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Guias e Dicas
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Computação Evolucionária em Problemas de Engenharia-Lopes, Heitor Silvério-2011, Manuais, Projetos, Pesquisas de Engenharia Elétrica

Apanhado de ferramentas de computação evolucionária utilizadas em projetos de engenharia.

Tipologia: Manuais, Projetos, Pesquisas

2017

Compartilhado em 15/03/2017

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Baixe Computação Evolucionária em Problemas de Engenharia-Lopes, Heitor Silvério-2011 e outras Manuais, Projetos, Pesquisas em PDF para Engenharia Elétrica, somente na Docsity!

Heitor Silvério Lopes

Ricardo Hiroshi Caldeira Takahashi

(Editores)

Computação Evolucionária em

Problemas de Engenharia

Prefácio

O projeto de sistemas de engenharia é um campo que requer, por

um lado, o conhecimento relacionado com cada disciplina de engenha-

ria (por exemplo: mecânica dos uidos, eletricidade, cálculo estrutu-

ral, etc), que constituem a base para a construção de dispositivos ou

sistemas que satisfaçam às necessidades de cada projeto. Por outro

lado, requer também o uso de técnicas capazes de tratar o grande

número de possíveis soluções de projeto, trazendo à luz as poucas

soluções possíveis que podem ser chamadas de ótimas, ou seja, que

representam sistemas com bom desempenho, econômicos e conáveis.

Estas técnicas são chamadas de técnicas de otimização. À medida em

que avança a tecnologia, torna-se cada vez mais importante o uso da

otimização, devido ao aumento da complexidade dos sistemas a serem

projetados, o que torna virtualmente impossível o projeto sem o uso

direto ou indireto destas técnicas.

Nas últimas décadas, pesquisadores procuraram desenvolver no-

vas abordagens para problemas de otimização, tendo como inspiração

os mecanismos de adaptação biológica presentes da natureza. Foram

desenvolvidos, por exemplo, novos algoritmos inspirados na teoria

da evolução das espécies, ou na observação de colônias de insetos

buscando alimento, ou ainda no sistema imunológico dos mamíferos

defendendo o organismo contra invasores. Tais algoritmos, coletiva-

mente conhecidos como técnicas de computação evolucionária, tem

revelado grande eciência para resolver satisfatoriamente inúmeros

problemas de projeto de engenharia. Atualmente, tais algoritmos fa-

zem parte do conjunto de ferramentas que se associam a praticamente

todo projeto de sistemas de alta tecnologia.

Dentre as técnicas utilizadas para a resolução de problemas de

engenharia destacam-se os Algoritmos Genéticos. Entretanto, outras

técnicas evolucionárias (evolutivas) também tem sido utilizadas em

alguns casos, podendo-se citar: Otimização por Colônias de Formi-

gas (ACO), Otimização por Enxame de Partículas (PSO), Colônia de

Abelhas Articiais (ABC), Busca Harmônica (HS) e Evolução Dife-

rencial (DE), além de diversos algoritmos evolutivos híbridos.

No Brasil há um grande número de grupos de pesquisa em di-

ferentes instituições acadêmicas aplicando técnicas de computação

evolucionária em problemas de projeto de engenharia. Isto mostra a

maturidade da área no Brasil, e este livro apresenta um panorama de

trabalhos recentes desenvolvidos por pesquisadores brasileiros nesta

área estratégica do conhecimento, incluindo aplicações nas engenha-

rias: elétrica, nuclear, mecânica, de controle e de produção.

Heitor Silvério Lopes  UTFPR

Ricardo Hiroshi Caldeira Takahashi  UFMG

8

Computação evolucionária aplicada ao problema da recarga de

reatores nucleares............................................. 147

Roberto Schirru, Alan M.M. Lima, Andressa S. Nicolau, Ioná M.S. de Oliveira e Márcio H. da Silva .

9

Resolução de problemas inversos em processos difusivos e trans-

ferência radiativa usando o algoritmo de evolução diferencial.. 173

Fran S. Lobato, Valder Steen Jr. e Antônio J. Silva Neto .

10

Algoritmo genético com interação social na resolução de proble-

mas de otimização global com restrições....................... 197

Otávio N. Teixeira, Walter A.L. Lobato, Hitoshi S. Yanaguibashi, Ro- drigo V. Calvalcante, Deam J.A. da Silva e Roberto C.L. de Oliveira .

