Circuitos combinatorios teoria, Notas de estudo de Eletrônica

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Eletrônica - REE III Circuitos lógicos digitais - Teoria

Circuitos combinatórios

Circuitos combinatórios

© SENAI-SP, 2003

Trabalho editorado pela Gerência de Educação da Diretoria Técnica do SENAI-SP, a partir dos conteúdos extraídos da apostila homônima, Circuitos lógicos digitais - Teoria,. São Paulo, 1991 (Reparador de Equipamentos Eletrônicos III).

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Apresentação

O objetivo que norteou a elaboração do material didático Circuitos combinatórios foi o de apresentar, de uma forma organizada, clara e objetiva, os aspectos fundamentais da eletrônica.

Esperamos que esse manual sirva como instrumento de apoio ao estudo de uma matéria essencial para os que se iniciam ao campo da eletrônica.

Circuitos combinatórios

Introdução

Você já sabe que os circuitos lógicos executam a equações booleanas. Sabe, também, que é possível determinar circuitos lógicos através de expressões booleanas extraídas da tabela-verdade.

Contudo, os circuitos lógicos construídos diretamente das expressões booleanas da tabela-verdade é um processo complexo. Tais circuitos podem ser simplificados, o que facilita sua montagem e diminui o custo do sistema pela economia dos blocos lógicos necessários a sua construção.

Nesta unidade, vamos tratar dos postulados, teoremas, propriedades e identidade da álgebra booleana. Isso nos permitirá realizar a simplificação das expressões booleanas facilitando, desse modo, a execução dos circuitos combinatórios.

Circuitos combinatórios ou combinacional é aquele cuja saída depende das combinações das variáveis de entrada.

Você deve ter presente, ao iniciar esta unidade, os seguintes tópicos da álgebra booleana:

• Propriedades básicas
• Identidades básicas

Teoremas de De Morgan

Os teoremas de De Morgan são empregados para simplificar as expressões algébricas booleanas.

Primeiramente, vamos demonstrar e comprovar as leis postuladas por De Morgan. Em seguida, veremos a aplicação desses postulados.

Teorema 1 O complemento do produto é igual à soma dos complementos. Ou seja:

A .B= A + B

Vamos demonstrar o teorema utilizando a tabela-verdade.

A B A B A. B A. B A + B

Compare e veja como os resultados de cada termo das expressões são iguais.

Este teorema pode também ser deduzido pela equivalência entre blocos lógicos, como por exemplo: A .B(porta NE) ← → A + B (porta OU)

Esse teorema pode ser aplicado para mais de duas variáveis; ou seja:

A .B.C...N= ( A + B + C + ...N )

Equações lógicas

Para resolver qualquer problema, ou antes de iniciar um projeto lógico, constrói-se primeiramente, a tabela-verdade.

Da tabela-verdade, extrai-se a expressão booleana correspondente à operação exata de um circuito digital.

Expressão booleana de soma de produtos Pela análise da tabela-verdade de uma operação OU-EXCLUSIVO, vamos de mostrar como extrair uma expressão booleana de soma de produtos.

A B Y

2 0 1 1 A. B

3 1 0 1 A. B

A tabela-verdade mostra que apenas as linhas 2 e 3 da tabela geram a saída 1.

Na linha 2, as variáveis de entrada correspondem a não A e B ( A. B).

A outra combinação de variáveis que gera 1 é a da linha três. Essas variáveis são o

produto A. B.

Ao realizar a soma desses produtos ( A. B + A. B ), temos a expressão booleana completa, ou seja:

Y = A. B + A. B

Esta é uma expressão de soma de produtos ou de termo mínimo.

A expressão booleana Y = A. B + A. B constitui-se num circuito de portas lógicas E -

OU cujo diagrama de blocos lógicos está abaixo mostrado.

Em resumo, o procedimento comum na elaboração de um projeto lógico é o seguinte:

• Construir a tabela-verdade;
• Determinar a partir da tabela-verdade, a expressão booleana de termos mínimos (soma de produtos);
• A partir da expressão booleana de termos mínimos, esquematizar o circuito lógico.

