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Circuitos RLC com corrente alternada: resson ˆancia e
filtros passa-banda e rejeita-banda
8.1 Material
- Gerador de func¸ ˜oes;
- oscilosc ´opio;
- mult´ımetros digitais (de m˜ao e de bancada);
- resistor de 1 kΩ;
- capacitor de 10 nF;
- indutor de 23,2 mH.
8.2 Introdu¸c˜ao
A ressonˆancia ´e um fen ˆomeno caracter´ıstico de sistemas oscilat ´orios sujeitos `a uma perturbac¸ ˜ao peri ´odica. Quando a frequˆencia desta perturbac¸ ˜ao se aproxima de uma das frequˆencias preferenciais de oscilac¸ ˜ao do sistema, observa-se um significativo aumento da amplitude de oscilac¸ ˜ao. As frequˆencias para as quais observa-se este aumento na resposta do sistema s˜ao chamadas de frequˆencias de ressonˆancia. Se uma perturbac¸ ˜ao excita o sis- tema numa destas frequˆencias, mesmo forc¸as de baixa intensidade s˜ao capazes de produzir oscilac¸ ˜oes de grande amplitude.
A ressonˆancia se manifesta em diversos sistemas f´ısicos, sejam eles mecˆanicos, ac ´usticos ou eletromagn´eticos. Neste experimento (dividido em 2 aulas) veremos como a ressonˆancia se apresenta num sistema el´etrico em particular, o circuito RLC alimentado com tens˜ao senoidal. Faremos medidas para caracterizar o comportamento ressonante do circuito e mediremos (de diferentes maneiras) sua frequˆencia de ressonˆancia, comparando com as
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previs ˜oes te ´oricas. Na primeira aula nos concentraremos no comportamento da amplitude dos sinais, e discutiremos como calcular a potˆencia el´etrica transmitida em circuitos; vere- mos tamb´em que, dependendo de como o circuito for montado, ele poder´a se comportar como um filtro passa-banda ou rejeita-banda. J´a na segunda aula o foco ser´a a identificac¸ ˜ao do comportamento ressonante pela observac¸ ˜ao das diferenc¸as de fase.
8.3 Circuitos RLC em s´erie
A figura 8.1 mostra o esquema de um circuito RLC em s´erie, ao qual conectamos um oscilosc ´opio para medir a tens˜ao do gerador (no canal 1) e a tens˜ao sobre o resistor (no canal 2). Aplicando a lei das malhas ao circuito, obtemos
VG(t) = VL(t) + VC(t) + VR(t), (8.1)
com VL(t), VC(t) e VR(t) dados por:
VL(t) = L
di(t) dt
VC(t) =
q(t) C
e
VR(t) = R i(t). (8.4)
Figura 8.1: Representac¸ ˜ao esquem´atica de um circuito RLC em s´erie.
118 Circuitos RLC com corrente alternada: resson ˆancia
Seguindo esta notac¸ ˜ao, a express˜ao an´aloga `a lei de Ohm ser´a
V^ ˜G(t) = Z˜ ˜i(t), (8.11)
onde Z˜ e a impedˆ´ ancia total do circuito.
No circuito mostrado na figura 8.1 os trˆes elementos est˜ao associados em s´erie. A associac¸ ˜ao de impedˆancias complexas do circuito ´e feita da mesma forma que a associac¸ ˜ao de resistˆencias. Assim, lembrando que para o resistor temos Z˜R = R, para o capacitor Z^ ˜C = −jXC e para o indutor Z˜L = jXL, temos:
Z^ ˜ = Z˜R + Z˜C + Z˜L = R + j(XL − XC) = R + j(ωL − 1 ωC
Como a impedˆancia total Z˜ ´e um n ´umero complexo, podemos escrevˆe-la na forma polar, Z^ ˜ = Zejθ, onde
Z =
R^2 + (XL − XC)^2 , (8.13)
e
tan θ =
(XL − XC)
R
(ωL − 1 /ωC) R
Substituindo as equac¸ ˜oes 8.8 e 8.13 na equac¸ ˜ao 8.11, encontramos:
˜i(t) = V^0 e
jωt Zejθ^
V 0
Z
ej(ωt−θ)^ =
V 0 ej(ωt−θ) √ R^2 +
ωL −
ωC
Como a corrente i(t) ´e a parte imagin´aria de ˜i(t) (equac¸ ˜ao 8.9), temos que:
i 0 =
V 0
Z
e
ϕ = −θ. (8.17)
8.3 Circuitos RLC em s ´erie 119
Ou seja,
i 0 =
V 0
R^2 + (XL − XC)^2
e
tan ϕ = −
(XL − XC)
R
(XC − XL)
R
A equac¸ ˜ao 8.19 nos d´a a diferenc¸a de fase entre a voltagem do gerador e a corrente no circuito.
