Análise Estatística de Dados: Hipóteses sobre Médias de Amostras | Notas de aula Metodologia

Universidade Estadual de Santa Cruz

Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas

CET076 - Metodologia e Estatística Experimental

Curso de Agronomia

Notas de aulas expandidas.

Prof. José Cláudio Faria

Ilhéus – Bahia

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Universidade Estadual de Santa Cruz

Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas

CET076 - Metodologia e Estatística Experimental

Curso de Agronomia

Notas de aulas expandidas.

Prof. José Cláudio Faria

Ilhéus – Bahia

Índice

NOTAS DO AUTOR
LITERATURA RECOMENDADA
RECURSOS DISPONÍVEIS NA WWW
LABORATÓRIOS VIRTUAIS DISPONÍVEIS NA INTERNET
SITE PARA ANÁLISES ON-LINE
EXEMPLOS DE RECURSOS DISPONÍVEIS NA WWW
SIMBOLOGIA ADOTADA NO CURSO
1. CALCULADORAS E APROXIMAÇÕES EM ESTATÍSTICA
1.1. CALCULADORA ADEQUADA
1.2. COMENTÁRIOS SOBRE OS RECURSOS BÁSICOS
1.3. APROXIMAÇÕES
1.4. UM TESTE
1.5. O QUE NÃO DEVE SER FEITO
1. REVISÃO DOS CURSOS PRELIMINARES
2.1. MÉDIA ARITMÉTICA
2.1.1. O QUE É
2.1.2. O QUE QUANTIFICA
2.1.3. SIMBOLOGIA E CÁLCULO
2.1.3.1. Cálculo
2.1.4. UNIDADE DE EXPRESSÃO
2.2. VARIÂNCIA
2.2.1. O QUE É
2.2.2. O QUE QUANTIFICA
2.2.3. SIMBOLOGIA E CÁLCULO
2.2.3.1. Cálculo
2.2.4. UNIDADE DE EXPRESSÃO
2.2.5. CONCEITO
2.2.6. FORMAS DE CÁLCULO
2.3. DESVIO PADRÃO
2.3.1. O QUE É
2.3.2. O QUE QUANTIFICA
2.3.3. SIMBOLOGIA E CÁLCULO
2.3.3.1. Cálculo
2.3.4. UNIDADE DE EXPRESSÃO
2.4. DESVIO PADRÃO RELATIVO E COEFICIENTE DE VARIAÇÃO
2.4.1. O QUE SÃO
2.4.2. O QUE QUANTIFICAM
2.4.3. SIMBOLOGIA E CÁLCULOS
2.4.3.1. Cálculos
2.4.4. JUSTIFICATIVAS PARA O USO E UNIDADES DE EXPRESSÃO
2.5. DEMONSTRAÇÕES
2.6. COVARIÂNCIA
2.6.1. O QUE É
2.6.2. O QUE QUANTIFICA
2.6.3. SIMBOLOGIA E CÁLCULO
2.6.3.1. Cálculo
2.6.4. UNIDADE DE EXPRESSÃO
2.6.4.1. Conceito
2.6.5. EXEMPLOS DE CÁLCULO E VISUALIZAÇÃO DAS ASSOCIAÇÕES
2.6.5.1. Variáveis com associação positiva e elevada
2.6.5.2. Variáveis com associação negativa e elevada
2.6.5.3. Variáveis não associadas
2.7. TEOREMA CENTRAL DO LIMITE
2.7.1. O QUE É
2.7.2. O QUE SIGNIFICA
2.7.3. COMO É USADO
2.8. TESTE DE HIPÓTESES
2.8.1. HIPÓTESE: O QUE É
2.8.2. TESTE DE HIPÓTESES: O QUE É
2.8.3. TIPOS DE HIPÓTESES
2.8.4. TIPOS DE ERROS
2.9. DISTRIBUIÇÃO F
2.9.1. O QUE É
2.9.2. O QUE SIGNIFICA
2.9.3. COMO É USADA
2.9.4. EXATIDÃO E PRECISÃO
2.9.5. EXEMPLO BÁSICO DE APLICAÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO F - COMPARAÇÃO DE PRECISÃO
2.9.5.1. Mecanismo de decisão
1. ANÁLISE DE VARIÂNCIA
3.1. INTRODUÇÃO
3.2. CONCEITOS E USO
3.2.1. O QUE É?
3.2.2. PARA QUE É USADA?
3.2.3. QUAL DECISÃO É POSSÍVEL TOMAR?
3.2.4. EXEMPLO
3.2.4.1. Teste de hipóteses
3.2.4.2. Procedimentos para a análise
