Baixe Resolução de Sistemas Lineares: Introdução e Método de Gauss-Jordan e outras Notas de estudo em PDF para Geometria, somente na Docsity!
Cap´ıtulo 1
Matrizes e Sistemas Lineares
Neste primeiro cap´ıtulo, esbo¸camos um resumo de resolu¸c˜ao de sistemas lineares, e apre- sentamos, sempre que poss´ıvel, argumentos geom´etricos que ilustrem os exemplos. Nosso objetivo final ser´a a apresenta¸c˜ao de um algoritmo conhecido como escalonamento, destina- do `a resolu¸c˜ao e an´alise de sistemas lineares. Antes de mais nada, vamos relembrar algumas propriedades das matrizes. Por uma matriz real Am×n, de ordem m × n (lˆe-se m por n), entenderemos um conjunto de mn valores reais, indexados aij , 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n, como no exemplo abaixo :
Exemplo 1
Am×n = (aij ) =
a 11 a 12 · · · a 1 n a 21 a 22 · · · a 2 n .. .
am 1 am 2 · · · amn
Os elementos aij ser˜ao ditos entradas ou coeficientes da matriz Am×n.
As opera¸c˜oes elementares com matrizes nos ser˜ao bastante ´uteis, donde relembramos a
Defini¸c˜ao 1 (Soma de Matrizes) Sejam A = (aij ) e B = (bij ) matrizes de ordem m × n, com coeficientes reais. Definimos a soma C = A + B como sendo a matriz C = (cij ) tal que cij = aij + bij , 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n.
Exemplo 2
Defini¸c˜ao 2 (Multiplica¸c˜ao por escalar) Sejam Am×n = (aij ) uma matriz com coefici- ente reais e α ∈ R. Definimos o produto B = αA como sendo a matriz Bm×n = (bij ) tal que bij = αaij , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.
2 CAP´ITULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
Exemplo 3
Defini¸c˜ao 3 (Produto de Matrizes) Sejam Am×n = (aij ) e Bn×k = (bij ) matrizes com coeficientes reais. Ent˜ao, definimos o produto das matrizes A e B como sendo a matriz Cm×k = (cij ) de modo que
cij =
∑^ n
l=
ailblj
Exemplo 4
4 × 3
3 × 2
4 × 2
Consideremos agora o seguinte sistema linear :
3 x + 2y + z = 0 − 2 x + 2y − z = 1 x − y + 3z = 2
Utilizando as defini¸c˜oes anteriores, vemos que este sistema pode ser escrito na forma matricial
x y z
e, inspirados pela an´alise deste caso particular, escrevemos, de modo mais geral, a
Defini¸c˜ao 4 Um sistema linear com k equa¸c˜oes e n inc´ognitas x 1 , ..., xn ´e uma equa¸c˜ao matricial da forma
Ak×nXn× 1 = Bk× 1 ,
onde Ak×n e Bk× 1 s˜ao matrizes reais e
X =
x 1 .. . xn
4 CAP´ITULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
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Figura 1.3: Sistema imposs´ıvel
comum de tais trˆes retas, ou, em outras palavras, n˜ao existir´a um ponto (x, y) do plano capaz de satisfazer simultˆaneamente as trˆes equa¸c˜oes em quest˜ao (ver figura) Uma r´apida inspe¸c˜ao geom´etrica nos permite analisar todas as possibilidades de solu¸c˜ao para um sistema linear em duas inc´ognitas e duas equa¸c˜oes. De fato,
- se as equa¸c˜oes representam, no plano euclidiano, retas concorrentes, a solu¸c˜ao do siste- ma ser´a ´unica (o ponto em que as retas concorrem), e, o sistema, poss´ıvel e determinado;
- se as equa¸c˜oes representam retas distintas e paralelas, n˜ao h´a ponto de intersse¸c˜ao, e, portanto, o sistema n˜ao tem solu¸c˜ao (imposs´ivel);
- finalmente, se as equa¸c˜oes representam retas coincidentes, qualquer ponto destas retas ´e solu¸c˜ao, e portanto, temos infinitas solu¸c˜oes(sistema poss´ivel e indeterminado).
Consideremos agora o seguinte sistema linear, em trˆes equa¸c˜oes e trˆes inc´ognitas :
x + y + z = 1 2 x + y − z = 1 x − y + z = 0
Como o leitor poder´a facilmente verificar, a tripla ordenada (^13 , 12 , 16 ) ´e a ´unica solu¸c˜ao deste sistema. Como interpret´a-la geometricamente? Bem, as equa¸c˜oes da forma ax + by + cz + d = 0 representam planos no espa¸co euclidiano, e, para o exemplo em quest˜ao, temos ent˜ao trˆes planos que se interseptam em um ´unico ponto : (^13 , 12 , 16 ) (ver figura). No entanto, diversas outras situa¸c˜oes poderiam ocorrer; por exemplo, dados trˆes planos no espa¸co, poder´ıamos ter a intersec¸c˜ao comum destes planos em uma reta. Este ´e o caso exemplificado pelo sistema linear abaixo :
x + y + z = 1 x − y + 2z = 0 x + 5y − z = 3
Este sistema ´e indeterminado, e sua solu¸c˜ao ´e dada por qualquer ponto que esteja sobre a reta 3y + x − 2 = 0, como pode ser visto na figura abaixo. Vocˆe pode encontrar esta solu¸c˜ao por substitui¸c˜ao, mas o m´etodo do escalonamento, que estudaremos em breve, se mostrar´a
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Figura 1.4: Sistema poss´ıvel e determinado
F005.wmf
Figura 1.5: Sistema poss´ıvel e indeterminado
absolutamente efetivo para realizar tal tarefa. Finalmente, note-se que um sistema em trˆes inc´ognitas e apenas duas equa¸c˜oes nunca poder´a ser determinado, uma vez que dois planos n˜ao podem se interseptar em um ´unico ponto, mas t˜ao somente, quando for o caso de serem concorrentes, em uma reta. Apenas a t´itulo de ilustra¸c˜ao, exibimos abaixo um sistema trˆes por trˆes que n˜ao possui solu¸c˜ao, e tamb´em a raz˜ao geom´etrica deste fato (os planos s˜ao paralelos).
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Figura 1.6: Sistema imposs´ıvel
x + y + z = 0 x + y + z = 3 x + y + z = − 3
1.1. ESCALONAMENTO, OU O M ETODO DE GAUSS-SIEDEL´ 7
Ak×nXn× 1 = Bk× 1 (1.1) onde A e B s˜ao matrizes com coeficientes reais e
X =
x 1 .. . xn
Por solu¸c˜ao de um sistema linear entendemos o conjunto das matrizes X de coeficientes reais que satisfazem 1.1. Dado um sistema linear como em 1.1, chamaremos a matriz
S =
a 11 · · · a 1 n b 11 .. .
ak 1 · · · akn bk 1
de matriz aumentada do sistema, e, sobre tal matriz, definimos as seguintes opera¸c˜oes, chamadas opera¸c˜oes elementares :
- e 1 : remanejar a ordem das linhas de S;
- e 2 : multiplicar uma linha de S por um real λ 6 = 0;
- e 3 : trocar a r-´esima linha de S pela r-´esima linha mais λ vezes a s-´esima linha, λ ∈ R − 0, r 6 = s.
Uma matriz obtida de S atrav´es de um n´umero finito de opera¸c˜oes elementares ser´a dita linha-equivalente `a S Mostraremos agora que realizar sobre S qualquer das opera¸c˜oes descritas acima n˜ao altera a solu¸c˜ao do sistema 1.1.
Teorema 1 Sejam S e S′^ matrizes aumentadas de sistemas lineares dados. Se S e S′^ s˜ao linha-equivalentes, ent˜ao os sistemas lineares em quest˜ao possuem a mesma solu¸c˜ao.
A demonstra¸c˜ao do teorema ´e imediata, e fica ser´a deixada como exerc´ıcio para o leitor. Uma vez que transforma¸c˜oes elementares n˜ao alteram o conjunto de solu¸c˜oes de um sistema linear, vamos utiliz´a-las para resolver tais sistemas. Sistematizamos o processo como se segue.
- Dado um sistema linear como em 1.1, montamos a matriz aumentada do sistema :
S =
a 11 · · · a 1 n b 11 .. .
ak 1 · · · akn bk 1
- Tomamos o primeiro i tal que a entrada ai 1 seja diferente de zero, e realizamos, atrav´es da opera¸c˜ao elementar e 1 , a permuta¸c˜ao da primeira e da i-´esima linhas.
8 CAP´ITULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
- Atrav´es da opera¸c˜ao e 2 , multiplicamos a primeira linha^2 por (^) a^111
- Atrav´es da opera¸c˜ao e 3 , tornamos zero todas as entradas da primeira coluna, bastando, para tal, somar a i-´esima linha com −ai 1 vezes a primeira linha. Ap´os este passo, devemos estar com uma matriz da forma
1 a a^1211 · · · b a^1111 0 −a 21 a a^1211 + a 22 · · · −a 21 a a^1211 + b 21 .. .
0 −ak 1 a a^1211 + ak 2 · · · −ak 1 a a^1211 + bk 1
1 a(1) 12 · · · b(1) 11 0 a(1) 22 · · · b(1) 21 .. .
0 a (1) k 2 · · ·^ b
(1) k 1
- Determinamos o menor i ≥ 2 tal que ai 2 6 = 0, e, atrav´es da opera¸c˜ao e 1 , realizamos o permuta¸c˜ao das segunda e i-´esima linhas.
- Atrav´es de e 2 , multiplicamos a segunda linha^2 por (^) a^1 (1) 22
- Como no item 3, utilizamos e 3 para tornar zero as entradas da seegunda coluna abaixo de a (1) 22 , ontendo uma matriz da forma 1 a(2) 12 a(2) 13 · · · a(2) 1 n b(2) 11 0 1 a(2) 23 · · · a(2) 2 n b(2) 21 0 0 a(2) 33 · · · a(2) 3 n b(2) 31 .. .
0 0 a(2) k 3 · · · a(2) kn b(2) k 1
O processo ´e ent˜ao repetido para a terceira coluna, e assim sucessivamente, at´e que tenhamos chegado a ´ultima linha. Neste est´agio, diremos que a matriz S est´a escalonado, ou reduzidaa forma escada. Resolvamos um exemplo concreto, para fixar as id´eias.
Exemplo 5 Reduzir `a forma escada a matriz
(^2) ap´os a poss´ıvel permuta¸c˜ao!
10 CAP´ITULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
Exemplo 7 Reduza a forma escalonada o sistema linear abaixo; analise o sistema quantoas suas solu¸c˜oes.
x + y + z + w = 1 x − y + z − w = 2 x + y − z + w = 3
Matriz aumentada do sistema :
Escalonando,
Logo, (^)
z = − 1 y + w = −^12 x + y + z + w = 1
x = (^52) z = − 1 y + w = −^12 O que esta solu¸c˜ao representa geometricamente em R^4?
1.2 Exerc´ıcios
- Determinar a e b para que o sistema abaixo seja poss´ıvel e determinado :
3 x − 7 y = a x + y = b 5 x + 3y = 5a + 2b x + 2y = a + b − 1
- Determinar o valor de k para que o sistema { x + 2y + kz = 1 2 x + ky + 8z = 3
tenha :
(a) solu¸c˜ao ´unica; (b) nenhuma solu¸c˜ao; (c) mais de uma solu¸c˜ao.
1.2. EXERC´ICIOS 11
- Resolver, por escalonamento, os seguintes sistemas, expressar as solu¸c˜oes em termos de geradores e interpretar geometricamente os resultados obtidos :
(a) { 4 x + 3y − z + t = 0 x − y + 2z − t = 0
(b)
x + 5y + 4z − 13 w = 3 3 x − y + 2z + 5w = 2 2 x + 2y + 3z − 4 w = 1
(c)
x − y + 2z − t = 0 3 x + y + 3z + t = 0 x − y − z − 5 t = 0
- Dado o sistema
3 x + 3y − 2 z − t = 2 5 x + 2y + z − 2 t = 1 2 x − y + 3z − t = − 1
(a) Determine a solu¸c˜ao do sistema homogˆeneo associado. (b) Determine a solu¸c˜ao do sistema dado. (c) Expresse a solu¸c˜ao anterior em termos de geradores.
- Resolva o sistema { (^2) u +^
3 1 v^ = 8 u −^
1 v =^ −^1
- Discuta os seguintes sistemas
(a)
x + z = 4 y + z = 5 ax + z = 4
(b)
x + z + w = 0 x + ky + k^2 w = 1 x + (k + 1)z + w = 1 x + z + kw = 2
1.2. EXERC´ICIOS 13
- Determine os valores de a, b e c que fa¸cam com que o gra´afico do polinˆomio p(x) = ax^2 + bx + c passe pelos pontos (1, 2), (− 1 , 6), (2, 3).
- Dados f (x) = ax^2 + bx + c e g(x) = 2ax + b, determine os valore de a, b e c para que f passe pelos pontos (− 1 , 0), (2, −9) e que 2 seja raiz de g.
- Determinar os polinˆomios reais q(x) do segundo grau que verificam a identidade q(x) = q(1 − x)∀x ∈ R.
- Considere as matrizes reais: A =
e B =
x y
. Determine valores reais para k, x e y tais que AB = kB.
- Repita o exerc´ıcio anterior para as matrizes ( 2 1 1 2
e
Este exerc´ıcio merece algum coment´ario. Cada valor obtido para o escalar k ´e chamado um autovalor da matriz A, e cada solu¸c˜ao B correspondente ´e chamada de autovetor de A associado ao autovalor k. Vocˆe seria capaz de interpretar geom´etricamente a situa¸c˜ao com a qual estamos lidando?
- Encontre os autovalores e os autovetores das seguintes matrizes :
- Considere os seguintes sistemas lineares abaixo, onde os coeficientes tomam valores no corpo dos complexos (C). { 2 x + (−1 + i)y + w = 0 3 y − 2 iz + 5w = 0
1 + i 2
x + 8y − iz − w = 0 2 3 x^ −^
1 2 y^ +^ z^ + 7w^ = 0
O segundo sistema pode ser obtido a partir do primeiro atrav´es de opera¸c˜oes elemen- tares?
- Encontre todas as solu¸c˜oes do sistema { (1 − i)x − iy = 0 2 x + (1 − i)y = 0
- Considere o sistema de equa¸c˜oes AX = 0, onde A =
a b c d
´e uma matriz com coeficientes complexos. Mostre que :
14 CAP´ITULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
(a) Se ad − bc 6 = 0, o sistema AX = 0 possui apenas a solu¸c˜ao trivial x = y = 0. (b) Se ad − bc = 0 e alguma entrada de A ´e n˜ao nula, ent˜ao existe uma sol¸c˜ao (x^0 , y^0 ) tal que (x, y) ´e solu¸c˜ao se, e somente se, existe um escalar complexo k tal que x = kx^0 e y = ky^0.
- Encontre duas matrizes 2 × 2 distintas tais que A^2 = 0 mas A 6 = 0.
- Sejam A, B matrizes tais que AB = I, onde I ´e a matriz identidade da ordem ne- cess´aria. Mostre que BA = I. Isto ´e v´alido para matrizes de quaisquer ordens?
- Seja (^) ( C 11 C 12 C 21 C 22
uma matriz 2 × 2. Mostre que existem matrizes 2 × 2 tais que C = AB − BA se, e somente se, C 11 + C 22 = 0.
- Mostre que a matriz
1 12 · · · (^1) n 1 2
1 3 · · ·^
1 n+ .. .
1 n
1 n+1 · · ·^
1 2 n− 1
´e invers´ıvel.
