PROFMAT – MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL
CLAUDIA MARIA FIUZA ALVES
O ESTUDO DA SIMETRIA ATRAVÉS DA ARTE DE
MAURITS CORNELIS ESCHER
Rio de Janeiro - RJ
1º semestre/2014
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Simetria em Obras de Escher: Ensino de Geometria na Educação Básica, Esquemas de Artes
Uma dissertação sobre o artista holandês maurits cornelis escher e suas obras, que utilizam simetria geométrica intrigante e sofisticada. O autor destaca a importância de escher na relação entre a matemática e a arte, e apresenta atividades inspiradas nas obras do artista para aprofundar o conceito de simetria em nível prático e agradável para os alunos. O texto também discute a importância da utilização de figuras existentes na natureza em vez de polígonos regulares, e a exploração de diferentes tipos de simetria em obras de escher.
O que você vai aprender
- Quais são as diferentes formas de simetria observadas nas obras de Maurits Cornelis Escher?
- Quais são as obras de Maurits Cornelis Escher que mais destacam a simetria geométrica?
- Qual é a inspiração principal da dissertação?
- Por que o autor considera as figuras existentes na natureza mais agradáveis para os alunos do que polígonos regulares?
Tipologia: Esquemas
2022
1 / 76
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PROFMAT – MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL
CLAUDIA MARIA FIUZA ALVES
O ESTUDO DA SIMETRIA ATRAVÉS DA ARTE DE
MAURITS CORNELIS ESCHER
Rio de Janeiro - RJ 1º semestre/
CLAUDIA MARIA FIUZA ALVES
O ESTUDO DA SIMETRIA ATRAVÉS DA ARTE DE
MAURITS CORNELIS ESCHER
Dissertação apresentada pela aluna Claudia Maria Fiuza Alves, à Coordenação do Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional, junto ao Programa PROFMAT – Sociedade Brasileira de Matemática / Instituto de Matemática Pura e Aplicada, para a obtenção do título de Mestre em Matemática.
Orientador: Prof. Dr. Paulo Cezar Pinto Carvalho
Rio de Janeiro - RJ 1º semestre/
Dedicatória
Ao meu pai Paulo Roberto ( in memorium ) e a minha mãe Regina Coeli que sempre foram incansáveis. Aos meus amigos e colegas de trabalho de todas as escolas que sempre me ajudaram em todas as horas. A minha filha Adriana, o meu maior presente.
Agradecimentos
Agradeço primeiramente aos excelentes professores de Matemática que tive o prazer de ter no decorrer dos Ensinos Fundamental e Médio, principalmente a professora Maria Tereza ( in memorium ), obrigada por ter despertado a paixão pela Matemática dentro de mim.
Ao professor e amigo Marcelo Correa, por ter me indicado o caminho do PROFMAT.
Ao orientador professor Paulo Cezar Pinto Carvalho pelas orientações, sugestões e esclarecimentos.
Aos amigos de turma, todos tão importantes nesta dura jornada.
Ao meu amigo Carlos Renato que me ajudou muito no trabalho.
Aos professores e monitores que nos acompanharam durante toda nossa jornada.
Aos meus alunos, por cada palavra ou gesto de carinho.
À minha família, pela educação apoio e investimento e à minha filha Adriana, por todo carinho e paciência.
Agradeço a CAPES pela bolsa de estudo concedida.
Resumo
O ESTUDO DA SIMETRIA ATRAVÉS DA ARTE DE
MAURITS CORNELIS ESCHER
Claudia Maria Fiuza Alves
Orientador: Prof. Dr. Paulo Cezar Pinto Carvalho
O objetivo desta dissertação é facilitar o processo de ensino e aprendizado de simetria tendo como inspiração as obras do artista holandês Maurits Cornelis Escher, onde encontramos bons exemplos de simetria aplicada às artes. De fato, existe uma relação simbiótica entre a Matemática e a Arte, fazendo com que trilhem seu caminho sempre juntas. Durante sua vida artística, M. C. Escher produziu xilogravuras e desenhos litográficos intrigantes e geometricamente sofisticados e são mais um exemplo de como as imagens e planificações, ou melhor, as artes podem contextualizar a Matemática. Um exemplo disso são os diferentes tipos de simetria existentes nos seus desenhos, os animais se repetem, criando um padrão e ele adorava brincar com este tipo de técnica. Neste contexto educacional, elaboramos então atividades que abordam e aprofundam esses conceitos, como um facilitador, para o ensino e aprendizado da Geometria na Educação Básica.
