Estudo do Circuito RL em Série como Filtro: Passa-Baixa e Passa-Alta, Trabalhos de Circuitos Elétricos

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RELATÓRIO V: CIRCUITO RL EM SÉRIE EM TENSÃO

ALTERNADA

Campo Grande/MS

Novembro de 2021

SUMÁRIO

• OBJETIVOS.............................................................................................................................
• I-INTRODUÇÃO TEÓRICA...................................................................................................
• II-MATERIAIS E MÉTODOS...............................................................................................
  • II.1 – Comportamento do módulo da impedância complexa em função da frequência...................................
  • II.3 – Ângulo de fase, φ(ν), do circuito RL em série em função da frequência...............................................
  • II.4 – Estudo do Circuito RL em série como filtro passa-Alta em função da frequência................................
  • II.5 – Estudo do Circuito RL em série como filtro Passa-Baixa em função da frequência..............................
• III-RESULTADOS E DISCUSSÕES.....................................................................................
  • III.1 – Comportamento do módulo da impedância complexa em função da frequência..................................
  • III.2 – Comportamento do módulo da corrente elétrica complexa em função da frequência..........................
  • III.3 – Ângulo de Fase, φ(ν), do Circuito RL em Série em Função da Frequência..........................................
  • III.4 – Estudo do Circuito RL em série como filtro Passa-Alta em função da frequência...............................
  • III.5 – Estudo do Circuito RL em série como filtro Passa-Baixa em função da frequência............................
• IV-CONCLUSÃO..................................................................................................................
• V-REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...............................................................................

I-INTRODUÇÃO TEÓRICA

As ondas mecânicas são

uma perturbação que se

propaga em um meio

elástico, ou seja, a

propagação da onda em

um meio material acontece

por meio da

propagação da energia da

onda por meio das

vibrações das partículas

constituintes

do meio. Na propagação

das ondas mecânicas

0Lorre o transporte de dois

tipos de

energia: energia cinética e

potencial.

Uma onda mecânica é

chamada de longitudinal,

quando as vibrações das

ondas são paralelas à

direção de propagação. Por

ser uma onda longitudinal,

seu som

se propaga por meio de

pequenas variações do

meio material. Uma onda é

transversal

somente quando produz

vibrações que são

perpendiculares à direção

de propagação.

Em um s0Lido as

perturbações podem fazer,

som varia, se propagando

mais

rápido ou mais lento. De

modo geral, a vel0Lidade

do som se propaga de

forma mais

eficaz em sólidos do que

em líquidos, e se propaga

de maneira mais eficaz em

líquidos

do que em gases. A

temperatura em que o

meio se encontra também

interfere na

vel0Lidade do som.

Quando se s0Lta uma barra

verticalmente, pode-se ver

que essa barra “pula”

ao atingir o s0Lo, ou seja,

quando ela é s0Lta e se

ch0La contra o piso, 0Lorre

um pulso

de compressão em sua

parte inferior. Como o

pulso se propaga pela

barra acaba

atingindo sua parte

superior, e assim é

refletido, retornando à sua

parte inferior.

Quando esse pulso atinge a

parte inferior da barra,

acaba que restaurando a

forma

do meio. Na propagação

das ondas mecânicas

0Lorre o transporte de dois

tipos de

energia: energia cinética e

potencial.

Uma onda mecânica é

chamada de longitudinal,

quando as vibrações das

ondas são paralelas à

direção de propagação. Por

ser uma onda longitudinal,

seu som

se propaga por meio de

pequenas variações do

meio material. Uma onda é

transversal

somente quando produz

vibrações que são

perpendiculares à direção

de propagação.

Em um s0Lido as

perturbações podem fazer,

não somente as ondas

longitudinais e

transversais, mas também

as ondas de torção.

São as propriedades de

inércia e de elasticidade do

meio material que vão

definir a vel0Lidade em

que a onda mecânica vai

se propagar. Essa

elasticidade do

do que em gases. A

temperatura em que o

meio se encontra também

interfere na

vel0Lidade do som.

