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II Colbeduca – 5 e 6 de setembro de 2016 – Joinville,SC, Brasil
Método de Newton para resolução de sistemas não lineares:
uma abordagem gráfica no software GeoGebra
Newton method for solving nonlinear systems: a graphical approach to software GeoGebra
Isaias Guilherme de Souza Boruch^1
Dirceu Scaldelai^2
Resumo
O presente trabalho busca apresentar um objeto de aprendizagem, implementado no software GeoGebra, o qual possui por objetivo principal resolver sistemas de equações não lineares utilizando o método iterativo de Newton. O objeto enfatiza a visualização gráfica da sequência de soluções obtidas com a aplicação do método proposto, além do comparativo entre as soluções exatas e as decorrentes da aplicação do método. Sua utilização permite que verifiquem-se características do método iterativo de Newton numa abordagem gráfica, proporcionando o ensino do método com maior clareza.
Palavras-chave: Sistemas de equações não lineares. Método de Newton. GeoGebra.
Linha temática: Tecnologia Educacional.
1. Introdução
Na modelagem de problemas reais é comum que haja a necessidade de se obter a solução de sistemas de equações não lineares. Contudo, a resolução destes geralmente só é viável se realizada por um método iterativo e o método mais conhecido e amplamente estudado para tal é o Método de Newton. Quando o método iterativo de Newton para resolução de sistemas não lineares é abordado nas disciplinas de cálculo numérico, geralmente o professor utiliza-se de exemplos de sistemas de ordem dois ou três. Dessa forma, o apelo gráfico pode ser utilizado como um intensificador no processo de compreensão do
(^1) Acadêmico do curso de Licenciatura em Matemática da Universidade Estadual do Paraná – Campus União da Vitória, isaias_boruch@hotmail.com. 2 Mestre em Métodos Numéricos em Engenharia, professor assistente A, Universidade Estadual do Paraná – Campus União da Vitória, dirceuscaldelai@gmail.com.
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algoritmo do método citado. Isso porque, segundo Barbosa (2009), podemos considerar a abordagem visual de um conceito matemático como um novo modo, ou estilo, de produção do conhecimento. Nesta perspectiva, com o presente trabalho busca-se apresentar os resultados de um projeto de iniciação científica, o qual tem como um dos objetivos implementar no software GeoGebra o algoritmo do método iterativo de Newton para solução de sistemas de equações não lineares, afim de gerar um objeto de aprendizagem denominado “ Método iterativo de Newton para resolução de sistemas não lineares”^3. O objeto possibilita a visualização gráfica da sequência de soluções obtidas a cada iteração do método proposto, bem como a bacia de atração das raízes em determinada região do plano 𝑥𝑦 e a comparação entre a solução exata e a solução obtida a partir da aplicação do método. Tais possibilidades permitem que se verifiquem características do método iterativo de Newton, tais como, por exemplo, sua natureza caótica.
2. Tecnologias digitais e visualização: ferramentas
importantes no processo de ensino
No campo da educação matemática podemos definir visualização como o processo de formação de imagens, o qual pode ocorrer mentalmente, com lápis e papel ou com o auxílio de tecnologias digitais, por exemplo. Segundo Zimmermann e Cunningham (1991, apud FLORES, WAGNER e BURATTO, 2012, p. 34) a formação dessas imagens é instrumento eficaz para a descoberta e compreensão da matemática. Além disso, tal ação é a base para o desenvolvimento inicial do pensamento matemático (Brasil, 1998). Autores como Borba, Malheiros e Zulatto (2008) defendem que o uso de tecnologias digitais, em especial o computador, auxiliam e potencializam o
(^3) Referência. Disponível no endereço: https://www.geogebra.org/m/tnJCe6Bn.
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Atualmente, um dos softwares educativos voltado a matemática que tem se destacado por sua dinamicidade, facilidade de construção de objetos e formas de visualização é o GeoGebra.
