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Este documento fornece um resumo dos conceitos fundamentais de álgebra linear, com foco em formas bilineares e quadráticas. São apresentadas definições, exemplos e propriedades de formas bilineares, produto interno, operadores lineares, formas quadráticas e suas propriedades, tudo isso ilustrado por exemplos e exercícios resolvidos. Além disso, são fornecidas referências bibliográficas para estudos mais aprofundados.
Tipologia: Notas de estudo
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Propiciar ao aluno o conceito e principais propriedades de formas bilineares.
Ao final desta aula, o aluno dever´a ser capaz de identificar uma forma bilinear, de qual tipo e quais suas principais propriedades.
Algebra Linear I.^ ´
Formas bilineares e formas quadr´aticas est˜ao envolvidas com a representa¸c˜ao de cˆonicas e superf´ıcies em R^2 e R^3 , respectivamente. Possuem aplica¸c˜oes importantes em otimiza¸c˜ao e programa¸c˜ao linear. H´a uma rela¸c˜ao entre formas bilineares sim´etricas e operadores auto- adjuntos, de modo que a representa¸c˜ao matricial de uma forma bilinear sim´etrica tamb´em ´e diagonaliz´avel.
Defini¸c˜ao 8.1. Seja V um espa¸co vetorial. Uma fun¸c˜ao f : V × V → R que satisfaz
i) f (λu, v) = λf (u, v), para todo u, v ∈ V, λ ∈ R;
ii) f (u, λv) = λf (u, v), para todo u, v ∈ V, λ ∈ R;
iii) f (u + w, v) = f (u, v) + f (w, v), para todo u, v, w ∈ V ;
iv) f (u, v + w) = f (u, v) + f (u, w), para todo u, v, w ∈ V ;
iv) f ((x, y) + (c, d), (a, b)) = f ((x + c, y + d), (a, b)) = 3(x + c)a − 2(x + c)b + 5(y + d)a + 7(y + d)b = (3xa − 2 xb + 5ya + 7yb) + (3ca − 2 cb + 5da + 7db) = f ((x, y), (a, b)) + f ((c, d), (a, b)).
Pela Defini¸c˜ao 8.1, conclu´ımos que f ´e uma forma bilinear.
Exemplo 8.2. Seja f : R^2 × R^2 → R dada por f ((x, y), (a, b)) = − 2 xb + 2ya. Sejam (x, y), (a, b), (c, d) ∈ R^2 e λ ∈ R. Note que f ´e uma forma bilinear, pois:
i) f (λ(x, y), (a, b)) = f ((λx, λy), (a, b)) = −2(λx)b + 2(λy)a = λ(− 2 xb + 2ya) = λf ((x, y), (a, b)).
ii) f ((x, y), λ(a, b)) = f ((x, y), (λa, λb)) = − 2 x(λb) + 2y(λa) = λ(− 2 xb + 2ya) = λf ((x, y), (a, b)).
iii) f ((x, y), (a, b) + (c, d)) = f ((x, y), (a + c, b + d)) = − 2 x(b + d) + 2y(a + c) = (− 2 xb + 2ya) + (− 2 xd + 2yc) = f ((x, y), (a, b)) + f ((x, y), (c, d)).
iv) f ((x, y) + (c, d), (a, b)) = f ((x + c, y + d), (a, b)) = −2(x + c)b + 2(y + d)a = (− 2 xb + 2ya) + (− 2 cb + 2da) = f ((x, y), (a, b)) + f ((c, d), (a, b)).
Exemplo 8.3. Seja V um espa¸co vetorial com produto interno 〈·, ·〉. Vamos provar que
〈·, ·〉 : V × V → R ´e uma forma bilinear. Note que, pela Defini¸c˜ao 1.1,
i) 〈λu, v〉 = λ〈u, v〉, para todo u, v ∈ V, λ ∈ R;
ii) 〈u, λv〉 = λ〈u, v〉, para todo u, v ∈ V, λ ∈ R;
iii) 〈u + w, v〉 = 〈u, v〉 + 〈w, v〉, para todo u, v, w ∈ V ;
iv) 〈u, v + w〉 = 〈u, v〉 + 〈u, w〉, para todo u, v, w ∈ V ;
ou seja, 〈·, ·〉 satisfaz todos os itens da Defini¸c˜ao 8.1. Isto nos diz que 〈·, ·〉 ´e uma forma bilinear.