Quando se s0Lta uma barra

verticalmente, pode-se ver

que essa barra “pula”

ao atingir o s0Lo, ou seja,

quando ela é s0Lta e se

ch0La contra o piso, 0Lorre

um pulso

de compressão em sua

parte inferior. Como o

pulso se propaga pela

barra acaba

atingindo sua parte

superior, e assim é

refletido, retornando à sua

parte inferior.

Quando esse pulso atinge a

parte inferior da barra,

acaba que restaurando a

forma

original dela, por isso, ela

exerce uma força sobre o

piso. Então o piso acaba

exercendo uma força sobre

a barra, fazendo assim a

barra saltar para cima

Designamos um circuito RL, conforme a Figura 1, como um circuito que contenha

ass0Liação em série de um resistor e um indutor, com uma força eletromotriz de corrente

alternada. Quando analisado em função da frequência esses circuitos funcionam como filtros

elétricos para rejeitar ruídos e transientes de tensão, como queda de raios.

Utilizando a relação matemática dada pela Equação 6:

cos t = sen

t +

= e

• j

❑

2

Podemos reescrever a Equação 5 como:

V

L

t

= ω L

I

0

e

• j

❑

2

O valor

e

• j

❑

2 apresentado na Equação 7 indica que a tensão no indutor está adiantada

de

rad com relação à corrente no circuito e

X

L

é a reatância indutiva.

Substituindo as Equações 1, 4 e 7 na Equação 3 determinamos a relação do valor

máximo da corrente,

I

0

(𝜔), com o valor máximo da tensão aplicada (tensão de pico), V 0

, em

função da frequência angular, ω, do sinal aplicado.

V

0

¿ (8.a)

V

0

= R

I

0

• j ω L

I

0

(8.b)

I

0

V

0

R + j ω L

(8.c)

Analisando-se a Equação 8.c temos que a amplitude máxima da corrente alternada,

I

0

para um circuito RL em série submetido a uma tensão alternada é um número complexo e

depende da amplitude máxima da tensão, V 0

, dos parâmetros R e L do circuito assim como

da frequência ω do sinal aplicado. O módulo da amplitude máxima da corrente, |

I

0

()|, que é

o valor mensurável com a ajuda de um osciloscópio, é dada pela Equação 9:

I

0

√

I

0

I

0

¿

V

0

R + j ω L

V

0

R − j ω L

V

0

|

Z

RL

|

V

0

√

R

2

+( ω L )

2

A dependência entre o valor do módulo da amplitude máxima de corrente,

I

0

, que percorre o circuito Rl em série em função da frequência angular do gerador de

sinais, ω, é apresentada na Figura 2.

Figura 2 -Comportamento do módulo da amplitude máxima da corrente, ¿

I

0

∨¿,que percorre um circuito RL

em série, para um indutor L = 88mH e um resistor R= 1,2 kΩ e amplitude máxima de tensão V 0

= 10V,

em função da frequência angular do gerador de sinais.

Fonte : Retirado do roteiro do professor.

A frequência natural do circuito,

ω

0

R

L

(rad/s), também chamada de frequência de

corte em eletrônica, por ser uma característica própria (intrínseca) de cada circuito RL foi

apresentada em destaque na Figura 2. Nesta Figura, também observamos que para

frequências muito menores que a frequência natural, ω ≪

ω

0

, o módulo da amplitude de

corrente (que é o valor mensurável), é máximo pois a reatância indutiva vai a zero (veja

Figura 4) e a impedância complexa do circuito tende a R e a corrente tende à um valor

constante igual a V0/R ou seja, um circuito puramente resistivo como num circuito RL em

série CC. Para frequências muito maiores que a frequência natural, ω ≫

ω

0

, o módulo da

amplitude de corrente tende a zero pois a reatância indutiva tende a infinito e o indutor se

comporta como um circuito aberto. Para os valores intermediários de frequência, ω, o

módulo da amplitude de corrente depende fortemente da frequência, ω, do sinal aplicado. É

importante destacar que para a frequência natural do circuito, ω0, a amplitude máxima da

corrente do circuito é igual ao seu valor eficaz, ou seja: I eficaz

I

0

√ 2

=¿0,707V

0

Substituindo-se o valor da amplitude máxima da corrente, no circuito RL em série

dada pela Equação 8.c na expressão da corrente complexa dada pela Equação 2, temos que a

corrente complexa que percorre o circuito RL série é expressa pela Equação 10:

I ( ,t )=

(

V

0

R + j ω L

)

sen ( t )=

(

V

0

R + j ω L

)

I.a - Impedância Complexa do Circuito RL em Série

Figura 4 -Comportamento do módulo da impedância complexa de um circuito RL em série para R = 1,2 kΩ e

L = 88 mH e amplitude do valor de tensão V 0

= 10 V, em função da frequência angular, ω.

Fonte : Retirado do roteiro do professor.

Analisando-se o comportamento do módulo da impedância complexa do circuito RL

em série, ¿

Z

RL

( ω )∨¿, apresentado na Figura 4, é possível verificar que para baixas

frequências, ω ≪ ω o

, o módulo da impedância complexa se torna igual ao valor da

resistência elétrica do resistor, ¿

Z

RC

∨¿→ R e o indutor se comporta como um curto-circuito

(observe que na Figura 4, a escala do módulo da impedância está em potências de 10). Para

altas frequências, ω ≫ ω o

, a impedância cresce muito rapidamente (da ordem de

5kΩ/década) pois a reatância indutiva aumenta linearmente com a frequência (indutor como

circuito aberto). O módulo da impedância complexa para frequência angular igual a

frequência natural (ou de corte) é igual ao valor da resistência elétrica, R, multiplicado por

√

I.b – Tensões Complexas no Resistor e no indutor do Circuito RL em Série

Conhecendo-se as expressões para a corrente,

I (ω, t) (Equação 10), que percorre o

circuito Rl em série, a expressão da impedância complexa,

Z

(ω, t) (Equação 12), e seu

módulo,

¿ Z (ω)| (Equação 13) e sabendo-se que o circuito Rl em série é um divisor de

tensão, podemos expressar as relações das quedas de tensões no resistor,

V

R

(ω, t) (Equação

14.a), e indutor,

V

L

(ω, t) (Equação 15.a) como a seguir:

V

R

( ω ,t )= R

I ( ,t )= R

(

V

0

R + j ω L

)

(14.a)

Onde:

V

¿

( ω )=

R

Z

RL

V

0

R

( R + j ω L )

V

0

(14.b)

V

L

( ω , t )=

X

L

I ( t )= j ωL

(

V

0

R + j ω L

)

(15.a)

Onde:

V

0 L

( ω )=

X

L

Z

RL

V

0

= j ωL

(

R + jω L

)

V

0

j ω L

( R + j ω L )

V

0

(15.b)

I.c – Ângulo de Fase do Circuito RL em Série

O ângulo de fase, φ(ω), entre a tensão aplicada pelo gerador e a corrente no circuito

pode ser determinado analisando-se a representação das grandezas das tensões complexas no

plano complexo, apresentado na Figura 5, onde uma tensão senoidal do gerador apresenta

um ângulo de fase inicial θ e sabendo-se que:

 a corrente no resistor R não apresenta diferença de fase em relação à tensão do gerador;

 a tensão no indutor apresenta uma diferença de fase de +

rad com relação à corrente no

circuito.

 A frequência angular gira no sentido anti-horário.

Figura 5 -Representação das tensões complexas do circuito RL em série no plano complexo

Fonte : Retirado do roteiro do professor.

A partir da Figura 5 e utilizando as Equações 14.b e 15.b temos:

tan ()=

|

V

L

|

|

V

R

|

|

V

0 L

|

|

V

0 R

|

L

R

(16.a)

¿ arctan (

L

R

) (16.b)

Na Equação 16.a, os valores |

V

0 L

|e |

V

0 R

| s ão os módulos das amplitudes máximas

que são os valores mensuráveis (com o auxílio de um osciloscópio) das tensões complexas

no capacitor e no resistor, respectivamente.