3.2.5. PRESSUPOSTOS DA ANÁLISE DE VARIÂNCIA
3.2.6. DEMONSTRAÇÃO DA APLICAÇÃO DO TEOREMA CENTRAL DO LIMITE (TCL) NA ANOVA
1. NOÇÕES BÁSICAS DE EXPERIMENTAÇÃO
4.1. INTRODUÇÃO
4.2. PÚBLICO
4.3. PRINCIPAIS CONCEITOS
4.4. A ORIGEM AGRÍCOLA
4.5. PRINCÍPIOS BÁSICOS DA EXPERIMENTAÇÃO
4.5.1. REPETIÇÃO
4.5.2. CASUALIZAÇÃO
4.5.3. CONTROLE LOCAL
4.6. CONTROLE DE QUALIDADE DE EXPERIMENTOS
4.7. TIPOS DE ERROS EM EXPERIMENTOS
4.7.1. PRINCIPAIS FONTES DE ERRO E RESPECTIVOS CUIDADOS
4.7.1.1. Heterogeneidade das condições ambientais
4.7.1.2. Heterogeneidade do material experimental
4.7.1.3. Condução diferenciada das unidades experimentais
4.7.1.4. Competição intraparcelar
4.7.1.5. Competição interparcelar
4.7.1.6. Pragas, doenças e acidentes
4.8. PLANEJAMENTO DE EXPERIMENTOS
1. DELINEAMENTO INTEIRAMENTE CASUALIZADO - DIC
5.1. INTRODUÇÃO
5.2. PRINCÍPIOS UTILIZADOS
5.2.1. REPETIÇÃO
5.2.2. CASUALIZAÇÃO
5.2.3. VANTAGENS E DESVANTAGENS
5.2.3.1. Vantagens
5.2.3.2. Desvantagens
5.3. MODELO ESTATÍSTICO
5.4. ESQUEMA DE CASUALIZAÇÃO DOS TRATAMENTOS
5.5. COLETA DE DADOS
5.6. ANÁLISE DE VARIÂNCIA
5.6.1. ESQUEMA DA ANÁLISE DE VARIÂNCIA
5.6.2. TESTE DE HIPÓTESES
5.7. EXEMPLO COM UM MESMO NÚMERO DE REPETIÇÕES
5.7.1. RESÍDUO
5.7.2. O COEFICIENTE DE VARIAÇÃO E SUA INTERPRETAÇÃO
5.7.3. TESTES DE COMPARAÇÃO DE MÉDIAS MÚLTIPLAS
5.7.4. HIPÓTESES PARA OS CONTRASTES
5.7.5. DESDOBRAMENTO DOS GL ASSOCIADOS A TRATAMENTOS EM CONTRASTES ORTOGONAIS
5.8. EXEMPLO COM NÚMERO DIFERENTE DE REPETIÇÕES
5.8.1. DESDOBRAMENTO DOS GL ASSOCIADOS A TRATAMENTOS EM CONTRASTES ORTOGONAIS
5.8.2. ESTIMAÇÃO E TESTE DE HIPÓTESES PARA OS CONTRASTES
5.9. CONSIDERAÇÕES FINAIS
5.10. DEMONSTRAÇÕES E ILUSTRAÇÕES
1. TESTES DE COMPARAÇÃO DE MÉDIAS MÚLTIPLAS
6.1. INTRODUÇÃO
6.2. O FUNDAMENTO DOS TESTES
6.3. OS TESTES
6.3.1. TESTE DE DUNCAN
6.3.1.1. Obtenção da dms
6.3.1.2. Aplicação do teste
6.3.1.2.1. Para contrastes que abrangem 4 médias
6.3.1.2.2. Para contrastes que abrangem 3 médias
6.3.1.2.3. Para testar contrastes que abrangem 2 médias
6.3.1.3. Apresentação dos resultados e conclusão
6.3.2. TESTE DE DUNNETT
6.3.2.1. Obtenção da dms
6.3.2.2. Aplicação do teste
6.3.2.3. Apresentação dos resultados e conclusão
6.3.3. TESTE DE TUKEY
6.3.3.1. Obtenção da dms
6.3.3.2. Aplicação do teste
6.3.3.3. Apresentação dos resultados e conclusão
6.3.4. TESTE DE STUDENT – NEWMAN – KEULS (SNK)
6.3.4.1. Obtenção da dms
6.3.4.2. Aplicação do teste
6.3.4.2.1. Para contrastes que abrangem 4 médias
6.3.4.2.2. Para contrastes que abrangem 3 médias
6.3.4.2.3. Para contrastes que abrangem 2 médias
6.3.4.3. Apresentação dos resultados e conclusão
6.3.5. TESTE DE SCHEFFÉ
6.3.5.1. Obtenção da dms
6.3.5.2. Teste de Scheffé - médias de tratamentos
6.3.5.3. Teste de Scheffé - grupos de médias de tratamentos
