Combinação linear,
Independência linear e Gerador
de um espaço vetorial
ZAB0161 – “Álgebra linear com aplicações em geometria
analítica”
Prof. Dr. Jorge Lizardo Díaz Calle
Dpto. de Ciências Básicas –FZEA –USP
16 de abril de 2020
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Conceitos de Combinação Linear e Independência Linear em Espaços Vetoriais, Resumos de Álgebra
Este documento aborda os conceitos de combinação linear e independência linear em espaços vetoriais, fornecendo exemplos e resoluções para ajudar a compreender essas ideias. A combinação linear é definida como a soma de múltiplos de elementos de um subconjunto de um espaço vetorial, enquanto a independência linear é estabelecida quando a única solução para uma equação é que todos os escalares sejam nulos. O documento também aborda o conceito de geradores de um espaço vetorial.
Tipologia: Resumos
2022
1 / 48
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Combinação linear,
Independência linear e Gerador
de um espaço vetorial
ZAB0161 – “Álgebra linear com aplicações em geometria analítica” Prof. Dr. Jorge Lizardo Díaz Calle Dpto. de Ciências Básicas – FZEA – USP 16 de abril de 2020
Conceitos em espaços vetoriais
Premissa: Seja 𝐸 um espaço vetorial. (𝐸, ⨁,⊗) Seja 𝑆 um subconjunto de 𝐸. (𝑆 ⊂ 𝐸)
1. Combinação Linear (CL)
Seja 𝐸 um espaço vetorial e 𝑆 = 𝑢 1
2
𝑛
um subconjunto de vetores. Definição: Um vetor 𝑣 ∈ 𝐸 é combinação linear de 𝑺 se existem escalares 𝑐 1
2
𝑛 talque 𝑣 = 𝑐 1
1
2
2
𝑛
𝑛 Isto é, 𝑣 é soma de múltiplos dos elementos de 𝑆.
1. Combinação Linear (CL)
Seja 𝐸 um espaço vetorial e 𝑆 = 𝑢 1
2
𝑛
um subconjunto de vetores. Definição: Um vetor 𝑣 ∈ 𝐸 é combinação linear de 𝑺 se existem escalares 𝑐 1
2
𝑛 talque 𝑣 = 𝑐 1
1
2
2
𝑛
𝑛 𝑆 = 𝑢 1 , 𝑢 2 , … , 𝑢𝑛 𝐸 = (𝐸, ⨁, ⨂) 𝑢 = 2 𝑢 3 − 3𝑢 1 + 𝑢𝑛 𝑤
𝑥 𝑧
×
×
Sejam 𝐸 = 𝑀 1 × 3 e 𝑆 = (^1 1) − 2 , (^1 0 ) Será que 𝑣 = 5 2 8 é combinação linear de 𝑆? Respondendo: Se for, devem existir escalares 𝑐 1
2 talque 5 2 8 =^ 𝑐 1 1 1 − 2 +𝑐 2 1 0 4
Sejam 𝐸 = 𝑀 1 × 3 e 𝑆 = (^1 1) − 2 , (^1 0 ) Será que 𝑣 = 5 2 8 é combinação linear de 𝑆? Respondendo: Se for, devem existir 𝑐 1
2 talque 5 2 8 =^ 𝑐 1 1 1 − 2 +𝑐 2 1 0 4 Temos um sistema de 3 equações com 2 incôgnitas ቐ
1
2 2 = 𝑐 1 8 = − 2 𝑐 1
2 A solução é evidente, mas vamos lembrar Gauss- Jordan, para destacar uma correta interpretação.
Trabalhando a matriz estendida do sistema dá 1 1 5 1 0 2 − 2 4 8
Assim a solução é 𝑐 1 = 2 e 𝑐 2 = 3 e 0 = 0 (válido)
Trabalhando a matriz estendida do sistema dá 1 1 5 1 0 2 − 2 4 8
Assim a solução é 𝑐 1 = 2 e 𝑐 2 = 3 e 0 = 0 (válido) Logo, a existem os escalares, e 𝑣 = 5 2 8 = (^2 1 1) − 2 + (^3 1 0 ) Portanto, 𝑣 é combinação linear de 𝑆. Expressão simples: 𝑣 é CL de 𝑆.
Sejam 𝐸 = 𝑀 1 × 3 e 𝑆 = (^1 1) − 2 , (^1 0 ) Será que 𝑤 = 5 5 5 é combinação linear de 𝑆? Se for, devem existir 𝑐 1
2 talque 5 5 5 =^ 𝑐 1 1 1 − 2 +𝑐 2 1 0 4 Temos um sistema de 3 equações com 2 incôgnitas ቐ
1
2 5 = 𝑐 1 5 = − 2 𝑐 1
2 Também resolveremos por Gauss-Jordan.
A matriz estendida é 1 1 5 1 0 5 − 2 4 5
Assim o sistema dá 𝑐 1 = 5 e 𝑐 2 = 0 e 0 = 15 (falso) Observar: A igualdade falsa faz que os valores dos escalares não sejam válidos.
Sejam 𝐸 = 𝑃 2 e 𝑆 = 𝑡 + 2 , 𝑡 2 − 9 ,2𝑡 − 4 + 3 𝑡 2 Será 𝑝 𝑡 = 4 𝑡 2
- 7 − 5𝑡, combinação linear de 𝑆?
Sejam 𝐸 = 𝑃 2 e 𝑆 = 𝑡 + 2 , 𝑡 2 − 9 ,2𝑡 − 4 + 3 𝑡 2 Será 𝑝 𝑡 = 4 𝑡 2
- 7 − 5𝑡, combinação linear de 𝑆? Resposta: Se for, devem existir 𝑐 1
2 e 𝑐 3 talque 4𝑡 2
- 7 − 5 𝑡 = 𝑐 1 𝑡 + 2 + 𝑐 2 𝑡 2 − 9 +𝑐 3 2𝑡 − 4 + 3 𝑡 2 Isto é 4𝑡 2
- 7 − 5𝑡 = = 𝑐 2 +3𝑐 3 𝑡 2
- 𝑐 1
- 2 𝑐 3 𝑡 + ( 2 𝑐 1 − 9 𝑐 2 − 4 𝑐 3 ) Temos um sistema de 3 equações com 3 incôgnitas ቐ 4 = 𝑐 2
- 3 𝑐 3 − 5 = 𝑐 1 + 2 𝑐 3 7 = 2 𝑐 1 − 9 𝑐 2 − 4 𝑐 3
Existe a solução única 𝑐 1 = − 201 19 𝑐 2 = − 83 19 𝑐 3 = 53 19 Portanto, 𝑝(𝑡) é combinação linear de 𝑆. Observar: Se tomamos um polinômio qualquer de 𝑃 2
2
2
- 𝑞 1
0 ele também é combinação linear de 𝑆. Nota: Os valores 𝑞 2
1 e 𝑞 0 são os coeficientes do polinômio 𝑞(𝑡) e não são incôgnitas.
Para verificar que é combinação linear de 𝑆, devemos encontrar 𝑐 1
2 e 𝑐 3 talque 𝑞 2
2
- 𝑞 1
0 = 𝑐 1
2
2 − 9 +𝑐 3
2 Juntando as potências de 𝑡, temos 𝑞 2 𝑡 2
- 𝑞 1 𝑡 + 𝑞 0 = 𝑐 2 +3𝑐 3 𝑡 2
- 𝑐 1 + 2 𝑐 3 𝑡 + ( 2 𝑐 1 − 9 𝑐 2 − 4 𝑐 3 )