3. O software GeoGebra
O GeoGebra, aglutinação das palavras Geo metria e Ál gebra , é um software de Matemática dinâmica, livre e gratuito, que combina álgebra, gráficos, geometria, tabelas, cálculos e estatística. Foi desenvolvido por Markus Hohenwarter principalmente para o ensino e aprendizagem de Matemática (Procópio, 2011). O projeto se iniciou na Universidade de Salzburg e segue em desenvolvimento na Florida Atlantic University, além de ser traduzido para inúmeros idiomas, inclusive o Português (Scaldelai, 2014). O software permite a construção de pontos, vetores, segmentos, funções, cônicas e outros objetos matemáticos, além de sua manipulação dinâmica que pode ser realizada, por exemplo, clicando-se nesses itens e arrastando-os para qualquer posição desejada (Pelli, 2014), ou ainda, alterando as coordenadas de cada objeto. As principais formas de visualização disponíveis no software são a Janela de Visualização (onde são exibidos elementos de duas dimensões como retas, curvas e gráficos de funções de uma variável), Janela 3D (onde são exibidos elementos de três dimensões, como planos, sólidos geométricos e gráficos de funções de duas variáveis), Planilha de Cálculos (onde podem ser explorados dados e conceitos estatísticos), Janela CAS (que permite cálculos numéricos e simbólicos) e Janela de Álgebra (que proporciona, por exemplo, a visualização de coordenadas de pontos, equações e funções). Procópio (2011, p. 69) nos diz que “todas as representações do mesmo objeto estão ligadas dinamicamente e adaptam-se automaticamente às mudanças realizadas em qualquer delas, independentemente da forma como esses objetos foram inicialmente criados.” A figura 1 mostra as janelas de visualização do software :
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Figura 1: As formas de visualização no software GeoGebra. Fonte: Os autores.
4. Sistemas de equações não lineares
Na modelagem de problemas reais é comum que haja a necessidade de se obter a solução de sistemas de equações não lineares. Segundo Ruggiero e Lopes (1996), tais sistemas são definidos como o conjunto de equações
𝑓 2 (𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥𝑛)^ = 0
𝑓𝑛(𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥𝑛)^ = 0
onde 𝐹 = (𝑓 1 , 𝑓 2 , … , 𝑓𝑛) e 𝑓 1 , 𝑓 2 , … , 𝑓𝑛 são funções não lineares de 𝑛 variáveis, ou seja, 𝐹(𝑥)^ é uma função vetorial com 𝑥 ∈ 𝑅𝑛. Determinar a solução de um sistema não linear significa encontrar um vetor 𝑥 que satisfaz todas as equações de (1) simultaneamente. Tal solução, caso exista, é a intersecção das superfícies determinadas pelas funções 𝑓𝑖. Segundo
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Considerando as 𝑛 equações não lineares definidas em (3), a união destas resulta no modelo local linear para 𝐹(𝑥)^ em torno de 𝑥𝑘, definido por: 𝐹(𝑥) ≈ 𝑀𝑘 = 𝐹(𝑥𝑘) + 𝐽(𝑥𝑘)(𝑥 − 𝑥𝑘^ ) (4)
sendo 𝐽(𝑥𝑘) matriz das derivadas parciais de 𝐹(𝑥),denominada matriz Jacobiana , definida por:
𝜕𝑥 1 ⋯^
𝜕𝑥 1 ⋯^
Dessa forma, a nova aproximação 𝑥𝑘+1^ da solução 𝑥 será o zero do modelo local linear definido por (4). Portanto:
𝑀𝑘 = 0 ⟺ 𝐽(𝑥𝑘)(𝑥 − 𝑥𝑘)^ = −𝐹(𝑥𝑘)^ (5) Sendo 𝑠𝑘^ = 𝑥 − 𝑥𝑘, onde 𝑠𝑘^ é a solução do sistema linear:
𝐽(𝑥𝑘)𝑠𝑘^ = −𝐹(𝑥𝑘)^ (6) Logo, a nova aproximação de 𝑥 será: 𝑥𝑘+^1 = 𝑥𝑘^ + 𝑠𝑘^ (7)
Tomando 𝑣⃗ = 𝑥𝑘+1^ − 𝑥𝑘, o método de Newton converge para uma solução 𝑥 se ‖𝑣⃗‖ < 𝜀 1 , com 𝜀 1 sendo o erro de aproximação. Pode-se ainda verificar a convergência avaliando se ‖𝐹(𝑥)‖∞ for suficientemente próxima de zero, onde ‖𝐹(𝑥)‖∞ = 𝑚á𝑥1≤𝑖≤𝑛|𝑣𝑖|. Dessa forma, método de Newton consiste, basicamente, na resolução dos sistemas lineares decorrentes de (6) (Ruggiero e Lopes, 1996).
