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Francisco J. C. Manuel, frequento a Universidade Metodista de Angola, no curso de Eng. Civil.
Tipologia: Exercícios
1 / 25
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Não perca as partes importantes!
El momento de inercia es una propiedad geométrica de una superficie o área que
representa la distancia de un área con respecto a un eje dado. Se define como la suma de los
productos de todas las áreas elementales multiplicadas por el cuadrado de las distancias a
un eje. Es importante para el análisis de vigas y columnas, porque el diseño del tamaño de
estos elementos está relacionado con el momento de inercia, ya que el momento de inercia
define la forma apropiada que debe la sección del elemento estructural. El centroide
representa el punto donde se ubica la resultante del peso de un objeto, además esta
posición representa un movimiento simple de un objeto al contrario si se analiza el objeto
completo donde cada punto presenta un movimiento más complejo. El centroide es
proporcional a la ubicación del área asociada. Por otra parte, tenemos una medida
denominada momento de inercia que no depende solamente de la ubicación del área sino
de la distancia hasta un eje dado.
Un cuerpo está compuesto de un número
infinito de partículas de tamaño diferencial, y
por tal razón si el cuerpo se ubica dentro de un
campo gravitatorio, entonces cada una de estas
partículas tendrá un peso dW. Estos pesos
formarán un sistema de fuerzas
aproximadamente paralelas, y la fuerza
resultante de este sistema es el peso total del
cuerpo, la cual pasa a través de un solo punto
llamado el centro de gravedad, G. como se
muestra en la ilustración 1.
El peso de un cuerpo es la suma de los pesos de todas sus partículas:
+↓ F A
=Σ F (^) W =
dW
La ubicación del centro de gravedad, medida desde el eje y, se determina al igualar el
momento de W con respecto al eje y; con la suma de los momentos de los pesos de las
partículas con respecto a ese mismo eje: Si dW se ubica en el punto (
~ x ,
~ y ,
~ z ), entonces:
( M R ) x =Σ M xi x W =
~ x dW
( M R
) y
=Σ M yi y W =
~ y dW
Cuando el cuerpo esta fijo dentro del sistema de coordenadas y este sistema se gira 90°con
respecto al eje y, entonces la suma de los momentos con respecto al eje y es:
( M R
) z
=Σ M zi
~ z dW
Por lo tanto, la ubicación del centro de gravedad G con respecto a los ejes x , y , z se
convierten en:
Ilustración 1
x=
~ x dW
dW
y=
~ y dW
z=
~ z dW
x , y , z son las coordenadas del centro de gravedad G.
~ x ,
~ y ,
~ z son las coordenadas de cada partícula en el cuerpo
Esta ubicación puede determinarse al sustituir dW =g dm en las ecuaciones antes vistas del
centro de gravedad. g es una constante por lo tanto se elimina y entonces:
x=
~ x dm
dm
y=
~ y dm
z=
~ z dm
Si el cuerpo de la ilustración 2 está hecho de un
material de la ilustración homogéneo, entonces su
densidad ρ será constante. Por lo tanto, un
elemento diferencial de volumen dV tiene una masa
dm= ρdV
. Al sustituir en las fórmulas de la del
centro de masa de un cuerpo y al cancelar la
densidad, obtenemos las fórmulas que localizan el centroide C.
Ilustración 2
dM sobre todo el área de la placa resulta M =γ
y
2 dA. La integral
y
2 dAse denomina el
momento de la inercia I^ x del área con respecto al eje x. Las integrales de esta forma
aparecen con frecuencia en las fórmulas que se utilizan en mecánica de fluidos, mecánica
de materiales, mecánica estructural y diseño mecánico, por lo que los ingenieros necesitan
conocer los métodos empleados para su cálculo.
Por definición, los momentos de inercia de un área diferencial dA con respecto a los ejes x y
y son:
I x
A
y
2 dA
I y
A
x
2 dA
También podemos formular esta cantidad para dA con
respecto al eje z; llamándolo momento de inercia polar, en
donde r es la distancia perpendicular desde el eje z hasta el
elemento dA.
J o
=
A
r
2 dA=I x
Un área compuesta consiste en una serie de partes o formas “más simples” conectadas
como rectángulos, triángulos y círculos. Siempre que el momento de inercia de cada una de
esas partes se conoce o puede determinarse con respecto a un eje común, entonces el
momento de inercia del área compuesta es igual a la suma algebraica de los momentos de
inercia de todas sus partes.