O fato novo introduzido pelo circuito RLC ´e que a impedˆancia ter´a um comportamento diferente dependendo da frequˆencia:
- para baixas frequˆencias (ω < 1 /
LC), teremos XC > XL, o circuito ter´a caracter´ıstica predominantemente capacitiva;
- para altas frequˆencias (ω > 1 /
LC), teremos XC < XL, e o circuito ter´a caracter´ısticas indutivas;
- na frequˆencia em que as reatˆancias s˜ao iguais (XC = XL), elas se cancelam mutua- mente, fazendo com que o circuito apresente propriedades puramente resistivas; esta frequˆencia ´e chamada de frequˆencia angular de ressonˆancia e ´e dada por:
ωR =
LC
A frequˆencia linear de ressonˆancia, ou simplesmente frequˆencia de ressonˆancia, ´e ent˜ao escrita como:
fR =
2 π
LC
Sabemos que a amplitude da voltagem no resistor est´a em fase com a corrente. Isto significa que medir VR(t) e observar o comportamento da corrente no circuito. Assim, para´ este circuito temos:
V 0 R =
RωC √ (RωC)^2 +
ω^2 ω^2 R
V 0 , (8.22)
8.3 Circuitos RLC em s ´erie 121
Figura 8.3: Comportamento esperado para a diferenc¸a de fase φ em func¸ ˜ao da frequˆencia angular do sinal do gerador, para o mesmo circuito da figura 8.2.
func¸ ˜ao do tempo. Ao calcular P (t 0 ) para um dado instante de tempo teremos a potˆencia instantˆanea, que n˜ao traz informac¸ ˜ao sobre o comportamento peri ´odico do sistema. E´ muito mais instrutivo calcular a potˆencia m´edia trasmitida num ciclo de oscilac¸ ˜ao 〈P 〉. Para tens ˜oes e correntes senoidais que oscilam com frequˆencia angular ω, a potˆencia m´edia transmitida do gerador para o circuito ´e func¸ ˜ao de ω e pode ser escrita como
〈P 〉(ω) = Vef ief cos ϕ, (8.24)
onde Vef e ief s˜ao, respectivamente, a tens˜ao eficaz do gerador e a corrente eficaz no cir- cuito, enquanto ϕ e diferenc´ ¸a de fase entre a corrente e a tens˜ao no gerador. Num circuito RLC, esta potˆencia transmitida pelo gerador deve ser igual `a potˆencia dissipada no resistor (atrav´es do efeito Joule), j´a que n˜ao h´a dissipac¸ ˜ao no capacitor e no indutor (se desprezar- mos a resistˆencia interna deste ´ultimo). A potˆencia dissipada pode ser escrita como
〈PR〉(ω) = R i^2 ef = R
(V
ef R R
(V 0 R)^2
2 R
onde utilizamos a express˜ao para a tens˜ao eficaz no resistor
Vef R =
V 0 R
A express˜ao para 〈PR〉(ω) pode ser escrita em func¸ ˜ao da resistˆencia R e das reatˆancias
122 Circuitos RLC com corrente alternada: resson ˆancia
capacitiva XC e indutiva XL:
〈PR〉(ω) = R i^2 ef =
R V (^) ef^2 R^2 + (XL − XC)^2
R V 02
R^2 +
ωL −
ωC
) 2.^ (8.27)
E f´´ acil verificar que o gr´afico de 〈PR〉(ω), mostrado na figura 8.4, apresenta um m´aximo em ω = ωR, ao reescrever esta ´ultima express˜ao em termos da frequˆencia de ressonˆancia:
〈PR〉(ω) =
R V 02 ω^2 ω^2 R^2 + L^2 (ω^2 − ω^2 R)^2
Figura 8.4: Potˆencia m´edia transferida por um gerador de Vef = 1 V para um circuito RLC com diferentes valores de R.
Na ressonˆancia o circuito apresenta as seguintes caracter´ısticas:
- um comportamento puramente resistivo;
- sua impedˆancia ´e m´ınima, ou seja
Z(ωR) = R; (8.29)
- a reatˆancia total X = XC − XL e nula, isto ´´ e
X(ωR) = 0; (8.30)
124 Circuitos RLC com corrente alternada: resson ˆancia
Figura 8.5: Curvas de transmitˆancia para circuitos RLC: (a) transmitˆancia quando a sa´ıda ´e tomada no resistor; (b) transmitˆancia quando a sa´ıda ´e tomada no capacitor.
