos delas, pois o assunto Trigonometria está fora dos conteúdos de nossa olimpíada.
Nível 3 A novidade é o uso do Teorema de Stewart. Com ele, podemos calcular o comprimento de qual- quer ceviana.
Exercício - Se um triângulo ABC for semelhante a outro triângulo A'B'C', e a razâo de semelhança valer k,
O resultado chave para decidirmos essa questão é o
Teorema das paralelas de Thales - Todo feixe de retas paralelas que corta duas retas dadas determina, sobre estas, duas sequências de segmentos proporcionais. A figura a seguir ilustra esse resultado no caso de um feixe com quatro paralelas, as quais determinam segmentos a, b, c, d na primeira reta secante ao feixe, e segmentos a', b', c', d' na segun- da reta secante, de modo que temos a proporção:
Corolário – (teorema fundamental da semelhança) Em um triângulo, toda reta paralela a um dos lados e que corta os outros dois lados (não pelo vértice em comum) determina um segundo triângulo semelhante ao primeiro.
Condições garantindo a semelhança de dois triângulos dados:
Exercício modelo - Na figura ao lado, determinar o valor de x = BC. Resp.: Verifique que existem dois triângulos semelhantes (um deles é ABC e aplique o caso AA) escreva a correspondente proporção entre os lados e dela deduza algebricamente o valor de x = 8.