Palavras-chave: Arte, Matemática, Escher.
Abstract
STUDY OF SYMMETRY THROUGH ART MAURITS CORNELIS ESCHER
Claudia Maria Fiuza Alves
Orientador: Prof. Dr. Paulo Cezar Pinto Carvalho
The objective of this dissertation is to facilitate the teaching and learning of symmetry taking as inspiration the works of the Dutch artist Maurits Cornelis Escher, where we found good examples of symmetry applied to the arts. In fact, there is a symbiotic relationship between Mathematics and Art, causing tread your path always together. During his artistic life, MC Escher produced woodcuts and geometrically intriguing and sophisticated lithographic drawings and are another example of how images and lesson plans, or better, the arts can contextualize mathematics. Examples of this are the different types of existing designs in its symmetry, the animals are repeated, creating a pattern and he loved playing with this type of technique. In this educational context, then produce activities that address and build upon these concepts as a facilitator for teaching and learning Geometry in Elementary Education.
Keywords: Art, Math, Escher.
- 1 Introdução
- 2 Viajando no mundo de Maurits Cornelis Escher
- 3 Desvendando o mistério das tesselações
- 3.1 Tipos de tesselações
- 3.1.1 Tesselações Regulares
- 3.1.2 Tesselações Semirregulares
- 3.1.3 Tesselações Demiregulares
- 3.1 Tipos de tesselações
- 4 A importância das cores na tesselação - 4.1.1 Escolhendo as cores - 4.1.2 Escolhendo a técnica de coloração
- 5 A simetria matemática
- 5.1 Tipos de simetria...........................................................................................................
- 5.1.1 Simetria por rotação
- 5.1.2 Simetria por translação
- 5.1.3 Simetria por reflexão
- 5.1 Tipos de simetria...........................................................................................................
- 6 Explorando a técnica de Maurits Cornelis Escher
- 6.1 Executando as técnicas
- 6.1.1 Utilizando a rotação para geração da figura base
- 6.1.1.1 Construção a partir do hexágono
- 6.1.1.2 Construção a partir do quadrado
- 6.1.1.3 Construção a partir do triângulo
- 6.1.2 Utilizando translação para geração da figura base
- 6.1.2.1 Construção a partir do quadrado
- 6.1.2.1 Construção a partir do hexágono
- 6.1.2.2 Construção a partir do triângulo
- 6.1.3 Figuras base que contém um eixo de simetria interno
- 6.1.3.1 Construção a partir do quadrado
- 6.1.3.2 Construção a partir do triângulo
- 6.1.3.3 Construção a partir do hexágono
- 6.1.1 Utilizando a rotação para geração da figura base
- 6.1 Executando as técnicas
- 7 Propostas de aulas
- 7.1 Planejamento.................................................................................................................
- 7.1.1 Objetivos
- 7.1.2 Duração das atividades
- 7.1.3 Interdisciplinaridade
- 7.1.4 Avaliação
- 7.2 Roteiro das aulas
- 7.2.1 Aula 1 - Conhecendo Maurits Cornelis Escher
- 7.2.2 Aula 2 - Trocando as informações
- 7.2.3 Aula 3 - Conceito de simetria e tesselações...........................................................
- 7.2.4 Aula 4 - Criando uma tesselação
- 7.2.5 Aula 5 - Construção dos poliedros de Platão
- 7.2.5.1 Dodecaedro
- 7.2.5.2 Cubo
- 7.2.5.3 Tetraedro
- 7.2.5.4 Octaedro..........................................................................................................
- 7.2.5.5 Icosaedro
- 7.1 Planejamento.................................................................................................................