11

Controlador preditivo neural do nível do molde do lingotamento

contínuo sintonizado via algoritmo genético................... 225

Fábio B. Sanchotene, Gustavo M. de Almeida e José L.F. Salles .

12

Algoritmo evolutivo híbrido para escalonamento integrado na

agroindústria................................................. 251

Ademir A. Constantino, Dario Landa-Silva e Wesley Romão .

13

Heurísticas evolutivas híbridas para o problema de escalona-

mento de projetos com restrição de recursos dinâmicos........ 273

André R.V. da Silva e Luiz S. Ochi .

14

Algoritmos evolucionários na solução do problema do caixeiro

alugador...................................................... 301

Marco C. Goldbarg, Paulo H.A. da Silva e Elizabeth F.G. Goldbarg .

15

Algoritmo micro-genético aplicado ao scheduling de uma rede de

distribuição de derivados de petróleo.......................... 331

Henrique Westphal, Flávio Neves Jr. e Lúcia V.R. de Arruda .

16

Aplicação de algoritmos bio-inspirados para a síntese e otimiza-

ção de sistemas para produção de petróleo oshore............ 355

Beatriz S.L. Pires de Lima e Breno P. Jacob .

Capítulo 1

Aplicação do Algoritmo de Colônia de Formigas com Informações dos Multiplicadores de Lagrange na Programação de Sistemas Termoelétricos de Geração

Ivo C. Silva Junior∗ , Flávia R. Nascimento, Edimar J. Oliveira, André L. M. Marcato e Bruno H. Dias

Resumo: Este capítulo propõe a determinação e a utilização de uma ordem de mérito para as unidades termoelétricas de geração como informação adicional no processo de busca bio-inspirado co- nhecido como colônia de formigas. Esta ordem de mérito é base- ada nas informações fornecidas pelos multiplicadores de Lagrange associados às variáveis discretas de decisão, as quais são represen- tadas através de uma função contínua. Com a ordem de mérito determinada, um percentual de indivíduos da colônia faz uso des- tas informações no processo de busca visando a minimização da programação diária de operação. Os resultados alcançados através das simulações indicam que as informações dos multiplicadores de Lagrange aumentaram a eciência da colônia em seu processo de busca.

Palavras-chave: Multiplicadores de Lagrange, Operação de uni- dades termoelétricas, Despacho Térmico, Otimização por colônia de formigas.

Abstract: This chapter proposes the use of a merit order as ad- ditional information in the ant colony optimization process applied to thermoelectric generation systems. This merit order is based on information provided by the Lagrange multipliers related to the discrete decision variables. Those variables are represented by a continuous function. After determining the merit order, a set of the ant colony individuals make use of that information aiming at minimizing the daily dispatch of the system. Results indicate that information obtained from Lagrange multipliers increase the eci- ency of the ant colony search process.

Keywords: Lagrange coecients, Thermal unit commitment, Thermal dispatch, Ant colony optimization.

∗Autor para contato: ivo.junior@ufjf.edu.br

Lopes & Takahashi (Eds.), Computação Evolucionária em Problemas de Engenharia (2011) ISBN 978-85-64619-00-

ACO para sistemas termoelétricos de geração 3

de Unidades Termoelétricas de Geração (UTEs) para um período de vinte e quatro horas de operação; (iii) Natureza dinâmica do processo de deci- são, que se por um lado limita as opções de decisão, por outro ocasiona antagonismo em relação ao despacho econômico.

Tabela 1. Natureza combinatória do problema. Número de UTEs Número de Combinações 7 3,0995× 1050 10 1,7259× 1072 40 9,7453× 10288

Fazendo uma análise da literatura pode-se constatar que há necessidade tanto de aperfeiçoamentos dos algoritmos existentes como da elaboração de novas técnicas para a resolução do problema em questão. O que se observa, no geral, é que por um lado, um algoritmo pode ser simples, rápido, mas que apresenta mínimos locais de baixa qualidade (alto custo operacional). Por outro lado, têm-se algoritmos complexos, lentos, mas que apresentam soluções sub-ótimas ou ótimas (baixo custo operacional). Diante das diculdades e dos cenários apresentados, surge a motiva- ção do estudo, utilização e aperfeiçoamento das técnicas de otimização bio-inspiradas (Belede et al., 2009). Assim, o objetivo deste capítulo é a determinação ótima da programação diária de operação de unidades ter- moelétricas de geração via algoritmo de colônia de formigas considerando as informações dos multiplicadores de Lagrange associados às variáveis dis- cretas de decisão no processo de busca da colônia. Os resultados para quatro sistemas termoelétricos de geração ampla- mente difundidos na literatura serão apresentados de modo a vericar a eciência das informações dos multiplicadores de Lagrange no critério de busca do algoritmo de colônia de formigas.