8.4 Circuitos RLC em paralelo
Um circuito RLC em paralelo est´a representado na figura 8.6. Para este circuito a im- pedˆancia complexa da associac¸ ˜ao LC em paralelo ´e:
Z^ ˜LC = j( ωL 1 − ω^2 LC
onde ω e a frequˆ´ encia angular do gerador. A impedˆancia complexa total do circuito resso- nante RLC paralelo ´e
Z^ ˜ = R + L/C
jωL +
jωC
= R + j
( (^) ωL 1 − ω^2 LC
e podemos deduzir que a corrente complexa ´e dada por:
˜i(t) = V^0 e
jωt Z ejθ^
V 0
Z
ej(ωt−θ)^ =
V 0 ej(ωt−θ) √
R^2 +
[
ωL 1 − ω^2 LC
] 2 ,^ (8.37)
8.4 Circuitos RLC em paralelo 125
L
Figura 8.6: Representac¸ ˜ao esquem´atica do circuito RLC paralelo.
onde V 0 e a amplitude de voltagem no gerador e a fase da impedˆ´ ancia Z e dada por:´
tan θ =
ωL R(1 − ω^2 LC)
Para este circuito a potˆencia m´edia 〈P 〉(ω) dissipada no resistor ser´a:
〈PR〉(ω) = Vef ief cos ϕ = R i^2 ef =
R V 02
R^2 +
[ (^) ωL 1 − ω^2 LC
] 2.^ (8.39)
A condic¸ ˜ao de ressonˆancia ´e a mesma do circuito RLC em s´erie, ou seja:
ωR =
LC
Na condic¸ ˜ao de ressonˆancia no circuito RLC em paralelo verificamos que:
- sua impedˆancia ´e m´axima, Z(ωR) → ∞;
- a reatˆancia total X e infinita,´ X(ωR) → ∞;
- a corrente que passa no circuito ´e m´ınima, i(ωR) = 0;
8.5 Procedimentos experimentais 127
Figura 8.7: Potˆencia normalizada para diferentes valores de Q em um circuito RLC em paralelo.
8.5 Procedimentos experimentais
8.5.1 Procedimento I: an´alise da amplitude de corrente no circuito RLC
em s´erie
Vimos que a ressonˆancia ocorre quando as reatˆancias capacitiva e indutiva se anulam mu- tuamente (XC = XL). Nesta situac¸ ˜ao, para o circuito em s´erie, a impedˆancia do circuito e m´´ ınima e a amplitude de corrente atinge seu valor m´aximo. Dessa forma, variamos a frequˆencia do gerador e observamos no oscilosc ´opio para qual valor da mesma a ampli- tude V 0 R e m´´ axima (V 0 R = V 0 ). Esse valor de f ser´a a frequˆencia de ressonˆancia do circuito. Para o circuito em paralelo ocorrer´a o oposto, na frequˆencia de ressonˆancia a amplitude de corrente ser´a m´ınima e, consequentemente, a amplitude de voltagem no resistor tamb´em ser´a m´ınima.
- Com o aux´ılio do oscilosc ´opio, ajuste a tens˜ao de sa´ıda do gerador para uma onda senoidal com amplitude V 0 = 4 V e frequˆencia f = 1 kHz.
- Monte o circuito da figura 1 com R = 560 Ω, C = 10 nF e L = 23,2 mH. Mec¸a e anote os valores de R e C utilizados, com suas respectivas incertezas. Para o indutor, anote o valor nominal de sua indutˆancia e considere uma incerteza relativa de 10 %.
- Calcule o valor nominal da frequˆencia de ressonˆancia a partir dos valores anotados para L e C.
- Complete a tabela 1 com os valores das amplitudes de voltagem no resistor (V 0 R) obtidas para cada frequˆencia utilizada. Escolha cerca de 10 valores de frequˆencia, metade deles abaixo da frequˆencia de ressonˆancia nominal calculada e metade acima. Observe que a frequˆencia de ressonˆancia ´e dada pela equac¸ ˜ao 8.21 e a largura de banda pela equac¸ ˜ao 8.33.
128 Circuitos RLC com corrente alternada: resson ˆancia
Antes de comec¸ar a anotar os resultados, certifique-se tamb´em que as amplitudes de voltagens no resistor (V 0 R) no primeiro e no ´ultimo valor escolhido para f sejam muito menores do que na ressonˆancia. Fac¸a medidas num intervalo de frequˆencias suficientemente amplo para mostrar nitidamente o m´aximo da curva de 〈PR〉 vs. f (por exemplo, entre 1 kHz e 20 kHz).