6.4. EXEMPLO DE APLICAÇÃO EM EXPERIMENTOS DESBALANCEADOS
6.4.1. TESTE DE DUNCAN
6.4.1.1. Para contrastes que abrangem 4 médias: 4 vs. 4 repetições
6.4.1.2. Para contrastes que abrangem 3 médias: 4 vs. 4 repetições
6.4.1.3. Para contrastes que abrangem 3 médias: 4 vs. 5 repetições
6.4.1.4. Para testar contrastes que abrangem 2 médias: 4 vs. 5 repetições
6.4.1.5. Para testar contrastes que abrangem 2 médias: 4 vs. 4 repetições
6.4.2. TESTE DE TUKEY
6.4.2.1. Para testar contrastes que abrangem 2 médias: 5 vs. 4 repetições
6.4.2.2. Para testar contrastes que abrangem 2 médias: 4 vs. 4 repetições
1. ESTUDO E APLICAÇÃO DE CONTRASTES
7.1. INTRODUÇÃO
7.2. DEFINIÇÃO
7.3. CONTRASTES ENTRE TOTAIS DE TRATAMENTOS COM UM MESMO NÚMERO DE REPETIÇÕES
7.3.1. CÁLCULO DA SOMA DE QUADRADOS DOS DESVIOS
7.3.2. ORTOGONALIDADE
7.4. CONTRASTES ENTRE TOTAIS DE TRATAMENTOS COM NÚMERO DIFERENTES DE REPETIÇÕES
7.4.1. CÁLCULO DA SOMA DE QUADRADOS DOS DESVIOS
7.4.2. ORTOGONALIDADE
7.5. REGRAS PARA OBTENÇÃO DE CONTRASTES ORTOGONAIS
7.5.1. CONTRASTES COM UM MESMO NÚMERO DE REPETIÇÕES
7.5.2. CONTRASTES COM NÚMERO DIFERENTE DE REPETIÇÕES
7.6. VARIÂNCIA DE CONTRASTES
7.7. COMPREENSÃO DO CÁLCULO AS SOMA DE QUADRADOS DOS DESVIOS DE CONTRASTES
7.7.1. COM MÉDIAS DE TRATAMENTOS
7.7.2. COM OS TOTAIS DE TRATAMENTOS
1. REFLEXÕES SOBRE A ANÁLISE DE VARIÂNCIA
8.1. INTRODUÇÃO
8.2. REFLEXÕES
8.3. BLOCO DE PERGUNTAS
8.4. BLOCO DE PERGUNTAS
8.5. ANÁLISE COMPUTACIONAL DE UM EXPERIMENTO
8.5.1. PROGRAMA PARA A ANÁLISE
8.5.2. RESULTADOS FORNECIDOS
8.5.2.1. Análise de variância
8.5.2.2. Testes de comparação de médias
8.5.2.2.1. Teste de Tukey
8.5.2.2.2. Teste de Duncan
8.5.2.2.3. Teste de Dunnett
8.5.2.2.4. Teste de Student – Newman – Keuls
8.6. BLOCO DE PERGUNTAS
1. DELINEAMENTO EM BLOCOS CASUALIZADOS - DBC
9.1. INTRODUÇÃO
9.2. PRINCÍPIOS UTILIZADOS
9.2.1. REPETIÇÃO
9.2.2. CASUALIZAÇÃO
9.2.3. CONTROLE LOCAL
9.2.4. EXEMPLOS DE CONTROLE LOCAL
9.3. VANTAGENS E DESVANTAGENS
9.3.1. VANTAGENS
9.3.2. DESVANTAGENS
9.4. MODELO ESTATÍSTICO
9.5. ESQUEMA DE CASUALIZAÇÃO DOS TRATAMENTOS
9.6. COLETA DE DADOS
9.7. ANÁLISE DE VARIÂNCIA
9.7.1. ESQUEMA DA ANÁLISE DE VARIÂNCIA
9.7.2. TESTE DE HIPÓTESES
9.8. EXEMPLO COM UM MESMO NÚMERO DE REPETIÇÕES
9.8.1. TESTES DE COMPARAÇÃO DE MÉDIAS MÚLTIPLAS
9.8.2. DESDOBRAMENTO DOS GL ASSOCIADOS A TRATAMENTOS EM CONTRASTES ORTOGONAIS
9.9. CONSIDERAÇÕES FINAIS
1. DELINEAMENTO EM QUADRADO LATINO - DQL
10.1. INTRODUÇÃO
10.2. PRINCÍPIOS UTILIZADOS
10.2.1. REPETIÇÃO
10.2.2. CASUALIZAÇÃO
10.2.3. CONTROLE LOCAL
10.2.4. EXEMPLOS DE CAUSAS DE VARIAÇÃO CONTROLADAS POR ESTE DELINEAMENTO
10.3. VANTAGENS E DESVANTAGENS
10.3.1. VANTAGENS
10.3.2. DESVANTAGENS
10.4. MODELO ESTATÍSTICO
10.5. ESQUEMA DE CASUALIZAÇÃO DOS TRATAMENTOS