2. Colônia de Formigas

As formigas, em sua busca por comida, deixam trilhas bem denidas entre a colônia e a fonte de alimento, isso acontece devido ao depósito de uma substância chamada feromônio. Embora o processo de busca se inicie de forma aleatória, se uma formiga encontra um caminho mais curto entre a fonte de comida e o ninho, esta, ao retornar para o ninho, reforçará a trilha de feromônio deixada por ela na ida. Como seu caminho é mais curto, ela percorrerá o trajeto de ida e volta mais vezes do que as outras, que levarão mais tempo para sair e voltar ao ninho, reforçando mais a concentração de feromônio. À medida que outras formigas encontrarem essa trilha com

4 Silva Junior et al.

maior quantidade de feromônio, estas continuarão depositando a substân- cia, aumentando ainda mais a sua concentração, chegando a um ponto em que praticamente todas as formigas serão atraídas a ir somente por aquele caminho ótimo. O algoritmo de Colônia de Formigas (Dorigo et al., 1996; Bonabeau et al., 1999; Dorigo & Caro, 1999; Dorigo et al., 1999; Dorigo & Stützle, 2003, 2004) nada mais é do que um modelo matemático que representa este comportamento com o objetivo de encontrar uma solução para um determinado problema, seja este de otimização ou não.

3. Formulação do Problema da Programação Diária da Opera-

ção de Sistemas Termoelétricos de Geração

De maneira geral, existem dois tipos de restrições na formulação (Hobbs et al., 2001): (i) restrições sistêmicas, tais como atendimento à demanda, reserva girante e limites de transmissão. Estes tipos de restrições impõem alguma diculdade ao problema, visto que acoplam as diversas termoelé- tricas existentes no sistema; (ii) restrições locais, tais como limites ope- racionais, tomadas e retomadas de carga e tempos mínimos de parada e partida. Estas restrições interferem apenas na operação das unidades ter- moelétricas de geração individualmente, ou seja, são restrições inerentes a cada unidade geradora. A seguir será apresentada a notação utilizada e a formulação do pro- blema referente à programação da operação de sistemas termoelétricos de geração. Notação utilizada:

N Número total de unidades térmicas; T Período total de operação; i Índice da unidade térmica; t Índice da hora; DOi(t) Variável discreta [0, 1] de decisão ON/OFF, da unidade térmica i na hora t; Pi(t) Potência ativa gerada pela unidade térmica i na hora t; P (^) imax Limite máximo de potência ativa gerada pela unidade térmica i; P (^) imin Limite mínimo de potência ativa gerada pela unidade térmica i; D(t) Demanda solicitada na hora t; r(t) Reserva girante solicitada na hora t; T (^) ion Tempo mínimo de partida da unidade térmica i; T (^) iof f Tempo mínimo de parada da unidade térmica i;

6 Silva Junior et al.

O custo de parada (SD) é sempre dado como um valor constante para cada unidade geradora e foi considerado, com na literatura, nulo nas simu- lações aqui realizadas. A restrição de balanço de potência ativa, Equação 6, analisa, direta- mente, o estado de equilíbrio do sistema elétrico a todo instante de tempo.

∑^ N

i=

DOi(t) · Pi(t) = D(t)... λd(t) (6)

É necessário prever uma folga, designada de reserva girante, entre a carga prevista e a potência total disponível entre as unidades geradoras em serviço para suprir aumentos inesperados de carga ou desvios de previsão. A Equação 7 traduz esta folga.

∑^ N

i=

DOi(t) · P (^) imax ≥ D(t) + r(t)... λr (t) (7)

Em relação às unidades geradoras foram consideradas as seguintes res- trições: (i) tempos mínimos de partida e parada, Equações 8 e 9 res- pectivamente; (ii) limites máximos e mínimos de produção, Equação 10. Destaca-se que os limites inferiores são sempre positivos e não nulos.

