Centro universitário UNIFAAT
Engenharia elétrica – 5º Semestre
LUIZ FELLIPE LOURENÇO E SILVA
RA: 4722037
Aplicações de equações diferenciais ordinárias na engenharia: Circuitos
RCL.
Atibaia – São Paulo
2025
1
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Circuitos RLC - aplicações em EDOs de primeira ordem, Notas de estudo de Métodos Matemáticos
Circuitos RLC e aplicações em EDOs de primeira ordem
Tipologia: Notas de estudo
2025
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Centro universitário UNIFAAT Engenharia elétrica – 5º Semestre LUIZ FELLIPE LOURENÇO E SILVA RA: 4722037 Aplicações de equações diferenciais ordinárias na engenharia: Circuitos RCL. Atibaia – São Paulo 2025
LUIZ FELLIPE LOURENÇO E SILVA
Aplicações de equações diferenciais ordinárias na engenharia: Circuitos RCL. Trabalho apresentado ao curso de Engenharia elétrica como requisito para obtenção de nota para disciplina de Métodos Matemáticos Aplicados à Engenharia Elétrica. Professor: Prof. Me. Gabriel Garcia Atibaia – São Paulo 2025
1. Equações diferenciais ordinárias: Aplicação em circuitos
RCL
As Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) são ferramentas matemáticas essenciais para a modelagem e análise de fenômenos dinâmicos em diversas áreas da ciência e da engenharia. Na Engenharia Elétrica, elas desempenham um papel fundamental ao permitir a descrição precisa do comportamento temporal de sistemas elétricos, desde circuitos simples até complexas redes de transmissão e dispositivos eletrônicos. Em particular, os circuitos RLC, compostos por resistores (R), indutores (L) e capacitores (C) representam um caso clássico e extremamente relevante para a aplicação das EDOs. Esses circuitos são amplamente estudados porque apresentam fenômenos dinâmicos que envolvem armazenamento e dissipação de energia, os quais podem ser rigorosamente descritos por equações diferenciais de segunda ordem. A partir das Leis de Kirchhoff e das relações constitutivas de cada componente, é possível obter uma equação diferencial que descreve a evolução da corrente elétrica ou da tensão ao longo do tempo. Essa modelagem matemática permite analisar e prever o comportamento do circuito em diferentes condições, como regimes transitórios, regime estacionário, ressonância e amortecimento. Historicamente, o desenvolvimento dos métodos para resolver EDOs esteve estreitamente ligado às necessidades da engenharia e da física. Com o avanço da eletrônica e das telecomunicações, a compreensão detalhada do comportamento dos circuitos RLC tornou-se imprescindível. Esses circuitos são base para sistemas mais complexos, como filtros, osciladores e redes de transmissão, que são fundamentais para a comunicação moderna e a distribuição eficiente de energia elétrica. A equação diferencial que modela o circuito RLC reflete a interação entre os elementos que armazenam energia, o indutor, que armazena energia no campo magnético, e o capacitor, que armazena energia no campo elétrico e o resistor, que dissipa energia em forma de calor. Essa combinação gera respostas dinâmicas que podem ser classificadas em três regimes principais: subamortecido , superamortecido e criticamente amortecido. Cada regime apresenta um comportamento distinto da corrente e da tensão, sendo que a escolha adequada do regime é crucial para o projeto e otimização de circuitos em aplicações práticas. A solução dessas equações pode ser obtida por métodos analíticos clássicos, como o método dos coeficientes indeterminados e as transformadas de Laplace, ou por métodos numéricos, principalmente quando as equações se tornam complexas para resolução fechada. A análise dos parâmetros extraídos das soluções, como a frequência natural de oscilação e o fator de amortecimento, permite aos engenheiros projetar sistemas que atendam a requisitos específicos de estabilidade, resposta rápida e eficiência energética.
Além do papel fundamental na análise de circuitos básicos, o estudo das EDOs em circuitos RLC fornece uma base sólida para o entendimento de sistemas elétricos mais complexos. Máquinas elétricas, sistemas de controle e eletrônica de potência frequentemente envolvem modelos matemáticos baseados em equações diferenciais ordinárias acopladas. Com o avanço da tecnologia computacional, o uso de simulações numéricas tornou-se indispensável para prever o comportamento dinâmico desses sistemas antes da construção física, reduzindo custos e riscos no desenvolvimento. Em suma, através da aplicação prática em circuitos RLC, pode-se compreender melhor fenômenos essenciais à operação de equipamentos eletrônicos, sistemas de transmissão e automação industrial, ampliando o horizonte para a inovação e a eficiência tecnológica na engenharia elétrica.
2. Circuitos RCL
2.1. Definição
Um circuito RLC é um arranjo elétrico que contém, em série ou paralelo, um resistor (R), um indutor (L) e um capacitor (C). Esses circuitos são muito utilizados devido à sua capacidade de armazenar e dissipar energia, além de filtrar sinais e criar condições de oscilação e ressonância.
2.2. Apresentação matemática
A partir das Leis de Kirchhoff e das relações constitutivas de cada componente, é possível obter uma equação diferencial que descreve a evolução da corrente elétrica ou da tensão ao longo do tempo. A equação diferencial que modela um circuito RLC série pode ser obtida aplicando-sea Segunda Lei de Kirchhoff das Malhas:
partir desses dados, foram calculados os parâmetros de amortecimento e frequência natural, permitindo concluir que o sistema operava em regime subamortecido (Δ < 0), no qual ocorre uma resposta oscilatória com decaimento exponencial ao longo do tempo. A solução matemática encontrada para a carga elétrica e para a corrente mostrou que o circuito apresentava oscilações amortecidas , com a amplitude diminuindo progressivamente devido à dissipação de energia provocada pela resistência.
3. Conclusões A compreensão dos fenômenos de amortecimento, oscilação e ressonância é essencial para o engenheiro eletricista no seu dia a dia profissional, pois esses comportamentos estão diretamente ligados ao desempenho e à estabilidade de sistemas elétricos. Além disso, este estudo se insere dentro de uma proposta mais ampla, como discutido no trabalho de Marcos Afonso da Silva, que destaca a relevância da modelagem matemática como ferramenta pedagógica e aplicada no ensino superior.
Ao abordar o uso de EDOs em contextos cotidianos, este trabalho contribui para demonstrar que a matemática ensinada nos cursos de graduação tem papel direto na resolução de problemáticas vivenciadas por engenheiros. Isso ajuda a reduzir as dúvidas e resistências de estudantes quanto à utilidade prática do conteúdo matemático em sua formação profissional. Assim, o cálculo não se evidência apenas como ferramenta analítica, mas também exemplifica o potencial da ponte entre teoria e aplicação prática.
4. Referência bibliográfica
SILVA, Jocimar de Souza. Modelagem matemática: uma abordagem no ensino de equações diferenciais ordinárias. Monografia (Licenciatura em Matemática) — Universidade Estadual da Paraíba, 2014.