- 8 Relato de Prática
- 8.1 Realização das aulas
- 8.2 Resultados obtidos
- 8.2.1 Trabalhos com problemas
- 8.2.1.1 Construção de uma vaca
- 8.2.1.2 Construção de uma “carinha”
- 8.2.1.3 Construção de uma borboleta
- 8.2.2 Trabalho com o desafio da translação do quadrado com problemas
- 8.2.2.1 Construção de um pássaro
- 8.2.3 Trabalhos sem problemas
- 8.2.1 Trabalhos com problemas
- 9 Considerações Finais
- Referencias Bibliográficas
- Anexos
1 Introdução
O mundo da matemática e o mundo da arte estão eternamente relacionados e Maurits Cornelis Escher observou muito bem esta relação quando disse: “ Embora não tenha qualquer formação e conhecimento das ciências exatas, sinto-me frequentemente mais ligado aos matemáticos do que aos meus próprios colegas de profissão ”. As obras de Escher são um exemplo concreto de como as imagens podem facilitar o entendimento de alguns conceitos geométricos, através de seus desenhos, numa mistura de simetria e pavimentação do plano (tesselação), ele faz com que o aluno consiga melhor visualizar e destacar os tipos de transformações existentes, tornando-as assim mais simples aos seus olhos. De acordo com Escher, a pavimentação de um plano é: “ A fonte mais rica de inspiração, de onde eu alguma vez bebi e ela não está ainda seca. Os desenhos simétricos mostram como uma superfície pode ser dividida regularmente em figuras iguais, respectivamente, preenchida com elas. As figuras devem confinar umas com as outras sem que resultem áreas livres ”. Suas obras facilitam ainda mais o processo de aprendizagem, pois nelas são utilizadas cores contrastantes para o preenchimento das superfícies, de uma forma sistemática e de vital importância para destacar visualmente a individualidade dos desenhos e suas respectivas transformações. Temos também que observar as formas usadas como “base” para a execução das tesselações, numa primeira visão das imagens de Escher (figura 1), erroneamente temos a impressão dele não usar base alguma.
Figura 1: Escher, M. C., “Borboletas”, 1948, Tinta, Aquarela.
2 Viajando no mundo de Maurits Cornelis Escher
Você já viu alguma obra do artista Escher? Para esta pergunta, não existe a resposta “Não sei”, pois é impossível ver uma obra de Escher e esquecer. Admirar as obras de Escher é uma experiência única e inesquecível, pois elas desafiam o seu cérebro, provocando no espectador uma vontade enorme de saber como são feitos os desenhos. Para alguns, suas obras nasceram com um passe de mágica, mas não, o que elas têm como bases são refinados e complexos conceitos de Geometria. Maurits Cornelis Escher, Leeuwarden, 17 de Junho de 1898 — Hilversum, 27 de Março de 1972 (figura 3), dedicou sua existência e trabalho às artes gráficas. Sua vida estudantil na área da matemática não foi de muito sucesso, porque o que ele sabia muito bem era aplicar intuitivamente teorias geométricas, que desconhecia completamente, nos seus desenhos.
Figura 3: Escher, M. C., “Autorretrato”, 1943, giz litográfico (desenho por raspagem).
Como citou Cláudio Fragata Lopes, em sua reportagem “Escher o gênio da arte matemática” para a revista Galileu, edição 88: “ (...) Escher sequer foi um bom aluno. Ele mesmo admitiu mais tarde que jamais ganhou, ao menos, um "regular" em matemática. Conta-se até que H.M.S. Coxeter, um dos papas da geometria moderna, entusiasmado com os desenhos do artista, convidou-o a participar de uma de suas aulas. Vexame total. Para decepção do catedrático, Escher não sabia do que ele estava falando, mesmo quando discorria sobre teorias que o artista aplicava intuitivamente em suas gravuras (...)”. Segundo Pieter Tjabbes: “(...)A arte de M. C. Escher, por sua vez, há mais de meio século vem maravilhando milhões de pessoas, de todas as idades e pelo mundo todo. As exposições de suas gravuras fazem grande sucesso no Brasil ou na Espanha, na Itália ou no
Japão. Há oito anos abriu suas portas o frequentadíssimo Museu Escher na cidade de Haia, em sua pátria, a Holanda” (figura 4).
Figura 4: Museu Escher em Haia, Holanda do Sul
Sua obra foi fortemente influenciada, por sua visita ao Palácio Mourisco de Alhambra, em Granada (figura 5), construído pelos árabes no século XIII.
Figura 5: Palácio Mourisco da Alhambra
Lá, vislumbrando os ornamentos decorativos do palácio (figura 6), nos quais eram usados polígonos regulares num mosaico maravilhoso (figura 7 e 8), Escher descobriu os segredos da divisão regular do plano, sem a existência de espaços vazios entre as figuras, ou seja, as tesselações. Estas técnicas milenares muito utilizadas pelos árabes foram absorvidas pelo artista holandês intuitivamente, através de muita observação e reprodução do que via no Palácio.
Figura 8: Paredes do Palácio Mourisco
A diferença principal e de fundamental importância para a escolha da analise das obras de Escher ao invés dos mosaicos produzidos pelos árabes no trabalho, está no fato do artista holandês substituir os polígonos regulares usados pelos árabes (figura 9), por figuras existentes na natureza e de fácil identificação, como pássaros, peixes, pessoas, répteis, etc. (figura 10), pois estas figuras são bem mais agradáveis aos olhos do que simples polígonos regulares e despertam um maior interesse dos alunos na descoberta da construção destes desenhos e consequentemente pelos conceitos geométricos que estão por trás de tamanha peripécia.