Exemplo 8.4. Seja V um espa¸co vetorial com produto interno 〈·, ·〉. Seja T : V → V um operador linear. Seja f (u, v) = 〈T (u), v〉, para todo u, v ∈ V. Ent˜ao,
i) f (λu, v) = 〈T (λu), v〉 = 〈λT (u), v〉 = λ〈T (u), v〉 = λf (u, v), para todo u, v ∈ V e λ ∈ R;
ii) f (u, λv) = 〈T (u), λv〉 = λ〈T (u), v〉 = λf (u, v), para todo u, v ∈ V e λ ∈ R;
iii) f (u + w, v) = 〈T (u + w), v〉 = 〈T (u) + T (w), v〉 = 〈T (u), v〉 + 〈T (w), v〉 = f (u, v) + f (w, v), para todo u, v, w ∈ V ;
iv) f (u, v + w) = 〈T (u), v + w〉 = 〈T (u), v〉 + 〈T (u), w〉 = f (u, v) + f (u, w), para todo u, v, w ∈ V.
Logo, f ´e uma forma bilinear.
Exemplo 8.5 (Forma N˜ao-bilinear). Seja f : R^2 × R^2 → R uma fun¸c˜ao definida por f ((x, y), (a, b)) = 1, para todo (x, y), (a, b) ∈ R^2. Afirmamos que f n˜ao ´e uma forma bi- linear. Com efeito,
f (2(1, 0), (0, 1)) = f ((2, 0), (0, 1)) = 1 e 2f ((1, 0), (0, 1)) = 2 · 1 = 2.
Com isso, f (2(1, 0), (0, 1)) 6 = 2f ((1, 0), (0, 1)).
Portanto, f n˜ao satisfaz o item i) da Defini¸c˜ao 8.1. Dessa forma, f n˜ao ´e uma forma bilinear.
que f (u, v) = 〈T (u), v〉, para todo u, v ∈ V. Al´em disso, f ´e sim´etrica se, e somente se, T ´e auto-adjunto.
Demonstra¸c˜ao. Seja v ∈ V um vetor fixado. Seja g : V → R uma aplica¸c˜ao definida por g(u) = f (u, v), para todo u ∈ V. Note que, atrav´es da Defini¸c˜ao 8.1, chegamos a
g(λu + w) = f (λu + w, v) = λf (u, v) + f (w, v) = λg(u) + g(w),
para todo u, w ∈ V e λ ∈ R. Consequentemente, g ´e um funcional linear (ver Defini¸c˜ao 4.1). Logo, pelo Teorema 4.1, existe um ´unico w ∈ V tal que g(u) = 〈u, w〉, para todo u ∈ V. Defina o operador S : V → V dado por S(v) = w. Como dim V ´e finita, ent˜ao existe ´unica S∗^ : V → V (ver Teorema 4.3). Seja T = S∗. Consequentemente, pela Defini¸c˜ao 4.2, obtemos
f (u, v) = g(u) = 〈u, S(v)〉 = 〈S∗(u), v〉 = 〈T (u), v〉,
para todo u, v ∈ V. Vamos verificar que T ´e ´unico. Suponha que existe um operador P : V → V linear tal que f (u, v) = 〈P (u), v〉 = 〈T (u), v〉,
para todo u, v ∈ V. Por conseguinte, 〈P (u)−T (u), v〉 = 0, para todo u, v ∈ V. Pela Proposi¸c˜ao 1 .1, temos que P (u)−T (u) = 0, para todo u ∈ V. Por fim, T (u) = P (u), para todo u ∈ V. Ou seja, T ´e o ´unico que satisfaz f (u, v) = 〈T (u), v〉, para todo u, v ∈ V. Assim,f (u, v) = f (v, u) se, e somente se, 〈T (u), v〉 = 〈T (v), u〉. Portanto, T ´e auto-adjunto, ver Defini¸c˜ao 5.1.