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6. O objeto de aprendizagem
Segundo Koper (2003, apud SABBATINI, 2012, p. 4), um objeto de aprendizagem pode ser considerado como “qualquer recurso digital, reprodutível e ‘referenciável’, utilizado em atividades de aprendizagem ou de apoio à aprendizagem, disponível para que outras pessoas o utilizem”. Sendo assim, a construção do objeto de aprendizagem “ Método iterativo de Newton para resolução de sistemas não lineares ” se deu com intuito de oferecer a seu operador a visualização do comportamento do vetor solução gerado pelo método de Newton para resolução de sistemas de equações não lineares de ordem 2𝑥2. Para tal, criou-se a ferramenta denominada “ Sistemas Não Lineares ”, a qual calcula o valor numérico da matriz Jacobiana das funções 𝑓𝑖 no ponto 𝑥𝑘, resolve o sistema linear definido por (6) pelo método da multiplicação pela matriz inversa de 𝐽(𝑥𝑘), calcula a solução 𝑥𝑘+1^ definida por (7) e gera a sequência de vetores solução do método. O software foi programado para que represente as equações do sistema no Plano Cartesiano e marque as interseções entre as curvas formadas, ou seja, represente as soluções exatas do sistema. Assim, é possível verificar se a sequência de vetores solução gerada converge ou não para uma das soluções exatas do sistema. Outra possibilidade é a comparação entre a solução gerada pelo método iterativo e a solução exata. Além da visualização da sequência de vetores solução gerada pelo método, o objeto também permite a visualização do conjunto de pontos, que sendo considerados como aproximação inicial, convergem para determinada solução. O conjunto de tais pontos é denominado bacia de atração das raízes e, no objeto, é delimitado por uma região retangular do plano 𝑥𝑦. O objeto permite alterar o sistema de equações, a estimativa inicial de solução do problema, a região da bacia de atração, o incremento dos pontos da bacia de atração e o erro de aproximação considerado aceitável, possibilidades que conferem dinamicidade ao objeto.
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Ao gerar no objeto a bacia de atração das raízes de um sistema não linear é possível observar que podem existir pontos os quais, quando utilizados como aproximação inicial da solução do sistema, não convergem para as soluções exatas ou não atendem a precisão desejada. Tais pontos não são representados no conjunto bacia de atração, fazendo com que existam espaços vazios no conjunto, o que pode ser verificado na figura 2. Dessa forma, é possível concluir que a escolha da aproximação inicial interfere na convergência do método. Autores como Souza (2015) e Santos (1993) afirmam que para a sequência de vetores solução convergir para determinada raiz do sistema basta que a estimativa inicial esteja suficientemente próxima a esta raiz. Contudo, não há especificações sobre o quão próxima da raiz deva estar tal estimativa para que haja a convergência. Considerando o exposto, o objeto permite, por meio da bacia de atração, que se visualize o fato de não ser possível realizar tal especificação, visto que a proximidade entre estimativa inicial e a raiz exata não garante sequer a convergência do método para uma das soluções. Também é possível observar que quando há a convergência para uma das raízes, nem sempre essa é a que se encontra mais próxima da estimativa inicial. Tal fato também pode ser observado na figura 2. Considerando os fatos acima citados e a dinamicidade que o objeto oferece a seu operador, sua utilização permite que se verifique a natureza caótica do método iterativo de Newton citada por Santos (1993), uma vez que uma pequena alteração em um parâmetro da estimativa inicial pode mudar completamente o resultado final da aplicação do método. Tal verificação é possível principalmente ao se construir a bacia de atração das raízes do sistema de equações. Outra característica relacionada ao método iterativo de Newton é a de que quando o método apresenta convergência para uma das raízes, esta obedece taxa quadrática (Ruggiero e Lopes, 1996). Tal característica é nítida ao se observar a sequência de vetores solução gerada no objeto pelo método.