10.6. COLETA DE DADOS
10.7. ANÁLISE DE VARIÂNCIA
10.7.1. ESQUEMA DA ANÁLISE DE VARIÂNCIA
10.7.2. TESTE DE HIPÓTESES RELATIVAS AOS TRATAMENTOS
10.8. EXEMPLO COM UM MESMO NÚMERO DE REPETIÇÕES
10.8.1. TESTES DE COMPARAÇÃO DE MÉDIAS MÚLTIPLAS
10.8.2. DESDOBRAMENTO DOS GL DE TRATAMENTOS EM CONTRASTES ORTOGONAIS
10.9. CONSIDERAÇÕES FINAIS
1. EXPERIMENTOS FATORIAIS
11.1. INTRODUÇÃO
11.2. CLASSIFICAÇÃO DOS EFEITOS
11.2.1. EFEITO PRINCIPAL
11.2.2. EFEITO DA INTERAÇÃO
11.3. VANTAGENS E DESVANTAGENS
11.3.1. VANTAGENS
11.3.2. DESVANTAGENS
11.4. MODELO ESTATÍSTICO
11.5. COLETA DE DADOS
11.6. ANÁLISE DE VARIÂNCIA
11.6.1. ESQUEMA DA ANÁLISE DE VARIÂNCIA
11.6.2. TESTES DE HIPÓTESES
11.7. EXEMPLOS
11.7.1. EXPERIMENTO MONTADO NO DIC COM INTERAÇÃO NÃO SIGNIFICATIVA
11.7.2. EXPERIMENTO MONTADO NO DIC COM INTERAÇÃO SIGNIFICATIVA
11.7.3. EXPERIMENTO MONTADO NO DBC COM INTERAÇÃO SIGNIFICATIVA
11.7.4. EXPERIMENTO MONTADO NO DIC COM INTERAÇÃO SIGNIFICATIVA
1. EXPERIMENTOS EM PARCELAS SUBDIVIDIDAS
12.1. INTRODUÇÃO
12.2. FATORIAL VS. PARCELA SUBDIVIDIDA
12.3. CLASSIFICAÇÃO DOS EFEITOS
12.3.1. EFEITO PRINCIPAL
12.3.2. EFEITO DA INTERAÇÃO
12.4. VANTAGENS E DESVANTAGENS
12.4.1. VANTAGENS
12.4.2. DESVANTAGENS
12.5. MODELO ESTATÍSTICO
12.6. COLETA DE DADOS
12.7. ANÁLISE DE VARIÂNCIA
12.7.1. TESTE DE HIPÓTESES
12.8. EXEMPLO: PARCELA SUBDIVIDIDA NO ESPAÇO
12.8.1. TESTE DE TUKEY APLICADO AOS EFEITOS PRINCIPAIS
12.9. EXEMPLO: PARCELA SUBDIVIDIDA NO TEMPO
12.9.1. DESDOBRAMENTO DA INTERAÇÃO
1. CORRELAÇÃO LINEAR SIMPLES
13.1. INTRODUÇÃO
13.2. DEFINIÇÃO
13.3. CONCEITOS E COMPREENSÃO A PARTIR DE UM EXEMPLO
13.4. PRESSUPOSIÇÕES DA CORRELAÇÃO
1. INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE REGRESSÃO LINEAR SIMPLES
14.1. INTRODUÇÃO
14.1.1. CRITÉRIOS PARA SE AJUSTAR UMA RETA
14.1.2. AJUSTANDO UMA RETA
14.2. ANÁLISE DE VARIÂNCIA DA REGRESSÃO
14.2.1. CÁLCULOS ALTERNATIVOS DA SOMA DE QUADRADOS DOS DESVIOS
14.2.2. COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO DA REGRESSÃO
14.2.3. RELAÇÃO ENTRE O COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO E O COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO
14.2.4. OBSERVAÇÕES A RESPEITO DA REGRESSÃO
14.2.5. ANÁLISE DE REGRESSÃO DE DADOS PROVENIENTES DE DELINEAMENTOS EXPERIMENTAIS
14.3. CRITÉRIOS PARA DECISÃO DE UM MODELO AJUSTADO E CONSIDERAÇÕES FINAIS
14.4. EXEMPLO DE ANÁLISE COMPLETA DE UM EXPERIMENTO
1. TRANSFORMAÇÃO DE DADOS
15.1. INTRODUÇÃO
15.2. TRANSFORMAÇÃO ANGULAR
15.2.1. PRESSUPOSIÇÕES
15.2.2. USO
15.2.3. RECOMENDAÇÕES
15.1. TRANSFORMAÇÃO RAIZ QUADRADA
15.1.1. PRESSUPOSIÇÕES
15.1.2. USO
15.1.3. RECOMENDAÇÕES
18.1.1. DICAS ÚTEIS
15.2. TRANSFORMAÇÃO LOGARÍTMICA
15.2.1. PRESSUPOSIÇÕES
15.2.2. USO
15.2.3. RECOMENDAÇÕES
15.2.1. DICAS ÚTEIS