Exemplo 8.9. Seja f : R^2 → R dado por f ((x, y), (a, b)) = − 2 xb + 2ya. Vimos no exemplo 8 .2, que f ´e uma forma bilinear. Seja T : R^2 → R^2 um operador linear definido por T (x, y) = (2y, − 2 x), ent˜ao
f ((x, y), (a, b)) = − 2 xb + 2ya = 〈(2y, − 2 x), (a, b)〉 = 〈T (x, y), (a, b)〉,
para todo (x, y), (a, b) ∈ R^2. Vimos no exemplo 8.8, que f ´e anti-sim´etrica.
Prezado aluno, na Observa¸c˜ao da Defini¸c˜ao 8.1, informamos que B(V ) ´e um espa¸co vetorial. Com o Teorema 8.1, faz sentido perguntarmos se ´e poss´ıvel compararmos dim L(V ) com dim B(V ) (aqui L(V ) = {T : V → V ´e linear} e dim V ´e finita), j´a que existe uma rela¸c˜ao entre uma forma bilinear e um operador linear. Vejamos o corol´ario a seguir que responde a esta indaga¸c˜ao.
Corol´ario 8.2. Seja V um espa¸co vetorial com produto interno 〈·, ·〉 e dimens˜ao finita. Ent˜ao B(V ) ´e isomorfo a L(V ). Em particular, dim B(V ) = dim L(V ) = (dim V )^2.
Demonstra¸c˜ao. Seja f ∈ B(V ) (ver Defini¸c˜ao 8.1). Pelo Teorema 8.1, existe um ´unico T ∈ L(V ) tal que f (u, v) = 〈T (u), v〉, para todo u, v ∈ V. Defina Φ : B(V ) → L(V ) por Φ(f ) = T. Mostre que Φ ´e um isomorfismo, isto ´e, Φ ´e uma transforma¸c˜ao linear bijetora. Em particular, pelo Teorema do n´ucleo e imagem, temos que
dim B(V ) = dim L(V ) = (dim V )^2.
Caro aluno, agora, vamos estabelecer a ideia de matriz de uma forma bilinear para um espa¸co vetorial de dimens˜ao finita.
Defini¸c˜ao 8.3. Seja V um espa¸co vetorial de dimens˜ao finita. Seja β = {v 1 , v 2 , ..., vn} uma base de V. A matriz da forma bilinear f : V × V → R em rela¸c˜ao `a base β ´e dada por [f ]β = (f (vj , vi)), ou seja,
[f ]β =
f (v 1 , v 1 ) f (v 2 , v 1 ) ... f (vn, v 1 ) f (v 1 , v 2 ) f (v 2 , v 2 ) ... f (vn, v 2 ) · · · · · · · · · · · · f (v 1 , vn) f (v 2 , v 1 ) ... f (vn, vn)
Exemplo 8.10. Seja f ((x, y), (a, b)) = 3xa − 2 xb + 5ya + 7yb a forma bilinear do exemplo 8 .1. Vamos encontrar a matriz de f em rela¸c˜ao `a base canˆonica de R^2 (ver exemplo 2.8). ( f ((1, 0), (1, 0)) f ((0, 1), (1, 0)) f ((1, 0), (0, 1)) f ((0, 1), (0, 1))
Obs 8.2. Seja V um espa¸co vetorial com produto interno 〈·, ·〉 e dimens˜ao finita. Seja f uma forma bilinear. Vimos, no Teorema 8.1, que existe um ´unico T tal que f (u, v) = 〈T (u), v〉,
onde β =
√^1 5 ,^
−√ 2 5
√^2 5 ,^ √^1 5
´e uma base ortonormal.