- Calcule os valores de 〈PR〉 pela equac¸ ˜ao 8.25 e coloque-os na tabela 1.
- Calcule os valores te ´oricos para a potˆencia m´edia 〈PR〉 empregando a equac¸ ˜ao 8. para os trˆes pontos indicados na tabela. Utilize para isto os valores medidos de f pelo oscilosc ´opio, de C pelo mult´ımetro e L indicado pelo fabricante. Certifique-se que a amplitude do sinal do gerador permanec¸a constante (V 0 = 4V) para todos os valores de frequˆencia utilizados. A amplitude da voltagem do gerador deve ser monitorada pelo canal 1 do oscilosc ´opio. Todos os resultados experimentais devem ser apresentados com suas respectivas in- certezas.
Tabela 1
f (Hz) log (f /Hz) V 0 R ± σV 0 R PR ± σPR (mW) PR (mW) Discrepˆancia (%)
(V) experimental equac¸ ˜ao 8.
- A partir dos dados da tabela 1 trace a curva da potˆencia m´edia (dados experimentais) dissipada no resistor em func¸ ˜ao do logaritmo da frequˆencia f.
- Determine a partir do gr´afico trac¸ado os seguintes parˆametros:
- a frequˆencia de ressonˆancia, ωR;
- a largura de banda, ∆ω;
130 Circuitos RLC com corrente alternada: resson ˆancia
e capacitores em circuitos el´etricos alimentados com corrente alternada tem como resul- tado o surgimento de diferencas de fase entre a corrente e a voltagem aplicada no circuito. Vimos que no caso de um circuito capacitivo (RC), a corrente se adianta em relac¸ ˜ao `a vol- tagem, enquanto que para um circuito indutivo (RL) ela se atrasa; j´a circuitos puramente resistivos n˜ao apresentam diferenc¸a de fase alguma. Quando o circuito RLC possui carac- ter´ısticas capacitivas, XC e maior que´ XL, enquanto o contr´ario ocorre quando o circuito tem caracter´ısticas indutivas. A ressonˆancia ocorre quando XC = XL. Baseados nessas considerac¸ ˜oes, podemos conceber dois outros m´etodos para determinac¸ ˜ao da frequˆencia de ressonˆancia de um circuito RLC, que ser˜ao descritos a seguir.
8.5.3.1 M´etodo da diferen¸ca de fase
Figura 8.8: Diferenc¸a de fase entre a tens˜ao do gerador e a corrente no circuito.
Neste m´etodo, montamos o circuito mostrado na figura 8.1 e variamos a frequˆencia, observando os dois canais simultaneamente no oscilosc ´opio (figura 8.8). Para frequˆencias abaixo da frequˆencia de ressonˆancia a voltagem do resistor (canal 2) se encontra adian- tada em relac¸ ˜ao a voltagem da fonte (canal 1). Para frequˆencias acima da frequˆencia de ressonˆancia ocorre o contr´ario, a voltagem no resistor fica atrasada em relac¸ ˜aoa voltagem da fonte. A frequˆencia de ressonˆancia ´e aquela para a qual a diferenc¸a de fase ´e nula; nesse caso o circuito se comporta como puramente resistivo. Desse modo, variando-se a frequˆencia podemos determinar com seguranc¸a a frequˆencia na qual a diferenc¸a de fase vai a zero. Essa ser´a a frequˆencia de ressonˆancia.
Observando os sinais senoidais de corrente e tens˜ao atrav´es do gerador, a diferenc¸a de fase, em radianos, entre os dois sinais ´e dada por:
ϕ 1 =
2 π∆t T
= 2πf ∆t, (8.46)
onde T e f s˜ao o per´ıodo e a frequˆencia do sinal do gerador, respectivamente, e ∆t e o´ deslocamento relativo entre os sinais i(t) − proporcional a VR(t) − e V (t). Na figura, ∆t e´ diferenc¸a de tempo entre dois m´aximos.