Literatura recomendada

BANZATTO, D.A & KRONKA, S.N. Experimentação agrícola. Jaboticabal: FUNEP,

1989. 247p.

COCHRAN, W.G & COX, G.M. Experimental design. 2. Ed. New York: John Wiley, 1957.

462p.

KACHIGAN, S.K. Statistical analysis: an interdisciplinary introduction to univariate &

multivariate methods. New York: Radius Press. 1986. 589p.

STORK, L.; GARCIA, D.C; LOPES, S.J. ESTEFANEL,V. Experimentação vegetal.

Santa Maria: Ed. UFSM, 2000. 198p.

ZAR, J.H. Biostatistical analysis. 4 ed. New Jersey: Prentice Hall. 1999. 663p. app 1-

Observações:

A literatura recomendada está listada por ordem alfabética dos autores.

Em caso da opção para aquisição textos de referência na língua portuguesa, para

compor a biblioteca pessoal, recomenda-se BANZATTO, D.A & KRONKA, S.N, e

ou, STORK et al.

ZAR, J.H. possui a seguinte referência na biblioteca da UESC:

o 574.

o Z 36 bio

Recursos disponíveis na WWW

Em função dos recursos didáticos avançados, recomenda-se que os laboratórios

virtuais de estatística disponíveis na WWW sejam regularmente usados, pois são de

inestimável valia para o aprendizado da estatística.