Figura 9: Tesselação em Alhambra
Figura 10: Escher, M. C., “ Plane Filing II ”, 1957 litografia.
O Desenho "Metamorfoses III" (figura 11 ) , nos dá uma ideia do impacto que teve as visitas Escher ao Palácio de Alhambra e o estudo de suas decorações geométricas.
Figura 11: Escher, M. C., “Metamorfoses III”, 1967-1968 Xilogravura, segundo estado, em vermelho, verde e marrom-avermelhada. Impresso de 33 blocos em 6 folhas juntas. Montada sobre tela, em parte colorida à mão. 6.800 milímetros x 192 milímetros.
3 Desvendando o mistério das tesselações
O significado da palavra Tesselação, segundo a Wikipédia é: “ Tesselar (em inglês: Tessellation) um plano é cobrir uma superfície com um padrão de figuras planas, de modo que não existiam nem espaços entre elas, nem sobreposições, ou seja que o seu tamanho total seja igual ao espaço particionado. Pode ainda falar-se de tesselação de partes de um plano ou de outras superfícies, sendo possíveis generalizações para dimensões mais elevadas. (...) A palavra parece ter origem na palavra latina tessela, uma pequena peça cública de barro, ou vidro usada para fazer mosaicos”. Este estudo refere-se à tesselações feitas por polígonos, regulares ou não, através da exploração das obras do artista holandês M. C. Escher, que produziu entre outros trabalhos, xilogravuras e desenhos litográficos geometricamente sofisticados, despertando assim o interesse dos alunos e possibilitando que os conceitos geométricos tenham aplicação prática, podendo ser “manipulados” concretamente e consequentemente melhor compreendidos.
3.1 Tipos de tesselações
Não será incluído aqui neste trabalho um estudo detalhado referente aos tipos de tesselações existentes, pois foge do escopo do trabalho, mas numa visita a página http://en.wikipedia.org/wiki/Tessellation pode-se constatar que as tesselações não são apenas curiosidades matemáticas, é feita uma pesquisa sobre elas, pois são facilmente encontradas em papeis de parede ou na natureza, como os favos de mel das abelhas, por exemplo, as tesselações estão por toda parte, bastando apenas observá-las e estudá-las.
3.1.1 Tesselações Regulares Nas tesselações regulares é utilizada a repetição de um mesmo polígono regular. Só existem três tipos tesselações regulares (figura 13): as que usam triângulos, quadrados ou hexágonos.
(a) 3.3.3.3.3.3 ou {3, 6}
(b) 4.4.4.4 ou {4, 4}
(c) 6.6.6 ou {6, 3} Figura 13: Tipos de tesselações regulares
As tesselações recebem seu nome de acordo com o que é visto por um vértice, na tesselação regular que utiliza apenas hexágono (figura 13, letra(c)), como cada vértice “vê” três hexágonos, sua nomenclatura é “Tesselação regular do tipo 6.6.6 ou {6, 3}”.
3.1.2 Tesselações Semirregulares As tesselações feitas com dois ou mais polígonos regulares são chamadas de semirregulares (figura 14), onde o padrão em cada vértice tem que ser exatamente o mesmo, neste caso, vejamos alguns exemplos.
(a) 3.4.6.
(b) 3.3.4.3.
(c) 4.6. Figura 14: Tipos de tesselações semirregulares Utilizando o mesmo padrão que as tesselações regulares, a nomenclatura das tesselações semirregulares é dado de acordo com o que é visto pelo vértice, assim neste último caso (figura 14, letra (c)) temos que como cada vértice “vê” um quadrado, um hexágono e um dodecágono, seu nome é “Tesselação semirregular do tipo 4.6.12”.
3.1.3 Tesselações Demiregulares Nestas tesselações são utilizados polígonos iguais, mas não regulares (figura 15).
Pentágonos Triângulos Triângulos Figura 15: Tipos de tesselações demiregulares
Podemos observar num dos desenhos do artista (figura 16), esta divisão demiregular onde os pentágonos irregulares são ocupados por estrelas do mar e as conchas são o seu centro de simetria rotacional.
Figura 16: Escher, M. C., “Conchas e estrelas-do-mar”, 1941, nanquim, lápis de cor, aquarela.