Expressão booleana de produto de somas Pela análise de uma operação OU-EXCLUSIVO, vamos demonstrar como extrair uma expressão booleana de produtos de somas.

A B Y

1 0 0 0 A. B

4 1 1 0A. B

Vemos que as linhas 1 e 4 da tabela geram a saída 0 ; pelas quais vamos extrair a

expressão booleana. Pelos resultados zeros chegaremos à saída Y. Portanto, a

expressão booleana será:

Y = A .B+ A. B

Contudo, o nosso objetivo é chegar à saída Y. Devemos, por isso, proceder à inversão da expressão:

Y =A. B+A.B

Temos então, a expressão booleana das variáveis das linhas 5 e 8 ; submetidas ao teorema de De Morgan, estas variáveis darão um termo da expressão booleana, ou seja:

Y =

1 o  termo  2 o  termo  (A .B.C) + (A.B.C )

Y = ( A .B.C)+ (A.B.C)→ Y = ( A + B + C). ( A + B + C )

Portanto, a expressão booleana de termos máximos (produto de somas) será:

Y = ( A + B + C). ( A + B + C )

Sabemos que a expressão booleana é implementada através de um circuito de portas lógicas.

O diagrama de blocos OU-E, a seguir é a implementação da expressão retirada da tabela-verdade.

Observe que as saídas das portas OU estão alimentando uma porta E.

Aplicação de teoremas de De Morgan e de equações lógicas booleanas As leis e as propriedades fundamentais da operação da álgebra booleana permitem resolver problemas e projetos lógicos em diversas áreas.

Através de um exemplo, vamos demonstrar a aplicação desses princípios. Para isso é bom lembrar os passos a serem seguidos na resolução de um problema lógico:

• A elaboração da tabela-verdade;
• A extração da equação lógica;
• A execução do circuito ou diagrama de blocos lógicos.

Esse é o processo a ser seguido na resolução da situação-problema apresentada a seguir.

Situação-problema No setor de operação de uma empresa, um alarme deverá disparar toda a vez que ocorrer uma das seguintes situações:

• Faltar energia elétrica, o gerador auxiliar não entrar em funcionamento e as luzes de emergência não acenderem; ou
• Faltar energia elétrica, o gerador auxiliar funcionar e as luzes de emergência não acenderem; ou
• Houver energia elétrica, o gerador auxiliar funcionar e as luzes de emergência acenderem; ou
• Houver energia elétrica, o gerador auxiliar funcionar e as luzes de emergência não acenderem.

O primeiro passo para resolução do problema é a elaboração da tabela-verdade.

Ao analisar o problema, temos três variáveis a considerar:

1. A energia elétrica (A)
2. O gerador auxiliar (B)
3. As luzes de emergência (C)

Identificadas as variáveis de entrada, estabelecemos a convenção em binário para as situações existentes:

• Falta de energia 1 → existência da energia 0
• Funcionamento do gerador 1 → não funcionamento do gerador 0
• Luzes de emergência acesas 1 → luzes de emergência apagadas 0
• Alarme disparado 1 → alarme não disparado 0

Na linha 7, as entradas são A, B e C. A expressão booleana é:

A. B. C

A expressão booleana total será composta pela interligação desses quatro termos por uma operação OU.

Y = A. B. C + A. B. C + A. B. C + A. B. C

Essa expressão, também chamada expressão canônica, pode ser representada pelo diagrama de blocos de portas E e OU mostrado a seguir.

A expressão canônica que apresenta uma operação soma lógica (porta OU) como principal, é chamada de soma de produtos.

Como vimos antes, a expressão booleana pode também ser extraída a partir dos resultados Y = 0. A expressão que iremos obter será um produto de somas. No caso do exemplo apresentado, a tabela-verdade apresenta nas linhas 1, 2, 6, 8 - Y = 0.