Os laboratórios indicados, além das experiências virtuais disponíveis,

disponibilizam programas e links que permitem análises de dados em tempo real,

podendo ser usados para o aprendizado, resoluções de exercícios e avaliações.

Laboratórios virtuais disponíveis na Internet

http://www.ruf.rice.edu/~lane/rvls.html

http://www.kuleuven.ac.be/ucs/java/

http://www.stat.vt.edu/~sundar/java/applets/

http://www.isds.duke.edu/sites/java.html

Site para análises on-line

http://www.stat.sc.edu/webstat/

Exemplos de recursos disponíveis na WWW

Distribuições amostrais

Figura 0.1 - Excelente para entender o teorema central do limite.

http://www.ruf.rice.edu/~lane/stat_sim/sampling_dist/index.html

Distribuição normal

Análise de variância – ANOVA

Figura 0.4 – Indispensável para entender os fundamentos da ANOVA permitindo a

simulação de dados com o uso do mouse.

http://www.ruf.rice.edu/~lane/stat_sim/one_way/index.html

Simbologia adotada no curso

Medida Populacional

Amostral

(estimativa ou estatística)

Média μ m

Mediana Md md

Moda Mo mo

Variância σ^2 s^2

Desvio padrão σ s

Desvio padrão relativo DPR dpr

Coeficiente de variação CV cv

Número de elementos N n

Correlação ρ r

Covariância COV cov

Parâmetro genérico^ θ θ

Variável Valor observado Valor estimado

Variável aleatória Y Y

Sigla/Símbolo Significado

GL , gl ou j Graus de liberdade

SQD Soma do quadrado dos desvios em relação à média

QMD Quadrado médio dos desvios em relação à média

O termo parâmetro ( θ ) refere-se a toda e qualquer característica medida em populações, enquanto a estimativa do parâmetro ( θ

) é o correlato obtido em amostras

representativas.

O termo grau de liberdade (GL, gl ou j) geralmente nos informa sobre o tamanho

da amostra a partir da qual alguma estimativa ou estatística foi calculada. Na análise de

contrastes a cada um é atribuído 1 GL e o mesmo é feito na análise de regressão onde

cada parâmetro estimatido no modelo recebe também 1 GL.

Calculadoras e aproximações em estatística

aproximações sucessivas levam a distorções consideráveis no resultado final, podendo

levar a conclusões equivocadas.

Em geral 2 ou 3 casas decimais são suficientes para a maioria dos problemas

acadêmicos. Imagine que você está analisando algo que foi medido em metro (m), por

exemplo 1 m, com uma casa decimal você estaria dando importância a um decímetro

(1,0 m), com duas casas decimais você já estaria fazendo o mesmo com a um centímetro

(1,00 m), com 3 casas decimais ao milímetro (1,000 m) e assim por diante. Bem, na

grande maioria dos casos, quando estamos medindo algo em metro, aproximações finais

em nível de centímetro ou milímetro são satisfatórias. Mais que isto, por exemplo,

1,000000000 m, poderia ser considerado desnecessário pois você estaria dando

importância ao nanomêtro, visível apenas com o auxílio de microscópios potentes.

1.4. Um teste

Vamos supor duas séries de dados com 15 elementos cada uma:

B {14,1316,9411,5513,3618,1713,2814,1916,2812,1718,4612,5511,3412,1314,22 18,11} A {12,3114,5213,2314,7116,8219,3314,9917,9813,6714,1614,8514,6313,2417,6513,26} = =

Os seguintes procedimentos são necessários:

a. Calcular a média aritmética simples de cada série

m 14, m 15, B A = =

b. Diminuir cada valor das séries de suas respectivas médias

B {(14,13-14,46)(16,94-14,46)...(18,11- 14,46)} A {(12,31-15,02)(14,52-15,02)...(13,26-15,02)} = =

c. Para cada série elevar ao quadrado as diferenças e efetuar o somatório

B {(-0,33) (2,48) ... (3,65) } A {(-2,71) (-0,50) ... (-1,77) } 2 2 2 2 2 2 = + + + = + + +

d. Dividir cada resultado da etapa anterior (c) por 14

6 , 28 14 87, B 4 , 10 14 57, A = = = =

e. Dividir o maior pelo menor valor dos encontrados na etapa anterior (d) e

expressar o resultado final com duas casas decimais

Calculadoras e aproximações em estatística 1 , 53 4 , 10 6 , 28 =

Este é o resultado trabalhando com todos os resultados intermediários em

variáveis de memória. Deve-se realizar o teste acima considerando que afastamentos do

valor indicado (1,63) implicaram na adoção de procedimentos inadequados que

necessitam ser revistos e melhorados.