Ilustración 4
Este teorema puede usarse para determinar el
momento de inercia de un área con respecto a
cualquier eje que sea paralelo a un eje que pasa a
través de su centroide y del cual se conozca el
momento de inercia. Para desarrollar este
teorema, consideramos determinar el momento
de inercia del área sombreada que se muestra en la
ilustración 5. con respecto al eje x. Para iniciar,
elegimos un elemento diferencial dA^ que está
ubicado a una distancia arbitraria y ´ del eje
centroidal x ´. Si la distancia entre los ejes paralelos x y x ´ se define como d^ y , entonces el
momento de inercia de dA con respecto al eje x es d I x
=( y ´ +dy )
2 dA. Para toda el área:
I x
A
( y ´ +dy )
2 dA
¿ I x
A
y ´
2
A
y ´ dA +¿ d
2
A
dA ¿
La primera integral representa el momento de inercia del área con respecto al eje coloidal
I x
. La segunda integral es cero ya que el x´ pasa a través del centroide C del área: es decir
2
A. el resultado final es:
I x =I x ´
2 y
I y
=I y ´
2 x
Y por último el momento de inercia polar es:
J o =J c
2
Ilustración 4
CG
;Y CG
)
X CG
=
A 1 ∙ X 1 + A 2 ∙ X 2 + A 3 ∙ X 3
A 1 + A 2 + A 3
CG
Y CG
=
A 1 ∙ Y 1 + A 2 ∙ Y 2 + A 3 ∙ Y 3
A 1 + A 2 + A 3
FIGURA 1: RECTANGULO
A 1 = 30 ∙ 20 = 600 cm
2
X 1 = 30 + 15 = 45 cm
Y 1 = 10 cm
FIGURA 2: CIRCULO
A 2 =π ∙ 7 , 5
2 = 176 , 71 cm
2
X 2 = 30 + 15 = 45 cm
Y 2 = 10 cm
FIGURA 3: TRIÁNGULO
A 3 =
30 ∙ 20
2
= 300 cm
2
X 3 =
2
3
∙ 30 = 20 cm
Y 3 =
1
3
∙ 20 = 6 , 67 cm
CALCULO DE X CG
X CG
=
( 600 ∙ 45 ) +(−176.71∙ 45 ) +( 300 ∙ 20 )
600 −176.71+ 300
X CG
=34.63 cm
CALCULO DE Y^ CG
Y CG
=
( (^600) ∙ 10 ) (^) +(−176.71∙ 10 ) (^) +( 300 ∙ 6.67 )
600 −176.71+ 300
Y CG
=8.62 cm
Iox ; y=
π ∙ r
4
4
A 1 = 600 cm
2
X 1 = 45 cm
Y 1 = 10 cm
A 2 = 176 , 71 cm
2
X 2 = 45 cm
Y 2 = 10 cm
A 3 = 300 cm
2
X 3 = 20 cm
Y 3 = 6 , 67 cm
Ix 1 =
30 ∙ 20
3
12
2
= 21142 , 64 cm
4
Ix 2 =
π ∙( 20 )
4
4
+176.71∙ (^10 −8.62)
2
=− 2 821 , 58 cm
4
Ix 3 =
30 ∙ 20
3
36
2
= 7 807 , 42 cm
4
Ix= 21142 , 64 cm
4 − 2 821 , 58 cm
4
4
Ix= 26 128.48 cm
4
Iy 1 =
20 ∙ 30
3
12
2 = 109 522 , 14 cm
4
Iy 2 =
π ∙(7.5 )
4
4
+176.71∙ ( 45 −34.63)
2 =− 21 487 , 89 cm
4
Iy 3 =
20 ∙ 30
3
36
2
= 79 211 , 07 cm
4
Iy= 109 522 , 14 cm
4 − 21 487 , 89 cm
4
4
Ix= 167 245 , 32 cm
4
RUSSELL.C.HIBBELER
http://www.emff.urjc.es/docencia/Arquitectura/cap10.pdf
https://www.google.com.ec/search?
q=centro+de+gravedad+y+centro+de+masa+para+un+cuerpo+estatica&biw=1366&bih=638&sourc
e=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwiej_iVtNzRAhXIQyYKHSqeCsoQ_AUIBygC#imgrc=3PjtyXjan
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