8.5 Procedimentos experimentais 131
8.5.3.2 M´etodo das figuras de Lissajous
Os oscilosc ´opios digitais utilizados nesse curso possuem 2 canais, permitindo a observac¸ ˜ao simultˆanea de 2 sinais independentes. Mas al´em de permitir a observac¸ ˜ao de gr´aficos de voltagem versus tempo (configurac¸ ˜ao chamada de modo Y-T), o oscilosc ´opio tamb´em pode mostrar em sua tela o gr´afico da voltagem no canal 2 em func¸ ˜ao da voltagem do canal 1 (configurac¸ ˜ao conhecida como modo X-Y). Quando os sinais medidos pelo oscilosc ´opio s˜ao senoidais, as figuras geom´etricas observadas na tela s˜ao o resultado da composic¸ ˜ao de 2 movimentos oscilat ´orios, um no eixo horizontal (canal 1) e outro no eixo vertical (canal 2): essas figuras s˜ao chamadas de figuras de Lissajous. Se esses sinais senoidais possuem a mesma frequˆencia e uma diferenc¸a de fase n˜ao-nula, a figura observada ser´a uma elipse, como pode ser visto na figura 8.9. E ´e poss´ıvel determinar a diferenc¸a de fase entre esses sinais a partir da geometria da figura de Lissajous observada.
Figura 8.9: Figura de Lissajous (elipse) resultante da composic¸ ˜ao de 2 sinais senoidais defasados.
Para o caso do circuito RLC, aplicaremos a voltagem do gerador ao canal 1 (eixo x) e a voltagem do resistor ao canal 2 (eixo y). Sendo Vx a voltagem do gerador e Vy a voltagem no resistor, temos:
Vx = V 0 sen(ωt), (8.47)
e
Vy = V 0
R
Z
sen(ωt + ϕ). (8.48)
Escrevendo Vy como func¸ ˜ao de Vx encontramos:
Vy =
R
Z
[
cos(ϕ)Vx + sen(ϕ)
V 02 − V (^) x^2
]
8.5 Procedimentos experimentais 133
express˜ao:
|sen(ϕ)| =
a b
onde a e b s˜ao parˆametros representados na figura 8.10. Para a situac¸ ˜ao mostrada, temos |sen(ϕ)| = 3, 5 /5 = 0, 7 ⇒ ϕ = 0, 8 rad.
8.5.3.3 Medidas da diferen¸ca de fase
- Com o aux´ılio do oscilosc ´opio, ajuste a tens˜ao de sa´ıda do gerador para uma onda senoidal com amplitude V 0 = 4 V e frequˆencia f = 1 kHz.
- Monte o circuito da figura 8.1 com R = 1 kΩ, C = 10 nF e L = 23, 2 mH. Mec¸a os valores de R e C e anote o valor de L dos dispositivos utilizados, com suas incertezas (considere incerteza relativa de 10% para o valor nominal da indutˆancia).
- Utilizando o m´etodo da figura de Lissajous identifique a condic¸ ˜ao de ressonˆancia do circuito. No modo de operac¸ ˜ao X-Y, varie a frequˆencia at´e que a elipse na tela do os- cilosc ´opio se transforme numa reta. A partir dessa condic¸ ˜ao determine a frequˆencia de ressonˆancia fR e sua respectiva incerteza. Compare o valor medido de fR com o valor esperado, dado pela equac¸ ˜ao 8.21.
- Ajuste a sa´ıda do gerador de func¸ ˜oes para uma frequˆencia f = 5 kHz e mec¸a os parˆametros a e b da figura de Lissajous formada (vide fig. 8.10). A partir destes valores determine a diferenc¸a de fase para esta frequˆencia.
- Complete a tabela 3 com os valores de diferenc¸a temporal (∆t) entre a voltagem do gerador e a corrente do circuito para 10 valores de frequˆencia, metade deles abaixo da frequˆencia de ressonˆancia determinada e a outra metade acima. Use para isto o valor da frequˆencia de ressonˆancia encontrado pela figura de Lissajous. A partir do valores medidos para ∆t, calcule os valores da diferenc¸a de fase ϕ.
Certifique-se que a amplitude do sinal do gerador permanece constante (V 0 = 4 V) para todos os valores de frequˆencia utilizados.
- Na Tabela 3, calcule os valores esperados (nominais) para a diferenc¸a de fase (ϕN ), utilizando a equac¸ ˜ao 8.38 e os valores medidos para R, L e C.
Lembre-se que no resistor a corrente est´a em fase com a voltagem e que para frequˆencias abaixo da ressonˆancia, 0 < ϕ < +π/ 2 e para frequˆencias acima da ressonˆancia −π/ 2 < ϕ < 0. Todos os resultados experimentais devem ser apresentados com suas respectivas incertezas.
134 Circuitos RLC com corrente alternada: resson ˆancia
Tabela 3
f (Hz) log(f /Hz) ∆t ± σ∆t ϕ ± σϕ ϕN
(ms) (rad) (rad)
- Fac¸a o gr´afico da diferenc¸a de fase ϕ versus log(f /Hz). Obtenha do gr´afico trac¸ado a frequˆencia de ressonˆancia fR.