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8. Considerações finais
Durante a apresentação de considerações sobre o uso das tecnologias digitais e a visualização no processo de ensino tornou-se evidente a importância da utilização dos mesmos em um contexto escolar, visto que, entre outras contribuições, os mesmos auxiliam na compreensão e construção do conhecimento matemático. Entre as várias formas de se utilizar as tecnologias digitais em sala de aula, uma das que tem se destacado é a por meio de softwares educativos, pois os mesmos oferecem, além da visualização de objetos matemáticos e processos, a possibilidade de comparação e análise de resultados, formulação de conjecturas e formalização de conceitos. Ao avaliarmos os softwares educativos de matemática, o GeoGebra tem se destacado por sua dinamicidade e facilidade de construção, além de ser um software livre e gratuito. Dessa forma, o mesmo apresentou-se como ideal para a construção do objeto de aprendizagem proposto. A principal característica do objeto construído está relacionada a dinamicidade ofertada a seu operador e, mesmo existindo limitações do objeto no que diz respeito a visualização, tal característica permite que se verifiquem particularidades do método de Newton para resolução de sistemas não lineares, como, por exemplo, sua natureza caótica. Por final, cabe ressaltar que o objeto será utilizado com acadêmicos do curso de licenciatura em Matemática durante aulas de cálculo numérico, com intuito de se verificar a efetividade de suas potencialidades no processo de ensino-aprendizagem.
Referências
BARBOSA, Sandra Malta. Tecnologias da Informação e Comunicação, Função Composta e Regra da Cadeia. 2009. 199f. Tese (Doutorado em Educação Matemática). Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, 2009.
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RUGGIERO, Márcia A. Gomes; LOPES, Vera Lúcia da Rocha. Cálculo Numérico : Aspectos Teóricos e Computacionais, 2ª edição. São Paulo: Editora Pearson Makron Books, 1996.
SABBATINI, Marcelo. Reflexões Críticas Sobre o Conceito de Objeto de Aprendizagem Aplicado ao Ensino de Ciências e Matemática. Em Teia - Revista de Educação Matemática e Tecnológica Iberoamericana , v. 3, n. 3, p. 1-36. 2012.
SANTOS, Lúcio Tunes dos. 1993. Sistemas não Lineares e Fractais. Matemática Universitária , 15, 102-116, 1993.
SCALDELAI, Dirceu; O Software GeoGebra. In: BASNIAK, Maria Ivete; ESTEVAM, Everton José Goldoni; (Org.). O GeoGebra e a Matemática da Educação Básica : Frações, Estatística, Círculo e Circunferência. Curitiba: Íthala, 2014. p. 13-23.
SOUZA, Elienai Alvez de; Métodos Iterativos para Problemas Não Lineares. 2015. 123 f. Dissertação (Mestrado em Modelagem Computacional em Ciência e Tecnologia). Universidade Federal Fluminense. Volta Redonda, 2015.
ZIMMERMANN, Walter; CUNNINGHAM, Steve. Editors´ Introduction: What is Mathematical Visualization? In: ZIMMERMANN, Walter; CUNNINGHAM, Steve; (Eds.). Visualization in Teaching and Learning Mathematics. Washington: MAA, 1991.