i) f ( 0 , v) = f (v, 0 ) = 0;
ii) f
( (^) n ∑ i=
λivi, v
∑^ n i=
λif (vi, v);
iii) f
v,
∑^ m j=
λj vj
∑^ m j=
λj f (v, vj );
iv) f
( (^) n ∑ i=
βivi,
∑^ m j=
λj vj
∑^ n i=
∑^ m j=
βiλj f (vi, vj ).
i) f (u, v) = x 1 y 1 ;
ii) f (u, v) = x 1 y 2 ;
iii) f (u, v) = x 1 (y 1 + y 2 );
iv) f (u, v) = 0;
v) f (u, v) = x^21 + x 2 y 1.
{(1, 0), (0, 1)} e {(1, −1), (1, 1)}.
Caros aluno, nesta se¸c˜ao, utilizaremos o m´etodo de Lagrange para diagonalizar formas quadr´aticas sim´etricas. Al´em disso, enunciaremos e provaremos a Lei da In´ercia proposta por Sylvester.
Defini¸c˜ao 8.4 (Forma Quadr´atica). Seja V um espa¸co vetorial. Seja f : V × V → R uma forma bilinear sim´etrica. Uma aplica¸c˜ao q : V → R, definida por
q(v) = f (v, v),
para todo v ∈ V, ´e chamada forma quadr´atica sobre V.
Exemplo 8.12. f ((x, y), (a, b)) = xa − 5 xb − 5 ya + yb ´e uma forma bilinear sim´etrica (verifique!). Logo, q : R^2 → R, dada por
q(x, y) = f ((x, y), (x, y)) = x^2 − 10 xy + y^2 ,
´e uma forma quadr´atica.
Exemplo 8.13. Mostre que f ((x, y), (a, b)) = 3xa − yb ´e uma forma bilinear sim´etrica. Com isso, q : R^2 → R, definida por
q(x, y) = f ((x, y), (x, y)) = 3x^2 − y^2 = 0,
´e uma forma quadr´atica.
Exemplo 8.14. Seja V um espa¸co vetorial com produto interno 〈·, ·〉. Vimos no exemplo 8 .3 que o produto interno ´e uma forma bilinear. Logo q : V → R, dado por
q(v) = 〈v, v〉 = ‖v‖^2 , ∀ v ∈ V,
´e uma forma quadr´atica.
Obs 8.3. Se em vez da forma bilinear f : V × V → R tomarmos a forma bilinear sim´etrica
g(u, v) =^12 [f (u, v) + f (v, u)] ,
temos ainda que q(v) = f (v, v) = g(v, v). Portanto, n˜ao h´a perda de generalidade em se exigir que a forma quadr´atica provenha de uma forma bilinear sim´etrica.
Exemplo 8.16 (M´etodo de Lagrange em R^3 ). Seja q : R^3 → R dada por
q(a, b, c) = 2a^2 − 3 b^2 + c^2 − 2 ab + 4ac − 4 bc.
Mostre que q ´e uma forma quadr´atica (veja como obter a forma bilinear que gerou esta forma quadr´atica na lista de exerc´ıcios). Note que
q(a, b, c) = 2 a^2 − 3 b^2 + c^2 − 2 ab + 4ac − 4 bc = 2(a^2 − ab + 2ac) − 3 b^2 + c^2 − 4 bc = 2
a^2 − 2 a
(b − 2 c 2
− 3 b^2 + c^2 − 4 bc
= 2
a −
b − 2 c 2
b − 2 c 2
− 3 b^2 + c^2 − 4 bc
= 2
a −
b − 2 c 2
− b
2 2 + 2bc^ −^2 c
(^2) − 3 b (^2) + c (^2) − 4 bc
a −
(b − 2 c 2
− 7 b
2 2 − 2 bc − c^2
= 2
a −
b − 2 c 2
b^2 + 2^27 bc
− c^2
= 2
a −
b − 2 c 2
b +^27 c
+^27 c^2 − c^2
= 2
a −
(b − 2 c 2
b +^2 7 c
c^2.