1.5. O que não deve ser feito

a. Não armazenar os valores das médias em variáveis de memória.

b. Subtrair os valores das médias aproximadas (15,02 e 14,46) e não dos valores

reais (15,02333... e 14,458666...).

c. Redigitar as diferenças aproximadas para elevar ao quadrado e depois redigitar

novamente os valores para efetuar o somatório.

d. Redigitar novamente os resultados anteriores para efetuar a divisão por 14.

e. Redigitar os valores aproximados anteriores para efetuar a divisão final.

É fácil perceber que devido às aproximações de resultados intermediários pode-

se chegar a resultados bem diferentes do real. Adicionalmente, as digitações ocasionam

erros (adicionais aos das aproximações) além da fadiga desnecessária.

Alguns estudantes realizam cálculos armazenando os valores das médias em

variáveis de memória, digitam cada valor da série, que é subtraído da média, elevado e

armazenado na memória de soma (M+). Posteriormente a soma final é recuperada e

dividida por 14. Embora seja um paliativo, este procedimento encontra-se muito aquém do

uso eficiente dos recursos disponíveis. Nas resoluções de exercícios toma muito tempo e

via de regra compromete as avaliações.

Existem varias formas alternativas de realizar os cálculos anteriores utilizando os

recursos das calculadoras científicas. A mais simples e usual é informar o valor de cada

série na memória estatística e solicitar a medida estatística de dispersão dos dados em

torno da média (variância amostral), armazenar cada valor (4,10 e 6,28) em variáveis de

memória e posteriormente realizar a divisão entre elas.

Outra forma interessante é trabalhar com as séries na forma de listas.

Exemplo:

4 , 10 14 57 , 40 {12,31 14,52...13,26}-15,02= {− 2 , 71 − 0 , 50 ...− 1 , 76 }^2 ={ 7 , 360 , 25 ... 3 , 11 }∑ → = Lista

Deve-se ter em mente que, além da necessidade da calculadora dispor dos

recursos necessários, é importante saber usá-los adequadamente. Assim, cada usuário

deve estudar o manual de instruções de sua calculadora pessoal a fim de que possa ter

clareza e domínio sobre os recursos disponíveis.

Revisão

2.1.3. Simbologia e cálculo

É simbolizada por μμμμ para populações e m para amostras.

2.1.3.1. Cálculo

N

∑^ y μ =

n

y

m

∑

Amostra A:

m

n

y

m A 1 , 69

∑

Amostra B:

m

n

y

m B 1 , 66

∑

2.1.4. Unidade de expressão

A unidade de expressão é a mesma da variável aleatória em questão. Para o

exemplo dado na Figura 2.1, altura de plantas, a unidade é o metro, m:

m

número

m m

Noun

y

ou m =

∑ ... μ

2.2. Variância

2.2.1. O que é

É uma medida estatística da dispersão dos dados em relação à média aritmética.

É definida como a esperança matemática da soma de quadrados dos desvios em

relação à média aritmética, ΣD

2.2.2. O que quantifica

Quantifica a dispersão dos dados em relação à média aritmética.

Permite distinguir séries de dados em relação à homogeneidade:

Séries homogêneas ⇒ menor valor da variância

Séries heterogêneas ⇒ maior valor da variância

Revisão

2.2.3. Simbologia e cálculo

É simbolizada por

σ 2

para populações e s^2 para amostras.