Xoni (t) ≥ T (^) ion (t) (8)

Xof fi (t) ≥ T (^) iof f (t) (9)

P (^) imin ≤ Pi(t) ≤ P (^) imax... πpi(t) (10)

4. Metodologia Proposta

A metodologia proposta baseia-se na utilização dos multiplicadores de La- grange, obtidos da solução contínua do problema da programação diária da operação de sistemas termoelétricos de geração, como informações adicio- nais no processo de busca do algoritmo de colônia de Formigas. Para tanto, a metodologia proposta utiliza três etapas distintas: (a) Obtenção da solu- ção relaxada do problema, com objetivo de determinar o limite inferior do custo de operação e assim, dar uma sensibilidade ao processo de busca no que diz respeito à distância das soluções obtidas pela colônia em relação ao limite inferior encontrado; (b) Obtenção dos multiplicadores de Lagrange associados aos estados operativos de cada uma das unidades geradoras, durante o período de estudo, com o objetivo de elaborar de uma ordem de mérito que auxiliará no processo de busca via colônia de formigas; (c) As informações oriundas dos multiplicadores de Lagrange são inseridas na colônia de modo auxiliar no processo de busca.

ACO para sistemas termoelétricos de geração 7

4.1 Limite inferior do custo de operação Nesta etapa, o problema é relaxado com o objetivo de se determinar o limite inferior do custo operacional do sistema termoelétrico de geração. Esta solução do problema é obtida: (i) negligenciando as restrições de parada e partida das unidades geradoras; (ii) permitindo que a variável discreta de decisão assuma valores contínuos entre o intervalo [0, 1]. Desta forma, resolve-se o problema de otimização e obtém-se o custo total de operação, sendo este, o menor custo possível para o problema. Ou seja, a solução discreta, procurada, nunca apresentará um custo menor do que o obtido através das considerações realizadas, solução contínua (Goldbarg & Luna, 2005). O objetivo é dar uma sensibilidade ao processo de busca da colônia, no que diz respeito à distância entre soluções obtidas pela colônia em relação ao Limite Inferior de Custo.

4.2 Multiplicadores de Lagrange Enquanto problemas contínuos encontram uma série de algoritmos robustos e ecientes, problemas discretos não compartilham de tais algoritmos (Puc- cini & Pizzolato, 1990). Em virtude dessa realidade, surgiram várias téc- nicas computacionalmente ecientes, mas que não garantem a otimalidade de problemas discretos (Goldbarg & Luna, 2005). De modo a evitar as di- culdades peculiares da resolução de problemas de programação discreta, a metodologia proposta permite que a variável discreta de decisão (DO), seja representada por uma função denominada de Função Decisão de Operação (F DO) e assuma valores contínuos dentro do intervalo discreto de decisão [0, 1]. Assim, o problema que originalmente é de programação inteira passa a ser formulado como um problema de programação contínua. Teoricamente qualquer função contínua poderia ser utilizada na mode- lagem da F DO. Entretanto, optou-se por uma função contínua da família das funções sigmóides. As funções sigmóides são adequadas no contexto do problema, já que possuem dinâmica similar ao da função degrau uni- tário na representação dos dois estados de decisão ON-OFF inerentes ao problema (Figura 1). As funções sigmóides são comumente empregadas como possíveis fun- ções de ativação na modelagem de neurônios articiais em trabalhos envol- vendo redes neurais (Haykin, 2007). As Equações 11 e 12 são referentes à função sigmóide adotada e a ca- nalização do argumento da função, respectivamente.

F DOi(xti ) =

eα·x

ti − 1 eα·xti^ + 1

xmini ≤ xti ≤ xmaxi... πxi (t) (12)

onde:

ACO para sistemas termoelétricos de geração 9

quando comparado com as demais unidades existentes e capacidade de atender sozinha a demanda e reserva do sistema. Diante da inserção desta nova unidade, uma parcela adicional (D), Equação 13, é incluída na FOB tradicional, Equação 1, do problema com objetivo de possibilitar a convergência e a obtenção dos multiplicadores de Lagrange associados às variáveis discretas de decisão [0 − 1] das unidades geradoras.

D =

∑^ T

t=

μ · P gC (t) (13)

onde:

μ Custo operacional da unidade termoelétrica de convergência (R$/MWh); P gC (t) Potência ativa (MW) gerada pela termoelétrica de convergên- cia na hora t.