Dessa forma, para y 1 = a −
b − 2 c 2
, y 2 = b +^27 c, y 3 = c, obtemos
q(y 1 , y 2 , y 3 ) = 2y^21 − 72 y^22 − 57 y 32.
Logo, q est´a na forma diagonal, onde d 1 = 2, d 2 = −^72 , d 3 = −^57.
Note que o M´etodo de Lagrange pode ser resumido na t´ecnica de completar quadrados. Mas, para isso precisamos seguir algumas regras. Vejamos a prova do Teorema 8.4.
Demonstra¸c˜ao. Seja {v 1 , v 2 , ..., vn} a base canˆonica de Rn. Ent˜ao, pelas Defini¸c˜oes 8.1 e 8.4, obtemos
q(x 1 , x 2 , ..., xn) = f ((x 1 , x 2 , ..., xn), (x 1 , x 2 , ..., xn))
= f
( (^) n ∑ i=
xivi,
∑^ n j=
xj vj
∑^ n i,j=
xixj f (vi, vj ),
onde f ´e uma forma bilinear que gera q. Seja aij = f (vi, vj ). Assim,
q(x 1 , x 2 , ..., xn) =
∑^ n i,j=
aij xixj. (8.1)
Como q ´e uma forma quadr´atica, ent˜ao f ´e sim´etrica (ver Defini¸c˜ao 8.4). Portanto,
aij = f (vi, vj ) = f (vj , vi) = aji.
Se aij = 0, para todo i, j, ent˜ao q(x 1 , ..., xn) = 0, ou seja q est´a na forma diagonal com d 1 = d 2 = ... = dn = 0. Afirmamos que podemos considerar que a 11 6 = 0. De fato, suponha que aii = 0, para todo i e que existam i, j tais que aij 6 = 0, com i 6 = j. Sem perda de generalidade, considere que a 12 6 = 0. Da´ı, as parcelas que cont´em x 1 e x 2 em (8.1) satisfazem
a 12 x 1 x 2 + a 21 x 2 x 1 = a 12 x 1 x 2 + a 12 x 1 x 2 = 2a 12 x 1 x 2.
Fa¸ca a mudan¸ca de vari´avel x 1 = z 1 − z 2 e x 2 = z 1 + z 2 , temos que
2 a 12 x 1 x 2 = 2a 12 (z 1 − z 2 )(z 1 + z 2 ) = 2a 12 z^21 − 2 a 12 z 22.
Como o termo que multiplica z^21 ´e diferente de zero, podemos considerar que a 11 6 = 0. Com isso, agrupando os termos que cont´em x 1 , obtemos
a 11 x^21 + 2
∑^ n j=
a 1 j x 1 xj = a 11
x^21 +^2 ax^1 11
∑^ n j=
a 1 j xj
= a 11
x 1 + 1 a 11
∑^ n j=
a 1 j xj
a 11
( (^) n ∑ j=
a 1 j xj
Sejam
y 1 = x 1 + (^) a^1 11
∑^ n j=
a 1 j xj , y 2 = x 2 , ..., yn = xn.
pois,
q(y 1 , y 2 , ..., ym+ , 0 , ..., 0) = d 1 y 12 + d 2 y 22 + ... + dm+ y^2 m+ + dm++10 + ... + dn 0 = d 1 y 12 + d 2 y 22 + ... + dm+ y^2 m+ > 0 ,
relembre a defini¸c˜ao de m´aximo. Suponha que existe U subespa¸co de Rn^ tal que q > 0 em U e dim U > m+. Defina T : U → U +, por
T (y 1 , ..., yn) = (y 1 , y 2 , ..., ym+ , 0 , ..., 0).
