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Relações diferenciais de equilíbrio para vigas
Já foi visto que o equilíbrio de vigas pode ser imposto globalmente, o que resulta na determinação
das reações de apoio (para vigas isostáticas), ou em porções isoladas, o que possibilita a
determinação dos esforços internos (também para vigas isostáticas).
As condições de equilíbrio para vigas também podem ser impostas em pequenas porções isoladas, o
que resulta em relações diferenciais de equilíbrio entre a taxa de carregamento transversal, o esforço
cortante e o momento fletor.
Considere a viga biapoiada com carga uniformemente distribuída mostrada abaixo.
V A V^ B
S
Q
M
Q+ ∆Q
M+ ∆M
V (^) A (^) ∆x
V B
l
q
q q
x
x
q ∆x
O objetivo desta análise é determinação das
seguintes relações:
Taxa de variação do esforço cortante no trecho de
comprimento ∆ x :
x
Q
∆
∆
Taxa de variação do momento fletor no trecho de
comprimento ∆ x :
x
M
∆
∆
O equilíbrio da pequena porção de comprimento ∆ x resulta em:
∑ Fy=^0 ⇒ +Q−q⋅∆x^ −^ (^ Q+^ ∆Q)^ =^0 ⇒ q
x
Q
∑ = ⇒ ⋅ − − ⋅ ⋅ +^ (^ + )^ −(^ + )^ ⋅ =^0 ⇒
0 0 M M Q Q x
x M (^) S Q M q x ∆ ∆ ∆
q x x x
Q
Q
x
M
x
q x M Q Q
q x Q q x x
M^ ∆
q x Q x
M ∆
A relação ∆ Q / ∆ x mostrada acima tem uma interpretação que é indicada no diagrama de esforços
cortantes da viga:
+ql/ 2
–ql/ 2
l
x
Q(x)
∆Q= – q ∆x
∆x
α
A inclinação da reta do diagrama, isto é, o
coeficiente angular do diagrama de esforços
cortantes é igual a – q (igual a menos a taxa
de carregamento transversal distribuído
aplicado de cima para baixo):
q q x
Q
=− ⇒ α= ∆
tan
A taxa variação do esforço cortante no
trecho de comprimento ∆ x é igual a – q.
A relação ∆ M / ∆ x também tem uma interpretação que é indicada no diagrama de momentos fletores
da viga:
+ql^2 / 8
l
x
M(x)
∆M
∆x
β
A inclinação da reta que interpola os valores
do diagrama de momentos fletores no trecho
com comprimento ∆ x é igual à taxa de
variação do momento fletor no trecho:
β
tan 2
q x Q x
M
Agora imagine que o comprimento do trecho isolado ∆ x tenha um valor tão pequeno quando se
queira. Isto é, imagine no limite quando ∆ x tender a zero. Nessa situação, as taxas de variação do
esforço cortante e do momento fletor vão tender a valores pontuais das inclinações dos diagramas.
Matematicamente, os limites das taxas de variação de esforço cortante e momento fletor quando o
comprimento do trecho tende a zero são representadas por:
dx
dQ
x
Q
x
∆ 0
lim ; sendo que
dx
dQ
é chamada de derivada do esforço cortante em relação a x.
dx
dM
x
M
x
∆ 0
lim ; sendo que
dx
dM
é chamada de derivada do momento fletor em relação a x.
A derivada de uma função qualquer representa a taxa de variação pontual da função.
As expressões para as derivadas do esforço cortante e momento fletor são:
→ →
q q x
Q
dx
dQ
x 0 x 0
lim lim ∆ (^) ∆ ∆
q dx
dQ
= − ( derivada do esforço cortante é igual a – q )
=^ →
→ →
Q
q x Q x
M
dx
dM
x x 2
lim lim 0 0
∆ ∆
Q(x ) dx
dM
= ( derivada do momento fletor é igual a Q )
Estas expressões são chamadas relações diferenciais de equilíbrio de vigas.
Observe que estas expressões são gerais, isto é, não são específicas para o caso da viga biapoiada
com carga uniformemente distribuída. Isto porque, mesmo no caso de carga distribuída não
constante, no limite quando ∆ x tende a zero, a taxa de carregamento distribuído no trecho de
comprimento dx é constante e igual a q(x) , sendo q(x) o valor da carga no ponto de avaliação.
A interpretação da derivada do momento fletor é mostrada abaixo:
x
M(x)^ β
V A V^ B
S
l
q
x
S
A derivada do momento fletor é a inclinação
da curva do diagrama de momentos fletores
em qualquer ponto de avaliação, isto é a sua
taxa de variação pontual (ou sua derivada) é
igual a:
= Q( x)=tan β dx
dM
Viga biapoiada com cargas concentradas
Descontinuidade com valor da carga concentrada aplicada
Q > 0 ⇒ momento fletor aumenta de valor Carga concentrada para baixo ⇒ “bico” para baixo
Descontinuidade com valor da reação de apoio concentrada Descontinuidade com valor da reação de apoio concentrada
Q < 0 ⇒ momento fletor diminui de valor
Reação concentrada para cima ⇒ “bico” para cima
Reação concentrada para cima ⇒ “bico” para cima
Valor máximo de momento fletor pois esforço cortante troca de sinal neste ponto
Trecho horizontal pois (^) = 0 dx
dQ
(carga distribuída nula)
M
Q
Descontinuidade com valor da carga concentrada aplicada
Descontinuidade com valor da reação de apoio concentrada
Q > 0 ⇒ momento fletor aumenta de valor Carga concentrada para baixo ⇒ “bico” para baixo
Q < 0 ⇒ momento fletor diminui de valor
Reação concentrada para cima ⇒ “bico” para cima
Reação concentrada para cima ⇒ “bico” para cima
Valor máximo de momento fletor pois esforço cortante troca de sinal neste ponto
Trecho horizontal pois (^) = 0 dx
dQ
(carga distribuída nula)
M
Descontinuidade com valor da reação de apoio concentrada
Q
Viga contínua com balanços e com carga uniformemente distribuída
q
Descontinuidade com valor da reação de apoio concentrada
q dx
dQ = − ⇒
Todos os trechos têm a mesma inclinação
Reação concentrada para cima ⇒ “bico” para cima
Valores mínimos locais de momento fletor pois o esforço cortante troca de sinal nestes pontos
Valores máximos locais de momento fletor pois o esforço cortante é nulo nestes pontos
q dx
d M 2 =−
2 ⇒
Todos os trechos têm concavidade para cima
Tangente horizontal pois esforço cortante é nulo na extremidade
Tangente horizontal pois esforço cortante é nulo na extremidade
M
Q