Diante das considerações anteriores apresentadas, o processo de otimi- zação, inicialmente, apresentará a tendência em colocar as unidades gerado- ras mais econômicas em serviço, porém com a imposição 0 ≤ xti ≤ 0 , 0001 , as restrições de balanço de potência e reserva girante, Equações 6 e 7, só poderão ser atendidas através da unidade de convergência. Portanto, cabe a esta unidade suprir sozinha a demanda e a reserva girante solicitada pelo sistema, apesar do alto custo associado à mesma. Desta forma, tem-se como solução do problema de otimização os valores para os multiplicadores de Lagrange associados aos argumentos da função decisão de operação de cada uma das unidades geradoras existentes. Com os multiplicadores conhecidos é possível obter uma Matriz de Sen- sibilidade (MS ), Equação 14. Esta matriz é formada pelos multiplicadores de Lagrange associados às FDO e traduz a sensibilidade da função objetivo em relação à tendência de acionamento de cada uma das termoelétricas em relação à demanda horária solicitada ao longo do período de operação.

M S =

πx 1 (t) πx 2 (t)... πxN (t) πx 1 (t + 1) πx 2 (t + 1)... πxN (t + 1) .. .

πx 1 (T ) πx 2 (T )... πxN (T )

Como estes multiplicadores são de caráter local, optou-se por calcu- lar a média destes coecientes de Lagrange para cada uma das unidades, Equação 15. O objetivo é obter uma sensibilidade geral e com isso uma ordem de mérito única para todo o período de operação.

10 Silva Junior et al.

¯πxi =

∑T

t=1 πxi (t) T

, i = 1,... , N (15)

Como os valores dos multiplicadores são negativos, já que estes retra- tam a redução da função objetivo em relação à tendência da colocação das unidades em serviço, a ordem de mérito é obtida através da ordenação crescente dos valores médios dos multiplicadores de Lagrange.

4.3 Processo de busca via colônia de formigas O processo de busca é inicializado com uma população de indivíduos (for- migas) que representam informações referentes à solução do problema. Esse conjunto de indivíduos, que será um conjunto de soluções, é denominado de colônia. Cada solução é representada por uma matriz cuja dimensão é dada pelo número de horas de operação (linhas da matriz) por número de unidades termoelétricas existentes (colunas da matriz). Os elementos desta matriz representam as decisões horárias de operação (0 − 1) de todas as unidades térmicas de geração para todo o período de operação. O processo de busca tem início de forma completamente aleatória, sendo as soluções iniciais escolhidas ao acaso. Entretanto, de modo à ga- rantia a viabilidade, o processo de construção das soluções é feito de hora em hora, de modo que a soma horária das capacidades máximas de geração das unidades termoelétricas colocadas em operação seja maior do que a de- manda horária a ser atendida e a reserva horária prevista. Depois de gerada a solução discreta do problema, deve-se vericar se há ou não violações dos tempos de parada e partida das unidades. Estas violações, caso existam, são tratadas através de procedimentos heurísticos descritos em (da Silva Jr., 2008). Assim, garante-se a viabilidade das soluções geradas. O passo seguinte é avaliar as soluções iniciais obtidas. Essa avaliação é feita com base no valor numérico da função objetivo associada a cada indivíduo existente na colônia. Se, por exemplo, a função objetivo for de minimização, quanto menor o valor desta, maior deverá ser a quantidade de feromônio associada a esta solução. Ou seja, de maneira geral, as melhores soluções terão maior valor de feromônio associado. Desta forma, calcula-se o valor da Função Objetivo (FOB) do problema de otimização em estudo, Equação 1. Esta informação é importante na determinação da intensidade de feromônio a ser depositada por cada indivíduo da colônia. Através do valor da FOB pode-se formar uma matriz de orientação para a colônia, denominada de Matriz de Feromônio (MF ). Esta matriz possui a mesma estrutura utilizada na representação de cada indivíduo (solução) da colônia. É importante mencionar que a MF é única para todo o processo de busca, sendo atualizada a cada iteração da seguinte forma: (a) soluções cujos custos operacionais forem próximos do limite inferior, contribuem de forma mais contundente na matriz de feromônio;

12 Silva Junior et al.

além de permitir que a busca não que presa em ótimos locais e possa, assim, varrer mais amplamente o espaço de soluções (Bonabeau et al., 1997). Desta forma, introduzindo um coeciente de evaporação ρ, que pode variar entre zero e o valor unitário, a Equação 17 pode ser reescrita como:

M F i(m) = (1 − ρ) · M F i−^1 (m) + ∆M F i(m) (19) O algoritmo aqui proposto utiliza uma taxa de evaporação de 10%. Com as quantidades de feromônio determinadas, os indivíduos esco- lhem suas próximas decisões, normalmente, baseadas na concentração deste hormônio. Ou seja, o sorteio das novas soluções será ponderado pela quan- tidade de feromônio correspondente a cada solução. Isso é feito por meio de uma regra de transição, que fornece a probabilidade de cada formiga k escolher a solução m, conforme a Equação 20.