A B C Y 1 0 0 0 0 A.B.C 2 0 0 1 0 A .B.C 3 0 1 0 1 4 0 1 1 1 5 1 0 0 1 6 1 0 1 0 A. B. C 7 1 1 0 1 8 1 1 1 0A. B. C

A expressão booleana final é:

A .B.C+ A .B.C + A. B. C + A. B. C = Y

Inverte-se a equação para obter a expressão de Y:

Y =A.B.C+A.B.C+A.B.C+A.B.C

Simplificando a equação pela aplicação do teorema de De Morgan, temos:

Y = A + B + C. A +B + C. A + B + C. A +B+C

Embora essa expressão se apresente de forma diferente (produto de somas) daquela extraída pelos resultados Y = 1 (soma dos produtos), ambas são iguais, o que pode ser comprovado através da tabela-verdade como é mostrado a seguir.

Y 1 = A .B.C+A.B.C+A.B.C+A.B.C=Y 2 =A+B+C.A+B+C.A+B+C.A+B+C

A B C A B C A.B.C A.B.C A.B.C A.B.C Y 1 A+B+C A+B+C A+B+C A+B+C Y 2 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0

Teoremas de absorção

Os teoremas de absorção são os que definem identidades utilizadas para a simplificação de expressões booleanas.

Quatro são os teoremas de absorção: A (A + B) = A A + AB = A

A + AB = A + B

A. ( A + B) = A. B

Teorema 4

A. ( A + B) = A. B

Empregando a tabela-verdade, obtemos:

A B A A + BAA + B). A. B( 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1

Verifique que A. ( A + B) = A: B, o que comprova as respectivas colunas na tabela-

verdade.

Simplificação de expressões algébricas

De modo geral, a expressão booleana extraída da tabela-verdade é longa e complexa. Como você já sabe, a expressão booleana tirada da tabela-verdade é a base para a construção do circuito lógico. De fato, se a expressão fosse muito grande, a construção do circuito lógico demandaria muitas portas lógicas, às vezes desnecessárias, o que tornaria o projeto lógico muito caro.

As expressões booleanas podem ser simplificadas ou minimizadas através de dois métodos:

• O método algébrico, que emprega os postulados, as propriedades, as identidades e os teoremas da álgebra de Boole;
• O método prático que utiliza mapas para a simplificação.

Método algébrico de simplificação Na simplificação de expressões booleanas pelo método algébrico, não há uma ordem determinada a ser seguida. Conforme a necessidade, aplicam-se os postulados, as propriedades, os teoremas e as identidades até obter uma forma reduzida da expressão original.

Através de exemplos, vamos demonstrar como simplificar ou minimizar uma expressão algébrica extraída de uma tabela-verdade.

Exemplo

Dada a expressão: Y = ,

1

AB C+ ,

2

AB C+ ,

3

A BC+ ,

4

ABC

1. Aplica-se a propriedade distributiva nos termos 1 e 2, e o resultado obtido será o seguinte: Y = ( ) B C+ 3

A BC+

4

ABC

Pela identidade básica , obteremos: A + A = 1 e 1. B C = BC Portanto: Y = B C + 3

A BC+

4

ABC

2. Aplica-se igualmente a propriedade distributiva nos termos 3 e 4 e o resultado será: Y = B C + B C ( )

Pela identidade básica , obteremos: A + A = 1 e 1. B C= BC Portanto, Y = (^) , 1 e 2

B C + ,

3 e 4

BC

Aplicando novamente a propriedade distributiva , obteremos:

C + C = 1 e 1. B = B

De modo que a forma final da expressão será: Y = B

Exemplo Vamos demonstrar a simplificação da mesma expressão (exemplo 1) a partir de uma maneira diferente de agrupar os termos.

Y = ,

1

AB C+ ,

2

AB C+ ,

3

AB C+ ,

4

ABC

1. Aplicando aos termos 2 e 3 a propriedade distributiva , obteremos: