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CÁLCULO DE PROBABILIDADES 14 cuícâNO Aportando en la Difusióm de Ia Ciencia y la Cultura Es presente trabajo : CÁLCULO DE PROBABILIDADES, forma parte de una colección de textos de razonamiento matemático cuvo objetivo central es brindar al estudiante el material teórico-práctico que servirá para reforzar los conocimientos adquiridos en su respectivo centro de estudio. Deseo que este pequefio trabajo cumpla su objetivo. Este texto es producto de mi experiencia como docente en las academias ADUNI y CESAR VALLEJO. Agradezco a todos aquellos quienes vienen haciéndome llegar sus sugerencias y críticas de manera personal o vía internet; mi agradecimiento también a todos aquellos que me apoyaron en la realización de este trabajo y el reconocimiento debido a todos mis comparieros de plana. Adolfo Povis V. RM. POVISGhotmail.com IT EPL O A ad mo RR o gi Cos Deo 7 CAteUio) del) seio Ro ce, eb dada ado, IARA A 7 e SA Re E RS co ENS O] Muchas veces escuchamos expresiones como : “ha estudiado mucho es muy probable que ingrese a la universidad”, “el cielo está despejado es poco probable que Ilueva”, etc, Frecuentemente el término probabilidad se usa para indicar duda o incertidumbre sobre lo que ocurrirá. La práctica demuestra que existen acontecimientos que no se pueden predecir, sin embargo si es posible estimar el probable resultado. “eQuê será más probable obtener una bola roja o una bola bianca, al sacar una bola de la ceja? mp Editorial Cuzcano CÁLCULO DE PROBABILIDADES EVENTO O SUCESO (A, B, Es cualquier subconjunto de un espacio muestral. Se denota con las primeras letras del alfabeto (mayúsculas) Ejemplo Experimento aleatorio : “Lanzar un dado” Evento : “Obtener un puntaje impar” Q=[1,2,3,4,5,6) A=[1,3,5) > n(2)=6 > n(A)=3 DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD É Si “A” es un evento de un espacio muestral, entonces la probabilidad de ocurrencia de “A” se denota por P(A) y está dado por la relación * de casos a favor de À | * total de casos posibles en £ Ejemplo 1 Si se lanza un dado, ecuál es la probabilidad de obtener un puntaje impar? Aj13 B) 1/6 Cc) 4/5 D) 1/2 E) 2/3 Resolución Experimento aleatorio : “Lanzar un dado” Espacio muestral: 0=(1,2,3,4,5,6) > n(9)=6 Evento : “Obtener un puntaje impar” A=[1.3,5) > n(A)=3 n(A) 31 Lue: Pagode Sa ie n(0) 6 2 Clave /) 2 ejemplo 2 ECuál es la probabilidad de que al lanzar dos monedas se obtenga en amb sello? Aj13 B) 5/6 Cc) 15 D) 1/4 Ej1/2 MEZA BRAVO ELVIS euítina RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Resolución Al lanzar dos monedas los posibles resultados son Edo :Q=[(c,c),(css)i(s.c) (sf > n(O)=4 Suceso : A=((s,s)) > n(A)=1 n(A) Luego : E n(9) 5 fia Lora Clave /D| 2 Ejemplo 3 Si se lanzan dos dados, uno de color blanco y otro de color rojo, ecuál es la probabi- lidad de obtener 7 puntos en total? A) 2/18 B) 1/4 C) 1/6 D) 3/7 Ej 112 Resolución Cuando tengamos experimentos en los que se lanzan dos dados es recomendable usar el siguiente esquema : dado rojo SS Este resultado indica 2 que se obtuvo 1 punto 5 E | en el dado blanco y 6 a en elrojo ado blanco | 4 ER a pcs E | MEZA BRAVO ELVIS — sréfivo UZCA RAZONAMIEI MATEMÁTICO Como al extraer una esfera se quiere que sea azul número de casos a favor = 4 (porque hay 4 azules) número de casos totales = 9 (porque hay 9 esferas en total) paé 9 H. Probabilidad de que al extraer dos esferas, ambas sean rojas : 1) Si denotamos a las esferas como: R,,R,,R,.R,,R;.4,,4,,A,.A, Casos a favor: A=[(RR,). (RjR;), (RR). (R$)... ) Se observa que cualquier grupo de 2 esferas rojas que podemos formar con las 5 esferas rojas que tenemos representa un caso a favor, luego : * de casos a favor = Cj = Al extraer dos esferas podría salir cualquiera de los grupos de 2 que podemos formar con las 9 esferas Casos totales : O = [(R, A,), (R; A,), (Rj A;). (A; A,) uh * de casos totales = C) = Eadeaçia 2x1 p- ? decasosafavor 10 5 * decasostotales 36 18 HI. Probabilidad de que al extraer 5 esferas, 2 sean azules y 3 rojas : BOBA Análogamente se deduce * de casos totales = C) = A 5» Z » Editorial Cuzcano 2.05 (4x3) 5x4x3) * de casos a favor =C; «Ci Raso ER | E U2213x2x1 De las 4 azules Delas 5 rojas sacar 2. sacar psp) 126 21 Clave / (a PROPIEDADES * Si “A” es un evento definido en 9), entonces : O
A=() * Cuando: P(A)=1, se dice que A es un evento seguro; porque siempre ocurre. | Ejompla | Evento A : “Obtener un puntaje menor que 7 al lanzar un dado” = AO) « Probabilidad por complemento : | Si “A” es un evento definido en el espacio muestral 9), entonces donde | P(A): Probabilidad de que ocurra el evento A abilidad de que no ocur * Bjomplo 5 Calcular la probabilidad de obtener al menos una cara en el lanzamiento de 3 mone- das. A) 1/8 Bj 1/4 Cc) 3/8 D) 7/8 E) 5/8 pEditorial Cuzcano c, LO DE PROBABILIDADES Como : P (sea resuelto) + P (no resuelto) = 1 que Juan no resuelva ——. — > que Maria no resuelva P (sea resuelto) ne ado B 5 P (sea resuelto) =1- IN [SR Clave /B] Hato CS Eventos mutuamente excluyentes : Se dice que A y B son eventos mutuamente excluventes cuando ambos no pueden ocurrir a la vez, entonces se cumple donde : P(A o B) : Probabilidad de que ocurra A o B Eventos independientes : ca tab ita Lo A tida da | Se dice que dos eventos son independientes cuando la ocurrencia de uno no afecta a la ocurrencia del otro, entonces se cumple : P(AVB) =P(A)-P(B) donde : P(A y B) : Probabilidad de que ocurra A y B £ Ejomplo 7 Una bola se extrae al azar de una caja que contiene 4 bolas blancas, 5 bolas rojas y 2 bolas azules. Determinar la probabilidad de que sea azul o roja Aj2/11 B)10/11 C)5/11 Dj411 E) 701 Resolución Del enunciado MEZA BRAVO ELVIS — CUZCANS RAZONAM MATEMÁTICO Se extrae una bola total: 11 bolas lo P(azul) = P(roja)= 1 Como no es posible que la bola sea azul y roja a la vez (eventos mutuamente excluyentes), entonces : P(azul o jr Clave ZE] 2 Ejemplo 8 Calcular la probabilidad de obtener sello al lanzar una moneda, y un puntaje impar mayor que 2 al lanzar un dado. A) 2/3 B) 1/12 C) 1/6 D)21 E) 5/6 Resolución Sabemos que al lanzar una moneda : P(sello) 5 Como al lanzar un dado los posibles resultados son : »izigaçso Los casos a favor son: [3:5) es 3 Como obtener sello en la moneda no afecta a que se obtenga un puntaje impar mayor que 2 en el dado. entonces Luego : P(impar>2) = SI 1 P(sello e impar > 2) = é com Clave ZE] MEZA BRAVO ELVIS PATO RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Resolución Del enunciado no sê * de rojos = 10 Ç & de blancos = 5 * total = 15 Nos piden 2do rojo. asumiendo rojo * rojo. a ! rojo pls y o) = P(lerrojo) x E en la primera salió Hay 9 fichas rojas que quedan. doa SAB dA Como se extrajo una ficha quedan 14. Clave /B] 2 Bjemplo 1 Se han vendido 100 boletos de rifa numerados del 001 al 100. Si el número gana- dor ha resultado par, écuál es la probabilidad de que sea premiada una persona que ha comprado los números 020, 021 y 022? A) 3/20 B)3/100 C) 1/50 D) 1/25 E) 1/20 Resolución Se nos pide calcular la probabilidad que gane, sabiendo que el número ganador fue par. Utilizando : casos favorables Probabilidad = + tenemos casos totales * Casos totales No son todos los resultados posibles, si no sólo aquellos boletos cuya numeración es par; es decir casos totales : [002 : 004; 006: ...: 100) 50 casos Editorial Cuzcano = * Casos favorables Son todos los boletos que compró la persona; pero que se encuentran en los casos totales; es decir los pares, casos favorables : (020 : 022) 2 casos Probabilidad = 5 E E 50 25 c O DE PROBABILIDADES Clave /D cita Jo Se tiene 6 canastas que contienen 10 canicas cada una; en cinco canastas las canicas pesan 10 gramos cada una y en una canasta las canicas pesan 11 gramos cada una. éCuántas pesadas como mínimo deben hacerse en una balanza de un solo platillo, para sa- ber qué canasta contiene a las canicas que pesan más? (ver figura). Cada canasta tiene 10 canicas A B)2 C)3 D) 4 E) 5 