Pk (m) =

[M F ∑ (m)]ϕ^ · [η(m)]β ([M F ]ϕ^ · [η]β^ )

onde:

Pk (m) Probabilidade de que a formiga k escolha a solução m; M F (m) Representa a quantidade de feromônio da solução m; η(m) É uma informação prévia (heurística) do problema, um índice de atratividade de escolha pela solução m. Esta informação pode existir ou não, depende do problema em estudo; ϕ e β Parâmetros de controle que determinam o peso relativo da inuência da concentração de feromônio ou da informação heurística do problema.

Entretanto, a colônia aqui proposta é composta por três tipos de for- migas: (a) Soldados - Estas percorrem a região de solução de forma com- pletamente aleatória e correspondem a 10% da composição da colônia; (b) Obreiras - Estas formigas percorrem a região de solução com base nas informações dos multiplicadores de Lagrange (ordem de mérito) e corres- pondem a 10% da composição da colônia; (c) Operárias - Estas formigas percorrem a região de solução com base nas informações dos feromônios depositados por todos os indivíduos da colônia e correspondem a 80% da colônia. Ressalta-se ainda, que não foi utilizado nenhum fator de atrativi- dade, sendo este, um ponto futuro a ser explorado. Desta forma, utilizou-se dos seguintes valores: inuência da concentração de feromônio, ϕ = 1 e in- uência de informações heurísticas, β = 0. Sorteada a nova colônia deve-se novamente avaliar as soluções obtidas. Antes, porém, deve-se vericar o critério de convergência do processo de

ACO para sistemas termoelétricos de geração 13

busca. Este passo consiste em vericar se o critério de parada do algoritmo foi atendido, como, por exemplo, o número máximo de iterações previa- mente determinado ou ainda o fenômeno da estagnação. Neste último, o processo é nalizado quando um percentual da colônia apresenta a mesma solução, ou seja, percorre a mesma trilha de feromônio. Enquanto um dos critérios não ocorre, o processo continua, retornando a etapa de avaliação das soluções geradas. No presente trabalho, adotou-se o número máximo de 50 iterações como critério de convergência do processo de busca.

5. Resultados

Com o objetivo de vericar a eciência das informações dos multiplicadores de Lagrange no processo de busca pelo algoritmo de colônia de formigas foram realizadas simulações de um sistema com quatro unidades termoelé- tricas de geração e um período de programação de oito horas (Valenzuela & Smith, 2002) e sistemas com dez, vinte e cem unidades geradoras, com um período de programação de vinte e quatro horas (Senjyu et al., 2003). O número total de combinações para os sistemas em análise é apresentado na Tabela 2, ilustrando a diculdade da obtenção da melhor solução para o problema, ponto de mínimo global.

Tabela 2. Número total de combinações. Número de UTEs Número de Combinações 4 (2^4 )^8 10 (2^10 )^24 20 (2^20 )^24 100 (2^100 )^24

A metodologia proposta foi implementada em MATLABr^ e o ambiente computacional utilizado foi um computador Pentium Dual Core, 1.86 GHz e 2 GB RAM. As Tabelas 3 e 4 apresentam, respectivamente, os custos operacionais e os tempos aproximados de processamento obtidos pela metodologia pro- posta. Em negrito, destacam-se os resultados obtidos com a inserção dos mul- tiplicadores de Lagrange, através das formigas Obreiras, no processo de busca da colônia. Os demais resultados não fazem uso das informações dos multiplicadores. Entretanto, são realizadas variações no tamanho da colônia de modo a vericar a eciência do processo de busca sem estas informações adicionais. É possível vericar que na colônia onde as informações baseadas nos multiplicadores de Lagrange foram inseridas, o processo de busca se apre- sentou mais eciente. Ou seja, foi possível obter soluções de melhor quali-