Verifique que T ´e linear. Pela pr´opria defini¸c˜ao T ´e sobrejetiva, j´a que (y 1 , y 2 , ..., ym+ , 0 , ..., 0) define os elementos de U +. Como
dim U > m+ = dim U +,
ent˜ao, pelo Teorema do n´ucleo e imagem, T n˜ao ´e injetiva. Dessa forma, existe
(y 1 , ..., yn) 6 = (0, ..., 0) em U
tal que T (y 1 , ..., yn) = (0, ..., 0).
Consequentemente, (y 1 , y 2 , ..., ym+ , 0 , ..., 0) = (0, ..., 0).
Isto nos diz que y 1 = y 2 = ... = ym+ = 0. Portanto,
q(y 1 , y 2 , ..., yn) = q(0, ..., 0 , ym++1, ..., yn) = dm++1y^2 m++1 + ... + dny^2 n ≤ 0 ,
mas q > 0 em U (ver Defini¸c˜ao 8.5). Isto gera um absurdo. Logo,
m+ = max{dim U : q > 0 em U }.
Veja que nesta defini¸c˜ao de m´aximo n˜ao interessa como q est´a diagonalizado. Analogamente, prova-se que m− = max{dim U : q < 0 em U }. Mas m 0 = n − m+ − m−. Isto conclui a prova do Teorema.
Exemplo 8.18. Vimos no exemplo 8.17 que a forma quadr´atica q(x, y) = xy pode ser
diagonalizada. A diagonaliza¸c˜ao encontrada foi q(y 1 , y 2 ) = y^21 − y 22. Aqui,
m+ = 1, m− = 1, m 0 = 0,
pois d 1 = 1 (um positivo), d 2 = −1 (um negativo).
f (u, v) + f (v, u) =^1 2 [q(u + v) − q(u − v)],
para todo u, v ∈ V, onde q : V → R ´e uma forma quadr´atica proveniente de f. Conclua que, se f ´e sim´etrica ´e poss´ıvel encontrar f em fun¸c˜ao de q.
i) q(x 1 , x 2 , x 3 ) = x^21 + x^22 + x^23 − 2 x 1 x 2 + 4x 1 x 3 − x 2 x 3 ;
ii) q(x 1 , x 2 , x 3 ) = x^21 − x^22 + 4x 2 x 3 ;
iii) q(x 1 , x 2 , x 3 ) = 2(x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 ).
i) x^21 + x^22 + 2x 1 x 2 ;
ii) x^21 + x^22 − 2 x 1 x 2 ;
iii) x^21 − x^22 + 2x 1 x 2 ;
iv) x^22 + 4x 1 x 2 ;
v) 4 x 1 x 2.
Come¸caremos a estudar na pr´oxima aula formas de simplificar a representa¸c˜ao matricial de um operador linear n˜ao necessariamente diagonaliz´avel.
[1] BUENO, H. P., Algebra Linear - Um Segundo Curso´ , Primeira Edi¸c˜ao, Rio de Janeiro, SBM, 2006.
[2] CALLIOLI, C. A., DOMINGUES, H. H.,COSTA, R. C. F. Algebra´ Linear e Aplica¸c˜oes, Sexta Edi¸c˜ao, S˜ao Paulo, Editora Atual, 1995.
[3] COELHO, F. O., LOURENC¸ O, M. L., Um Curso de Algebra Linear´ , Edi¸c˜ao 2001, S˜ao Paulo, EdusP, 2004.
[4] HOFFMAN, K., KUNZE, R., Linear Algebra, Second Edition, New Jersey, Prentice- Hall, Inc., Englewood Cliffs, 1971.
[5] LANG, S., Algebra Linear´ , Primeira Edi¸c˜ao, New York, Ed. ciˆencia Moderna, 2003.
[6] LIPSCHUTZ, S., Algebra Linear´ , Terceira Edi¸c˜ao, S˜ao Paulo, Schaum McGraw-Hill Makron Books, 1994. [7] SILVA, A., Introdu¸c˜ao `a Algebra´ , Primeira Edi¸c˜ao, Editora Universit´aria UFPB, Jo˜ao Pessoa, 2007.
Professor Paulo de Souza Rabelo.