2.2.3.1. Cálculo

i. Populações :

N

∑^ D

2 σ 2 onde D = y − μ ou

N

y

2 2 2

σ =

ii. Amostras :

a. μ é conhecido (caso raro):

n

∑^ D

2 σ 2 onde D = y − μ ou

n

y

s

2 2 2

b. μ é desconhecido (caso comum):

2 2

n

d

s

onde d^ =^ y − m ou

2 2 2

n

y

s

2.2.4. Unidade de expressão

A unidade de expressão é a mesma da variável aleatória em questão, porém,

elevada ao quadrado. Para o exemplo dado na Figura 2.2, altura de plantas, a unidade é

o metro elevado ao quadrado, m

2 (^2222)

Análise Estatística de Dados: Hipóteses sobre Médias de Amostras, Notas de aula de Metodologia

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Universidade Estadual de Santa Cruz

Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas

CET076 - Metodologia e Estatística Experimental

Curso de Agronomia

Notas de aulas expandidas.

Prof. José Cláudio Faria

Ilhéus – Bahia

Índice

Literatura recomendada

BANZATTO, D.A & KRONKA, S.N. Experimentação agrícola. Jaboticabal: FUNEP,

1989. 247p.

COCHRAN, W.G & COX, G.M. Experimental design. 2. Ed. New York: John Wiley, 1957.

462p.

KACHIGAN, S.K. Statistical analysis: an interdisciplinary introduction to univariate &

multivariate methods. New York: Radius Press. 1986. 589p.

STORK, L.; GARCIA, D.C; LOPES, S.J. ESTEFANEL,V. Experimentação vegetal.

Santa Maria: Ed. UFSM, 2000. 198p.

ZAR, J.H. Biostatistical analysis. 4 ed. New Jersey: Prentice Hall. 1999. 663p. app 1-

Observações:

A literatura recomendada está listada por ordem alfabética dos autores.

Em caso da opção para aquisição textos de referência na língua portuguesa, para

compor a biblioteca pessoal, recomenda-se BANZATTO, D.A & KRONKA, S.N, e

ou, STORK et al.

ZAR, J.H. possui a seguinte referência na biblioteca da UESC:

o 574.

o Z 36 bio

Recursos disponíveis na WWW

Em função dos recursos didáticos avançados, recomenda-se que os laboratórios

virtuais de estatística disponíveis na WWW sejam regularmente usados, pois são de

inestimável valia para o aprendizado da estatística.

Os laboratórios indicados, além das experiências virtuais disponíveis,

disponibilizam programas e links que permitem análises de dados em tempo real,

podendo ser usados para o aprendizado, resoluções de exercícios e avaliações.

Laboratórios virtuais disponíveis na Internet

http://www.ruf.rice.edu/~lane/rvls.html

http://www.kuleuven.ac.be/ucs/java/

http://www.stat.vt.edu/~sundar/java/applets/

http://www.isds.duke.edu/sites/java.html

Site para análises on-line

http://www.stat.sc.edu/webstat/

Exemplos de recursos disponíveis na WWW

Distribuições amostrais

Figura 0.1 - Excelente para entender o teorema central do limite.

http://www.ruf.rice.edu/~lane/stat_sim/sampling_dist/index.html

Distribuição normal

Análise de variância – ANOVA

Figura 0.4 – Indispensável para entender os fundamentos da ANOVA permitindo a

simulação de dados com o uso do mouse.

http://www.ruf.rice.edu/~lane/stat_sim/one_way/index.html

Simbologia adotada no curso

Medida Populacional

Amostral

(estimativa ou estatística)

Média μ m

Mediana Md md

Moda Mo mo

Variância σ^2 s^2

Desvio padrão σ s

Desvio padrão relativo DPR dpr

Coeficiente de variação CV cv

Número de elementos N n

Correlação ρ r

Covariância COV cov

Variável Valor observado Valor estimado

Variável aleatória Y Y

Sigla/Símbolo Significado

GL , gl ou j Graus de liberdade

SQD Soma do quadrado dos desvios em relação à média

QMD Quadrado médio dos desvios em relação à média

) é o correlato obtido em amostras

representativas.

O termo grau de liberdade (GL, gl ou j) geralmente nos informa sobre o tamanho

da amostra a partir da qual alguma estimativa ou estatística foi calculada. Na análise de

contrastes a cada um é atribuído 1 GL e o mesmo é feito na análise de regressão onde

cada parâmetro estimatido no modelo recebe também 1 GL.

aproximações sucessivas levam a distorções consideráveis no resultado final, podendo